Lập kế hoạch sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạch toán học

Phát biểu bài toán Quy hoạch toán học tổng quát Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống và thiết kế kỹ thuật mà biết dựa trên các nguyên tắc cực trị sẽ tiết kiệm đượ

MỞ ĐẦU

Trong giai đoạn kinh tế thị trường, sự cạnh tranh hàng hoá quyết liệt xẩy rathường xuyên thì một phương án sản xuất cần phải được cân nhắc kỹ càng trước khi

nó được thực thi Một phương án sản xuất thường phụ thuộc rất nhiều vào các yếu

tố như lao động, nguyên vật liệu, sức tiêu thụ, …Vì vậy một phương án sản xuấtcần phải được bao hàm các hạn chế trên, đồng thời phải đảm bảo được mức tổng lãi(hoặc chi phí) tốt nhất

Đặc biệt, khi một tổng công ty có nhiều công ty con, mỗi công ty đều muốn

có phương án sản xuất tốt nhất của mình nhưng phải nằm trong mục tiêu của tổngcông ty Vì vậy, phương án sản xuất tốt kết hợp giữa tổng công ty và các công tycon cần phải được nghiên cứu Do đó tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Lập kế hoạchsản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạchtoán học” Với nội dung nghiên cứu:

 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Ứng dụng quy hoạch tuyến tính để hỗ trợ các nhà lập kế hoạch và quản lýkinh tế ra những quyết định chính xác và tốt nhất có thể, nó là một công cụđáng tin cậy để phân tích và dự đoán hướng phát triển có mục tiêu của các cơ

sở kinh tế nói chung và của các công ty và tổng công ty nói riêng

Trên cơ sở tối ưu pareto để tìm ra các phương án sản xuất cho tổng công ty

và các công ty con dựa trên phương pháp cạnh tranh và bù đắp

 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tìm các hệ số chi phí trong quy trình sản xuất của toàn công ty

và của từng công ty con

Ứng dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải bài toán tìm phương ánsản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con

 Cấu trúc luận văn

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT DỰA VÀO QUY

HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN HỖN HỢP (QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC

TIÊU) LẬP KẾ HOẠCH ĐỒNG BỘ GIỮA TỔNG CÔNG TY VÀ CÁC CÔNG TY CON

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC

1.1 Phát biểu bài toán Quy hoạch toán học tổng quát

Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống và thiết kế kỹ thuật

mà biết dựa trên các nguyên tắc cực trị sẽ tiết kiệm được vật tư, tiền vốn, tàinguyên, sức lao động, thời gian và tăng được hiệu quả giải quyết các vấn đề đặt ra.Những cơ sở lý thuyết và các phương pháp thực hành để giải quyết các vấn đềnằm trong môn học Tối ưu hóa hay còn gọi là Quy hoạch toán học…

1.1.1 Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát

Một bài toán Quy hoạch toán học tổng quát được phát biểu như sau:

Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

Với các điều kiện:

}) , , { ( , 1 , )

(x b i m     

n R X

Bài toán (1.1) (1.3) được gọi là một quy hoạch, f(x) được gọi là hàm mục tiêu,các hàm g i(x),i 1 ,m được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức hoặc bất đẳngthức trong hệ (1.2) được gọi là ràng buộc Tập hợp:

} , 1 , ) (

x

x ( 1, 2, , n)  được gọi là một phương án (hay lời giải chấp nhận được).Một phương án x * D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là:

D x x f x

f( * )  ( ),   đối với bài toán max

D x x f x

f( * )  ( ),   đối với bài toán minđược gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f(x* ) được gọi là giátrị tối ưu của bài toán

1.1.2 Phân loại các bài toán

Một trong những phương án hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là phươngpháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu trên tất cả các phương án, sau đó sosánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương pháp tối ưu của bài toán.Tuy nhiên cách giải quyết này khó có thể thực hiện được, ngay cả khi kích thướccủa bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thườnggồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp còn không đếm được.

Vì vậy cần phải có những nghiên cứu về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bàitoán tổng quát những bài toán “dễ giải” Các nghiên cứu lý thuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, cácràng buộc, các biến số, các hệ số…);

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được;

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;

- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp taphân loại các bài toán Một số bài toán tối ưu (quy hoạch toán học) được gọi là:

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu và tất cả các hàm

ràng buộc là tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọngcủa QHTT là bài toán vận tải (BTVT);

- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu

và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;

- Quy hoạch động (QHĐ) nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạnnói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng;

- Quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu hoặc có ít nhất một trong các hàm

là phi tuyến hoặc cả hai trường hợp đó cùng xảy ra;

- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc Trongtrường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch

nguyên (QHN) Một trường hợp riêng của QHN là quy hoạch biến booles khicác biến số chỉ nhận giá trị là 0 hoặc 1 Còn tối ưu hóa tổ hợp liên quan đặctính hữu hạn của đối tượng nghiên cứu, hay sự tồn tại một cấu trúc cho tamột định tính không gian của các tình huống cần so sánh;

- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xétcác mục tiêu khác nhau

1.2 Phát biểu bài toán đối ngẫu và phân tích nghiệm của bài toán đó

1.2.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu

a Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng

Xét bài toán dạng chính tắc (I):

j x Min Max c

x f

1

)()

x

m i

b x a

j

n j

i j ij

, 1 , 0

, 1 ,

1

Ta gọi bài toán này là bài toán gốc Dựa vào bài toán gốc (I), ta xây dựngmột bài toán quy hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán (I) códạng sau:

b y

f

1

~

)()

a

1

,1,)(

Ký hiệu bài toán này là (I’) Cặp bài toán (I, I’) gọi là cặp bài toán không đốixứng

 Nguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu

- Nếu f(x) → Min thì ~f(y) → Max và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu códạng “≤”

- Nếu f(x) → Max thì ~f(y) → Min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu códạng “≥”

- Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến sốtrong bài toán kia, từ đó thấy tương ứng với một ràng buộc của bài toán này

là một biến số của bài toán kia

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trongbài toán kia

- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của nhau

- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc về dấu

Khi phân tích quan hệ của hai bài toán đối ngẫu cần sử dụng một khái niệm quantrọng:

Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi 2 ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu)trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu.Trong hai bài toán (I) và (I’) có n cặp ràng buộc đối ngẫu:

b Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng

Xét bài toán (II):

)()

(

1

Max Min x

c x

j j

x

m i

b x

, 1 , ) (

1

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II~):

)()

(

1

Max Min x

c x

m i

b x

x a

j

n

, 1 , 0

, 1 , )

b y

f

1

~

)()

y

n j

c y

a

n

j ij i j

, 1 , 0

, 1 , ) (

Ký hiệu bài toán này là (II’) Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán, ta gọi (II) và(II’) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng Hai bài toán này có n + m cặp rằng buộc đốingẫu sau:

ij j

m i y b x

a

n j c y

a x

1

, 1 , )

(

, 1 , ) ( 0

c Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát

Đối với bài toán bất kỳ, đưa về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫucủa bài toán này và gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho Chúng ta có thể sửdụng các quy tắc nêu trong lược đồ dưới đây để trực tiếp viết bài toán đối ngẫu màkhông cần phải thực hiện bước biến đổi về dạng chính tắc

ij x b i m

a

1

,1,)

ij x b i m

a

1

,1,)

b y

f

1

~

)()

(

i

y không ràng buộc về dấu

m i

y i  0  , 1 ,

m i

1

,1,

a

1

,1,)(

a

1

,1,)(

1.2.2 Các tính chất và định lý đối ngẫu

a Các tính chất

 Tính chất 1: Với mọi cặp phương án x và y của hai bài toán đối ngẫu ta luôncó: f(x)() ~f(y).

 Tính chất 2: Nếu đối với hai phương án x* và y* của một cặp bài toán đốingẫu mà f(x*)~f(y*) thì x* và y* tương ứng là hai phương án tối ưu.

b Các định lý

 Định lý 1: Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giải được thì bài toán kiacũng giải được và khi đó với mọi cặp phương án tối ưu x* và y* ta luôn có

) ( )

(x* ~f y*

 Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để hai phương án x và y của một cặp bài toánđối ngẫu tối ưu là trong các ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thoả mãnvới dấu bất đẳng thức thực sự (lỏng) thì ràng buộc kia phải thoả mãn với dấubằng (chặt)

Ví dụ: Quy hoạch đối ngẫu của bài toán

là quy hoạch:

1.3 Giới thiệu một số phương pháp giải điển hình của quy hoạch toán học

Như đã trình bày trong mục (1.1.2), một bài toán quy hoạch toán học đượcphân loại thành nhiều dạng khác nhau dựa vào tính chất của các thành phần và đốitượng nghiên cứu Mỗi dạng lại có phương pháp giải đặc trưng riêng như:

 Quy hoạch tuyến tính:

- Phương pháp đơn hình và đơn hình cải biên

- Phương pháp hình học

- Phương pháp Hungary

 Quy hoạch động:

- Phương pháp phương trình truy toán

 Quy hoạch phi tuyến:

- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến không có ràng buộc

o Các phương pháp sử dụng đạo hàm

o Các phương pháp không sử dụng đạo hàm

o Tối ưu hoá hàm “khe” bằng “R-algorithm”

o Các phương pháp vượt khe

- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

o Phương pháp hàm phạt

o Phương pháp gradient

o Phương pháp các nhân tử Lagrange

 Quy hoạch rời rạc:

- Phương pháp nhánh – cận

- Các phương pháp gần đúng

o Phương pháp tối ưu cục bộ

o Phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên

 Quy hoạch đa mục tiêu:

- Phương pháp nhượng bộ dần

- Phương pháp thoả hiệp TAMM

- Phương pháp Người – Máy (của Geoffrion, Dyer, Fienberg)

- Phương pháp từng bước Benayoun

- Thuật toán thích nghi ổn định tối ưu hoá vectơ

- Phương pháp giải theo dãy mục tiêu đã được xắp xếp

a Mô hình bài toán quy hoạch đa mục tiêu

max(min) )

(X 

n

R D

k

Y X

Y X

Y( )  ( 1( ), , ( ))  (1.7)

gọi là vectơ mục tiêu

X gọi là phương án D là tập các phương án

Y1, ……Yk gọi là các hàm mục tiêu

Khi xử lý tập phương án Pareto vai trò người nhận lời giải có tác dụng đáng

kể trong quá trình giải Người nhận lời giải như ngụ ý rằng: Trong tập phương án

đó, các phương án đã có quan hệ trội hơn () và không phân biệt (~) được hìnhthành từ việc so sánh “lợi ích” của các phương án Giải bài toán như vậy gọi là bàitoán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp sở thích người nhận lời giải

Ở đây ta hiểu “lợi ích” là một hàm U: Y(D) → R Thông thường ta giả thiết

U thoả mãn một số điều kiện nào đó khái quát từ bài toán thực tế và hiện tượng thựctiễn Chẳng hạn U là một hàm lõm (hàm lợi ích tăng lên khi các hàm mục tiêu tănglên) tức là:

0 /  

U Y i (1.8)

0 / 2

“không phân biệt” nào đó)

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp với lợi ích của người nhận lời giảitrong trường hợp hàm U tường minh có thể viết:

D X

X Y MaxU



)) ( (

b Một số phương pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu

Phương pháp này dẫn đến việc tìm một lời giải thoả hiệp tốt nhất tức là tìmnghiệm X* mà theo ý thích của người nhận lời giải thì XD:X* X hoặc X ~* X

Thuật toán giải:

Bước 1: Giải k bài toán 1 mục tiêu riêng rẽ Sau đó lập bảng thưởng phạt (trong đó

X1 là phương án tối ưu Y1 là giá trị tối ưu)

2

) (

) ( max

Y Y

X Y

D X

X Y









Giả sử Y2 là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước 3

Bước 3: Người nhận lời giải căn cứ vào Y20 và Y2* bắt Y2 phải nhượng bộ một lượng

Y2 và giải bài toán:

2 0 2 2

1 0 1 1

3

) (

) (

) ( max

Y Y

X Y

Y Y

X Y

D X

X Y

* 1 1

2

* 2 2

1 0

1 1

) (

) (

) (

) ( max

k

k

Y Y

X Y

Y Y

X Y

Y Y

X Y

D X

X Y

Nghiệm của bài toán cuối cùng này lấy làm nghiệm cho bài toán xuất phát

 Phương pháp thoả hiệp của TAMM

Giải bài toán

D X

X Y



) ( max

Thuật toán giải như sau:

Bước 1: Giải k bài toán một mục tiêu riêng rẽ Giải sử nghiệm tối ưu là X i, i 1 ,k

Đưa vào biến phụ W:

W M

X Y M k

i

i

i i

gọi là độ lệch tương đối chung

Bước 2: Giải bài toán: min W (1.15)

) , 1 ( ) (

k i W M

X Y M i

i i

Từ đó tìm được nghiệm tối ưu X và W

Ở đây hàm “lợi ích” U tỷ lệ với độ lệch tương đối chung Còn X1 X2 nếu độ lệchtương đối chung của X1 nhỏ hơn của X2 và ta có: XD:X X hoặc X ~ X

 Phương pháp từng bước của Benayoun

Phương pháp có hai biến dạng như sau:

- Các độ lệch tương đối của hàm mục tiêu thì được gắn với một bộ trọng sốtương ứng Trọng số này được xác định dựa trên khoảng biến động của từngmục tiêu

(1.12)(1.13)

- Miền chấp nhận được của nó có thể thay đổi qua các bước giải.

