Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ

giá trị bằng nhau, ta có thể sử d ng nhân liên hợp giữa hai đ i l ợng này.. Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và ng ời sử dụng liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một

TÀI LI U ÔN THI TRUNG H C PH THÔNG QU C GIA -*** -

CH Đ 1: 4 K NĂNG C B N C N BI T

TRONG QUÁ TRÌNH GI I TOÁN B NG MÁY TÍNH CASIO

I K năng 1: K năng nâng lũy th a:

Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán

mà trong quá trình giải toán, ta vẫn th ờng gọi với những tên quen thuộc nh bình ph ơng hai vế , lập ph ơng hai vế Học sinh cần nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa nh sau:

Chú ý: Ph ng pháp này r t có ích cho các bài toán v ch đ

t ng giao đ th hàm s b c 3

IV K năng : K năng tìm max/min c a phân s

H ớng đi : Tìm max/min b ng TABLE

Ví dụ ta muốn tìm max/min của 1

x 2 2  : Với chức năng TABLE của máy

tính Casio ta đ ợc:

thức a A  luôn đúng 0

Do đó nếu sau khi liên hợp:

 Xuất hiện  A  , ta tìm minA

 Xuất hiện  A , ta tìm max A

H ớng đi : S d ng đánh giá ớc l ng:

 ớc l ợng theo số c c  

b,c 0b

  trong TABLE với điều kiện có đ ợc

để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này d ơng hay âm

Th ờng học sinh hay nản nhất ở b ớc quyết định có ẩn ph hóa

đ ợc hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức l c loài về đ ợc ẩn

Đặt ẩn phụ trở lên Mục đích để nhóm nhân tử hoặc sử dụng hàm đặc tr ng Bản chất của hàm đặc tr ng cũng chính là phép đặt ẩn

phụ, do đó nếu ta t duy li u có hàm đặc tr ng đ c hay không, ta nên chuyển t duy thành có th d n v hai ẩn ph đ ợc hay không?

x 1 x 1  1 2x 3x 23x 11  2 x 2 x  1Tuy nhiên nh tôi đã nói ở trên, khó khăn nhất luôn là xử lý nhóm biểu thức còn lại, và theo kinh nghiệm của tôi, đó là sử dụng ph ơng pháp hệ số bất định và đồng nhất hệ số 2x33x223x 11

Vậy ta viết lại thành    2   3  2 

T duy t o h ng đẳng th c:

Đây là một phép biến đổi tay táo bạo nh ng lại giúp ích rất nhiều

 Nếu xuất hiện ab  Tạo ra  2

2x 3 2 x 1 1  

3x 2 2x 1x

Giả sử ph ơng trình f x  có nghiệm x 30  và trong ph ơng trình

có chứa căn thức x 6 , khi đó với x 3  x 6  3

Vậy nếu sử dụng liên hợp: x 6 3 x 6 9 x 3

    khi đó

sẽ xuất hiện nhân tử x 3 và có thể rút ra làm nhân tử chung 

Tuy nhiên, vì x 3 nên ta cũng có thể đánh giá x 6 3 x  

Vậy nếu sử dụng liên hợp: x2 x 6 x 3 x 2 

giá trị bằng nhau, ta có thể sử d ng nhân liên hợp giữa hai đ i l ợng này

Ph ng pháp nhân liên h p truy ng c d u c p đ 1:

 Nếu trong ph ơng trình hay bất ph ơng trình có chứa   ađồng thời có đánh giá a b thì sử dụng liên hợp:

Ph ng pháp nhân liên h p truy ng c d u c p đ 2: Giả sử bài

toán chứa  x 3 và ph ơng trình có nghiệm x 1 Khi đó ta đánh giá nh sau

Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và ng ời sử dụng liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết phối hợp giữa các điều kiện bài toán đ a ra ban đầu để từ đó quyết định đâu là liên hợp cần tìm

nghiệm trong khoảng này

Vì vậy ta sẽ sử dụng SOLVE với giá

trị khởi đầu x 3.2 3; 3.5 để tìm

ra nghiệm này

B ớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ

ph ơng trình

x     x x 5 x 4 x 2 0 

B ớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với

giá trị x 3.3 , ta thu đ ợc nghiệm:

Liên h p ng c: Xét biểu thức liên hợp:

Liên h p c b n Liên h p ng c

u đi m Có lợi thế khi gặp bài toán

từ căn thức trở lên Lợi thế khi gặp bài toán bất ph ơng trình

B ớc 1: Bấm ph ơng trình trên máy

tính Casio và sử dụng SHIFT CALC

Phân bi t nghi m đ n và b i qua d/dx:

 x a là nghiệm bội của f x  nếu 0 d    

trục hoành tại điểm duy nhất x 1

Nh vậy x 1 là nghiệm bội kép

Phân bi t nghi m đ n và nghi m

b i kép thông qua TABLE

 Hàm số đổi dấu khi đi qua

trục hoành là nghiệm đơn

 Hàm số không đổi dấu khi đi

qua trục hoành là nghiệm

kép

Phân bi t các lo i nghi m b ng s k t h pSOLVE, d/dx và TABLE:

Đơn Là nghiệm đơn f x  Không là nghiệm 0 f ' x  0Kép Nghiệm képf x  Không là nghiệm kép 0 f " x  0Bội 3 Là nghiệm đơn f x  Là nghiệm kép 0 f ' x  0Bội 4 Là nghiệm kép f x  Là nghiệm kép 0 f " x  0

Chú ý: Các bài toán nghi m b i ph n lớn là nghi m kép

Gi i bài toán nghi m b i h u t nh th nào?

Cách 1: Nhân liên h p:

Tổng quát: Nếu x x là nghiệm bội kép hữu tỷ và ph ơng trình có 0chứa căn thức nA , khi đó ta đặt ax b nA

Ta tìm các hệ số a,b bằng cách giải hệ sau

   là để tính đạo hàm cấp

 Nếu có nghiệm bội kép, ta có thể rút từng nghiệm kép ra lần

l ợt bằng nhân liên hợp Liên hợp lần liên tiếp hoặc ta làm giống nh nghiệm bội Đặt ax2bx c nA

2 2

 AM – GM cho số abc a3 b3 c3

3

 a, b,c 0 Do đó sử dụng với những biểu thức chứa căn bậc và lựa chọn đại

l ợng a,b,c không âm có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy

không có nghiệm bởi tất cả các giá

trị đều mang dấu d ơng Tuy

nhiên, điều này có thể đ ợc lý giải

nh sau

 Với lựa chọn Start = 0.5, End

= 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ

chỉ hiển thị đ ợc các giá trị

hoành độ hữu tỷ, còn các giá

trị hoành độ vô tỷ không

hiển thị đ ợc

 Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn

vào TABLE ta phải thấy hàm

số có sự đổi dấu từ âm sang

d ơng nh ng điều này

không hề xuất hiện bởi

nghiệm kép vô tỷ này sẽ

khiến hàm số không thể đổi

dấu khi đi qua trục hoành

Nh vậy đây là dấu hiệu của

Nghi m kép vô t , tuy nhiên, điều

đó sẽ chỉ đ ợc khẳng định hoàn

toàn nếu ta tìm đ ợc nghiệm của

ph ơng trình, mà điều này không

quá khó khăn, ta có thể quay trở lại

Mode 1 và dùng SOLVE

B ớc 3: Quay trở lại Mode 1 và sử

dụng SOLVE, ta tìm đ ợc:

x 2.618033812

Gi i bài toán nghi m b i h u vô t nh th nào?

