Giao trinh bai tap chương 6 cơ lượng tử ( lý thuyết)

Lưỡng tính sóng hạt của AS Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt mang năng lượn

CHƯƠNG VI

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Cơ học cổ điển khảo sát dạng vận động cơ của

các vật vĩ mô Tuy nhiên, khi đi sâu vào thế giới

vi mô nghĩa là khi nghiên cứu sự vận động của

vật chất trong phạm vi kích thước phân tử,

nguyên tử trở xuống, qui luật vận động của nó về bản chất khác hẳn qui luật vận động của các vật

vĩ mô Do đó, cơ học cổ điển bị hạn chế, không

thể áp dụng cho các hạt vận động trong thế giới

vi mô Vì lẽ đó môn cơ học lượng tử đã ra đời

Trong chương này chỉ nêu lên những điểm cơ

bản, khái niệm mở đầu của cơ học lượng tử để

giúp chúng ta hiểu được một cách khái quát về sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô.

I Lưỡng tính Sóng – Hạt của vật chất

1 Lưỡng tính sóng hạt của AS

Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt mang năng lượng:

2 Hàm sóng phẳng ánh sáng:

Xét một chùm AS đơn sắc song song Các mặt

sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sóng

Nếu dao động sáng tại O là thì dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua M, cách mặt sóng đi qua O một đoạn d là:

gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng

Trong phép biểu diễn phức hàm này có dạng:

• Khi biểu diễn ν và λ qua ε và p tương ứng, ta có :

t p r t p r h

• Khi biểu diễn theo vectơ sóng với:

Khi đó hàm sóng phẳng đơn sắc còn có thể viết:

3 Giả thuyết De Broglie

Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, De Broglie đã suy rộng tính chất đó cho mọi đối

Chú ý: Đối với photon, vì ta có nên chỉ cần một hệ thức là có thể suy ra bước sóng và tần

6.625.10

6.625.10 1.10 1

2



4.Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie.

a)Thí nghiệm nhiễu xạ điện tử do Davisson và

Germer thực hiện năm 1927 Hai ông cho một

chùm điện tử có năng lượng 54 eV đập vào một đơn tinh thể Ni và nghiên cứu sự

phụ thuộc vào góc phản xạ của

cường độ chùm tia phản xạ.

Các ông đã thu được bức tranh nhiễu

xạ điện tử Bước sóng tính theo công thức về cực đại nhiễu xạ Vulf-Bragg rất phù hợp với bước

sóng De Broglie.

Hình a và b là hình ảnh nhiễu xạ chụp được khi cho chùm tia X tán xạ trên bột đa tinh thể, và chùm electron đi qua cùng vật liệu đó

(hình a) (hình b)

b)Thí nghiệm 2

Cho một chùm electron qua một khe hẹp Sau khi qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi

phương và trên màn huỳnh quang

cũng thu được các vân

nhiễu xạ giống như trường

hợp nhiễu xạ của chùm sáng qua

khe hẹp Kết quả thí nghiệm không thay đổi nếu

ta cho lần lượt các electron qua khe trong thời

gian dài.

2 Ý nghĩa xác xuất của sóng De Broglie:

Trước khi có giả thuyết De Broglie, người ta chỉ biết hai loại sóng cơ và sóng điện từ Hàm sóng

mô tả các các loại sóng này biểu diễn sự biến

thiên theo thời gian và không gian của các đại

lượng đặc trưng cho chúng Ví dụ độ lệch khỏi vị trí cân bằng trong sóng cơ, hay vecto cường độ

điện trường, từ trường trong sóng điện từ Sóng

De Broglie không phải là sóng cơ và sóng điện từ

Để hiểu được ý nghĩa vật lý của sóng De Broglie,

ta trở lại lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng.

• Ý nghĩa xác xuất đối với photon: Xét một chùm

hạt photon chuyển động trong không gian qua

một phần tử có thể tích V bất kỳ bao quanh điểm

M Theo thuyết sóng AS thì cường độ sáng tại M

tỉ lệ với bình phương biên độ của biểu thức dao động sáng Theo thuyết hạt thì CĐ sáng tại M tỉ lệ với số photon mang năng lượng

hν đi qua một đơn vị thể tích bao quanh điểm M Vậy tỉ lệ với số photon trong một đơn vị thể tích bao quanh điểm M Nếu càng lớn thì số hạt photon trong một đơn vị thể tích càng nhiều nên xác xuất tìm thấy hạt photon càng lớn.

