Trong bài báo này, phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được phát triển nhằm phân tích ứng xử tĩnh và dao động tự nhiên của tấm composite laminate dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực tác động di chuyển trên kết cấu tấm. Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật vectơ tải trọng so với mô hình tấm truyền thống. Các phương trình chuyển động cũng như các ma trận của phần tử tấm được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi. Các kết quả số trong phân tích tấm composite laminate cho thấy phương pháp MEM đạt độ tin cậy cao so với các kết quả khác đã được công bố trước đây.
Trang 1PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE LAMINATE SỬ
DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG STATIC AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE PLATES
USING MOVING ELEMENT METHOD
Lương Văn Hải, Phạm Hùng
TÓM TẮT
Trong bài báo này, phương pháp phần tử chuyển động MEM
(Moving Element Method) được phát triển nhằm phân tích ứng
xử tĩnh và dao động tự nhiên của tấm composite laminate dựa
trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Tấm sẽ được chia nhỏ
thành những “phần tử chuyển động” Những phần tử này không
phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động
giả tưởng cùng với lực tác động di chuyển trên kết cấu tấm Do
đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật vectơ tải trọng
so với mô hình tấm truyền thống Các phương trình chuyển
động cũng như các ma trận của phần tử tấm được xây dựng trên
một hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi Các kết
quả số trong phân tích tấm composite laminate cho thấy phương
pháp MEM đạt độ tin cậy cao so với các kết quả khác đã được
công bố trước đây
Từ khóa: Phương pháp phần tử chuyển động, tấm composite
laminate, phân tích tĩnh, dao động tự do
ABSTRACT
This paper develops a recently new method, namely moving
element method (MEM), for predicting the static and free
vibration response of laminated composite plates based on the
first shear deformation theory In this method, the plate is
discretized into a number of elements called “the moving
elements” These moving elements are not physical elements
fixed to the plate, but are conceptual elements that “flow” with
the moving load through the plate Thus, the proposed method
eleminates the need of keeping track the location of moving
load relative to the element mesh The governing equations of
motion as well as structural matrices of moving element are
formulated in a relative coordinate system travelling at a
constant speed Numerical results for analysis of laminated
composite plates show that the MEM performs quite well
compared to several other published results in the literature
Keywords: Moving element method, composite laminate plate,
static analysis, free vibration
PGS TS Lương Văn Hải
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học
Quốc Gia TP.HCM
Email: lvhai@hcmut.edu.vn
Điện thoại: 0944 282 090
KS Phạm Hùng
Học viên Cao học, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Quốc Gia TP.HCM
1 Giới thiệu
Kể từ khi ngành khoa học về vật liệu composite ra đời, đã
có rất nhiều nghiên cứu được thực hiện để ứng dụng loại vật
liệu này trong xây dựng dựa trên mô hình phần tử dầm, tấm hay
vỏ Đặc biệt là những nghiên cứu về ứng xử của tấm composite
laminate dưới tác động của các loại tải trọng trên các loại nền thường được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng dân dụng
