Giao trinh bai tap c5 phan tich phuong an theo pp khac phan 2

Biến thiên khối lượng chất của đoạn dòng chảy này trong thời gian ∆t này là: t t Nếu dòng chảy chỉ xảy ra sự đơn chuyển chuyển tải, thì thông lượng được tính theo phương trình: A – diện

Chương 4: LAN TRUYỀN CHẤT

Sông ngòi vừa là nơi cung cấp nước (nguồn sinh họat), vừa là nơi tập trung nước thải (từ các nhà máy, khu công nghiệp, cống thải…) Kinh tế càng phát triển, chất lượng nước trong sông ngòai càng giảm Vật chất lan truyền trong sông có n hiều dạng khác nhau, và bài tóan tính lan truyền là vấn đề bắt buộc phải được đề cập đến Để nghiên cứu vấn đề này, ta cần hiểu từ những lý thuyết cơ bản về sự truyền chất, những phương trình vi phân mô tả sự lan truyền các chất trong dòng chảy

I PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN

C

∂

∂+

Hình 1 – Sự lan truyền chất qua hai mặt cắt

C

Jvao

Phương trình lan truyền chất được thiết lập từ định luật bảo toàn khối

lượng trong không gian vi phân nằm giữa hai mặt cắt ướt kênh

Xét đoạn dòng chảy mang vật chất giới hạn bởi hai mặt cắt có toạ độ x (mặt cắt 1-1) và x+∆x (mặt cắt 2-2) (hình 1)

Nồng độ chất tại mặt cắt 1-1 là C, và tại mặt cắt 2-2 là (C+ x

∂

Chênh lệch nồng độ ra-vào đoạn kênh qua hai mặt cắt ướt trong thời gian

∆t là:

t t

C ∆

∂

∂

Gọi ∆W là thể tích của đoạn dòng chảy đang xét ∆W=A ∆x

Biến thiên khối lượng chất của đoạn dòng chảy này trong thời gian ∆t này là:

t t

Nếu dòng chảy chỉ xảy ra sự đơn chuyển (chuyển tải), thì thông lượng được tính theo phương trình:

A – diện tích mặt cắt ướt của đoạn dòng chảy

Thông lượng này do vận tốc dòng chảy gây ra

Nếu dòng chảy là dòng rối, tức là ở đây xảy ra cả quá trình chuyển tải và quá trình khuếch tán, thì thông lượng được tính theo phương trình:

x

C E UC J

∂

∂

−

Với: E - hệ số khuếch tán dọc theo phương x

Trong đó, thành phần thứ hai của vế phải phương trình (3) có được dựa theo định luật I Fick

Để đảm bảo tính tổng quát, người ta dùng phương trình (3) để tính thông lượng chất ra và vào đoạn kênh, tức là dòng chảy trên đoạn sông đang xét được tính đến quá trình chuyển tải và khuếch tán

Gọi R (hình 1) là khối lượng chất tăng lên hay mất đi trong một đơn vị thời gian trong đoạn kênh do phản ứng

Ta suy ra khối lượng chất thay đổi trong đoạn kênh trong khoảng thời gian

∆t là:

(J vao A−J ra A±R)∆t (4) Cân bằng phương trình (1) và (4), ta được:

R A J A J t

C – nồng độ chất

Jvao – thông lượng của khối chất vào đoạn dòng chảy

Jra – thông lượng của khối chất ra khỏi đoạn dòng chảy

R – khối lượng chất tăng lên hay mất đi trong một đơn vị thời gian do phản ứng, phân hủy, lắng đọng, gia nhập, phát triển, …

Theo phương trình (3), thông lượng vào được xác định:

x

C E UC

x

C x x

C E x x

C C U

Để xác định R, nếu chỉ xét đến phản ứng phân hủy (phản ứng này làm

cho vật chất bị mất đi) bậc 1 (tỷ lệ bậc 1 với khối lượng vật chất biến đổi trong thể tích đang xét), thì :

trong đó K là hệ số của phản ứng

Thay (6), (7), (8) vào phương trình (5), ta được:

C E x

C U t

∂

∂+

C AE x

x - thành phần vật chất do khuếch tán

• (AUC)

x

∂

∂ - thành phần vật chất do chuyển tải

• AG(C) – thành phần vật chất của dòng gia nhập hay tách đi (mg/s/m)