• Ý nghĩa xác xuất đối với các hạt vi mô

Dựa trên kết quả của thí nghiệm tương tự về

nhiễu xạ các hạt vi mô trên màng kim loại Max Born đã đưa ra giả thuyết cho rằng trong biểu

thức biểu diễn sóng De Broglie, bình phương biên

độ sóng tại một vị trí nào đó trong không gian sẽ

tỉ lệ với xác xuất tìm thấy hạt tại vị trí đó

gọi là mật độ xác xuất (xác xuất thấy hạt trong một đơn vị thể tích) Như vậy hàm sóng không mô tả một sóng thực nào trong

không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý

cổ điển mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt

tại một trạng thái nào đó.

.

   



Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích bất kỳ dV là

• Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: khi tìm hạt trong

toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy

hạt, nghĩa là xác xuất tìm hạt trong toàn không gian bằng 1:

• Cần chú ý một điểm khác nhau giữa cơ học

lượng tử và vật lý phân tử Trong vật lý

phân tử, qui luật thống kê có quan hệ với

tập hợp nhiều hạt (phân tử, nguyên tử) còn từng hạt riêng rẽ không có tính thống kê

Nhưng trong Cơ học lượng tử qui luật thống

kê có quan hệ ngay cả với từng vi hạt riêng biệt, cũng như đối với tập hợp hạt.

• Điều kiện của hàm sóng:

a) Hàm sóng phải giới nội, vì nếu hàm sóng không

giới nội thì tích phân (1) không thể giới nội

b) Hàm sóng phải đơn trị, vì nếu không đơn trị thì

ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất tìm hạt Điều này trái với lý thuyết xác xuất.

c) Hàm sóng phải liên tục, vì không thể thay

đổi nhảy vọt.

d)Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục

2



Ví dụ: Hàm sóng của điện tử trong nguyên

tử hydro ở trạng thái cơ bản có dạng :

trong đó a0 = 0,529 10-10 m là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất Xác định A qua điều

kiện chuẩn hóa.

0

/

• Điều kiện chuẩn hóa:

3)Sóng phẳng và vận tốc pha:

Xét một sóng đơn sắc truyền dọc theo trục x:

Đại lượng: gọi là pha của sóng

Giả sử tại một điểm x nào đó pha có giá trị xác định Tọa độ của điểm này được xác định từ phương trình:

Theo thời gian điểm có pha dịch chuyển với một vận tốc v f được xác định từ điều kiện không đối của pha, được gọi là vận tốc pha

Theo TTĐ vận tốc hạt v của hạt không thể lớn hơn c, do vận tốc pha v f lớn hơn c Điều này

chứng tỏ vận tốc pha v f của sóng De Broglie

không đặc trưng cho tốc độ truyền hạt, truyền năng lượng hay truyền tín hiệu.

Chú ý: đối với hạt cổ điển chuyển động với v <<

c, thì :

Đối với photon ta có:

Vậy vận tốc pha của sóng De Broglie có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc AS

Nếu v f phụ thuộc vào k, tức phụ thuộc vào bước

sóng thì sóng được gọi là sóng tán sắc Theo TTĐ

ta có:

(Vì vận tốc của hạt v << c)

Do đó v f phụ thuộc k Vậy khác với sóng điện từ,

sóng De Broglie tán sắc trong chân không.

m

p c

m c

p c

m

E

2

2 2

2 2 4

4)Vận tốc nhóm

Như vậy làm thế nào để duy trì việc mô tả tính

chất sóng cùng với tính chất hạt? Để giải quyết vấn đề này, CHLT cho rằng chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng đơn sắc riêng

biệt, mà là ứng với một tập hợp sóng có các tần

số gần nhau gọi là bó sóng Nếu tại một điểm nào

đó mà pha của các sóng trong bó sóng gần trùng nhau thì sóng tổng hợp sẽ cực đại, điểm này

chính là tâm của bó sóng, năng lượng của sóng hầu như tập trung ở tâm sóng.

