trình bày lý thuyết về wavelet trong xử lý tín hiệu

Nhiều ứng dụngkhoa học đã chứng minh được những ưu việt của biến đổi Wavelet so với cácbiến đổi kinh điển như: phân tích phổ, nén tín hiệu, khử nhiễu… Là một hướngmới trong lĩnh vực xử l

KHOA QUỐC TẾ VÀ SAU ĐẠI HỌC

-ššššš -BÀI TIỂU LUẬN

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Minh

Nhóm học viên: Nguyễn Quyết Thắng

Nguyễn Bách Việt Nguyễn Kiên Trung

Lớp: M14CQTE02-B

Đề tài: “ trình bày lý thuyết về wavelet trong xử

lý tín hiệu”

CHƯƠNG I TRÌNH BÀY LÝ THUYẾT VỀ WAVELET .3

1 1 GIỚI THIỆU VỀ WAVELET 3

1 2 TẠI SAO PHẢI DÙNG KHAI TRIỂN WAVELET 3

1 3 GIỚI THIỆU MỘT SỐ HỌ WAVELET 3

1 3 1 Biến đổi Wavelet Haar 3

1 3 2 Biến đổi WaveletDaubechies 3

1 3 3 Biến đổi Wavelet Meyer 3

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI WAVELET 3

(WAVELET TRANSFORM) 3

2 1 GIỚI THIỆU 3

2 2 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC 3

2 3 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT): 3

2 4 BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM): 3

2 5 SO SÁNH STFT VÀ WT 3

CHƯƠNG III MỘT SỐ ỨNG DỤNG NỔI BẬT TRONG THỰC TẾ .3

3 1- NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION): 3

3 2 NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION): 3

3 3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO COMPRESSION): 3

CWT Continuous Wavelet Transform Biến đổi Wavelet liên tục DCT Discrete Cosine Transform Biến đổi côsin rời rạc

DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc

DWT Discrete Wavelet Transform Biến đổi Wavelet rời rạc IDWT Inverse DWT Biến đổi Wavelet rời rạc ngịch

WT Wavelet Transform Biến đổi băng con Wavelet HDTV High Definition Television Truyền hình đội phân giải cao

CD Compact Disc Đĩa quang chuyên lưu âm thanh, dữ

liệu

Hình 1 1: Biến đổi Wavelet 3Hình 1 2: Mô tả sóng sin và wavelet 3Hình 1 3: Hàm

của biến đổi Haar 3Hình 1 4: Hàm

Với sự ra đời của Wavelet, việc xử lý tín hiệu mở ra một hướng mới, có thể

áp dụng cho nhiều loại tín hiệu, đặc biệt là tín hiệu không dừng Nhiều ứng dụngkhoa học đã chứng minh được những ưu việt của biến đổi Wavelet so với cácbiến đổi kinh điển như: phân tích phổ, nén tín hiệu, khử nhiễu… Là một hướngmới trong lĩnh vực xử lý tín hiệu nên ngày càng nhiều phát minh mới trong ứngdụng Wavelet

Mục đích chính của việc xử lý tín hiệu là mô tả các tín hiệu thực, để từ đó cóthể tính toán, nén hoặc tìm hiểu về chúng, mà công cụ thực hiện là các phép biếnđổi hoặc các mở rộng tuyến tính như là biến đổi Fourier, biến đổi Haar, Ngàynay, các phép biến đổi đang tập trung vào các giải thuật nhanh như FFT cũngnhư các ứng dụng nén ảnh và nén video

Được TS Nguyễn Ngọc Minh hướng dẫn tận tình, nhóm đã tìm hiểu và hoàn

thành tiểu luận “Trình bày lý thuyết wavelet trong xử lý tín hiệu” bao gồm ba

chương với nội dung như sau:

Chương 1: Trình bày lý thuyết về wavelet và các khái niệm liên quan

Chương 2:Nghiên cứu về phép biến đổi wavelet (phép biến đổi wavelet liên

tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet hai chiều) Chương 3: Một số ứng dụng nổi bật của wavelet trong thực tế

Với kiến thức còn hạn chế và một nội dung hết sức mới mẻ, chưa đượcnghiên cứu nhiều ở Việt Nam nên trong quá trình thực hiện tiểu luận này nhóm

CHƯƠNG I TRÌNH BÀY LÝ THUYẾT VỀ WAVELET

1 1 GIỚI THIỆU VỀ WAVELET

Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiềuthành phần thời gian và tần số, ta cần dùng một phương pháp biến đổi sao cho

độ phân giải thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tínhcủa tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số Vấn đề này được giải quyết bằngcách thay thế phép dời đơn giản trong STFT bằng phép dời và đổi thang độ(shifts and scales) Điều này dẫn đến sự ra đời của một phép biến đổi mới đó làphép biến đổi wavelets

Phân tích Wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cầnthông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần sốcao Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian, tần

số, STFT:

Hình1 1: Biến đổi Wavelet

Vậy phân tích wavelet không dùng một miền thời gian - tần số, mà là miềnthời gian - tỷ lệ

Định nghĩa Wavelet

Wavelets là các dạng sóng nhỏ có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trungbình bằng 0 So sánh với sóng sin thì sóng sin không có khoảng thời gian giớihạn - nó kéo dài từ âm vô cùng đến vô cùng Và trong khi sóng sin là trơn tru và

có thể dự đoán, wavelet lại bất thường và bất đối xứng

Hình1 2: Mô tả sóng sin và wavelet

Phân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị và tỷ lệ(co dãn) của một hàm đơn hay gọi là hàm wavelet mẹ Vì vậy tín hiệu với thayđổi nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn là với một sóngsin trơn Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các wavelet

Số chiều

Phân tích Wavelet có thể áp dụng cho dữ liệu hai chiều (các hình ảnh) và

về nguyên tắc cho dữ liệu có số chiều cao hơn

Các biến đổi wavelet phổ biến được chia thành 3 loại: biến đổi waveletliên tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet đa phân giải (waveletmultiresolution-based)

1 2 TẠI SAO PHẢI DÙNG KHAI TRIỂN WAVELET

 Hệ thống wavelet bao gồm các hàm cơ sở, do đó chúng ta có thểbiểu diễn hàm ban đầu theo hệ thống cơ sở mà ta đã chọn

 Khai triển Wavelet biểu diễn một hàm mang tính chất địa phương.Điều đó có nghĩa là, năng lượng ban đầu của ảnh có thể biểu diễnvới một vài hệ số aj,k, vì thế chúng ta có thể dễ dàng phát hiệnnhững tính chất địa phương của một tín hiệu

 Việc tính toán hệ số thực hiện hiệu quả hơn so với việc tính toán hệ

số của biến đổi Fourier, với độ phức tạp khoảng O(N) hay

1 3 1 Biến đổi Wavelet Haar

Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổiWavelet Hình vẽ 1.3 mô tả dạng hàm

với biến đổi Haar Do tính chất đơn giản của biến đổi

Hình 1 3: Hàm

của biến đổi Haar

Haar mà nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh

1 3 2 Biến đổi Wavelet Daubechies

Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao tolớn trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet Biến đổiDaubechies là một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổiWavelet, khám phá ra cái gọi là Wavelet trực giao khoảng chặt khiến cho phântích wavelet rời rạc có giá trị thực tế Họ biến đổi này được ứng dụng hết sứcrộng rãi, biến đổi Wavelet áp dụng trong JPEG2000 là một biến đổi trong họbiến đổi Wavelet Daubechies

Tên gọi của họ Wavelet Daubechies được viết là dbN, với N là thứ tự và

db là tên họ wavelet

Dưới đây là một số hàm

của họ biến đổi Wavelet Daubechies:

của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 4, 5

DbN có các đặc tính :