Hàm “lợi ích” và các quan hệ xác định như phương pháp tìm nghiệm có khoảngcách nhất đến nghiệm lý tưởng

Bài toán cơ bản mà phương pháp này xét

k I d

X Y

Ta viết d'  là metric đã thay đổi

Di là miền chấp nhận được Khi i = 0 thì D0  D

Thuật toán giải như sau:

Bước 1: Xây dựng bảng “thưởng phạt” xác định MI và mI (giá trị max và mincủa YI(X)) ở cột I

I j I

I I I

C

M

m M

1

2

)(





(1.21)

và giải bài toán i

Bước 4: Giả sử nghiệm của bài toán I là X(i) Đưa cho người nhận lời giải

nghiệm X(i) Người nhận lời giải phân tích kết quả và xảy ra:

1) Nếu người nhận lời giải (NNLG) chấp nhận X(i) thì thuật toán kết thúc.2) Nếu NNLG không chấp nhận X(i) và nếu chỉ số i < k-1 thì sang bước 5

3) Nếu NNLG không thoả mãn X(i) và i = k – 1 thì chọn cách giải khác.

Bước 5 : NNLG phân tích kết quả và tìm ra mục tiêu I* có thể nhượng bộ.NNLG cho một nhượng bộ I* và sang bước 6

Bước 6 : Xác nhận miền chấp nhận mới D(i+1)

| ) (

) ( )

I I

I

I I

i

Y i X Y X Y

I I i

X Y X Y

D X

Thuật toán kết thúc sau không quá k lần lặp

 Thuật toán thích nghi ổn định tối ưu hoá vectơ

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được hiểu như là bài toán tối ưu hoá vectơ:

) ( ), , (

Y

R D X

k

n





Các Y1(X) biểu hiện độ tốt xấu của X theo nghĩa nào đó

Ta xét bài toán max

Giả thiết X 0 D là vectơ tối ưu đối với người nhận lời giải Yêu cầu ngườinhận lời giải ước lượng giá trị mà mình thích nhất: Y0 , (v  1 ,k) với điều kiện:

) ( 0

Y Y

X Y Y





 ( ) } min { 0

( { 0

Người ta mở rộng bài toán trên và đưa ra một thuật toán giải nó.

Hàm lợi ích trong trường hợp này không thể hiện một cách tường minh màngười nhận lời giải ngụ ý rằng trên D có một hàm ý thích Còn quan hệ ,~ đượcrút ra thông qua việc so sánh các hàm mục tiêu

 Phương pháp so sánh, sắp xếp phương án bài toán quy hoạch đa mục tiêu

- Cơ sở của hệ thống trừu tượng như các quan hệ mờ trên các tham số

Giả sử cho hệ thống S, chúng ta cần mô tả hành vi của hệ thống đó thông quacác tham số X = {Xi} Thực tế ta không biết tất cả các tham số X X :X  {X i}I,nên chỉ mô tả gần đúng hệ S: S  U x Vi, i  I Trong đó Vi tập hợp các giá trị cóthể có của tham số Xi

Định nghĩa 1.3.1: Nếu (prijS)  (vi x vj) và (prjiS)  (vj x vi) không phải là ánh

xạ thì Xi và Xj gọi là độc lập, nếu ngược lại thì Xj phụ thuộc vào Xi hay Xi phụthuộc vào Xj ((prijS) hay (prjiS): ký hiệu i,j; j,i - thành phần chiếu)



 0 1 )

,

G



Rõ ràng G là hàm đặc trưng của quan hệ G  I x I tương ứng với hệ S

Chú ý: Theo giả thiết hiển nhiên G là phản xạ Thực tế với hệ phức tạp khó màxác định được sự phụ thuộc giữa các tham số, cũng không có khả năng để giải quyếtquan hệ giữa Xi và Xj có tồn tại hay không Do đó sẽ thích hợp hơn nếu ta địnhnghĩa:

ij

G v

Trong đó vij  L là mức độ phụ thuộc giữa Xi và Xj, còn L là vành với ánh xạ

nếu Xi phụ thuộc vào Xj

nếungược lại

Xét tập phương án X hữu hạn | X | = | I | = n (có thể là tập phương án Pareto hữuhạn) hoặc X là tập đại diện cho tập phương án của bài toán Mỗi Xi  X ứng bộ(Yi1, Yi2, … ,Yik)  RI x ……….x RI với Yi1 là giá trị hàm mục tiêu thứ 1 tại điểm

- Hai phương án tốt ngang nhau sẽ được xếp cùng một chỉ số thứ tự

- Hai phương án, phương án nào trội hơn sẽ được ghi ở chỉ số thứ tự nhỏ hơn.Các phương án này xem như các tham số cho trước và chúng có mối liên hệ vớinhau và theo quan điểm đại số nó biểu thị một hệ thống trừu tượng nào đó

Ta giả thiết rằng L(I x I) là vành tạo nên bởi mọi quan hệ mờ trong vũ trụ I x I và

Ri là quan hệ con của G mà nó có quan hệ với tham số Xi Cho d là một ước lượngkhông âm trong L(I x I)

Định nghĩa 1.3.2: Nếu d(Xi)  d(Xj) thì nói rằng Xi không trội hơn Xj (hay

Giá của nó bao gồm các chỉ số của tất cả các tham số đó ít nhiều có phụthuộc vào tham số Xi.