Vận tốc nhóm được xác định từ điều kiện là tại tâm sóng pha của các sóng đều trùng nhau mà không phụ thuộc vào k

dk





• Trong trường hợp phi tương đối tính:

Vậy vận tốc nhóm của sóng De Broglie bằng vận tốc hạt.

2

2 ( )

( )

g

p d

IV Hệ thức bất định Heisenberg

Trong vật lý cổ điển, vị trí ban đầu của hạt và

vận tốc ban đầu ( hay động lượng ban đầu) của hạt có thể đo với độ chính xác cao tuỳ ý và động tác đo hầu như không có ảnh hưởng gì đến

chuyển động của hạt Khi đó quỹ đạo của hạt

được sẽ được xác định một cách chính xác từ

định luật Newton Tuy nhiên nếu áp dụng quan niệm này cho các vi hạt như electron hay photon thì tình hình không còn giống như bức tranh cổ điển.

Hệ thức bất định Heisenberg

a) Hệ thức giữa độ bất định về toạ độ và độ bất định về động lượng của vi hạt:

Vị trí và động lượng của vi hạt không thể được xác định đồng thời.

b) ) Hệ thức giữa độ bất định về năng lượng và thời gian sống của vi hạt:

Ý nghĩa: nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại Tóm lại, trạng thái có năng lượng bất

định là trạng thái không bền, còn trạng thái

có năng lượng xác định là trạng thái bền

.

2

E t

• Xét sự nhiễu xạ của chùm electron qua một khe

hẹp độ rộng b theo hướng y, một electron vừa ló qua khe có độ bất định , vì ta không thể

biết trước electron sẽ đập vào chỗ nào trên màn, nên thành phần động lượng có độ bất định

mà chúng ta cần phải xác định Sử dụng tính chất sóng của electron, chúng ta có thể đoán nhận rằng electron sẽ chủ yếu đập vào đâu đó

trên màn trong khoảng giữa hai cực tiểu đầu tiên của bức tranh nhiễu xạ một khe

Ví dụ: Tính độ bất định về toạ độ ∆x của hòn đá khối lượng 5g chuyển động với vận tốc v = 1m/s

Ví dụ: Tính độ bất định về toạ độ ∆x của

electron trong nguyên tử hidro biết rằng

vận tốc của electron v = 1,5.106 m/s và độ

bất định về vận tốc ∆v = 10% của v So sánh kết quả tìm được với đường kính d của quỹ đạo Bo thứ nhất và xét xem có thể áp dụng khái niệm quỹ đạo cho trường hợp kể trên được không?

Đường kính quỹ đạo Bo thứ nhất:

d = 2.0,53.10-10 m = 1,06 10-10 m Vậy trong trường hợp này không thể áp dụng khái niệm quỹ đạo

nếu hàm thế năng U chỉ phụ thuộc , hàm sóng ψ

có dạng hàm sóng của trạng thái dừng

là phần phụ thuộc toạ độ không gian của hàm sóng thoả mãn phương trình:

Đây là phương trình Schroedinger không phụ

thuộc thời gian.

i Et

• Trong trường hợp vi hạt chuyển động tự do

VI.Ứng dụng PT Schrodinger

1.Hạt trong giếng thế năng: Xét một hạt khối

lượng m chuyển động theo phương x trong một miền mà thế năng được xác định theo điều kiện:

Phương trình Schroedinger trong giếng thế

Vì hạt chỉ ở trong giếng nên xác suất tìm hạt

ở ngoài giếng bằng không Nhưng do điều

kiện liên tục của hàm sóng nên

Vì B = 0 nên A phải khác không (vì nếu A = 0 thì

Năng lượng của hạt:

Từ

Khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp

tăng theo số lượng tử n:

càng lớn khi a và m càng nhỏ, nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô sự lượng tử hóa thể hiện rõ.

