Giao trinh bai tap bài tập lớn giải tích 1

Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD dưới đây: 1.. Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD cụ thể dưới đây: 1.. Viết đoạn code để tìm GTLN, GTNN của hàm trên đoạn [a, b] và vẽ đường

BÀI TẬP LỚN MÔN GiẢI TÍCH 1

-HỌC KỲ 151

1.1 Phần 1: Viết 1 đoạn code (3điểm)

Yêu cầu:

• Đoạn code lưu thành file.m chạy đúng với 2 ví dụ cụ thể

• Gửi file.m trên qua Bkel với tên file có 2 phần: tên lớp - số nhóm Ví dụ: L35-nhom4

• Bản in gồm 3 phần :

- Trang bìa: Theo mẫu

- Cơ sở lý thuyết: Theo yêu cầu của từng nhóm

- In nội dung file.m và kết quả chụp từ màn hình sau khi chạy 2 ví dụ cụ thể

• Thời hạn nộp bài:

- Nộp file.m qua Bkel : Cô sẽ báo sau

- Nộp bản in: Khi nhóm bắt đầu làm bài trên CW

1.2 Phần 2: Giải bài toán cụ thể bằng các lệnh matlab trên Command

window (7 điểm)

• Tự chọn loại câu sao cho tổng số điểm ≤ 7

• Thời gian chuẩn bị: 10 phút

Nhóm 1 Nhập từ bàn phím 2 hàm y = f (x), y = g(x) và 2 giá trị a < b thực Viết đoạn code tính diện

tích và vẽ miền D giới hạn bởi 2 đường cong y = f (x), y = g(x) phần ứng với a ≤ x ≤ b Chú ý trường hợp 1 trong 2 đường cong là đường thẳng song song với trục Ox khi vẽ hình

Yêu cầu:

1 Chứng minh công thức tính diện tích miền D: S(D) =

b

R

a

|f (x) − g(x)| dx

2 Không sử dụng hàm abs của Matlab trong đoạn code

3 Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD dưới đây:

D1 : f = 2x + 1

x4+ 3x2 + 2, g =

2x2+ 1

x4+ x + 2, a = −1, b = 4

D2 : f = x − 2

x4+ 2x3 + 5, g =

2x2− 2 3x4− x3+ 1, a = −1, b = 3

D3 : f = 2x2− 1, g = x + 3

x2+ 1, a = −2, b = 2

D4 : f = x2− 3, g = 2x + 1

x2+ x + 1, a = −3, b = 3

D5 : f = x4− 3x2+ 1, g = (2x + 1)/(x2+ x + 1), a = −2, b = 1

D6 : f = x4+ x2− 2, g = 2x + 3

x2+ x + 3, a = −2, b =

3 2

D7 : f = x4+ x3− 1, g = 2x − 3

x2+ 2x + 3, a = −1, b = 2

D8 : f = x3+ 2x2− 5x + 1, g = 0, a = −4, b = 2

Nhóm 2 Cho 2 hàm α(x), β(x) và giá trị x0 thực nhập từ bàn phím Viết đoạn code kiểm tra α(x), β(x)

là VCB khi x → x0 và tính bậc của α(x), β(x), từ đó suy ra giới hạn lim

x→x 0

α(x) β(x) Yêu cầu:

1 Chứng minh lại công thức Taylor với phần dư Peano

2 Không dùng lệnh limit của MatLab trong đoạn code

3 Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD dưới đây:

1 α(x) = sin(√

1 − x − 1), β(x) = ex2 − 1, x0 = 0

2 α(x) = ln x +√

1 + x2
, β(x) = sin x, x0 = 0

3 α(x) = x tan x − x2ex23 , β(x) = x sin 2x − 2x2√3

1 − 2x2, x0 = 0

Nhóm 3 Nhập từ bàn phím 2 hàm tham số y(t), x(t), số tự nhiên n và 1 số thực x0 Viết đoạn code

tính đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x = x(t), y = y(t) đến cấp n tại x = x0

Yêu cầu:

1 Chứng minh lại công thức tính đạo hàm hàm cho bởi pt tham số đến cấp 2

2 Khi x = x0 mà có tương ứng nhiều giá trị của t thì cho phép chọn 1 giá trị tùy ý

3 Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD cụ thể dưới đây:

1 x = ln t, y = t3, n = 3, x0 = 0

2 x = et, y = te−t, n = 4, x0 = 0

3 x = t

t3+ 2, y =

3t2

t3+ 1, n = 4, x0 = 0

4 x = t

2− 1

t2+ 1, y =

2t

t2+ 1, x0 = 3, n = 3 Nhóm 4 Cho hàm y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] (f (x), a, b Viết đoạn code để tìm GTLN, GTNN

của hàm trên đoạn [a, b] và vẽ đường cong trên đoạn [a, b], có đánh dấu GTLN, GTNN

Yêu cầu:

1 Trình bày quá trình tìm GTLN, GTNN của hàm y = f (x) trên đoạn [a, b]

2 Đoạn code tính đúng với 2 trong số các VD cụ thể duới đây

1 f (x) = x

2+ x

x + 3 , a = −1, b = 1 ]item f (x) =

1 − x + x2

1 + x − x2, a = −1, b = 2

2 f (x) =√

x2+ 4x + 5, a = −2, b = 1 (3

Nhóm 5 Cho hàm y = f (x) và giá trị x0 nhập từ bàn phím Viết đoạn code tìm tiếp tuyến của hàm

tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến vừa tìm Chú ý trường hợp tiếp tuyến là đường thẳng song song với 1 trong 2 trục Ox, Oy

Yêu cầu:

1 Chứng minh công thức: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) là :

y = (x − x0)f0(x0) + f (x0)

2 Không dùng lệnh diff của Matlab

3 Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD cụ thể dưới đây:

1 f (x) = x2x, x0 = 1

2 f (x) = sqrt(x + sqrt(x)), x0 = 1

3 f (x) =√

2x − x2, x0 = 1

2

4 f (x) = |x|x, x0 = 0

Nhóm 6 Cho hàm y = f (x) xác định từ phương trình tham số y = y(t), x = x(t) có dạngat

2+ bt + c

mt + n , m 6=

0, a2+ b2+ c2 6= 0 nhập từ bàn phím Viết đoạn code tìm tiệm cận, sau đó vẽ đường cong cùng tiệm cận vừa tìm Chú ý vẽ TCĐ, TCN

Yêu cầu:

1 Trình bày cách tìm tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số

2 Đoạn code tính đúng với 2 trong các VD dưới đây:

1 x = t

2+ 1 2t − 1, y =

t 2t − 1

2 x = 2t + 3

t + 1 , y =

t2

t + 1

3 x = t

2+ t 3t + 2, y =

t + 1 3t + 2

Nhóm 7 Cho hàm f (x) = ax

2+ bx + c

px + q với a, b, c, p, q ∈ R, p 6= 0, a

2 + b2 + c2 6= 0 nhập từ bàn phím Viết đoạn code tìm cực trị, tiệm cận và vẽ đồ thị của y = f (x) với điểm cực trị và các đường tiệm cận trên đồ thị

Yêu cầu:

1 Trình bày cách tìm TCX bằng cách dùng công thức Taylor cho hàm f (x) ở trên

2 Đoạn code tính đúng với 2 VD cụ thể

Nhóm 8 Cho dãy số un xác định bởi un=

r

a +

q

a +pa + +√

a, a ≤ 0 Viết đoạn code tính giới hạn dãy và vẽ đường cong biểu diễn các phần tử của dãy để minh hoạ cho kết quả giới hạn vừa tìm với 1 giá trị a và số các phần tử là m nhập từ bàn phím

Yêu cầu:

1 Trình bày cách tính lim

n→∞un để so sánh với kết quả chạy đoạn code

2 Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cho 2 giá trị a, m khác nhau

Nhóm 9 Cho 2 hàm số f (x) và g(x) nhập từ bàn phím sao cho: 2 đường cong y = f (x), y = g(x) cắt

nhau tại 2 điểm x = a, x = b Viết đoạn code để loại trường hợp miền D nằm ở 2 phía trục

Ox và không đối xứng; sau đó tính thể tích vật thể tạo ra khi cho miền D quay quanh trục

Ox và vẽ miền D

Yêu cầu:

1 Chứng minh lại công thức Sx= π

b

R

a

|f2(x) − g2(x)| dx

2 Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cụ thể

Nhóm 10 Cho phân thức hữu tỷ dạng Pn(x)

Qm(x), với Qm(x) = (x − α)(x − β)

k(ax2+ bx + c), α, β, a, b, c, k

nhập từ bàn phím thỏa điều kiện : b2− 4ac < 0.Viết đoạn code để phân tích hàm thành tổng các phân thức đơn giản loại 1, 2

Yêu cầu:

1 Trình bày cách tính tích phân R mx + n

ax2 + bx + cdx

2 Không dùng hàm residue của Matlab

3 Đoạn code tính đúng với 2 VD

• Chọn số các câu để tổng là 7 điểm

• Dưới đây là các dạng bài và 1 số bài cụ thể tương ứng, khi làm trên lớp có thể có các bài cùng dạng nhưng khác số đã cho

3.1 Câu 1 điểm: Không có

3.2 Câu 2 điểm

Dạng 1 : Tính đạo hàm các hàm f(x) tại x0

2.1.1 f (x) =

( sin x

x , x 6= 0

1, x = 0

, x0 = 0

2.1.2 f (x) =

( ex− 1

x , x 6= 0

1, x = 0

, x0 = 0

2.1.3 f (x) =







1 − cos(x − 1)

x − 1 , x 6= 1

0, x = 1

, x0 = 1

2.1.4 f (x) =







ex−√1 + 2x

x , x 6= 0

x, x = 0

, x0 = 0

Dạng 2: Tìm TCX của các đường cong sau

2.2.1 f (x) = x

2

|x − 1|

2.2.2 f (x) = x

2+ 3x

x − 2 2.2.3 f (x) = xe−1x

2.2.4 f (x) = (2x + 1)e−2x

2.2.5 f (x) = (2 − x)e1x

2.2.6 f (x) =√

x2+ 2x

2.2.7 f (x) =√3

2x3+ x + 1

2.2.8 f (x) = x +√

x2+ 1

2.2.9 f (x) =√3

2x3+ x2+ x

2.2.10 f (x) = 3x + 2

x − 1

x2

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm cho bởi pt tham số tại x0, chọn 1 giá trị của t tương ứng với x = x0

2.3.1 x = 2t − t2, y = 3t − t3, x0 = 0

2.3.2 x = 2(t − sint), y = (1 − cost), x0 = 0

2.3.3 x = 2

t3+ 1, y =

t

t3 + 1

2.3.4 x = 1 − 1

t2, y = 1 − 2

t2 + 1

t4, x0 = 0 2.3.5 x = et, y = te−t, x0 = 0

2.3.6 x = ln t, y = t3, x0 = 0

3.3 Câu 3 điểm

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm f(x) trên đoạn [a,b] tương ứng

3.1.1 f (x) = 1 − x + x

2

1 + x − x2, a = 0, b = 1

3.1.2 f (x) = x

2+ x 2x − 1, a = 1, b = 4

Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát viết dưới dạng ma trận cột A và nghiệm riêng viết dưới dạng ma trận cột B của các hpt vi phân sau

3.2.1







x0 = x − y + z

y0 = x + y − z

z0 = 2x − y

, x(0) = z(0) = 0, y(0) = 1

3.2.2







x0 = x − 3y + 3z

y0 = 3x − 5y + 3z

z0 = 6x − 6y + 4z

, x(0) = y(0) = 1, z(0) = 0

3.2.3







x0 = 3x + 3y + 2z

y0 = x + y − 2z

z0 = −3x − y + z

, x(0) = 0, y(0) = z(0) = 0

3.4 Câu 4 điểm

Dạng 1: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính diện tích

4.1.1 D : 4ABC, A(1, 1), B(2, 3), C(−1, 2).

4.1.2 D : −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex

4.1.3 D : y = cos x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π

4.1.4 D : x2+ y2 = 2x, x2+ y2 = 2y

4.1.5 D : y = ln x, y = −1, x = e

4.1.6 D : x2+ y2 ≤ 2x, x2+ y2 ≤ 2

4.1.7 D : x2+ y2 ≤ 2y, 0 ≤ x ≤√3y

4.1.8 D : y = sinh(x), y = 0, x = 3

4.1.9 D : y = 3

x, y = 4 − x

4.1.10 D : y = arcsin x, x = 0, y = π

2

4.1.11 D : y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π

4.1.12 D : y = x2− 2x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 3

4.1.13 D : y =

√ x

x 3 +1, y = 0, 0 ≤ x ≤ +∞

4.1.14 D : y2 = 4x, x2 = 4y

4.1.15 D : y = ex− 1, y = e3x− 3, x = 0 4.1.16 D : x2+ y2 = 1, x2+ y2− 2y = 1

4.1.17 D : y = ln(x + 2), y = 2 ln x, x = 1

e 4.1.18 D : x2+ y2 = 1, x2+ y2+ 2y = 1

4.1.19 D : x2+ y2 = 8, y2 = 2x

4.1.20 D : y = 27

x2+ 9, y =

x2 6

Dạng 2: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính diện tích mặt cong tạo ra khi quay miền D quanh trục tương ứng

4.2.1 Sx : y = x

3

3 , x = 0, x = 1 4.2.2 Sx : y = x2, y = x

4.2.3 Sx : y = x, y = 5x + x2

4.2.4 Sx : 2y = x2, 2x = y2

4.2.5 Sy : x

2

4 +

y2

9 = 1

4.2.6 Sx : x

2

4 +

y2

9 = 1 4.2.7 Sx : y = x2, y = 4

4.2.8 Sy : y = x2, y = 4

4.2.9 Sy : x = 4 − y2, x = 0

4.2.10 Sx : x = 4 − y2, x = 0

Dạng 3: Vẽ và tô màu miền D; sau đó tính thể tích vật thể tạo ra khi quay D quanh trục tương ứng

4.3.1 Vx : y =√

1 − x2, y = 0, −1 ≤ x ≤ 1

4.3.2 Vy : y = 2x − x2, y = 3, 0 ≤ x ≤ 3

4.3.3 Vx : y = e−xsin x, y = 0, x ≥ 0

4.3.4 Vx : 2y = x2, 2x + 2y − 3 = 0

4.3.5 Vy : y = x, y = x + sin2x, 0 ≤ x ≤ π

4.3.6 Vy : y = 2, y = x

2

2 + 2x + 2 4.3.7 Vx : x = 0, y = e−x+ 1, y = e−2x− 1 4.3.8 Vy : y = x2+ 1, y = 5

Dạng 4: Giải phương trình vi phân Sau đó vẽ đường cong tích phân vừa tìm

4.3.1 y − xy0 = y lnx

y, y(1) = 1

4.3.2 (1 − x)(y0+ y) = e−x, y(2) = 1

4.3.3 y0− y cot x = sin x, y(π

4) = 1

4.3.5 (1 + x2)y0 − 2xy = (1 + x2)2, y(0) = 1

4.3.6 y0 = 2x − y + 1

x − 2y + 1, y(0) = 1

4.3.7 (x2+ 1)y0 + 4xy = 3, y(1) = 0

3 2

4.3.9 x3y0 = y(x2+ y2), y(1) = 1

4.3.10 ydx + cot xdy = 0, y(π

3) = −1

4.3.11 y0+ y

x + 1 + y

2 = 0, y(0) = 1

4.3.12 xy0− y =p(x2+ y2), y(√

2) = 1

4.3.13 (√

xy +√

x)y0− y = 0, y(1) = 1

4.3.14 xy0+ y = y2ln x, y(1) = 1

4.3.15 y” + 2y0 = 3x, y(1) = 1, y0(1) = 0

4.3.16 y” − 3y0+ 2y = 3e2x, y(0) = 1, y0(0) = 1

4.3.17 y” + 2y0+ 5y = x + cos x, y(1) = 1, y0(0) = 0

4.3.18 y” + y0+ 4y = sin2x, y(0) = 1, y0(1) = 0

4.3.19 5y” − 6y0+ 5y = xex, y(0) = 1, y0(0) = 0

Dạng 5: Phân tích các hàm sau thành tổng các phân thức đơn giản

4.5.1 f (x) = 2x − 1

2x3+ x2− 8x + 5. 4.5.2 f (x) = x

4− 2 2x3+ x2− 8x + 5.

4.5.3 f (x) = 3x

2− 2

x3+ 2x2− 2x + 3.

4.5.4 f (x) = x + 1

x4+ 5x2− 36.

3.5 Câu 5 điểm

Dạng 1: Tìm tham số để hàm liên tục tại x = x0 và vẽ đường cong minh hoạ (đánh dấu điểm đặc biệt (x0, f (x0))

5.1.1 f (x) = x + 1, x ≤ 1

3 − ax2, x > 1 , x0 = 1

5.1.2 f (x) = x − 1, x ≤ 1

ax2− 2, x > 1 , x0 = 1

5.1.3 f (x) =







ax + 1, x ≤ π

2 sin x + b, x > π

2

, x0 = π

2

5.1.4 f (x) =

(

x arctan(1

x), x 6= 0

a, x = 0

, x0 = 0

5.1.5 f (x) =







a − x2, x ≤ 0 b

x + 1, x > 0

, x0 = 0

5.1.6 f (x) =







1

x + ex−31

, x ≥ 3

x2+ ax, x < 3

, x0 = 3

5.1.7 f (x) =



34−x2x , x ≥ 2

−x2+ ax − 4, x < 2 , x0 = 2

5.1.8 f (x) =







1

2x−11 + 1, x ≥ 1

ax2+ 1, x < 1

, x0 = 1

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0, f (x0))

5.2.1 f (x) =







arctan 1

x2, x 6= 0 π

2, x = 0

, x0 = 0

5.2.2 f (x) =

( 0, x = 0 x

1 + ex21

, x 6= 0 , x0 = 0

5.2.3 f (x) = x2ln x2, x 6= 0

0, x = 0 , x0 = 0

Dạng 3: Tính đạo hàm trái, phải tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0, f (x0))

5.3.1 f (x) =







ex− 1

x , x > 0 x

2 + 1, x ≤ 0

, x0 = 0

5.3.2 f (x) = x, x ≤ 1

x2− x, x > 1 , x0 = 1

5.3.3 f (x) =







e1x

x , x ≤ 0

x2, x > 0

, x0 = 0

5.3.4 f (x) =







x − 1

ln x , x > 1 (1 − x)2+ x + 1

2 , x ≤ 1

, x0 = 1

5.3.5 f (x) =p|x2− 2|3, x0 =√

2

5.3.6 f (x) =p|x2− 2|3, x0 = −√

2

Dạng 4: Tính bậc của VCB

Tìm a, b để α(x) ∼ axb

5.4.1 Khi x → 0 : α(x) = sin(ax

2)

2 + (1 + ax)

(1/a)− ex ∼ 3

2x

b

5.4.2 Khi x → 0 : α(x) = ln(1 + ax) + sin(a

2x2)

2 − axcosx ∼ 21

2 x

b

5.4.3 Khi x → 0 : α(x) = etan(ax)− eax− sin(a

3x3)

3 ∼ x

b

3

5.4.4 Khi x → 0 : α(x) = xex− sinx − x2√3

1 + 2x ∼ axb

Dạng 5: Tìm cực trị của hàm f (x) và vẽ hình minh họa (có đánh dấu các điểm cực trị )

5.5.1 f (x) = x

2

√

x2− 1

5.5.2 f (x) = √x − 2

x2+ 1

5.5.3 f (x) =√3

1 − x3

5.5.4 f (x) = 1

1 − ex

5.5.5 f (x) =

x

R

0

t 3 −1

e t2 dt trong (0, 3)

5.5.6 f (x) =

x

R

0

arctan t−t√ 1+t 2 dt

3.6 Câu 6 điểm

Dạng 1: Tìm tiệm cận của hàm f (x) và vẽ hình minh họa ( có vẽ các tiệm cận):

6.1.1 f (x) = x

3

2(x2+ 1)

6.1.2 f (x) = x

3

√

x4+ 1

6.1.3 f (x) = (2x − 1)e2x

6.1.4 f (x) = e1x − x 6.1.5 f (x) = x

2

√

1 + x2

6.1.6 f (x) = x2e2x

6.1.7 f (x) = (2x − 1)e1/x

Dạng 2: Tính đạo hàm trái, phải tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp tuyến tại (x0, f (x0))

6.2.1 f (x) =

( ex− x − 1

x , x > 0

x2− 2x, x ≤ 0

, x0 = 0

6.2.2 f (x) =

( x

ex1 + 1, x 6= 0

0, x = 0

, x0 = 0

6.2.3 f (x) =

( x − 1

ln x , x > 1

x2, x ≤ 1

, x0 = 1

6.2.4 f (x) = |x|(x + 2), x0 = 0

6.2.5 f (x) =







√

1 + 2x − 1

x − 1, x ≤ 0

√

x, x > 0

, x0 = 0

6.2.6 f (x) = x|x − 2|, x0 = 2

3.7 Câu 7 điểm

1 Tìm cực trị hàm y = (x + 2) |x − 3| + 2x + 3

2 Tìm cực trị hàm y = |x − 3| (2x + 5) + x

2

2 + 3

3 Tìm cực trị hàm y = |x − 1| (2x + 1) + x2+ x

4 Tìm cực trị hàm y = |x + 1| + |x2− x − 2|