Độ rộng xác định : 2N - 1

Độ dài bộ lọc : 2N

Số moment bằng 0 đối với hàm wavelets : N

1 3 3 Biến đổi Wavelet Meyer

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phépbiến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biếnđổi thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số Biến đổi này có khảnăng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar

Dạng của hàm

với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hình 1 5: Hàm y (t) của biến đổi Meyer

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI WAVELET

(WAVELET TRANSFORM)

2 1 GIỚI THIỆU

Sự biến đổi một hàm hoặc một tín hiệu s(t) là một phép toán mà kết quảcủa nó là sự biểu diễn khác của s(t) Chúng ta đã được nghiên cứu hoặc biết vềbiến đổi Fourier và Short Time Fourier Transform như là các phương pháp biếnđổi truyền thống Hiện nay, người ta đang nghiên cứu và phát triển một phươngpháp biến đổi tín hiệu mới trong cả hai lĩnh vực: toán học thuần tuý và khoa họcứng dụng Đó là biến đổi Wavelet

Xét ba phương pháp để biến đổi tín hiệu :

- Biến đổi Fourier (biến dổi tín hiệu thành các sóng cosin)

- Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (biến đổi tín hiệu thànhcác dạng sóng cosin)

- Biến đổi Wavelet

Trước đây người ta sử dụng phương pháp phân tích tín hiệu thành các hài

cơ bản Khi đó tín hiệu là một tổng các cosin:

a0 + a1cost + a2cos2t + +Đây là phép biến đổi Fourier, được Fourier tìm ra cách đây 180 năm ởParis Tất cả các tín hiệu đều có thể được phân tích thành các sóng hài nhờ biếnđổi Fourier Những người thực hiện nó hầu hết là thực hiện theo bản năng

Cường độ tín hiệu tại mỗi thời điểm được thay thế bằng biên độ của mỗisóng Từ đó xuất hiện một câu hỏi lớn Đó là cần phải sử dụng bao nhiêu tần sốcho một tín hiệu có mật độ cao Có lẽ là phải rất nhiều thì kết quả nén mới tốtđược

Phương pháp thứ hai là biến đổi Fourier thời gian ngắn Ở phương phápnày các đoạn tín hiệu ngắn được biến đổi riêng rẽ, ở trong mỗi đoạn, tín hiệuđược phân tích thành các sóng cosin như ở phương pháp trước Theo phương

pháp này thì hầu hết các tín hiệu dài đều được chia nhỏ ra và sau đó được biếnđổi theo từng phần một Nó khắc phục được nhược điểm của biến đổi Fourier, vìtheo Fourier thì nó không đúng hoàn toàn vì tín hiệu biến đổi phải tuần hoàn vàtiến ra xa vô cùng Tuy nhiên nó cũng có hạn chế lớn, đó là có những điểm cắtđột ngột gây ra hiệu ứng blocking Chúng ta có thể nghe thấy hoặc không khinghe nhạc nhưng luôn có thể thấy chúng khi xem các hình ảnh Hiệu ứng nàylàm giảm độ tin cậy của STFT và nó yêu cầu phải có một phương pháp khácthay thế

Có một ý tưởng mới trong việc xử lý tín hiệu Đó là thay vì các sóng cosinkéo dài đến vô cùng hoặc là bị cắt đột ngột thì ta sẽ sử dụng các khối xây dựngmới là các Wavelet (nguyên bản tiếng Pháp là Ondelet) Đó là các sóng nhỏ cóđiểm bắt đầu và điểm kết thúc Những sóng nhỏ này được xuất phát từ Wavelet

mẹ w(t) - là mức tín hiệu chuẩn ở thời điểm t Theo phương pháp này thì một tínhiệu dài được chia nhỏ ra thành một cơ sở của các tín hiệu - đó là các Wavelet.Các Wavelet xuất phát từ một hàm đơn w(t) nhờ tăng tốc độ lấy mẫu (tăng tần

số lên gấp đôi) và thời gian trễ Các biên độ được gửi đến bên thu, ở đó nó đượckhôi phục lại tín hiệu ban đầu