• Mật độ xác xuất tìm hạt trong giếng

Ta nhận thấy khi :

n = 1, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/2

n =2 , XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/4 , 3a/4

n = 3, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/6, a/2, 5a/6.

sin

n

n x x



2.Hạt trong giếng thế vuông góc ba chiều có độ sâu

vô cùng với các cạnh là a 1 , a 2 , a 3

PT Schrodinger của hạt trong giếng:

Với các điều kiện biên ở thành giếng:

Từ các điều kiện biên ta suy ra:

n 1 , n 2 , n 3 là các số nguyên

Vậy hàm sóng và năng lượng của hạt là:

Hằng số C được xác định từ ĐK chuẩn hóa:

Xét chuyển động của hạt trong trường có thế

năng biến đổi như hình vẽ

miền I miền II miền III Theo VL cổ điển một hạt ở trong vùng I có năng lượng toàn phần E < U o thì không thể vượt qua hang rào thế vùng II để sang vùng III Tuy nhiên

do tính chất sóng của hạt vi mô, CHLT tiên đoán tồn tại một xác suất khác không tìm thấy hạt

trong vùng III Hiện tượng đó gọi là hiệu ứng

đường ngầm.

0

0 0

PT Schrodinger đối với ba miền:





Nghiệm của các PT này là:

Trong đó và đặc trưng

sóng tới và sóng phản xạ trên bờ x = 0;

đặc trưng sóng truyền qua hàng rào thế còn mô tả sóng phản xạ từ vô cực trở về Do đó các

ik x a

A e 

1 ( ) 3

ik x a

B e 

Hệ số truyền qua D được định nghĩa:

Từ các điều kiện biên:

2 3 2 1

A D

Vì và hầu hết các trường hợp có ý nghĩa thực tiễn thì k 2 a > 1 nên Do đó

từ hai phương trình đầu ta được:

1  in   1 in

2 2

A  B

2 2

n n



• Từ biểu thức này ta thấy mặc dù E < U 0 ; D vẫn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào Thí dụ, đối với electron, chọn U 0 – E =1,28

10 -31 J ,ta có bảng biểu thị sự phụ thuộc của D vào khoảng cách a

Hệ số D đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng

đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong kích thước vi mô

Kích thước hạt nhân

Hiệu ứng đường ngầm cho phép giải thích nhiều hiện tượng gặp trong tự nhiên như: Hiện tượng phát electron lạnh, hiện tượng phân rã 

4 Dao động tử điều hoà:

Vi hạt chuyển động theo phương x, trong trường thế được gọi là dao động tử điều hoà Lúc đó chuyển động của của hạt là một dao động điều hoà với tần số

Phương trình Schoedinger đối với dao động tử

điều hoà:

2

1 2

k m

E dx

• Khi giải phương trình này người ta đã tìm được

biểu thức năng lượng của dao tử

• Biểu thức trên chứng tỏ năng lượng của dao tử bị

lượng tử hoá Năng lượng thấp nhất của nó ứng với n = 0:

gọi là năng lượng không.

E   

Ví dụ:

1) Tính bước sóng kết hợp với một khối

lượng 2kg chuyển động với vận tốc 25m/s 2) Tính bước sóng kết hợp với nơtron có động

năng 0,05eV.

6, 625.10 2.1, 67.10 0, 08.1, 6.10 10,1.10 1, 01

5) Giả sử ta có thể đo được động lượng của một hạt chính xác đến phần nghìn Xác định độ bất định cực tiểu về vị trí của hạt:

a) Nếu hạt có khối lượng 5mg và vận

tốc 2m/s

b) Hạt là electron có vận tốc 1,8.108 m/s

b) Khối lượng tương đối tính của electron

0 2 2

1

m m

v c

6) Xác định độ bất định cực tiểu về vị trí của một photon 3000 nếu biết

bước sóng chính xác đến phần triệu.

0

A

7) Độ rộng của một vạch quang phổ

bước sóng 4000 bằng 10-4 .Tính

thời gian sống trung bình để hệ nguyên

tử ở trạng thái năng lượng tương ứng

0

A

0

A

• Theo hệ thức bất định:

• Độ bất định cực tiểu về năng lượng của một trạng

thái tương ứng với thời gian sống trung bình của trạng thái ở trạng thái kích thích nên:

3 Với giá trị nào của động năng thì sai số về bước sóng De Broglie khi tính theo cổ điển và tính theo tương đối tính sẽ không quá 1% đối với

hạt electron và hạt proton ?

• Gọi λ 0 và λ là bước sóng De Broglie tính theo cổ điển và theo tương đối tính

2 0

2 2

2

2

0 2

1

1 1

1

1 1

v c

T

m c v

2 2

1

1 1

• Đối với electron:

• Đối với proton: