Trong bài báo này, ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ được nghiên cứu bằng một phương pháp phần tử hữu hạn trơn CSDSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút đã được đề xuất gần đây. Cơ sở lý thuyết tấmvỏ bao gồm lý thuyết biến dạng nhỏ chuyển vị lớn của von Kármán và cách tiếp cận Total Lagrangian dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First order Shear Deformation Theory – FSDT). Phần tử CSDSG3 có thể khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời giúp tăng độ chính xác cũng như ổn định lời giải số với lưới thô và lưới méo. Các kết quả số trong bài báo được so sánh với những kết quả tham khảo có sẵn, nhằm minh họa tính hiệu quả của phần tử CSDSG3 trong việc phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm vỏ. Các kết quả từ bài báo sẽ giúp người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ.
Trang 1KHẢO SÁT ỨNG XỬ PHI TUYẾN TĨNH HÌNH HỌC CÁC KẾT CẤU TẤM, VỎ
CHỊU UỐN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC ANALYSIS OF PLATE, SHELL STRUCTURES
UNDER BENDING LOAD USING CS-DSG3 ELEMENT
KS Nguyễn Đăng Thạch, TS Nguyễn Văn Hiếu, PGS.TS Nguyễn Thời Trung
TÓM TẮT
Trong bài báo này, ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm,
vỏ được nghiên cứu bằng một phương pháp phần tử hữu hạn
trơn CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút đã được đề xuất
gần đây Cơ sở lý thuyết tấm/vỏ bao gồm lý thuyết biến dạng
nhỏ - chuyển vị lớn của von Kármán và cách tiếp cận Total
Lagrangian dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(First order Shear Deformation Theory – FSDT) Phần tử
CS-DSG3 có thể khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do
lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời giúp tăng độ chính xác cũng
như ổn định lời giải số với lưới thô và lưới méo Các kết quả số
trong bài báo được so sánh với những kết quả tham khảo có sẵn,
nhằm minh họa tính hiệu quả của phần tử CS-DSG3 trong việc
phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm vỏ Các kết quả từ
bài báo sẽ giúp người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử phi
tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ
Từ khóa: Phân tích phi tuyến hình học, Kết cấu tấm/vỏ, Phần tử
hữu hạn trơn
ABSTRACT
This paper studies the geometrically nonlinear behaviors of
plate and shell structures using the triangular Cell-based
Smoothed Discrete Shear Gap (CS-DSG3) proposed recently
The plate theories used in the paper including the small strain –
large deflection theory of von Kármán and the Total Lagrangian
approach are used in association with the First order Shear
Deformation Theory (FSDT) The CS-DSG3 element helps to
overcome shear-locking phenomenon caused by the FSDT and
improve the accuracy and effectiveness of numerical solutions
for coarse and distorted meshes The results obtained in this
paper are compared with other available numerical results to
illustrate the robustness of the CS-DSG3 element in
geometrically nonlinear analysis of plate and shell structures
The paper also helps designers to have a better understanding of
nonlinear behavior types of these structures.