Cũng tương tự như biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi Waveletcũng ánh xạ một hàm thời gian thành một hàm hai chiều của a và x (thay vì của

w và T trong STFT) Tham số a được gọi là tỷ lệ Nó chia tỷ lệ một hàm bằngviệc nén hoặc dãn nó, và T là tịnh tiến của hàm Wavelet dọc theo trục thời gian

2 2 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC

Định nghĩa:

Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform) của một hàmf(t)

L2(R) được định nghĩa như sau:

Trong đó

được gọi là wavelet mẹ

Và:

thì công thức khôi phục là:

trong đó:

Hình 2 1: Các thành phần Wavelet tương ứng với các tỷ lệ và vị trí khác nhau

Khi a > 1: Hàm Wavelet sẽ được trải rộng

Khi 0 < a < 1: Thì hàm sẽ được co lại

Các tính chất của CWT:

Tuyến tính: tính chất tuyến tính của CWT nhận được từ sự tuyến tính của

tích vô hướng

Tính chất trễ: Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì

f’(t) = f(t-b’) có biến đổi như sau:

CWTr(a, b) = CWTr(a, b-b’)

có biến đổi như sau:

CWTr(a, b) = CWTr(a/s, b/s)

Tính bảo toàn năng lượng: CWT có tính chất bảo toàn năng lượng tương

tự như công thưc Parseval của biến đổi Fourier

Nếu f(t)

L2(R) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì ta có:

Tổng quát hoá công thức bảo toàn năng lượng này gồm tích vô hướng củahai hàm theo thời gian và theo miền wavelet Khi đó trở thành:

(t-t 0 ), và một wavelet

(t) Biến đổi wavelet liên tục của xung Dirac là:

với tỷ lệ a0 cho trước, nghĩa là một đường ngang trong miền wavelet, thìbiến đổi chính bằng wavelet đã được tỷ lệ (và chuẩn hoá) nghịch đảo trong miềnthời gian và tập trung ở sự định vị của Dirac

2 3 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT):

Người ta đã chứng minh được là biến đổi wavelet liên tục có nhiều ứngdụng rất hiệu quả Tuy nhiên, trong một số ứng dụng thì biến đổi wavelet rời rạclại tỏ ra phù hợp hơn Có nhiều nguyên nhân:

 Ngược lại vối biến đổi Fourier, biến đổi wavelet liên tục không đưa ramột sự biểu diễn ngắn gọn nào của tín hiệu x(t) bởi vì nó thay đổi mộttín hiệu một chiều thành một hàm hai chiều Do đó, sử dụng biến đổiwavelet liên tục sẽ hướng chúng ta đến việc xử lý tín hiệu mà gồmnhiều phép tính hơn so với xử lý tín hiệu một chiều

 Đối với nhiều chuỗi thời gian, biến đổi wavelet liên tục dư thừa theo

cả thời gian và tỷ lệ, nghĩa là sự chênh lệch giữa W(

một wavelet gốc (wavelet mẹ) Wavelet

(t) có giá trị trung bình bằng không sao cho:

Biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) của một hàm f(t) với một wavelet mẹđược định nghĩa như sau:

Từ phương trình CWT(a, b) ta thấy các hệ số CWT được biểu diễn nhưmột hàm của tỷ lệ a và vị trí b Tỷ lệ thấp tương ứng với một tín hiệu được néncho nên tỷ lệ nhỏ thì các chi tiết thay đổi nhanh còn tỷ lệ lớn thì thay đổi chậm Khi đó biến đổi wavelet rời rạc thu được bằng cách lấy mẫu biến đổi waveletliên tục ở các tỷ lệ và vị trí là luỹ thừa của hai: a = 2j, b = ka, j, k

Z

Biến đổi Wavelet trực giao rời rạc được dùng để phân tích một tín hiệuthành một số mức phân giải Sự phân tích đa phân giải được thực hiện nhờ việcchiếu tín hiệu lên các không gian con xấp xỉ và các không gian con chi tiết trựcgiao

Một cách hiệu quả thực hiện DWT là sử dụng bank lọc Phương pháp này

do Mallat phát triển năm 1988 Sự thực hiện bank lọc của DWT dựa trên tínhchất đa phân giải của nó

Phân tích đa phân giải và việc thực hiện DWT bằng QMF

Như tên gọi, phân tích MRA đề cập tới việc phân tích một tín hiệu tại một số độphân giải khác nhau Một phân tích đa phân giải trong L2(R) là một chuỗi tăngdần của các không gian con kín

Mỗi không gian con Vj được gọi là một không gian xấp xỉ, được xác địnhbởi công thức: {

} →tạo thành một cơ sở trực giao của Vj Độphân giải giảm từ 2j xuống 2j+1 vì Vj là không gian con của Vj-1 cho nên tồn tại

Cũng tồn tại một hàm wavelet mẹ

là

rời rạc

Gọi Vj là một xấp xỉ đa phân giải,

(t) là hàm tỷ lệ tương ứng và f(t) thuộc V0, f(t) thuộc V0 có thể được biểu diễnbằng các hệ số xấp xỉ của nó ở tỷ lệ 20 là:

Định nghĩa S0={Sk0=<f,

fTrong đó P là toán tử chiếu trực giao

: Là xấp xỉ thô của f ở tỷ lệ 21

Là các thành phần tính của f ở tỷ lệ 20

Và

Mỗi

được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số xấp xỉ:

Sj= {Skj=<f,

được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số chi tiết:

Dj={DkJ=<f,

>}

Gọi h là một bộ lọc rời rạc sao cho:

Tương tự gọi g là một bộ lọc rời rạc sao cho:

Với: g(n)=(-l)n h(-n+l)

h(m-2k)=<

mj,

j+1>

mj,

kj+1>

với mọi Vj, k thuộc Z Vì Vj-1là hợp của Vj và Wj nên ta có

Việc khôi phục được thực hiện theo công thức:

Trong đó h(n) = h(- n) và g(n) = g(-n) h(n), g(n),

(n),

) =

tương ứng là hàm truyền củag(n) và h(n)

) là bộ lọc thông thấp và G(

) và G(

) đều có đáp ứng xung hữu hạn và có thể khôi phục hoàn hảo

Các tính chất của Wavelet rời rạc

Biến đổi Wavelet cung cấp một phép phân tích đa phân giải của một hàm.Bản ảnh dịch và tỉ lệ của hàm cơ sở cho phép sự định vị tần số - thời gian của sốliệu được phân tích DWT tạo ra sự phân giải tần số tốt hơn cho các tần số cao

và phân giải thời gian tốt hơn cho các tần số thấp

Biến đổi Wavelet là sự tương quan giữa x(t) và

(t’ a) Do đó biến đổi wavelet phù hợp với các ứng dụng cục bộ nhờ bộlọc Match

Biến đổi wavelet tập trung hầu hết năng lượng trong các hệ số tần số thấpnhất sử dụng hai bank lọc kênh cho phép thực hiện nhanh phép biến đổi wavelet

Hàm wavelet được thiết kế sao cho có ít điểm triệt tiêu nhất

2 4 BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU:

(TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM)

Phân tích đa phân giải của một tín hiệu hai chiều được tạo ra n tích tensor.

Các cơ sở trực chuẩn của các không gian tích tensor thu được từ các tích riêngcủa hai cơ sở trực giao Khi đó nếu Vj là một phân tích đa phân giải thì

j = Vj