B ớc 4: Thay vào căn thức ta đ ợc:

T duy gi i toán b ng ẩn ph không hoàn toàn:

Đây là một dạng ph ơng pháp giải quyết các ph ơng trình có dạng A B C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của ph ơng trình Các b ơc làm nh sau

 Tính  và tìm  sao cho   f là số hữu tỷ và   0

 Khi tìm    chúng ta sử dụng TABLE với Start = f  9; End = Step = tìm giá trị   thỏa mãn điều kiện trên 0

 END = 9

 STEP = 1

Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X)

nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X

là giá trị khác 0

Dựa vào bảng giá trị TABLE nh

trên, ta nhận thấy với X = 1 thì:

Khi đó, bằng công thức nghiệm của ph ơng trình bậc , ta thu đ ợc

hai nghiệm sau :

T duy gi i toán b ng ph ng pháp đánh giá :

Áp d ng:

2 2

Tr ờng h p 1: x 3  (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Thay vào ph ơng trình ta thấy đây là một nghiệm thỏa mãn

Tr ờng h p 2: 2x218 x 1  16 4x Bình ph ơng hai vế ta

đ ợc: 2x2 3x 1 4  x 1 4 x   4  x2 3x 4 2x23x 1

2 2

2x x 3 2x 7x 21 0

16 x 3x 4 2x 3x 1

2x 3x 1 02x 3x 1 0

     Thử lại ta thấy các nghiệm này không thỏa mãn

ph ơng trình ban đầu

3 K năng : Đánh giá không âm:

Đánh giá không âm là tạo một l ợng vừa đủ không âm, phần còn lại đánh giá theo chiều d ơng, thông th ờng đại l ợng không âm có thể hiểu là một hằng đẳng thức hoặc sử dụng kết hợp điều kiện:

Vì ta bi t ch c ch n d ng r i nên mới ch ng minh đó…

Với x < bất ph ơng trình luôn đúng

Nh ng đôi khi s d ng k thu t Parabol nh , ta có th t o đ c

nh ng b t ngờ thú v h n, mời b n đ c xem bài ví d ti p theo:

H ớng đi Sử dụng AM – GM để đánh giá vô nghiệm

 Ta chứng minh Vế phải < A, khi đó Vế trái < A và chuyển thành bất ph ơng trình Vế trái – A < và chứng tỏ bất

ph ơng trình này vô nghiệm

 Thông th ờng để bất ph ơng trình này có thể vô nghiệm, ta

cần biến đổi Vế phải < A sao cho b c c a bi u th c A ph i

nh h n hoặc b ng b c c a V trái N u b c b ng nhau thì

CH Đ : NH NG QUY T C KHAI THÁC ĐI U KI N

Có rất nhiều các ph ơng pháp dùng để khai thác điều kiện từ một

ph ơng trình t ởng chừng nh không thể có điều kiện gì

Ví d 24: Khai thác điều kiện từ: x2   x 1 x2 1 x2 4

Vậy làm thế nào để hóa giải đ ợc bất ph ơng trình trên?

Chú ý rằng bất ph ơng trình x3x2   có nghiệm lẻ nh sau x 5 0

x 2.34025083

Do đó chúng ta có thể khẳng định chắc chắn tại đây ta sẽ có x 2 Vậy làm sao để chỉ ra đ ợc x 2 ?

Ta sử dụng xét f X X3X2  Bấm CALC ta đ ợc kết quả là 2 X

Nh vậy ph ơng trình 3 2

x x    có thể ra đ ợc nghiệm là 2 x 2 0Thật vậy, ta có: x3x2  x 2 x3x2    x 5 0

CH Đ : B Đ C A HÀM S LOGARIT TRONG CH NG

MINH VÔ NGHI M

B đ : Chứng minh rằng với mọi x 1 thì lnx x 1 

TQ: log x x 1, x 1,a ea      Dành cho bạn đọc tự chứng minh

B đ th hai: ex    x 1, x 0 Dành cho bạn đọc tự chứng minh

Bài 6: Giải bất ph ơng trình: x 3 5 x x28x18

Đặt t x  3  0; 2  , ta biến đổi bất ph ơng trình trở thành

Bài 14: Giải ph ơng trình: x x3  3x x2     3 x 3 x 0