Keywords: Geometric nonlinear analysis, Plate/Shell structures,
Smoothed finite elements
Học viên cao học, Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc
TP HCM
Email: dangthachxd@gmail.com
Điện thoại: 0986413759
TS Nguyễn Văn Hiếu
Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc TP HCM
Email: hieu.nguyenvan@uah.edu.vn
Điện thoại: 0938123299
Viện khoa học tính toán, Trường Đại học Tôn Đức Thắng
Email: nguyenthoitrung@tdt.edu.vn
Điện thoại: 0933666226
1 Giới thiệu
Với khả năng tạo hình phong phú và sở hữu các đặc tính cơ
lý đặc biệt, kết cấu tấm, vỏ đã trở nên phổ biến và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Do có những ứng xử phức tạp trong các điều kiện biên và tải trọng khác nhau, việc nghiên cứu ứng xử của kết cấu tấm, vỏ luôn là một trong những đề tài được quan tâm Trong đó, nghiên cứu về ứng xử phi tuyến hình học tấm, vỏ là một trong những cơ sở quan trọng để đánh giá quá trình làm việc của kết cấu khi có biến dạng lớn hay độ võng lớn Phân tích phi tuyến hình học của kết cấu là quá trình xác định mối quan hệ giữa tải trọng tác dụng và chuyển vị của kết cấu Để xác định mối quan hệ này, một chuỗi các bước lặp cần được thực hiện để cập nhật liên tục độ cứng của kết cấu ứng với các trạng thái thay đổi của tải trọng tác dụng Trong mỗi bước tải, quá trình lặp được thực hiện nhằm đảm bảo sự cân bằng giữa ngoại lực và ứng suất trong kết cấu Quá trình tính toán này vì vậy đã làm tăng chi phí tính toán đáng kể so với phân tích tuyến tính Do đó, việc lựa chọn phần tử thích hợp và các phương pháp tính toán đúng đắn là vấn đề cần được quan tâm nghiên cứu chuyên sâu trong phân tích ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu Các báo cáo, nghiên cứu về lĩnh vực này là rất nhiều và khó có thể liệt kê đầy đủ ở đây Tuy nhiên, một số nét chính trong lịch sử nghiên cứu vấn đề này có thể tìm thấy trong tài liệu được tổng hợp khá đầy đủ, chi tiết của Crisfield [1] hay Gal và Levy [2]
Trong ba thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn đã được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để mô phỏng ứng xử của kết cấu tấm, vỏ Tuy nhiên phương pháp này vẫn còn những hạn chế nhất định liên quan đến kỹ thuật rời rạc miền bài toán,
độ chính xác, tính ổn định của nghiệm cũng như chi phí tính toán Do đó, việc đề xuất những cải tiến cho phương pháp phần
tử hữu hạn truyền thống luôn giữ vai trò rất quan trọng và mang tính thời sự trong nhiều thập kỷ qua Gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn được phát triển nhằm giải quyết một số vấn đề tồn tại của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống như nâng cao hiệu quả trong phân tích, tính toán, cải thiện độ chính xác của nghiệm ngay cả với lưới thô, cải thiện độ ổn định của nghiệm với lưới méo
Trong bài báo này, kết cấu tấm, vỏ được phân tích dựa trên
lý thuyết biến dạng nhỏ - chuyển vị lớn của von Kármán và cách tiếp cận Total Lagrangian trên nền tảng của cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Tuy nhiên, việc áp dụng lý thuyết FSDT thường gặp hai nhược điểm lớn: hiện tượng “trội cắt” (shear locking) ảnh hưởng đến kết quả phân tích với tấm mỏng và ứng xử quá cứng (overly stiff) làm giảm độ chính xác
