Đáp án học sinh giỏi toán vòng 2 quận đống đa

Bài 3:

a,

do 0  a,b,c  2 nên (a2)(b2)(c2)0

=>abc2(ab bc ca) 4 0

=>abc+4<=2(ab+bc+ca)

do 0  a,b,c  2 nên 2(ab+bc+ca)>=4+abc>=4 nên ab+bc+ca>=2

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0,b=1,c=2 và hoán vị của nó

b,

Quy đồng nhân chéo thu được

(*)

Tương đương :

3(ab bc ca a b b c c a  )(  )(  )(  ) 2 (ab b c c a(  )(  ) bc b a c a(  )(  ) ca a b b c(  )(  )

do(ab b)( c c)( a)(ab bc ca a)(   b c) abc

nên

(a b b c c )(  )( a)(ab bc ca)abc

 VT=3(ab bc ca ab bc)(  ca) 3 abc ab bc(  ca)

 VT= 2 2 2 2 2 2

3(a b b c c a 2(abc a b c(   ))) 3( ab bc ca abc  )

VP=2 ( ab b c c a(  )(  ) bc b a c a(  )(  ) ca a b b c(  )(  )

2 ( ab ab bc(  cac )bc ab bc(  caa )ca ab bc(  cab )

 VP=2.3.(abc(a+b+c)+2( 2 2 2 2 2 2

a b b c c a )

 VP=6abc(a+b+c)+2( 2 2 2 2 2 2

a b b c c a )

 VT>=VP

 2 2 2 2 2 2

a b b c c a >= 3abc(ab+bc+ca)



a b b c c a

ab bc ca abc

Mà a b2 2b c2 2c a2 2>=abc(a+b+c)

(*) 1  3(ab+bc+ca)

a b c >=3(ab+bc+ca) dpcm