và cầu đường như: tính toán kết cấu móng, dầm, sàn của các tòa nhà; thiết kế, tính toán kết cấu áo đường giao thông hay sân bay,
Trên thế giới có rất nhiều nghiên cứu về phân tích ứng xử của kết cấu tấm composite laminate trong những thập kỷ gần đây Vào năm 1963, Thompson [1] đã nghiên cứu ứng xử của kết cấu đường chịu tải trọng di chuyển bằng cách giả định đường là tấm mỏng dài vô hạn tựa trên nền đàn hồi (resting elastic foundation) Kim và Roesset (1998) [2] đã nghiên cứu tấm vô hạn tựa trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng di chuyển sử dụng phép biến đổi Fourier Wu và cộng sự (1987) [3] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng
xử của tấm phẳng chịu tải trọng di chuyển Pan và Atluri (1995) [4] đã phân tích ứng xử của đường băng có kích thước hữu hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp FEM/BEM kết hợp Musharraf Zaman và cộng sự (1991) [5] đã
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bốn nút để phân tích ứng
xử động của tấm dày trên nền đàn nhớt (viscoelastic foundation) chịu tải trọng di chuyển Như vậy, phương pháp phần tử hữu hạn FEM truyền thống đã được sử dụng phổ biến để giải quyết nhiều bài toán phức tạp Trong phương pháp này, tất cả các ma trận kết cấu sẽ được thực hiện trên một hệ trục tọa độ cố định Khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì vectơ tải trọng phải được cập nhật sau mỗi bước thời gian Do
đó, đối với những phần tử có chiều dài khác nhau thì việc tính toán lập trình sẽ khó khăn và mất thời gian Đồng thời, tải trọng
có thể tiến tới biên và vượt ra khỏi biên nên cần phải thiết lập điều kiện biên cập nhập Tất cả các nhược điểm trên được minh họa ở Hình 1
Để giải quyết những khó khăn của các phương pháp truyền thống gặp phải, việc phân tích ứng xử của tấm composite laminate dựa trên phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) đang là hướng nghiên cứu mới được quan tâm (thể hiện trên Hình 2) Người đi tiên phong của phương pháp này là Koh (2003) [6] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Vào năm 2006, Koh và cộng sự [7] đã phát triển phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di động Chen và Huang (2000) [8] đã xét một tải không đổi di chuyển với vận tốc không đổi dọc theo một dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt Các ma trận độ cứng động lực cho các dầm bán vô hạn thu được trong lúc số bước sóng phức tạp
và các hình dạng chuyển vị phức tạp Ngoài ra, Ang và cộng sự (2013) [9] đã phân tích động lực học của hệ thống tàu cao tốc trên nền đàn nhớt hai thông số Nghiên cứu này sử dụng phương pháp phần tử chuyển động trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Năm 2009, Xu và cộng sự [10] sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác
Trang 2Hình 1 Mô hình phương pháp FEM
Hình 2 Mô hình phương pháp MEM
Trong bài báo này, phương pháp MEM được sử dụng để
phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm composite laminate
tựa trên nền đàn hồi chịu các loại tải trọng Các phương trình
chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu cũng được thiết lập
trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc của lực
Mô hình tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền
được khảo sát để xét ảnh hưởng của nền Đồng thời, các thông
số như tỉ số module đàn hồi, tỉ số cạnh/bề dày và các dạng dao
động ảnh hưởng đến tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm
cũng được phân tích Các kết quả thu được sẽ là tài liệu hữu ích
cho việc nghiên cứu và thiết kế các kết cấu tấm composite
laminate trong thực tiễn