và độ hội tụ thấp trong phương pháp số Để khắc phục những hạn chế này, phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc độ lệch trượt được làm trơn trong phần tử tam giác CS-DSG3 [3] đã được đề xuất Phương pháp này là sự kết hợp giữa kỹ thuật trơn dựa trên phần tử CS-FEM [4] và phần tử rời rạc độ lệch trượt DSG3 [5]
Vì vậy, mục tiêu của nghiên cứu này sẽ sử dụng phần tử CS-DSG3 để phân tích ứng xử phi tuyến hình học kết cấu tấm, vỏ với dạng hình học và điều kiện biên khác nhau Đây là phần tử
có những đặc tính tốt như đơn giản trong việc thành lập công thức, linh hoạt trong rời rạc miền hình học nên có thể giảm đáng
kể chi phí tính toán so với các phần tử truyền thống trước đây
Trang 1
Trang 22 Cơ sở lý thuyết
Đối với kết cấu tấm, mô hình ứng xử được xây dựng trong
mặt phẳng Oxy, ở đó, mỗi nút của phần tử có 5 bậc tự do
, , , , x y
u v w β β Với kết cấu vỏ, các phần tử được xác định bất
kỳ trong không gian tổng quát OXYZ Do đó, ngoài 5 thành
phần bậc tự do trên, chúng ta cần kể đến thành phần bậc tự do
thứ sáuβzlà góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục
Oz nhằm thể hiện đầy đủ và chính xác được bản chất ứng xử
của kết cấu vỏ Ngoài ra chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ tổng thể
OXYZ về hệ tọa độ địa phương Oxyz cần được xác định
Rời rạc miền giới hạn Ω thành N e phần tử hữu hạn sao cho
1
e
N
e
e=
Ω = Ω và Ω ∩ Ω = ∅ ≠i j , i j Trường chuyển vị tổng
quát trên mỗi phần tử tấm Ωe được xấp xỉ theo phương pháp
phần tử hữu hạn như sau:
6
( )
h
N
I = u I v I w I βxI βyI βzI
tại nút thứ I của phần tử; N I( ), x I=1, 2, 3, là các hàm dạng
của phần tử tam giác trong hệ tọa độ tự nhiên có dạng:
Biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt trên mỗi
phần tử Ωe được xấp xỉ là:
trong đó, Bmi, , , Bbi Si Gi là các ma trận gradient biến dạng,
được tính bởi công thức:
,
,
I x
I y I x
N N
,
,
I x
I y I x
N N
,
,
I x I I
,
,
I x I
I y
N N
Thay công thức (2) vào công thức (4), (5) và (7), ma trận
gradient biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng hình học
được xác định bởi:
1
2
L
m
e
A
B
(8)
1
2
b
e
A
B
(9)
1
2 e
A
=
G
(10)
vớia=x2−x b1, =y2−y c1, =y3−y d1, -=x3 x1 như Hình 1 và
i = x i y i
tử tam giác
Hình 1:Phần tử tam giácDSG3
và hệ tọa độ địa phương trong phần tử
Hình 2:Ba tam giác con được tạo từ tam giác 1-2-3 của phần
tử CS-DSG3
Để khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do lý thuyết FSDT gây ra, Bletzinger [5] đã đề xuất phương pháp rời rạc độ lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt của tấm
Khi đó, ma trận gradient biến dạng cắt trong công thức (6) được viết lại bởi công thức:
2 1
3
0 0 0 0 0 0 / 2 / 2 0
0 0 0 0 0 0 / 2 / 2 0 1
0 0 / 2 / 2 0 2
0 0 / 2 / 2 0
e e
e
A
−
− − −
S S
S
S
(11) Trong CS-DSG3 [3], mỗi phần tử tam giác được chia thành
ba tam giác con bằng cách kết nối các điểm trọng tâm của các phần tử đến ba nút xung quanh của phần tử như Hình 2 Véc-tơ
chuyển vị tại điểm trọng tâm O được tính toán là giá trị trung
bình của ba véc-tơ chuyển vị đỉnh de1, de2 và de3 và có dạng:
0
3
e
Trong mỗi tam giác con, phần tử DSG3 được sử dụng để tính toán các biến dạng và tránh hiện tượng shear locking Sau đó,
kỹ thuật làm trơn biến dạng cho phần tử tam giác được sử dụng
để làm trơn biến dạng ở ba tam giác con
Trên tam giác con thứ nhất Δ1(O-1-2), trường chuyển vị của phần tử tấm được biểu diễn như sau:
e u e v e w e βex β βey ez
và được xấp xỉ tuyến tính như sau:
3
1
i
=
trong đó 1 { 1 1 1}
o
d d d d là trường chuyển vị tại các nút
O,1,2 trong tam giác (O-1-2); 1 1 1 1
dạng tại các nút O, 1, 2 trong tam giác (O-1-2) Các ma trận
gradient biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt, biến dạng hình học của tam giác con Δ1được tính như sau:
1
1
3
L m
e
e
∆
B
d
d
(15)
Trang 31 1 1 1 1 1 1
1
1
3
NL m
e
e
∆
B
d
d
(16)
1
1
3
b
e
e
∆
B
d
d
(17)
1
1
3
e
e
∆
S
d
d
(18)
1
1
3
G
e
e
∆
B
d
d
(19)
trong đó bL m∆1, bNL m∆1, , và bb∆1 s∆1 b G∆1 được tính toán tương tự như
ma trận BL m, , , Bm NL Bb S và BG của DSG3 nhưng với hai điều
chỉnh: (1) tọa độ của ba nút [ ]T
, 1, 2, 3
i = x i y i i =
thay thế tương ứng với x0, và x1 x2; (2) diện tích A e được thay
thế bằng diện tích A∆1 của tam giác con ∆1
Tương tự, dùng phép hoán vị, ta dễ dàng tính được biến
dạng màng tuyến tính L2, L 3
m m
∆
∆
ε ε , biến dạng màng phi tuyến
3
2, NL
NL
∆
∆
ε ε , biến dạng uốn κb∆2, κ , biến dạng cắt b∆3 γs∆2, γs∆3 và
biến dạng hình học ε∆g2, ε lần lượt cho tam giác thứ hai g∆3 ∆2 và
tam giác thứ ba còn lại ∆3
Áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong CS-FEM lần lượt
cho các biến dạng trong ba tam giác con ∆1, ∆2 và ∆3ta được
biến dạng màng tuyến tính được làm trơn Le
m
ε , biến dạng màng
phi tuyến được làm trơn NLe
m
ε , biến dạng uốn được làm trơn e
b
biến dạng cắt được làm trơn e
s
γ và biến dạng hình học được trơn
e
g
ε cho phần tử tam giác Ωe
như sau:
;
Sau cùng ma trận tiếp tuyến trơn KT được hiệu chỉnh như sau:
T = L+ NL+ g ,
trong đó
3
1
T *
L Li Li i i
A ,
=
3
1
T *
NL NLi NLi i i
A ,
=
3
1
T
g i Li i i
ˆ A ,
=
s ,
Nội lực tại thời điểm t trong phương trình phân tích phi
tuyến được tính từ trạng thái ứng suất của kết cấu như sau:
t
L NL
Ω
với giá trị ứng suất sau bước lặp thứ i được tính bởi công thức
1
t t
i+ = i + ∆
và ứng suất gia tăng được tính bởi công thức
t
L NL
∆ =σ D ε∆ =D B +B ∆q (29)
trong đó mối quan hệ giữa các thành phần nội lực, mô-men và biến dạng trong tấm được biểu diễn theo định luật Hooke:
m m
b b
s s
và N={N x N y N xy} là các thành phần nội lực trong mặt phẳng tấm, M={M x M y M xy} là các thành phần mô-men trong tấm, Q={Q x Q y} là các thành phần lực cắt ngoài mặt phẳng tấm Các ma trận Dm, , Db Ds là các ma trận hằng số vật
liệu ứng với các trạng thái kéo nén, uốn và cắt của tấm
Theo cách tiếp cận Total Lagrangian, biểu thức phần tử hữu hạn cho phân tích phi tuyến được diễn tả:
T
+∆
trong đó tF là véctơ nội lực tổng thể tại thời điểm t, t+∆tP là
véctơ ngoại lực của phần tử tại thời điểm t+∆t, tK T là ma trận
độ cứng tiếp tuyến của phần tử tại thời điểm t và ∆u là gia số
chuyển vị của phần tử
3 Các ví dụ số
Các bài toán được trình bày sau đây có các điều kiện biên khác nhau và giải quyết cho cả trường hợp lưới chia méo và chia đều
Nghiệm phi tuyến của mô hình tính toán được thực hiện bằng thuật toán lặp dây cung (Arc-Length) [6] nhằm thể hiện đường cong quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị Tiêu chuẩn hội tụ của
chuyển vị được lấy với giá trị 0.001
3.1 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của tấm hình vuông liên kết ngàm chịu tải phân bố đều
Xét tấm hình vuông liên kết ngàm chịu tác dụng của lực phân bố đều q Tấm có bề dày h=1, chiều dài cạnh L=100
với mô-đun đàn hồi 6
2.1 10
E= × và hệ số Poisson v=0.316
Do tính chất đối xứng hình học, chỉ 1/4 tấm được khảo sát với mức chia lưới 5×5 trong cả trường hợp lưới chia đều và chia méo như Hình 3
L/2
Hình 3: Hệ lưới 1/4 tấm vuông: a) lưới đều, b) lưới méo Hình 4 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị được chuẩn hóa w C/h tại điểm trọng tâm của tấm và tải trọng phân bố đều trên bề mặt tấm Kết quả từ phần tử CS-DSG3 được so sánh với kết quả từ phần tử DSG3, phần tử “non-conforming” của Zhang và Cheung [7], phần tử MISQ20 của H.Nguyen-Van [8], phương pháp giải tích của Chia [9] Với cả
Trang 4lưới đều và lưới méo, mặc dù chỉ sử dụng phần tử bậc thấp
nhưng phương pháp CS-DSG3 vẫn cho kết quả phù hợp với
nghiệm tham khảo có được từ phương pháp giải tích hay những
phần tử bậc cao Bên cạnh đó, kỹ thuật làm trơn CS-FEM cũng
cho thấy hiệu quả rõ rệt khi cải thiện đáng kể độ chính xác của
phương pháp gốc DSG3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
DSG3 CS-DSG3 CS-DSG3 (chia méo) MISQ20
Zhang & Cheung Analytic
Hình 4: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm tấm vuông
ngàm chịu tải phân bố đều
3.2 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của tấm hình tròn
liên kết ngàm chịu tải phân bố đều
Trong ví dụ này, kết cấu tấm tròn, ngàm xung quanh, chịu
tải phân bố đều q được khảo sát Bán kính tấm R=100, bề
dày h=2, mô-đun đàn hồi 7
10
E= , hệ số Poisson v=0.3 Do tính chất đối xứng hình học, 1/4 tấm với 54 phần tử được xem
xét trong cả hai trường hợp chia lưới như Hình 5
Hình 5: Hai dạng chia lưới (54 phần tử) của 1/4 tấm hình tròn:
a)lưới chuẩn; b)lưới méo
0
5
10
15
DSG3 CS-DSG3 CS-DSG3 (chia méo) NRT15
DKT RNEM Analytic
Hình 6: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm tấm tròn
ngàm chịu tải phân bố đều
Hình 6 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị
được chuẩn hóa w C/h tại điểm trọng tâm của tấm và tải trọng
phân bố đều trên bề mặt tấm Kết quả từ phần tử CS-DSG3
được so sánh với kết quả từ phần tử DSG3 cùng với kết quả giải
tích của Schoop [10] và các phần tử áp dụng lý thuyết của Kirchhoff như phần tử NRT15 [11], phần tử DKT [12], phần tử RNEM [13]
Ta thấy kết quả của phần tử CS-DSG3 được cải thiện rất nhiều
so với kết quả phân tích từ phần tử DSG3 Đồng thời, dạng đường cong phi tuyến có được từ phần tử CS-DSG3 rất phù hợp với các lời giải tham khảo khác Ngoài ra, kết quả có được trong
ví dụ này còn cho thấy tính hữu dụng của phần tử CS-DSG3 trong việc phân tích kết cấu tấm mỏng khi kết quả có được từ phần tử này tương đồng với những phần tử được xây dựng dựa trên lý thuyết tấm mỏng như NRT15, DKT và RNEM
3.3 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của vỏ trụ liên kết ngàm chịu tải phân bố đều
Xét một vỏ trụ liên kết ngàm trên tất cả các cạnh, chịu tác dụng của tải phân bố đều như Hình 7 a Các thông số hình học được cho như sau: L=20, R=100,h=0.125, ϕ =0.1 Thông
số vật liệu gồm E = 4.5×105 và v = 0 Do tính chất đối xứng hình học nên chỉ 1/4 kết cấu được khảo sát trong cả trường hợp lưới đều (Hình 7 b) và lưới méo (Hình 7 c) với mức lưới 6 6×
Hình 7: Vỏ trụ tựa ngàm tải trọng phân bố đều tại tâm vỏ: a) sơ
đồ tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo Hình 8 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị được chuẩn hóa w C/h tại điểm trọng tâm C và tải trọng phân
bố đều trên bề mặt vỏ Kết quả từ phần tử CS-DSG3 được so sánh với kết quả có được từ các nghiên cứu Palazotto và Dennis [14], Reddy [15] và H.Nguyen-Van [8] Có thể thấy rằng, phần tử hiện tại cho các kết quả phù hợp với các nghiên cứu kể trên trong cả hai trường hợp chia lưới Đặc biệt độ sai lệch so với phần tử tứ giác bậc cao được làm trơn MISQ20 là không nhiều Mặt khác, phần tử CS-DSG3 cũng đã thể hiện được ứng xử phi tuyến hình học đặc thù trong bài toán này, đó
là đường cong bậc ba với giai đoạn đầu là “softening” (mềm) và giai đoạn sau là “hardening” (cứng)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
CS-DSG3 CS-DSG3(chia méo) MISQ20 Palazoto & Demis Reddy
Hình 8: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm vỏ trụ ngàm
chịu tải phân bố đều
a)
b)
c)
Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, w c /h
4 /(E
4 )
Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, w c /h
Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, w c /h
Trang 53.4 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của vỏ trụ liên kết
khớp chịu tải trọng tập trung
Kết cấu vỏ trụ chịu tác dụng của tải tập trung đặt tại trọng
tâm C Điều kiện biên bao gồm: hai biên cạnh thẳng của vỏ trụ
chịu liên kết khớp, hai biên cong tự do Các thông số kích thước
hình học được cho bởi: chiều dài vỏ trụ L=508 mm, bán kính
2540 mm
R= và góc mở ϕ =0.1; thông số vật liệu gồm:
2
3.10275 kN/mm
E= và v=0.3 Chiều dày vỏ được khảo sát
với các giá trị h = 12.7mm như Hình 9a Như ví dụ trên, việc
phân tích được tiến hành trên 1/4 vỏ với hai loại lưới chia đều
và chia ngẫu nhiên như Hình 9b,c
Hình 9: Vỏ trụ tựa đơn tải trọng tập trung tại tâm vỏ: a) sơ đồ
tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo
Hình 10 mô tả chuyển vị phi tuyến của vỏ trụ tại điểm C với
bề dày h=12.7 mmdùng phần tử CS-DSG3 và các kết quả
tham khảo từ phần tử MISQ20 [8] và nghiên cứu của Crisfield
[16], Sabir và Lock [17], Sze [18] Qua đồ thị này, ta nhận thấy
rằng, các điểm cực trị của các đường cong gần như trùng nhau
và sự chênh lệch giữa các đường cong không đáng kể Dạng
đường cong này thể hiện ứng xử theo dạng Snap-through và qua
đó cho thấy phần tử CS-DSG3 giải quyết tốt dạng ứng xử phức
tạp này ngày cả với lưới méo
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
CS-DSG3 CS-DSG3(chia méo) MISQ20 Crisfield Sabir and Lock Sze et al.
Hình 10: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm vỏ trụ
tựa đơn chịu tải tập trung
4 Kết luận
Trong bài báo này, phần tử CS-DSG3 đã được sử dụng cho
phân tích ứng xử phi tuyến tĩnh hình học các kết cấu tấm, vỏ
chịu uốn dựa trên thuyết biến dạng nhỏ, chuyển vị lớn của von
Kármán và cách tiếp cận Total Lagrangian Các kết quả đạt
được trong phần ví dụ số cho thấy phần tử CS-DSG3 phù hợp
với các kết quả tham khảo cho cả kết cấu tấm, vỏ mỏng đến dày
tương đối Phần tử này đã giải quyết được một số dạng ứng xử
phức tạp của các kết cấu vỏ Kết quả số cũng cho thấy kỹ thuật
làm trơn biến dạng trên phần tử đã cho hiệu quả rõ rệt khi cải
thiện rất nhiều kết quả của phần tử DSG3 và khắc phục hiện
tượng trội cắt Đồng thời, với dạng chia lưới méo ngẫu nhiên kỹ
thuật này cho kết quả nghiệm số gần như trùng khớp với việc
chia lưới đều Sau cùng, một đặc điểm được nhấn mạnh của
phần tử tam giác ba nút này là khả năng rời rạc, chia lưới cho kết cấu dễ dàng và tự động
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Crisfield, M.A., Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures Vol 1: New York : John Wiley &
Sons, 1991
2 Gal, E and R Levy, Geometrically nonlinear analysis of shell structures using a flat triangular shell finite element
Archives of Computational Methods in Engineering, 13(3): 331-388, 2006
3 Nguyen-Thoi, T., P Phung-Van, H Nguyen-Xuan, and C
Thai-Hoang, A cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(7):
705-741, 2012
4 Liu, G.R., Nguyen, T T., Dai, K Y., Lam, K Y.,
Theoretical aspects of the smoothed finite element method (SFEM) International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 71(8): 902-930, 2007
5 Bletzinger, K.-U., M Bischoff, and E Ramm, A unified approach for shear-locking-free triangular and rectangular shell finite elements Computers & Structures, 75(3):
321-334, 2000
6 Thạch, N.Đ., Phân tích phi tuyến hình học tấm, vỏ dùng
ph ần tử CS-DSG3 Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật xây dựng Đại
học Kiến trúc TP.HCM, 2015
7 Zhang, Y.X and Y.K Cheung, A refined linear non-conforming triangular plate/shell element International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 56(15): 2387-2408, 2003
8 Nguyen-Van, H., N Nguyen-Hoai, T Chau-Dinh, and T
Tran-Cong, Large deflection analysis of plates and cylindrical shells by an efficient four-node flat element with mesh distortions Acta Mechanica: 1-21, 2015
9 Chia, C.Y., Nonlinear Analysis of Plates McGraw-Hill,
NewYork, 1980
10 Schoop, H., A simple nonlinear flat element for large displacement structures Computers & Structures, 32(2):
379-385, 1989
11 Zhang, Y.X and Y.K Cheung, Geometric nonlinear analysis of thin plates by a refined nonlinear non-conforming triangular plate element Thin-Walled Structures, 41(5): 403-418, 2003
12 Gunderson, R., W.E Haisler, J.A Stricklin, and P.R
Tisdale, A rapidly converging triangular plate element
AIAA Journal, 7(1): 180-181, 1969
13 Zhang, Y.X and K.S Kim, Linear and Geometrically nonlinear analysis of plates and shells by a new refined non-conforming triangular plate/shell element Computational
Mechanics, 36(5): 331-342, 2005
14 Palazotto, S.T.D.A.N., Nonlinear Analysis of Shell Structures American Institute of Aeronautics and
Astronautics, 1992
15 Reddy, J.N., An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis Oxford University Press, 2004
16 Crisfield, M.A., A faster modified newton-raphson iteration
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 20(3): 267-278, 1979
17 Sabir, A.B., Lock, A.C., The application of finite elements to large deflection geometrically nonlinear behaviour of cylindrical shells Variational Methods in Engineering,
Southampton University Press, Southampton, Brebbia, C.A., Tottenham, H (eds.) 1973
18 Sze, K.Y., X.H Liu, and S.H Lo, Popular benchmark problems for geometric nonlinear analysis of shells Finite
Elements in Analysis and Design, 40(11): 1551-1569, 2004.
a)
b)
c)
Chuyển vị tại điểm C, w C (mm)
