Giao trinh bai tap chương 2 dao động và sóng

Thực nghiệm chứng tỏ rằng muốn dao động cơ của hệ vật trong môi trường không tắt dần, thì phải cung cấp năng lượng thêm cho hệ vật bằng cách tác dụng lên hệ vật một lực kích thích biến

CHƯƠNG II

DAO ĐỘNG -SÓNG

A DAO ĐỘNG

I Dao động cơ điều hòa

1 DĐĐH của con lắc lò xo:

x

x x

L

M O

1 2

.sin

0

t t

Vậy khi góc α nhỏ con lắc vật lý dao động điều hoà với chu kỳ

Đối với con lắc đơn thì : I = ml 2 nên :

2

2

o

I T

Ví dụ:

1) Xác định chu kỳ của con lắc vật lý,

được cấu tạo bằng một thanh đồng chất chiều dài L = 30cm Điểm treo của con lắc cách trọng tâm một

khoảng x = 30cm.

1 12

I T

2) Một thanh đồng chất có độ dài l

thực hiện dao động nhỏ xung quanh

một trục nằm ngang OO’, vuông góc

với thanh và đi qua một trong các điểm của nó Tìm khoảng cách giữa tâm

quán tính của thanh và trục OO’, khi chu kỳ dao động là nhỏ nhất Chu kỳ

đó bằng bao nhiêu?

Bài tập:

1) Một con lắc vật lý thực hiện dao động bé

xung quanh một trục nằm ngang với tần

số Nếu gắn vào nó một vật nhỏ có khối lượng m = 50g ở phía dưới

trục và cách trục một khoảng l = 20cm, thì tần số dao động thành

Tìm momen quán tính của con lắc này đối với trục dao động

2 1

2) Một bản mỏng đồng tính có dạng một tam giác đều với chiều cao h thực hiện các dao động bé xung quanh một trục nằm ngang trùng với một trong các

cạnh của nó Tìm chu kỳ dao động và

độ dài rút gọn của con lắc này.

ĐS: T   2 / h g l  h / 2

y

dx a

2 2

2

2 0

h m

r k.x

F

F dt

x

d





Khi nghiệm của nó có dạng:

Biên độ, tần số góc và chu kỳ của DĐ tắt dần:

Giảm lượng loga: giảm lượng loga của DĐ cơ tắt dần có trị số bằng loga tự nhiên của tỷ số của hai biên độ kế tiếp cách nhau một chu kỳ T

- A

+A0

T

0

Nếu chuyển động này được gọi là quá

tắt dần, dao động tử quá tắt dần ban đầu được

dịch khỏi vị trí cân bằng sẽ chậm chạp tiến gần

về vị trí cân bằng và không thể đi quá vị trí đó.

Nếu thì chuyển động được gọi là tắt dần

tới hạn Dao động tử tắt dần tới hạn không dao

động mà tiến dần tới vị trí cân bằng nhanh hơn dao động tử quá tắt dần

(a) DĐ quá tắt dần (b) DĐ tắt dần tới hạn

Ví dụ:

Bài 1: Biên độ của dao động tắt dần sau thời gian t1= 20s giảm đi n1 = 2 lần Hỏi sau thời gian t2 = 1 phút, nó giảm đi bao nhiêu lần?

Bài 3: Xác định giảm lượng loga của con lắc toán chiều dài l = 50cm, biết rằng sau thời gian = 8 phút nó mất 99% năng lượng.



 

III DĐ cơ cưởng bức:

1 Thực nghiệm chứng tỏ rằng muốn dao động cơ của hệ vật trong môi

trường không tắt dần, thì phải cung

cấp năng lượng thêm cho hệ vật bằng cách tác dụng lên hệ vật một lực kích thích biến đổi tuần hoàn theo thời gian

t F

Fkt  0 cos 

2 PTDĐ cơ cưởng bức:

Ta dược:

Đây là PTVP của DĐ cơ cưởng bức Nghiệm của

nó là tổng của nghiệm:một nghiệm là nghiệm của dao động tắt dần (gọi là nghiệm quá độ),nghiệm còn lại là nghiệm của PTVP có vế phải biểu diễn

DĐ cơ cưởng bức (nghiệm ổn định)