A

C C q C

=)( trong trường hợp bổ sung nước

Với Cb là nồng độ của nguồn nước bổ sung; q là lưu lượng gia nhập trên một đơn vị chiều dài kênh

- G(C) = 0 trong trường hợp lấy nước (bơm, tưới, …), vì Cb=C

• Af(C) – tính đến sự thay đổi của mỗi thành phần Những thay đổi này xảy

ra cho các thành phần cá nhân hoặc phần tử độc lập của sự chuyển tải, khuếch tán, bao gồm: tác động vật lý, hoá học, sinh học và những tương tác xảy ra trong dòng chảy Ví dụ: tái thông khí, sự phát triển của tảo, tốc độ chết Coliform, lắng đọng, tương tác, …

Thông thường hai thành phần cuối này có dạng chung:

p KC C

G C

Như vậy, phương trình đạo hàm riêng phần của quá trình lan truyền chất mô tả sự biến thiên của nồng độ chất theo không gian và thời gian có thể viết lại như sau:

p KC x

C E x

C U t

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN

Phương trình vi phân trên chưa có nghiệm giải tích (trừ một số trường hợp đơn giản)

Có nhiều phương pháp số giải hệ phương trình lan truyền chất: phương pháp phân rã, phu7ong pháp đường đặc trưng, phương pháp sai phân hữu hạn, thể tích hữu hạn… Việc giải phương trình này bằng phương pháp sai phân hữu hạn là

rất phổ biến với nhiều sơ đồ sai phân được khác nhau nhằm giải quyết bài toán lan truyền Phương trình (12) giải được, cần có điều kiện ban đầu và hai điều kiện biên trên mỗi nhánh Sau đây sẽ trình bày một vài phương pháp trên

2.1 Các phương pháp số

Người ta giải hệ phương trình lan truyền bằng phương pháp số, nghĩa là

xác định C tại một số điểm nào đó trong không gian theo thời gian

Các phương pháp số như sau: phương pháp phân rã (bao gồm phương pháp đường đặc trưng để giải phương trình tải thuần tuý, và phương pháp sai phân hữu hạn để giải phương trình khuếch tán thuần tuý), phương pháp sai phân hữu hạn (giải toàn bộ phương trình lan truyền), … ứng với nhiều sơ đồ giải như sơ đồ ẩn, sơ đồ hiện

2.1.1 Phương pháp phân rã:

x

C E x

C U t

điều kiện ban đầu của C2=C1n (bài toán này giải bằng phương pháp sai phân hữa

hạn) C 2 sẽ là nghiệm của phương trình lan truyền (12)

Cứ như thế ta lần lượt giải xen kẻ giữa hai bài tóan trên

2.1.2 Phương pháp đường đặc trưng

™ Nguyên tắc:

Đưa bài tóan giải trực tiếp phương trình lan truyền về bài toán giải hệ phương trình vi phân toàn phần trên họ các đường đặc trưng

Đường đặc trưng là một đường cong trên mặt phẳng toạ độ không gian và

thời gian Trên đường đặc trưng đó, phương trình đạo hàm riêng trở thành phương trình vi phân toàn phần

Tuy nhiên, để dẫn đến phương trình vi phân toàn phần, phải đặt một số điều kiện, ví dụ như bỏ qua thành phần khuếch tán, chỉ chuyển tải thuần tuý Nên phương pháp đường đặc trưng không cho kết quả thực tế

Tuy nhiên, phương pháp đường đặc trưng là một phương pháp cơ bản, có ý nghĩa vật lý cụ thể Là nền tảng mở đầu cho những phương pháp hiện đại hơn

2.1.3 Phương pháp sai phân hữu hạn

™ Nguyên tắc:

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp số để giải phương trình lan truyền có hiệu quả cao Phương trình đạo hàm riêng được sai phân trong lưới X-t

Lưới X-t được xác định bởi trục khoảng cách X và trục thời gian t Theo chiều thời gian, các lớp lưới cách nhau một khoảng ∆t, còn theo chiều không gian là ∆x Thông thường ∆t không thay đổi từ lớp thời gian này sang lớp thời gian kia, tuy nhiên trong một số trường hợp cũng có thể thay đổi Còn ∆x có thể thay đổi khi đi từ mặt cắt này sang mặt cắt khác

n+1

n j

Trong hình 2, mỗi điểm trên lưới được xác định bằng chỉ số thời gian (kí hiệu n) và không gian ( kí hiệu j)

Sơ đồ số trị chuyển phương trình đạo hàm riêng thành những phương trình sai phân đại số hữu hạn Các phương trình này trình bày sai phân riêng và tạm thời trong các điểm chưa biết ở bước thời gian n+1, và bước thời gian n đã biết Lời giải của phương trình lan truyền sẽ được tính từ thời gian này đến thời gian sau một cách liên tục

Khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, ta có thể dùng nhiều loại sơ đồ sai phân khác nhau Các sơ đồ có thể chia làm hai loại: sơ đồ sai phân ẩn và

sơ đồ sai phân hiện

− Sơ đồ sai phân hiện: các yếu tố nồng độ chất ở bước thời gian sau được tính

trực tiếp từ các yếu tố ở bước thời gian trước đó Điều kiện là sử dụng ∆t đủ nhỏ để cho bài toán ổn định

− Sơ đồ sai phân ẩn: các yếu tố nồng độ chất ở bước thời gian sau phụ thuộc

lẫn nhau và liên hệ với các yếu tố ở bước thời gian trước đó Với sơ đồ này, không cần điều kiện cho bước thời gian ∆t

III ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN

Phương trình lan truyền (11) (hay (12)) là phương trình đạo hàm riêng loại

parabol Để giải phương trình này cho một nhánh sông, cần biết giá trị biên tại mỗi đầu nhánh và giá trị ban đầu tại tất cả các mặt cắt

1 Điều kiện ban đầu

Áp đặt giá trị nồng độ ban đầu tại tất cả các mặt cắt:

C(x,0) =Ci (với i= 1, 2, 3, …,N)

Trong đó, N – số mặt cắt trong nhánh

Trong quá trình giải bài toán lan truyền, giá trị biên lan truyền theo hướng dòng chảy với vận tốc U Nếu dòng chảy chỉ theo một hướng nhất định thì sau một khoảng thời gian nào đó, toàn miền sẽ chịu ảnh hưởng của biên và không chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu Tuy nhiên, do các dao động tuần hoàn của thuỷ triều làm dòng chảy luôn đổi hướng, nên ảnh hưởng của điều kiện ban đầu trong bài toán truyền chất tồn tại lâu phụ thuộc vào tốc độ truyền triều, địa hình, … ; các điểm xa nguồn xả, ảnh hưởng của điều kiện ban đầu khá lâu

Vì thế, giá trị nồng độ ban đầu tại tất cả các mặt cắt: C(x,0) =Ci, được xác định theo các phương pháp sau:

− Căn cứ vào số liệu thực đo tại một số trạm, cho trước một phân bố nồng độ nào đó dựa trên nội suy tuyến tính

− Dựa vào nồng độ biên và điều kiện thuỷ lực của sông, khởi tạo nồng độ tại các biên xa nguồn thải một giá trị rất nhỏ (hay bằng 0), các giá trị nồng độ tại các mặt cắt khác được nội suy tuyến tính

− Giả sử nồng độ ban đầu của các mặt cắt đều bằng 0 Sau một khoảng thời gian tính, các nồng độ này sẽ bị chi phối bởi nồng độ ở biên

2 Điều kiện biên

Xác định điều kiện biên ở cửa sông là xác định giá trị của nồng độ chất

trung bình qua mặt cắt ngang theo thời gian Có thể cho rằng, trong suốt khoảng thời gian thuỷ triều dâng lên, nồng độ biên ở cửa sông bằng với nồng độ đo đạc ở biển Trong khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ này được chi phối bởi sông, cụ thể là bởi nồng độ tại các mặt cắt trước đó về phía thượng lưu Nồng độ này cần được tính toán

Vì rằng ở cuối khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ chất của nước chảy

ra khỏi cửa sông khác nồng độ ở biển Do đó ở thời gian đầu lúc thuỷ triều dâng, có sự thay đổi dần từ nồng độ ở cuối thuỷ triều rút tới nồng độ ở biển Diễn biến này xảy ra trong một khoảng thời gian t0, phụ thuộc vào điều kiện thực tế ở biển Hình 3 biểu diễn sực biến thien độ mặn ở biên cử sông giáp với biển

Trong đó:

t0 – khoảng thời gian chuyển từ nồng độ (thấp) ở thời kỳ cuối thuỷ triều rút đến nồng độ ở biển lúc đầu thuỷ triều dâng, được gọi là khoảng thời gian chuyển tiếp

C0 – nồng độ ở biển

T – chu kì thuỷ triều

Thông thường giá trị t0 rất nhỏ, cho bằng t0/T = 0.05 – 0.15

Dựa trên cơ sở đã trình bày về điều kiện biên, nồng độ chất ở biên nói chung (bao gồm biên ở cửa sông, biên ở thượng lưu) được xử lý như sau:

− Đối với biên lỏng:

Khi dòng chảy hướng từ ngoài vào miền tính, nồng độ chất ở biên bằng nồng độ chất cho trước (thường được nội suy từ dãi các giá trị theo thời gian)

Thông thường, dưới ảnh hưởng của thủy triều, đối với một bước thời gian tương đối nhỏ, quá trình lan truyền do chuyển tải là quan trọng Quá trình lan truyền do khuếch tán chỉ ảnh hưởng tích luỹ sau một khoảng thời gian dài, còn trong một

bức thời gian ∆t nhỏ thì hầu như nồng độ chất không bị ảnh hưởng bởi quá trình này Vì thế, cho một bước thời gian ∆t, tại biên ta có thể giả thiết vật chất lan truyền qua biên chỉ do truyền tải, và như vậy thì thành phần 22 =0

KC x

C U t

Vậy, nồng độ các nút ở bước thời gian trước (điều kiện ban đầu) và các nút biên ở bước thời gian sau (điều kiện biên) đã được xử lý Bài toán truyền chất trên mạng kênh sông được đưa về bài toán trên các nhánh sông nếu điều kiện tại hợp lưu được xác định

IV XÁC ĐỊNH NỒNG ĐỘ BIÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG

Như lí luận trên, trong trường hợp ở biên,

dòng chảy từ miền tính hướng ra biên, thì nồng

độ tại biên là nghiệm của phương trình tải như

sau:

KC x

C U

t

∂

∂ +

∂

Phương trình (13) được giải trên cơ sở lí thuyết:

Theo quan điểm Lagrange, một hạt lỏng ở thời điểm t nằm tại điểm A, với vận tốc U hạt lỏng sẽ dịch chuyển theo một quỹ đạo nào đó để đạt tới điểm B tại thời điểm t+∆t (hình 4) Như vậy, trong quá trình tải thuần túy, nếu hạt chất lỏng không thay đổi, nồng độ tại B sẽ bằng một hàm số tính theo nồng độ tại A :

C( B , t + ∆t ) = f(C( A , t)) Như vậy để xác định được nồng độ tại điểm B chỉ cần đi ngược lại quỹ đạo tới điểm A, tại đây ta đã biết nồng độ (nồng độ tại A được biết trước hoặc được nộ suy từ các điểm lân cận) Quá trình vừa mô tả trên là cơ sở lý thuyết của phương pháp đường đặc trưng đối với phương trình tải

dx x

C t

∂

∂ +

∂

Vế trái chính là đạo hàm toàn phần của C theo thời gian t, nên:

KC dt

Tương đương:

Kdt C

Trong đó, const là hằng số

Suy ra nghiệm của phương trình (13a) có dạng:

Kt

e const

Ta xét các điều kiện để tìm const:

Tại thời điểm t=t0, ta có nồng độ C=C0, suy ra:

0

0

Kt e

C

Như vậy, tại thời điểm t=t0+∆t, nồng độ là C tính bằng:

t K t

t K Kt

Ghi chú rằng nghiệm C theo (14) chỉ đúng trên họ đường đặc trưng dx=Udt

Tóm lại: Trong phương pháp đường đặc trưng, có ba bước cần tiến hành:

− Bước 1: xác định giá trị tại chân đường đặc trưng (tại A)

Theo chứng minh như trên, phương trình (13) có miền xác định nằm trên họ đường đặc trưng là dx=Udt

Trong khoảng vi phân ∆t, U được xem là hằng số Trong thực tế tính toán,

U được tính là trung bình giữa hai lớp thời gian n và n+1

Với giả thiết trên, trong khoảng thời gian ∆t các đường cong dx=Udt được xem là các đường thẳng song song Để xác định chân đường đặc trưng chỉ cần tính ∆x’ (hình 5)

− Bước 2: nội suy giá trị nồng độ tại chân đường đặc trưng (tại A) qua các giá

trị đã biết

Nồng độ chất ở bước thời gian n được biết tại tất cả các điểm; nếu A giữa các điểm xi và xi-1, thì phải dùng phương pháp nội suy để suy ra nồng độ tại A (có nhiều phương pháp nội suy, ở đây để đơn giản, nồng độ tại A được nội suy tuyến tính)

− Bước 3: tính giá trị tại B ở lớp thời gian n+1 theo (14): 0 K t

V GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI

PHÂN HỮU HẠN

Cho đến nay, có nhiều sơ đồ được đưa ra để giải bài toán lan truyền chất Phần này trình bày 3 sơ đồ sai phân: Sơ đồ hiện theo Chevereau và Preissmann,

sơ đồ ẩn Crank Nicolsion và sơ đồ ẩn Upwind

Hình 6 – Lưới sai phân theo sơ đồ Chevereau và Preissmann

5.1 Sơ đồ Chevereau và Preissmann

Đây là sơ đồ hiện trung tâm (hình 6) Theo không gian, thành phần

khuếch tán tại điểm i-1/2 được sai phân như sau:

1 2

1 2 1 2

n i n i i i

C C E A x

C

Thành phần khuếch tán tại điểm i+1/2:

i i

n i n i i i

C C E A x

C AE

1 2

1 2 1 2

Sự chênh lệch nồng độ trong khối thể tích theo thời gian:

t

C A C A t

AC t

C C A t

C A

n i n i n i n i i

n i n i i

C AU x

C AE x t

)(1

1

1 2

/ 1

1

1 2 / 1 1

1 2

/ 1 2

/ 1 2 / 1 1

i n i i i i

n i n i i

i i

n i n i i i

i

n i n i i i

x

C C AU

x x

C C AE x

x

C C AE x

x t

−

−

−

− +

+

Phương trình trên tương đương với:

n i i n i i

i

n i n i i

i

i i

n i n i i i

i

n i n i i i

x

C C A

AU t

x x

C C AE x

x

C C AE x

x

A

t C

++

−

∆+

−

−

−

− +

+

)(

)(

1

1 2

/ 1

1

1 2 / 1 1

1 2

/ 1 2

/ 1 2 / 1

t

5.2 Sơ đồ Crank Nicolsion

Đây là sơ đồ ẩn, được sử dụng tương đối phổ biến, có bậc chính xác là 2

với sai số sai phân 0( 2, 2)

x

t ∆

∆Các đạo hàm riêng được sai phân theo công thức:

t

C C

2

2

2 x

C C

x

∆

∂+

p KC x

C E x

C U t

∂

∂+

Dùng sai phân tiến cho thời gian và sai phân trung tâm cho không gian, ta được phương trình sau (hình 7):

i

n i n i i

n i n

i n

i n i n

i n

i

p C C K x

C C

E x

C C U t

C C

2 2

Ta đặt:

x

t U x

t E

C t K C

C C

t K C

i n i n

i i n

i

n i n

i i n

i

∆+

−+

∆+

−++

=

−+

∆

−+++

−

+

−

+ + +

+

−

2)

()2

2()

(

)()

22()

(

1 1

1 1 1

1 1

λ γ λ

γ λ

λ γ λ

γ λ

Phương trình (25) có dạng:

i n

i n i i n i

+ + +

1 1

1

)(λ +γ

2

b i = + λ− i∆

)(γ −λ

=

i c

t p C

C t K C

d i =(λ+γ) i n−1+(2−2λ+ i∆) i n+(γ −λ) i n+1+2 i∆

Các thành phần ai, bi, ci, di đều tính được ở bước thời gian n

5.3 Sơ đồ Upwind

Phương trình truyền chất (1) được viết lại:

( ) ( ) (AUC) A( KC p)

x x

C AE x

Trong sơ đồ này:

• Thành phần biến thiên theo thời gian sử dụng sai phân tiến