(

I k

k



là hàm đặc trưng của tập hợp bao gồm các chỉ số của mọi tham số ít nhiều cóphụ thuộc vào tham số Xi Trên tập này ta có thể xây dựng tập mờ Ii với hàm liênthuộc (Ji)j = G(j, i)

Bổ đề 1.3.3: nếu quan hệ G là bắc cầu và thoả mãn: G(i, j) = G(k, j) lúc đó

S(Jk) = S(Ji) Tương tự như vậy mỗi tham số Xi được thay bằng tập mờ Ti = Ii  Ji

Theo tính chất hoán vị của L thì Pi’ là quan hệ bắc cầu

Ri là quan hệ biểu thị cấu trúc của một hệ con của hệ S mà trong đó xét mức

độ quan trọng của tham số Xi

Bổ đề 1.3.6: Nếu G là quan hệ bắc cầu thì Ri = Pi

Chú ý: Khi có Xi phụ thuộc vào Xj, nghĩa là G(i, j) > 0L thì không thoả mãn

Xj phụ thuộc vào Xi nghĩa là G(i, j) = 0L Nhưng có những trường hợp xảy ra G(i, j)

> 0L và G(j, i) > 0L.

nếu i  S(Jk)nếu ngược lại

d(Ri) = d(Pi’) + d(Pi”) – d(Ei)

c) Nếu L = [0, 1] thì tự đẳng cấu, số d(A) = 

U x

Ax trong trường hợp này

có nghĩa là mật độ tổng quát của tập mờ A

1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến và một số phương pháp giải

a Phát biểu bài toán

Bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát có thể diễn tả dưới dạng:



















p j

x h

m i

x g

R x x f

j i

n

, 1 , 0 ) (

, 1 , 0 ) (

);

( min

Trong đó ít nhất một trong các hàm f(x), {gi(x)} và {hj(x)} là phi tuyến Trong một số trường hợp, các ràng buộc đẳng thức, còn bất đẳng thức ≤ có thể chuyển thành bất đẳng thức ≥ bằng cách nhân hai vế với (-1)

Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) thì ta có thể quy bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc Có những khi ta gặp bài toán dạng như sau:

M = {x  D|gi(x) ≥0; hj(x) = 0; i = 1, ,m; j = 1,…,p} (1.26)

trong đó D là tập lồi trong Rn

Nếu hàm f(x), {gi(x)} và {hj(x)} là những hàm lồi thì ta có quy hoạch lồi, là một trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch phi tuyến Nếu hàm f(x) là một dạng toàn phương, còn các ràng buộc là tuyến tính thì ta có quy hoạch toàn phương lại là một trường hợp riêng của quy hoạch lồi

Nhiều khi người ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không có ràng buộc bằng cách dùng một hàm bổ trợ Hàm bổ trợ này biểu diễn qua các hàm số của bài toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểu không điều kiện trong một miền nào đấy Người ta thay đổi dần thông số, và chính bằng cách đó làm tăng ảnh hưởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ và như vậy, người ta xây dựng được một dãy bài toán không có ràng buộc mà nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của bài toán xuất phát Để đơn giản ta nêu ra tư tưởng cơ bản một cách hình thức Xét bài toán:

(1.28)

m 1, i

0 ) ( g (1.27)

R x f(x);







x

(1.22) (1.23) (1.24)

Hàm bổ trợ điển hình không có ràng buộc có thể viết dưới dạng:

t x

1 i

)]

([)( (x))]

(,



Trong đó: t = thông số

{i(t) } các hệ số trọng

G(y) hàm đơn điệu theo y mà trong có ý nghĩa nào đó khá tối khi y =

0 Thường G(y) được chọn sao cho:

G(y) > 0 với y < 0G(y) = 0 với y ≥ 0Hoặc G(y) → +∞ khi y → + 0

Phép chọn đầu tiên thường liên quan đến các thủ tục, trong đó các ràng buộcchỉ thoả mãn đối với nghiệm tối ưu tìm được, nghĩa là tận cùng các quá trình Trongmột cách chọn khác đòi hỏi ràng buộc được hoàn thành trong tiến trình của các quátrình