2 Cơ sở lý thuyết
Xét tấm composite laminate chịu biến dạng uốn bởi các lực
vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn
sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình
2
R
Ω ⊂ và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Theo lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Reddy, 1997 [11]), trường
chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm được biểu diễn thông
qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên mặt trung hòa
như sau:
( , ) , ,
2 2
h h
u x y z u x y z x y
v x y z v x y z x y
w x y z w x y
β
β ∈ Ω ∈ −
=
trong đó u , v , w là các thành phần chuyển vị theo phương x, y,
z; β βx, y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung
hòa quanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với quy
ước chiều dương cho ở Hình 3, Ω là mặt trung hòa của tấm và
h là bề dày của tấm
Hình 3 Quy ước chiều dương của chuyển vị u , v , w và 2
chuyển vị xoay ,β βx y của tấm composite laminate
Phần tử tứ giác 9 nút ( )Q9 được sử dụng trong nghiên cứu
này Tất cả các phần tử đều được gắn vào hệ trục cố định ( )x y,
và được đánh số từ 1-9 như được thể hiện trên Hình 4
Hình 4 Phần tử Q9 trong tọa độ vuông góc (tổng thể) Tất cả các phần tử Q9 trong tọa độ thông thường được quy
về hệ tọa độ tự nhiên ( ξ η, ) như Hình 5
Hình 5 Phần tử Q9 trong tọa độ tự nhiên Các hàm dạng của phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên được cho bởi (Ghafoori, 2010 [12]):
9
1
1 1 2
N
ξ η
= − −
(2)
Bằng cách sử dụng các hàm dạng, vectơ chuyển vị tại một điểm bất kì T
u v w β β
u sẽ được nội suy từ hàm dạng và chuyển vị của các nút
trong đó N là ma trận các hàm dạng chuyển vị và được xác định bởi:
=
và d là vectơ chuyển vị nút:
Trang 3[u01 v01 w01 βx1 βy1 u09 v09 w09 βx9 βy9]T
=
Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng màng, uốn và biến
dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công
thức sau:
0 , y y, y
0 , y 0 , x x, y y,
u
,
,
xz
s
w
w
β γ
+
+
Trong lý thuyết tấm trực hướng, ứng suất tại lớp thứ k được
đưa ra từ định luật Hook:
21 22 26
61 62 66
55 54
45 44
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
=
(6)
trong đó các hằng số vật liệu được tính như sau:
12 21 12 21 12 21
66 12 55 13 44 23 16 26 45
(7)
Quan hệ ứng suất biến dạng của tấm tại lớp thứ k (lớp bất
kỳ so với mặt phẳng tham chiếu) có dạng:
21 22 26
61 62 66
55 54
45 44
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
=
(8)
trong đó Qij là hằng số vật liệu biến đổi của lớp thứ k (Reddy,
1997 [11])
Phương trình dạng yếu Galerkin cho phân tích ứng xử động
lực học của tấm composite laminate trên nền đàn nhớt có dạng:
u q
(9)
trong đó εp = [ εm κ ]; q = [ 0 0 q x y ( , ) 0 0 ]T, với
( , )
gồm khối lượng riêng ρ và bề dày h của tấm
h iag
ρ
=
và D, Ds là ma trận hằng số vật liệu được cho bởi:
2
/ 2
5
6
h
mb b
Q dz i j
−
trong đó:
1
1
1
1
1
1
2 1
3
k
k
k
k
k
k
z
z
z
+
+
+
+
+
+
D
D
D
(12)
Chuyển vị đứng w được nội suy từ chuyển vị nút phần tử:
w
trong đó Nw là ma trận chứa các hàm dạng
[0 0 1 0 0 0 0 9 0 0]
Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không
đổi V Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, một hệ tọa độ
( )r s, gắn liền với tải trọng di động được thiết lập Mối quan hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau:
r = − x Vt (15)
trong đó ( )x y, lần lượt là hệ tọa độ cố định; ( )r s, lần lượt là
hệ tọa độ chuyển động; V và t lần lượt là vận tốc và thời gian
di chuyển của tải
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa
độ chuyển động được biểu diễn như sau:
( )x t, ( )r t, ( )r t,
V
2
2
u
( ), ( ), ( ),
w x t w r t w r t
2
2
trong đó
T
T
Tại thời điểm t , miền bài toán trong hệ tọa độ cố định là
′
Ω = + × Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển động ( )r s, thì miền này là Ω =[0 a] [× 0 b], trong đó ,
a b là kích thước tấm, và dΩ =dr×ds Sau khi biến đổi hệ trục tọa độ, phương trình (11) được viết lại:
,
2 1
2
T
d
N mN
(21)
Từ phương trình (23), các ma trận khối lượng, ma trận cản,
ma trận độ cứng của phần tử tấm và vectơ tải trọng lần lượt được cho bởi:
Trang 4Ω
=∫ Ω
,
= −∫ Ω +∫ Ω
2
(24)
T d
Ω
Ω
∫
trong đó ( ),rlà đạo hàm bậc nhất theo r và ( ),rr là đạo hàm
bậc hai theo r
Sau khi tổng hợp các ma trận kết cấu và vectơ tải trọng cho
toàn bộ tấm, phương trình động lực học của hệ trên có dạng:
trong đó M , C và K lần lượt là các ma trận khối lượng, cản
và độ cứng tổng thể của hệ và P là vectơ tải trọng tổng thể của
hệ
Phương trình phân tích tĩnh của tấm composite laminate cho
bởi:
=
trong đó vectơ tải trọng được xác định :
T
d
Ω
Tấm dao động với tần số ϖ thì phương trình cân bằng trở
thành
0 ω
Giải hai phương trình (29) và (31) ta thu được bài toán tĩnh
và dao động tự do của hệ
3 Các ví dụ số
Để chứng minh sự tin cậy của phương pháp được đề xuất,
các ví dụ số về phân tích tĩnh và dao động tự do sẽ lần lượt
được thực hiện thông qua việc so sánh với các phương pháp
khác sử dụng các phần tử như CS-DSG3 (phương pháp phần tử
tam giác hữu hạn trơn), FEM-9 (FEM sử dụng phần tử tứ giác 9
nút) và các kết quả khác đã được công bố trước đây
3.1 Phân tích tĩnh
Trong phân tích này, mô hình tấm vuông composite
laminate tựa và không tựa trên nền đàn hồi với điều kiện biên là
tựa đơn 4 cạnh (S-S-S-S) và ngàm 4 cạnh (C-C-C-C) được khảo
sát
3.1.1 Tấm vuông chịu tải hình sin và phân bố đều
Kết cấu tấm vuông với biên tựa có các kích thước như sau: cạnh
a và bề dày h Vật liệu cấu tạo tấm là M1 thể hiện ở Bảng 1
Tấm chịu tác dụng của tải hình sin (SSL) và tải phân bố đều
(UDL) với q0=1N/m tại giữa tấm Có 2 loại tấm được khảo sát
là tấm 3 lớp (00/900/00), 4 lớp (00/900/900/00) Kết cấu tấm sẽ
được chia thành phần tử có kích thước NxN với N=16
Tải phân bố hình sin (SSL) Tải phân bố đều (UDL)
Hình 6 Mô hình tấm tựa đơn 4 cạnh
Bảng 1 Thông số vật liệu tấm Module Loại vật liệu
M1 M2 M3
E11 (GPa) 25.0 40.0 20.0
E22 (GPa) 1.0 1.0 1.0
G12 (GPa) 0.5 0.6 0.6
G13 (GPa) 0.5 0.6 0.6
G23 (GPa) 0.2 0.5 0.5
12 23 13
ν =ν =ν 0.25 0.25 0.25 Bảng 2 thể hiện kết quả chuyển vị tại tâm tấm thu được bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM9, được so sánh với kết quả của phương pháp CS-DSG3 và các kết quả đã được công bố trong các bài báo Hình 7 và Hình 8 cho thấy kết quả của phương pháp MEM là gần như trùng khớp với kết quả của Reddy (1997) [11] Chứng tỏ phương pháp phần tử chuyển động MEM là đáng tin cậy Ngoài ra, việc sử dụng phần tử tứ giác 9 nút giúp cho phân tích đạt độ chính xác rất cao
Bảng 2 Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm
( )
2
100 /
Góc
Kết quả thực
FEM-T3
FEM-Q4 Tải hình sin (SSL)
00/900/00
00/900/900/00
Tải phân bố (UDL)
00/900/00
00/900/900/00
Hình 7 So sánh độ võng không thứ nguyên *
w giữa các phương pháp (tải phân bố hình sin SSL)
Trang 5Hình 8 So sánh độ võng không thứ nguyên *
w giữa các phương pháp (tải phân bố đều UDL)
3.1.2 Tấm vuông chịu tải tập trung
Kết cấu tấm vuông với biên ngàm có các kích thước như
sau: cạnh a=20m và bề dày h=0.5m Vật liệu cấu tạo tấm là
M3 thể hiện ở Bảng 1, khối lượng riêng tấm ρ=2550kg/m3
Tấm chịu tác dụng của tải tập trung P=1000N tại giữa tấm