2

0 2

x dt

dx dt

3 Khảo sát các tính chất của DĐ cơ cưởng bức: a) Chu kỳ của DĐ cưởng bức bằng với chu kỳ của ngoại lực kích thích.

b) Lấy đạo hàm của A theo và cho đạo hàm này bằng không ta được A max khi

ch

f A

0 

 

0

25 ,

0 

 

2 0

Ví dụ:

1 Một vật có khối lượng m = 10g đang dao

động tắt dần với hệ số tắt dần

Tác dụng lên vật một lực kích thích tuần hoàn Vật sẽ dao động cưỡng bức với

1) PT của lực kích thích tuần hoàn có dạng tổng

• Một quả cầu có khối lượng m = 50g được treo

trên một lò xo không khối lượng, có hệ số đàn hồi

k = 20N/m Dưới tác dụng của lực cưởng bức

điều hoà thẳng đứng với tần số Ω = 25 rad/s, quả cầu thực hiện dao động với biên độ A = 1,3 cm

Khi đó sự dịch chuyển của quả cầu chậm pha với lực cưởng bức là 0,75 π Tìm:

a) giảm lượng loga của sự tắt dần;

b) công của lực cưởng bức sau một chu kỳ dao

động

a)

2 0

2

k m

2) Tác dụng vào con lắc lò xo một lực tuần hoàn hình sin, biên độ bằng 10-3

N Tìm hệ số ma sát và lực ma sát cực đại biết rằng biên độ của dao động khi cộng hưởng bằng 5cm, chu kỳ của hệ là 0,5s Giả sử lực ma sát tỉ lệ với vận tốc

và hệ số tắt dần rất nhỏ so với tần số

riêng.

2 2

B DAO ĐỘNG ĐiỆN TỪ I.DĐĐT điều hòa

1 Năng lượng điện trường của tụ điện:

Năng lượng từ trường của ống dây:

q , u , là điện tích và hiệu điện thế của tụ điện ,

i là cường độ dòng điện tại thời điểm t.

Năng lượng toàn phần của mạch dao động:

2 PTDĐ điện từ điều hòa:

2 2

2 0

2 0

II DĐĐT tắt dần

Vì có thêm điện trở nên trong

khoảng thời gian dt, năng lượng

của dao động giảm một lượng

-dW=Ri 2 dt, mà:

R

L C

đặt:

2

2 2 2

2

2 0 2

• Khi , hay

nghiệm của PT là:

gọi là điện trở tới hạn.

Nếu trong mạch không có hiện tượng dao động

III DĐĐT cưởng bức:

PT vi phân của DĐĐT cưởng bức:

Qua thời gian quá độ, trong mạch

chỉ còn DĐĐT cưởng bức

Khi thì có hiện tượng cộng hưởng điện

L C

Phần tử được kích động gây nên sóng gọi là

nguồn sóng, phương truyền sóng gọi là tia sóng,

không gian mà sóng truyền qua gọi là trường

sóng Tập hợp những điểm trong trường sóng

tại đó các phần tử dao động cùng pha gọi là mặt

sóng Giới hạn giữa phần môi trường mà sóng

đã truyền qua và phần môi trường chưa bị kích động gọi là mặt đầu sóng.

• Trong môi trường đồng tính và đẳng hướng, các

tia sóng vuông góc với mặt đầu sóng.

• Nếu nguồn sóng ở gần miền quan sát thì mặt đầu

sóng là mặt cầu Khi đó sóng gọi là sóng cầu.

• Nếu nguồn sóng ở xa miền quan sát thì mặt đầu

sóng là mặt phẳng Khi đó sóng gọi là sóng

phẳng.

Chú ý:

- Các phần tử trong trường sóng

không bị cuốn theo sóng mà chỉ dao động quanh vị trí cân bằng bền của chúng.

- Sóng cơ không thể truyền trong

chân không vì trong đó không có môi trường đàn hồi.

2.Sóng ngang và sóng dọc:

• Sóng ngang là sóng trong đó các phần tử

của môi trường đàn hồi dao động theo

phương vuông góc với tia sóng.

3 Các đại lượng đặc trưng cho sóng:

a) Vận tốc sóng: là quãng đường mà sóng truyền

được sau một đơn vị thời gian.

Trong lí thuyết đàn hồi người ta chứng minh

được trong môi trường đẳng hướng, vận tốc của sóng dọc:

lần lượt là hệ số đàn hồi, suất đàn hồi (suất Young) và khối lượng riêng của

• Vận tốc của sóng ngang:

G là suất trượt của môi trường

b) Chu kỳ và tần số của sóng là chu kỳ và tần số của các phần tử dao động của môi trường.

c) Bước sóng của sóng là quãng đường mà sóng truyền được sau khoảng thời gian một chu kỳ

G v

Nói một cách khác :

Sóng truyền theo một phương xác định và đặc trưng bằng các dao động xảy ra hoàn toàn giống nhau trên các mặt phẳng thẳng góc với phương

truyền sóng được gọi là sóng phẳng chạy Biểu

thức trên mô tả sóng phẳng chạy theo trục y với vận tốc v gọi là hàm sóng.

Sóng phẳng đơn sắc là sóng mà dao động tại mỗi

điểm là dao động điều hoà

v

Xét một sóng phẳng truyền theo phương Oy

trùng với tia sóng Giả sử dao động của phần tử nằm tại điểm O ứng với tọa độ y = 0 có dạng

Nếu sóng truyền theo chiều ngược lại thì:

Đối với sóng cầu, biên độ của nó giảm tỷ lệ nghịch với khoảng cách nên PT sóng cầu :

k là hệ số tỷ lệ phụ thuộc tính chất của môi trường

Vậy u có tính chất tuần hoàn theo cả thời gian

(với chu kỳ ) và không gian (với chu

Có thể biểu diễn hàm sóng dưới dạng số phức:

Đặt gọi là vecto sóng, là vecto đơn vị hướng theo chiều truyền sóng

Hàm sóng là nghiệm của phương trình vi phân

gọi là phương trình truyền sóng Có thể tìm thấy

dạng của phương trình sóng như sau: lấy đạo

hàm hạng hai của u theo thời gian:

Lấy đạo hàm hạng hai của u theo không gian:

Nếu sóng truyền trong khắp không gian thì phương trình sóng có dạng tổng quát:

là toán tử Laplace trong hệ toạ độ Descartes

III Năng lượng của sóng cơ

1 Năng lượng sóng: năng lượng sóng chứa trong thể tích dV gồm động năng và thế năng tương tác của các phần tử môi trường chứa trong thể tích đó.

Giả sử hàm sóng có dạng:

Người ta chứng minh được năng lượng sóng

trong thể tích dV nằm trên phương truyền sóng y là:

2cos( y)

3 Vectơ Umốp – Pointing:

Năng lượng sóng truyền theo chiều truyền sóng nên người ta đưa ra vectơ Umốp – Pointing:

Vectơ này hướng theo chiều của vận tốc truyền sóng và có trị số bằng năng lượng sóng trung

bình truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương truyền sóng sau mỗi đơn vị thời gian.

.

IV.Sóng âm

1 Khái niệm mở đầu:

Sóng âm là các sóng cơ học có tần số trong

khoảng từ 20Hz đến 20.000Hz mà thính giác của

ta có thể nhận biết được.

Những dao động cơ có tần số dưới 20Hz gọi là hạ

âm, trên 20.000Hz gọi là siêu âm.

Vận tốc truyền âm trong chất khí:

2 Những đặc tính sinh lý của âm:

Nhờ thính giác, con người có thể phân biệt được

ba đặc tính sinh lý của âm là: độ cao, âm sắc và

độ to.

* Độ cao của âm do tần số của âm quyết định.

* Âm sắc đặc trưng cho sắc thái của âm, nó cho ta biết âm thanh hay rè, trong hay đục Âm sắc do

đồ thị dao động của âm quyết định.

* Độ to: để đặc trưng cho độ to người ta dùng hai đại lượng là cường độ âm và mức cường độ âm.

Cường độ âm: là năng lượng sóng âm truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương

truyền sóng trong một đơn vị thời gian Đơn vị là (W/m 2 )

Cường độ âm đặc trưng cho độ mạnh của âm về

phương diện vật lý Tuy nhiên độ to của âm không

tỷ lệ thuận với cường độ âm.

Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm

nhỏ nhất I o = 10 -12 W/m 2 ứng với tần số 1000Hz

gọi là ngưỡng nghe Cường độ âm I = 10W/m 2

gây cho tai ta cảm giác đau đớn không phụ thuộc tần số gọi là ngưỡng đau.

2 2

1 2

I   vA 

• Độ to của âm đặc trưng cho độ mạnh của âm về

phương diện sinh lý Độ to của âm chỉ có ý nghĩa

trong khoảng tần số từ 20Hz đến 20.000Hz mà tai người có thể nghe được Độ to L của âm được xác định theo công thức :

• Bài 2: Một máy bay bay trên đầu ở

độ cao 100m Mức cường độ âm trên mặt đất khi máy bay bay qua đầu là 150dB Hỏi độ cao mà máy bay phải bay để cho trên mặt đất mức cường

độ âm không quá 120dB Bỏ qua thời gian cần thiết để âm truyền đến mặt đất.

V Hiệu ứng Doppler:

Là sự dịch chuyển tần số mà máy thu nhận được khi có sự dịch chuyển giữa nguồn âm và máy thu Xét trường hợp phương chuyển động của nguồn

âm và máy thu nằm dọc theo đường nối chúng và môi trường đứng yên.

Gọi u là vận tốc chuyển động của nguồn âm A, u’

là vận tốc chuyển động của máy thu B, v là vận tốc truyền âm.

u > 0 u’ > 0

Qui ước , nếu nguồn âm đi tới gần máy thu thì

u > 0, đi xa máy thu thì u < 0, nếu máy thu đi tới gần nguồn âm thì u’ > 0, đi xa nguồn âm thì

u’ < 0.

Ta có: là số sóng âm truyền đi

trong một đơn vị thời gian, vì vậy muốn tính tần

số của âm do máy thu nhận được, ta đi tính số

sóng âm mà máy thu nhận được trong một đơn vị thời gian.

f

Xét trường hợp tổng quát : nguồn âm và

máy thu đều chuyển động Giả sử nguồn

âm và máy thu đi tới gặp nhau ( u > 0, u’ > 0) Vì máy thu đi tới gần nguồn âm nên có thể coi vận tốc truyền âm được tăng thêm một lượng u’ và bằng v’ = v + u’.

Vận tốc truyền âm v chỉ phụ thuộc môi

trường truyền âm mà không phụ thuộc

chuyển động của nguồn âm, nên khi nguồn

âm chuyển động thì v không thay đổi, mà chỉ có bước sóng của âm phát ra bị thay đổi



Vì ta biết rằng hai sóng liên tiếp phát ra cách

nhau một khoảng thời gian bằng chu kỳ T thì sẽ cách nhau một đoạn Nếu nguồn âm A đứng yên thì sau một khoảng thời gian bằng chu

kỳ T sóng a do nguồn phát ra truyền đi được một đoạn Vì vậy sóng b ( đường cong chấm chấm), do nguồn âm vừa phát ra phải cách sóng

a một đoạn bằng bước sóng đó Nhưng vì trong khoảng thời gian T này, nguồn A đã di chuyển

được một đoạn uT thì sóng b (đường cong liền

Như vậy có thể coi bước sóng do nguồn âm phát

ra là Vậy tần số của âm mà máy thu nhận

được trong trường hợp nguồn âm và máy thu đi tới gặp nhau:

Ta có công thức tổng quát cho mọi trường hợp:

Chọn dấu ở tử số và mẫu số như sau:

Khi nguồn âm lại gần máy thu, tần số tăng nên mẫu số lấy dấu trừ, khi nguồn âm ra xa máy thu, tần số giảm nên mẫu số lấy dấu cộng Khi máy

thu lại gần nguồn âm tần số tăng nên tử số lấy

dấu cộng, khi máy thu ra xa nguồn âm tần số

giảm nên tử số lấy dấu trừ.

Ví dụ:

1) Hai tàu ngầm A và B chuyển động theo hướng

đâm đầu vào nhau trong nước đứng yên Tàu A

chuyển động với tốc độ 50km/h, tàu B 70km/h

Tàu A phát đi một sóng âm có tần số 1000Hz

Vận tốc sóng âm trong nước là 5470km/h Hỏi

a) Tần số của tín hiệu do tàu B thu nhận.

b) Tần số do tàu A thu nhận của tín hiệu phản xạ

từ tàu B

a) A là nguồn phát, B là máy thu

b) B là nguồn phát, A là máy thu

• Một quan sát viên đứng yên nhận các dao động

âm từ hai cái âm thoa, một cái đang tiến lại gần còn cái kia đang lùi ra xa với cùng tốc độ Khi đó quan sát viên nghe được phách có tần số f = 2Hz Tìm tốc độ của mỗi âm thoa, nếu tần số dao động của chúng là f 0 = 680Hz và vận tốc âm trong

không khí là v = 340m/s

• Gọi f 1 là tần số QSV nhận được từ âm thoa tiến lại gần và f 2 là tần số QSV nhận được từ âm thoa tiến ra xa, ta có:

• Bài tập: Một nguồn dao động âm có tần số f

= 1700 Hz và một máy thu được đặt tại một điểm Tại thời điểm t = 0 nguồn bắt đầu đi

ra xa máy thu với gia tốc không đổi a = 10 m/s2 Coi vận tốc của âm là v = 340 m/s, tìm tần số dao động mà máy thu đứng yên thu được sau t = 10s kể từ sau khi nguồn bắt

• Vì âm cần thời gian để truyền đến máy thu, nên

tần số mà máy thu thu được sau 10s là tần số do nguồn âm phát ra tại thời điểm t 1 < t, với:

1

1 2

2 '

V.Sóng điện từ:

Sóng điện từ là trường điện từ biến thiên truyền

đi trong không gian.

1.PT sóng điện từ:

Các PT Maxwell của SĐT trong môi trường

không có điện tích và không có dòng điện:

2 2

2 2

2

2 2

t E

Tương tự PT truyền sóng của từ trường:

2 2

1

0

B B

n



n  

3 Sóng ĐT phẳng đơn sắc:

Là SĐT, trong đó trường chỉ phụ thuộc vào một tọa độ Các mặt sóng là các mặt phẳng song

song; nghĩa là phương truyền sóng là những

đường song song và nguồn sóng coi như ở rất xa Nếu sóng truyền theo phương của trục x thì các phương trình của trường có dạng:

Nghiệm của các PT trên là:

(1) là phương trình của SĐT phẳng đơn sắc, nếu sóng truyền theo chiều ngược lại thì trong các PT trên thay x bằng –x

Đối với SĐT phẳng đơn sắc, theo các PT Maxwell

c) luôn luôn dao động cùng pha, và có trị số

4 Năng lượng và năng thông SĐT:

w w

gọi là vecto Umop – Pointing

Vì theo thứ tự tạo thành tam diện thuận nên:

Cường độ sóng điện từ : là một đại lượng có trị số bằng trị trung bình theo thời gian của mật độ

năng thông tại một điểm.

Đối với sóng điện từ phẳng đơn sắc

2 0

Ví dụ: Điện trường của một sóng điện từ phẳng được cho bởi

Sóng được truyền dọc theo chiều dương của trục

x Hãy viết các biểu thức cho các thành phần từ trường của sóng

• Điện trường hướng theo trục z, sóng truyền theo

chiều dương của trục x nên từ trường hướng theo trục y và điện trường và từ trường dao động

m m

x

c E

• Một người quan sát ở cách một nguồn

sáng điểm có công suất P = 250W là

1,8m Tính các giá trị hiệu dụng của

điện trường và từ trường do nguồn

sáng gây ra tại vị trí của người quan sát Coi nguồn bức xạ đều theo mọi

hướng.

• Cường độ sóng điện từ tại vị trí người

quan sát:

0 2

0 2

7

48 4

1, 6.10

hd

hd hd

Ví dụ:Một SĐT truyền theo chiều y âm Tại một

vị trí và một thời điểm, điện trường hướng dọc theo trục z dương và có độ lớn 100 V/m Hỏi

chiều và độ lớn của từ trường tại vị trí và thời điểm đó.

100

33, 3.10 3.10

• Vecto cường độ điện trường của một trường điện

• Điện trường hướng theo trục x, sóng truyền theo

trục z, nên từ trường hướng theo trục y.

Điện trường và từ trường dao động cùng pha

8 8

0 8

8

0

4 5.10

5.10

5.10

m m