Trong một số lớn trường hợp phương pháp trên diễn tả như sau:

Chọn dãy {tk} sao cho tk → ∞ khi k → ∞ Tính điểm cực tiểu xk của hàm

[x, (tk)] đối với k = 1, 2, … Trong các điều kiện tương ứng xk đó tồn tại và làđiểm tối thiểu không điều kiện của hàm [x, (tk)] Về nguyên tắc nhận được:

m j x

h

x f

j( ) 0 , 1 ,

) ( min



Đây là phương pháp biến đổi bài toán (1.29), (1.30) về bài toán không córàng buộc Dễ thấy rằng phép biến đổi đó thực hiện một cách khá đơn giản bằngcách đặt j(t) = i(hằng số) và G(y) = y trong [x, (tk)] Như vậy phương phápnhân tử Lagrange cổ điển là một thí dụ cổ điển của phương pháp hàm bổ trợ khôngràng buộc

b Một số phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến

(1.29)(1.30)

 Các phương pháp hàm phạt cải tiến

- Hàm phạt điểm ngoài

Nghiên cứu quy hoạch phi tuyến dạng tổng quát sau:

X

x

(1.31)

min ) (   x f với X = {x | g(x) = 0, h(x) ≤ 0} (1.32) Định nghĩa: Hàm f(x) gọi là hàm phạt ngoài nếu S(x) liêu tục trên Rn, S(x) = 0, x  X; S(x) > 0, x  X Xét hàm bổ trợ sau: ) ( ) ( ) , (x f x S x P     với  0 được gọi là hệ số phạt Thuật toán như sau: + Chọn dãy đơn điệu 1  2   k

+ Giải các bài toán cực tiểu hoá không điều kiện:

2 , 1 ), , (

min 

R

nhận được dãy xk  arg min ( , k)

R

 (dãy nghiệm) Trên cơ sở sơ đồ chung như thế có một số giả thiết khác nhau tuỳ theo mức đòi hỏi

Giả thuyết 1 Đưa vào ba hàm liên tục không âm v(t), p(t), (t) thoả một số

điều kiện nhất định

Xét hàm bổ trợ mới dạng:

P(x,t) = (t)f(x) + (t)S(x) Định nghĩa tập:

)}

( ) ( ) ( ) , (

| {

) (

)}

( ) , ( min ) ), ( (

| ) ( { ) (

f t p t x P R x t B

t v t x P t

t x P t x t

x

n

















Trong đó S và f là liên tục, tập nghiệm X *  ; B(0)   giới nội Sau khi thiết lập dãy tk tăng ngặt và tk  ∞ sẽ xây dựng dãy xk   (t k) mà

từ đó tách ra được tập con hội tụ

Giả thuyết 2 Tính toán theo giả thuyết 1 có đơn giản nhưng chưa đảm bảo

độ chính xác cao Ở đây tìm xk còn phải thoả:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Giả thuyết 3 Dành cho trường hợp vectơ x bao gồm nhiều thành phần, thay

bài toán xk  arg min ( , k)

R

 bởi bài toán sau:

Tìm các điểm giới hạn của nghiệm bài toán Cauchy

0

) 0 ( ), , (x t x x P

Điểm {xi}  X0 và ngoài ra:

) (

1 )

t1 2

Giải bài toán phụ cực tiểu P(x,tk) nhận được dãy:

),(minarg k

R x

Các phương pháp hàm phạt kể trên có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, nâng cao

độ chính xác của lời giải và mềm mại hơn trong việc tiết kiệm thời gian

 Nhóm phương pháp dựa trên hàm Lagrange

Các phương pháp hàm phạt tỏ ra hạn chế khi phải giải bài toán với độ chính xáccao, Nhóm phương pháp dựa trên hàm Lagrange cải biên sẽ khắc phục được nhượcđiểm này – kết quả theo hướng này là của Evtusenko Iu G và Powel, Rokofeller…Vấn đề then chốt là ở tính đệ qui nhờ các hàm Lagrange cải biên đưa bài toán quyhoạch phi tuyến (1.31), (1.32) đến việc tìm maximin và maximax cục bộ của cácđiểm yên ngựa và chuyển sang việc giải hệ thống các phương trình phi tuyến

Ta xét một cải biên đơn giản nhất của hàm Lagrange Đối với bài toán (1.31),(1.32) thiết lập hàm:

L(x,u,v) = f(x) + <u, g(x)> + <v, h(x)> (1.34)

ở đây u,v là các nhân tử Lagrange

Định lý dưới đây sẽ cho điều kiện đủ của cực trị

Định lý: Giả sử L(x*, u*, v*) là các điểm yên ngựa của L Khi đó điều kiện đủ để

x* là nghiệm quy hoạch phi tuyến (1.31), (1.32) là tại điểm (x*, y*) thực hiện điềukiện không chặt bổ sung:

W*j = j

v*

Suy ra Z*- điểm dừng của F(Z) vì:

Fz(Z*) = 0 (1.36)Tính chất này cho phép đệ quy bài toán (1.31), (1.32) để tìm điểm yên ngựa Z*

của hàm F(z) sẽ thoả (1.36) Khó khăn là hàm F có thể không lồi, không lõm, vì thế

có thể phải xét đến bài toán maximin địa phương:

),,(minmax

x w

X2: Vốn đầu tư khai thác

X3: Khả năng toàn bộ khai thác

X4: Chi phí vật liệu và chi phí khác

X5: Lương và tiền công

X6: Khối lượng khai thác thực sự

X7: Doanh thu và toàn bộ lời lãi

X8: Lợi nhuận

Ta tiến hành phân lớp, sắp xếp tầm quan trọng của các tham số trên

Trong trường hợp này I = {1, 2, …, 8}, cho L = [0, 1], giả thiết cho trước quan hệmờ:

d(R1) = 11; d(R2) = 15.2; d(R3) = 10.2; d(R4) = 13.1;

d(R5) = 10.4; d(R7) = 14.4; d(R8) = 13.8

Từ đó ta nhận được một sắp xếp:

3 5 1 4 8 7 2

X       

Trong đó: X i1,X i2,X i3,X i4,  {X i1,X i2,X i3,X i4, }

Nhận xét: Đây là phương án tổng quát hoá của tập mờ, cho phép ta sắp xếp đầy đủ

tập hợp các phương án theo hàm lợi ích Nó tạo khả năng nói lên mức độ liên hệgiữa các phương án được đặc trưng bằng số hay một cách tổng quát hơn bằng phần

tử của một vành nào đó

1.4.2 Vài bài toán thực tế dẫn đến quy hoạch phi tuyến

a Phân phối tối ưu công suất giữa các nhà máy nhiệt điện

Có N nhà máy nhiệt điên

Gọi công suất phát của chúng là Pi, i 1 ,N cho các nhu cầu phụ tải PT1, PT2, …,

PTN

Vấn đề đặt ra là cần xác định công suất phát Pi của từng nhà máy nhiệt điện sao chotổng chi phí nhiên liệu và tổn thất điện năng trong lưới là nhỏ nhất, đồng thời đápứng được nhu cầu phụ tải, đảm bảo thoả mãn các yêu cầu kỹ thuật của nguồn điện

và khả năng truyền tải của đường dây trong lưới điện

Mô hình toán học của bài toán được xây dựng như sau:

min)

, ,,()

n

i i i

P P P P C P B

với các ràng buộc:

), ,,

P i  i  i,  1 ,

N j N i P P P

C – Chi phí tổn thất một đơn vị điện năng.



P - tổng nhu cầu phụ tải

i

i P

P , - là các cận dưới và trên của Pi (do yêu cầu kỹ thuật)

Pij(P1, P2, …,PN) – công suất chuyển từ nhà máy i đến phụ tải j, được biểudiễn tuyến tính qua các Pi, i 1 ,N

ij

P là cận trên của Pij

Ta nhận thấy bài toán trên là bài toán quy hoạch toàn phương lồi ràng buộctuyến tính, với một ràng buộc phi tuyến tính bổ sung

b Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng

Hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng là một dàn lưới cácthanh sắt đan hình chữ nhật, trong đó các thanh được hàn liền với nhau, đường chu

vi của hình chữ nhật lại được hàn với các cọc sắt đóng sâu dưới đất

p – điện trở suất của đất: p = 300 m, R0 = 1

k 4 , kl : tiền công với đơn vị (đ/m)

2 Chi phí vật liệu thanh: k2n1l1, k2: giá vật liệu (đ/m)

3 Chi phí nhân công đào rãnh: k3V, trong đó k3 tiền công (đ/m3),

1

1 *

* 2

2 4 0

* 2

l n h tg ht

V    với  = 120 Ta có giá trị xấp xỉ của V = (0.4+ 0.2h)hn1l1

l k l hn h k

l n k l a

l k

5

1 4 1 3

1 1 2

1 1

4 4

) 2 0 4 0 (

l p

l n d

h

l h d

l a p

l l G

c c

c c c

c

c

1 1 1 1

lg

73 2 4

4

3 4 lg 5 0 2 lg

*

4

* 73 2

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT DỰA VÀO QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH

2.1 Giới thiệu

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toánhọc Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suyluận toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này Đối với các vấn đề phứctạp có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu thìphương pháp truyền thống, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết,chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học

Việc ứng dụng quy hoạch tuyến tính vào giải quyết các bài toán kinh tế là nhữngứng dụng quan trọng của của toán học, giúp các nhà lập kế hoạch và quản lý kinh tếmột công cụ đáng tin cậy để lập kế hoạch, phân tích và dự đoán hướng phát triểnkinh tế có mục tiêu Đặc biệt trong giai đoạn kinh tế thị trường hiện nay, sự cạnhtranh hàng hoá quyết liệt xẩy ra thường xuyên thì một phương án sản xuất cần phảiđược cân nhắc kỹ càng trước khi nó được thực thi

Trong chương này, chúng ta chủ yếu xét bài toán quy hoạch tuyến tính, trước hết

vì mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế, hơn nữa sự phụ thuộctuyến tính là sự phụ thuộc đơn giản và dễ hiểu nhất Mặt khác, thuật toán giải bàitoán quy hoạch tuyến tính là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạphơn

Lý thuyết quy hoạch tuyến tính bắt đầu phát triển từ năm 1939 khi nhà toán họcngười Nga Kantorovich đề xuất thuật toán đầu tiên để giải bài toán tối ưu tuyến tínhtrong một loạt các công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất Sau đó, năm

1942 nhà toán học người Mỹ là Dantzig đã đề xuất phương pháp đơn hình cho quyhoạch tuyến tính mà cho tới nay vẫn là phương pháp được sử dụng nhiều nhất và tỏ

ra hữu hiệu nhất

2.2 Các ràng buộc

2.2.1 Tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính

Hệ ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính có thể viết thành một hệ bấtphương trình tuyến tính Tập hợp các phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính

là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính đó Ta biết rằng nếu tập hợpnghiệm của hệ bất phương trình là không rỗng và giới nội thì nó là một đa diện lồi.Phần này giới thiệu cấu trúc của tập hợp nghiệm trong trường hợp không có giảthiết giới nội

Định lý 2.2.1 Tập hợp K = {x  Rn : Ax ≥ 0} là một nón lồi đa diện

Chứng minh

1) K là nón: xK  Ax00 AxAx0 xK K là nón

2) K là nón lồi: x,yK,    [ 0 , 1 ] :

K K y x

Ay Ax

y x

A(   ( 1   ) )    ( 1   )  0    ( 1   )   lồi

3) K là nón lồi đa diện: Xét hình hộp Q = {x  Rn: -1  xj  1, j = 1 ,n}.Gọi S = K  Q  S được xác định bởi một số hữu hạn các bất phương trìnhtuyến tính và giới nội nên S là một đa diện lồi Giải sử x1 ,x2 , x k

là các điểm cực

biên của S Xét nón lồi đa diện K’ = cone{x1, x2, …., xk} = {x  Rn: x = 



k i

1,

),1(0



i k



i

(i = 1 ,k )  x  K’  K  K’  K = K’  K là nónlồi đa diện

Ký hiệu D = {x  Rn : Ax ≥ b} D là tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính,

ta thừa nhận định lý sau đây

Định lý 2.2.2 Giả sử D  thì:

1) D có điểm cực biên  Rank A = n

2) Nếu Rank A = n thì D = M + K, trong đó M là đa diện lồi sinh bởi các điểmcực biên của D còn K là nón lồi đa diện K = {x  Rn: Ax ≥0}

K là nón các hướng vô hạn của D.

Ta thấy có sự tương tự giữa cấu trúc của tập nghiệm của hệ phương trìnhtuyến tính Ax = b và tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính Ax ≥ b.Nếu S là tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất S = {x 

Rn: Ax = b} thì S biểu diễn dưới dạng S = x0 + L trong đó x0 là nghiệm riêng của hệ,còn L là nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng L = {x  Rn : Ax = 0}

Hệ quả 2.2.1 Nếu Rank A = n thì x  D đều viết được dưới dạng

j j m



 trong đó x i(i 1 ,m)

 là các điểm cực biên của D; i  0,

),1(

,

1

1

k j

 là các hướng vô hạn của D, j  0

2.2.2 Vấn đề phương án cực biên và cơ sở xuất phát giai đoạn I

Cần phải tìm một phương án cực biên x và cơ sở J của nó để khởi đầu thuậttoán đơn hình

Ta có thể giả thiết b ≥ 0 mà không làm giảm tính tổng quát (bởi lẽ ta có thểnhân rằng buộc mà vế phải là bi < 0 với -1)

Khi đó ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính phụ:

0 )

(

min

'

W x

b W Ax P