Có 3 loại tấm được khảo sát là tấm 3 lớp (00/900/00), 4 lớp
(00/900/900/00) và 5 lớp (00/900/00/900/00) Kết cấu tấm sẽ được
chia thành các phần tử có kích thước N×Nvới
8,10,12,14,16, 20
Hình 9 thể hiện sự hội tụ của chuyển vị tại điểm đặt lực với các
lưới chia phần tử của kết cấu tấm Có thể nhận thấy rằng khi
lưới càng được chia mịn thì các các phương pháp khác nhau cho
nghiệm chuyển vị càng gần nhau và nghiệm dần tiến tới hội tụ
Cũng từ kết quả này cho thấy nghiệm của MEM và FEM-9 là
hoàn toàn giống nhau vì cùng sử dụng phần tử tứ giác 9 nút
Đồng thời từ Hình 9 ta thấy rằng sự hội tụ của phương pháp
MEM nhanh hơn phương pháp CS-DSG3 vì MEM sử dụng
phần tử có số nút lớn hơn
Hình 9 Chuyển vị của tấm 5 lớp theo các mức lưới phần tử
Ngoài ra, dựa vào kết quả chuyển vị của từng dạng tấm
trong Hình 10 cho thấy: tấm có cùng bề dày h và cấu tạo bởi
cùng loại vật liệu nhưng tấm có nhiều lớp hơn thì độ võng cũng
như chuyển vị ở tâm tấm cũng nhỏ hơn Nguyên nhân là khi các
lớp tấm có các hướng sợi khác nhau được ghép đan xen với
nhau thì sự liên kết các phần tử giữa các lớp tấm càng trở nên
chặt chẽ hơn và khăng khít hơn, tạo nên một kết cấu tổng thể
vững chắc và khó bị phá vỡ hơn
Hình 10 Chuyển vị của 3 loại tấm với mức lưới phần tử 20x20
3.1.3 Tấm vuông chịu tải tập trung trên nền đàn hồi
Trong bài toán này, thông số tấm vẫn được sử dụng tương tự
Ví dụ 3.1.2 và có thêm hệ số nền đàn hồi 7 3
10 N/m
f
Hình 11 thể hiện chuyển vị của tấm tại điểm đặt lực Tương
tự như kết quả đạt được từ Ví dụ 3.1.2, khi tấm đặt trên nền đàn hồi thì phương pháp MEM trùng khớp với các phương pháp FEM-9 vì đều cùng sử dụng phần tử tứ giác 9 nút
Hình 12 thể hiện sự so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực giữa tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi Ta thấy rằng chuyển vị tấm trên nền đàn hồi nhỏ hơn tấm không
trên nền đàn hồi 4.39 lần, chuyển vị giảm từ -3.29x10-5
m xuống còn -0.75x10-5m Khảo sát trên cho thấy được ảnh hưởng quan trọng của hệ nền đối với ứng xử của tấm khi chịu tải trọng bên ngoài tác dụng Kết quả này có thể áp dụng trong thực tế thiết
kế và thi công: muốn giảm ứng xử của tấm thì ta cần phải gia cố nền với độ cứng thích hợp
Hình 11 Chuyển vị tấm tại điểm đặt lực
Hình 12 So sánh giữa chuyển vị tại điểm đặt lực của tấm trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi
3.2 Phân tích dao động tự do
Trong mục này, việc khảo sát tính chính xác và sự hữu dụng của phương pháp MEM trong việc phân tích tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm được thực hiện Hai điều kiện biên được
áp dụng cho tấm là bốn biên tựa đơn (S-S-S-S) và bốn biên ngàm (C-C-C-C) Tấm được chia với nhiều hệ lưới khác nhau Kết quả của phương pháp MEM sẽ được so sánh với phương
Trang 6pháp khác sử dụng các phần tử như FEM-9 và kết quả được
công bố trong bài báo của tác giả Reddy (1997) [11] và phương
pháp p-Ritz [13] Đồng thời việc phân tích ảnh hưởng của tỉ số
module E 1 /E 2 , tỉ số chiều dài/bề dày của tấm đến tần số dao
động tự nhiên của tấm cũng được thực hiện
3.2.1 Sự ảnh hưởng của tỉ số module E 1 /E 2 đến tần số
dao động tự nhiên
Tấm composite laminate 4 lớp (00/900/900/00) tựa đơn bốn
cạnh (SS-SS-SS-SS) được khảo sát Thông số của tấm
/ 5
a h= , vật liệu cấu tạo tấm là M2 thể hiện ở Bảng 1 Tỉ số
module E 1 /E 2 thay đổi từ 10, 20 đến 40 Kết cấu tấm sẽ được
chia thành các phần tử có kích thước N×Nvới
7, 9,11,13,15
N= để khảo sát trong bài toán
Bảng 3 thể hiện kết quả tần số dao động thứ nhất giữa các
phương pháp Phương pháp MEM cho lời giải hoàn toàn giống
với FEM-9 và lời giải chính xác của Reddy (1997) [11] Điều
này chứng tỏ rằng phương pháp MEM tỏ ra hiệu quả trong việc
phân tích tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm
Bảng 3 Bảng so sánh tần số dao động không thứ nguyên
( )
2
ω = ω ρ giữa các phương pháp
Phương pháp Chia lưới E 1 /E 2
10 20 40 MEM9 7x7 8.2990 9.5679 10.8546
9x9 8.2985 9.5674 10.8542 11x11 8.2983 9.5672 10.8541 13x13 8.2982 9.5672 10.8540 15x15 8.2982 9.5671 10.8540 FEM9 15x15 8.2982 9.5671 10.8540
ES-DSG3 8.3295 9.5849 10.8465
MISQ20 8.3094 9.5698 10.8471
MLSDQ 8.2924 9.5613 10.8490
RBF 8.3101 9.5801 10.8640
Giải tích
(Reddy) 8.2982 9.5671 10.8540
Hình 13 Sự ảnh hưởng tỉ số E 1 /E 2 trong phương pháp MEM so
với kết quả giải tích của Reddy
Đồng thời từ Hình 13 cho thấy nếu tỉ số E 1 /E 2càng lớn thì
sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên càng chính xác và khi
lưới được chia càng mịn thì phương pháp MEM càng cho lời
giải tiến đến gần lời giải chính xác đưa ra trong bài báo của
Reddy (1997) [11] Vì lưới càng mịn thì các phần tử sẽ được
chia nhỏ hơn và khả năng liên kết các phần tử cũng trở nên chặt chẽ hơn giúp cho mô hình càng gần với kết cấu ở ngoài thực tế
3.2.2 Sự ảnh hưởng của tỉ số cạnh và bề dày tấm đến tần
số dao động tự nhiên
Trong bài toán này, thông số tương tự như Ví dụ 3.2.1 với tỉ
số module E 1 /E 2=40 Tiến hành khảo sát tần số dao động tự
nhiên của tấm theo sự thay đổi tỉ số cạnh và bề dày tấm a/h
(thay đổi từ 5, 10, 20, 25, 50, 100) với mức lưới phần tử khảo sát là 15x15 Bảng 4 và Hình 14 thể hiện tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với tỉ số cạnh và bề dày tấm là a/h
khác nhau Kết quả thu được cho thấy rằng kết quả sử dụng phương pháp MEM rất gần với kết quả của p-Ritz với sai số rất nhỏ 0.03% thể hiện qua Hình 15
Bảng 4 Tấm composite laminate (00/900/900/00): tần số dao động không thứ nguyên * ( 2 )
2
Phương pháp
a/h
5 10 20 25 50 100 MEM9 10.85 15.14 17.66 18.07 18.68 18.84 ES-DSG3 10.85 15.14 17.65 18.06 18.66 18.82 MISQ20 10.85 15.17 17.72 18.14 18.75 18.92 HSDT 10.99 15.27 17.67 18.05 18.46 18.76 p-Ritz 10.86 15.14 17.66 18.07 18.67 18.84 RBF 10.81 15.10 17.63 18.05 18.66 18.82 HOIL
theory 10.67 15.07 17.54 18.05 18.67 18.84 Local
theory 10.68 15.07 17.64 18.06 18.67 18.84 Global
theory 10.69 15.07 17.64 18.06 18.67 18.84
Hình 14 So sánh tần số dao động không thứ nguyên ω* giữa
các phương pháp
Hình 15 Sai số của tần số dao động không thứ nguyên ω* các
phương pháp đối với phương pháp p-Ritz Đồng thời, kết quả trên Hình 14 còn cho thấy nếu tấm càng mỏng thì dao động tự nhiên của tấm càng lớn và điều này hoàn toàn phù hợp với thực tế khảo sát
Trang 73.2.3 Khảo sát các dạng dao động của tấm
Trong bài toán này, tấm composite laminate 3 lớp
(00/900/00) biên ngàm bốn cạnh (C-C-C-C) được khảo sát
Thông số vật liệu tương tự Ví dụ 3.2.1, tỉ số module E 1 /E 2=40,
tỉ số a/h =10 Tấm được khảo sát trong bài toán có hệ lưới phần
tử 15x15 Tần số các dạng dao dộng được so sánh với phương
pháp p-Ritz [13] để chứng tỏ tính đúng đắn của MEM
Bảng 5 thể hiện tần số dao động tự nhiên ứng với 5 mode
dao động đầu tiên của phương pháp MEM và các phương pháp
đã công bố Kết quả thu được cho thấy kết quả sử dụng phương
pháp MEM rất gần với kết quả của p-Ritz (sai số ở mode 5 là
0.47%) Điều này chứng tỏ tính chính xác của MEM trong phân
tích dao động tự do Các dạng dao động của tấm với các tần số
dao động tự nhiên khác nhau được thể hiện trong Hình 16
Bảng 5 Các tần số dao động tự nhiên của tấm biên ngàm
C-C-C-C (a/h =10)
Phương pháp Modes
1 2 3 4 5 MEM9 7.44 10.43 13.99 15.49 15.88
ES-DSG3 7.48 10.65 14.08 16.00 16.35
p-Ritz 7.41 10.39 13.91 15.43 15.81
Global-local theory 7.48 10.21 14.34 14.86 16.07
Galerkin method 7.45 10.45 13.99 15.53 15.90
MLSDQ 7.43 10.40 13.96 15.47 15.84
Hình 16 Hình dáng 6 dạng dao động đầu tiên của tấm biên
ngàm với a/h =10
4 Kết luận
Trong bài báo này việc phân tích ứng xử tĩnh và dao động tự
nhiên của tấm composite laminate sử dụng phương pháp phần
tử chuyển động MEM đã được thực hiện Thông qua các kết
quả nghiên cứu, một số kết luận quan trọng có thể rút ra như
sau:
Phương pháp MEM có tính khả thi cao trong việc phân tích
tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite laminate
Các kết quả thu được từ MEM đã được kiểm chứng với
FEM và các kết quả đã công bố
Phương pháp MEM cho nghiệm chính xác và hội tụ nhanh
hơn so với phương pháp FEM truyền thống hay phương
pháp CS-DSG3
LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu được tài trợ bởi Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHQG-HCM) trong khuôn khổ Đề tài mã số C2015-20-17: “Phân tích động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động ”
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Thompson WE, “Analysis of dynamic behavior of roads
subject to longitudinally moving loads”, HRB, vol.39, pp
1-24, 1963
2 Kim SM, Roesset JM, “Moving loads on a plate on elastic
foundation”, Journal of Engineering Mechanics, vol 124,
pp 1010–1017, 1998
3 Wu JS, Lee ML, Lai TS, “The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by the finite element method”,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol.24, pp.743–762, 1987
4 Pan G, Atluri SN, “Dynamic response of finite sized elastic runways subjected to moving loads: a coupled BEM/FEM
approach”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 38, pp 3143–3167, 1995
5 Zaman M, Taheri MR, Alvappillai A, “Dynamic response of
a thick plate on viscoelastic foundation to moving loads”,
International Journal for Numerical and Analytical Methods
in Geomechanics, vol 15, pp 627-647, 1991
6 C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng,
“Moving element method for train-track dynamics”,
International Journal for Numerical Methods in
7 C.G Koh, G.H Chiew, C.C Lim “A numerical method for
moving load on contiuum”, International Journal of Mechanical Sciences, vol 300, pp 126-138, July.2006
8 Chen YH, Huang YH, “Dynamic stiffness of infinite Timoshenko beam on viscoelastic foundation in moving
coordinate”, International Journal for Numerical Methods
9 Tran Minh Thi, Ang Kok Keng, and Luong Van Hai (2013) Dynamic analysis of high-speed rail system on
two-parameter elastic damped foundation International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, 23-25/10/2013, Ho Chi Minh City , Vietnam
10 W.T Xu, J.H Lin, Y.H Zhang, D Kennedy and F.W Williams, “2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchho plate with Kelvin
foundation”, Latin American Journal of Solids and
11 Reddy JN, “Mechanics of laminated composite plates –
Theory and Analysis”, New York: CRC Press, 1997
12 E Ghafoori, M Asghari “Dynamic analysis of laminated composite plates traversed by a moving mass based on a
first order theory”, Composite structure, vol 92, pp
1865-1867, 2010
13 H H Phan Dao, H Nguyen Xuan, C Thai Hoang and T Nguyen Thoi, “An Edge-Based Smoothed Finite Element
Method for Analysis of Laminated Composite Plates”, International Journal of Computational Methods, vol 10,
No.1, 2013
