Giao trinh bai tap ppt hướng dẫn giải chi tiết đề cuối kì 2

bSử dụng phương pháp Gauss-seidel với x0 = 0,…,0T tìm nghiệm gần đúng x5.So sánh kết quả với câu a.. B =Nghiệm phương trình: x= bNghiệm gần đúng x5 x5 = Nghiệm gần đúng x5 rất gần với n

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHUONG PHÁP TÍNH

GVHD: Lê Thái Thanh

Năm học: 2013-2014 Lớp: DT09

Họ tên sinh viên: Nguyễn Hoàng Thân MSSV:41303798

Tham số M=4.31

TP Hồ Chí Minh, tháng 7/2014 Câu 1: Khảo sát và tìm tất cả các nghiệm của phương trình sau (kể cả nghiệm

phức):

x3 - 3.5Mx2 + x + 2M=0

Giải

Đặt f(x) = x3 - 3.5Mx2 + x + 2M

f ‘(x)= 3x2 – 30.17x + 1

Phương trình f ‘(x) = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt

⌊𝑥1 = 10.0234

𝑥2 = 0.0333

f(x1)f(x2) = -4230.973 < 0

Hàm số f(x) có cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục Ox nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

[

𝑥 = 14.9798

𝑥 = 0.813

𝑥 = −0.7078

Câu 2 : Cho hệ phương trình Ax=b với A= (𝑎𝑖𝑗)𝑖,𝑗=1𝑛 , b = (b1, ,bn)T và n = 10 cho bởi

aij=

{

3.5𝑀 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗

1 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = 1 0.5 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = 2

0 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐á𝑐 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

và bi={0 𝑛ế𝑢 𝑖 𝑐ℎẵ𝑛𝑀

𝑖 𝑛ế𝑢 𝑖 𝑙ẻ

(a)Sử dụng phương pháp choleski, tìm ma trận B trong phân rã A=BBT Sau đó giải hệ

(b)Sử dụng phương pháp Gauss-seidel với x(0) = (0,…,0)T tìm nghiệm gần đúng

x(5).So sánh kết quả với câu (a)

Giải

(a)Ma trận B cần tìm:

B =

Nghiệm phương trình:

x=

(b)Nghiệm gần đúng x(5)

x(5) =

Nghiệm gần đúng x(5) rất gần với nghiệm đúng x Sai số nhỏ hơn

10-5 nên khi làm tròn đến 4 chữ số ta thấy kết quả hoàn toàn giống nhau

Câu 3: Cho bảng nội suy với số liệu sau: n=10

x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

y 2.11 2.46 2.77 M 3.45 3.84 2M 5.21 4.83 1.5M 3.12

(a) Xây dựng đa thức P(x) = a0 + a1x + … +a10x10 nội suy bảng số trên Tính các hệ

số ai , i = 0, 1, … , 10 và vẽ đồ thị P(x)

(b)Xây dựng hàm spline bậc ba tự nhiên g(x) đối với bảng số đã cho Xác định các

hệ số Vẽ đồ thị của g(x)

(c)Vẽ đồ thị của P(x) và g(x) trên cùng một hệ trục toạ độ So sánh

Giải

(a) Các hệ số ai , i= 0, 1, … , 10

a0 = 75759047.8

a1 = -537591864.3902

a2 = 1706486974.4904

a3 = -3191029635.7599

a4 = 3892728832.2335

a5 = -3237090991.8692

a6 = 1858399453.7037

a7 = -727323592.0966

a8 = 185723106.8122

a9 = -27942391.4242

a10 = 1881062.6102

Đồ thị P(x):

(b)Các hệ số cần tìm

3.84 40.2522 537.6796 -4622.0109

Đồ thị g(x):

(c) Đồ thị P(x),g(x): ( g(x) là đường màu đỏ,P(x) là đường màu xanh )

Câu 4: Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và bước h > 0

(a) Với các điểm nút x0 - 2h, x0 - h, x0, x0 + h, x0 + 2h hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrange xấp xỉ hàm f(x) Từ đó đưa ra công thức xấp xỉ đạo hàm cấp 1 và cấp

2 của hàm f(x) tại điểm x0

(b) Áp dụng đối với hàm f(x) = ( x2 + Mx +1 )ex tại x0 = 1 và bước h = 0.1 So sánh với giá trị chính xác

Giải

L0 = 1

24ℎ4 (x-x0+h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)

L1 = −1

6ℎ 4 (x-x0+2h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)

L2 = 1

4ℎ 4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0-h)(x-x0-2h)

L3 = −1

6ℎ 4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-2h)

L4 = 1

24ℎ 4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-h)

f(x)≃y0.L0(x)+y1.L1(x)+y2.L2(x)+y3.L3(x)+y4.L4(x)

L0’(x0) = 1

24ℎ 4 h(-h)(-2h) = 1

12ℎ

L1’(x0) = −1

6ℎ 4 2h(-h)(-2h) = −23ℎ

L2’(x0)= 1

24ℎ4[h(-h)(-2h)+2h(-h)(-2h)+2h.h(-2h)+2h.h(-h)] =0

L3’(x0)= −1

6ℎ42h.h(-2h) = 2

3h

L4’(x0)= 1

24ℎ 42h.h(-h) = −1

12h

 f’(x0)≃y0.L’0(x0)+y1.L’1(x0)+y2.L’2(x0)+y3.L’3(x0)+y4.L’4(x0)

f’(x 0 ) ≃ 𝟏

𝟏𝟐𝐡(y 0 -8y 1 +8y 3 -y 4 )

L0”( x0)= 1

24ℎ 4(-2h2)= −1

12ℎ 2

L1”( x0)= −1

6ℎ4(-8h2)= 4

3ℎ2

L2”( x0)= 1

4ℎ 4(-10h2)= −5

2ℎ 2

L3”( x0)= −1

6ℎ 4(-8h2)= 4

3ℎ 2

L4”( x0)= 1

24ℎ4(-2h2)= −1

12ℎ2

f”( x0)≃y1.L”0(x0)+y1.L”1(x0)+y2.L”2(x0)+y3.L”3(x0)+y4.L”4(x0)

f”( x 0 ) ≃ 𝟏

𝟏𝟐𝒉 𝟐 (-y 0 +16y 1 -30y 2 +16y 3 -y 4 )

(b) f(x) = 4.9466x4 - 5.5674x3 + 15.4696x2 + 0.281x +2.0226

f’(x0) ≃ 34.3042

f’’(x0) = 56.8934

Câu 5: Xét tích phân

I=∫01𝑥4+2𝑀𝑥+51+𝑀𝑥

Sử dụng công thức Simpson mở rộng, hãy xấp xỉ tích phân với sai số nhỏ hơn 10-6

Giải

I ≃ I* =0.3197

Câu 6: Cho hệ phương trình vi phân cấp 1:

{

𝑥′(𝑡) = 2𝑀𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + 1

𝑦′(𝑡) = −𝑥 + 3𝑀𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + 𝑡

𝑧′(𝑡) = −𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) + 4𝑀𝑧(𝑡) + 𝑡2

thoả điều kiện ban đầu x(0)=0.2, y(0) = 0.5, z(0)=0.8 Sử dụng công thức Runge – Kutta cấp 4, hãy xấp xỉ các hàm x(t), y(t), z(t) trong [0, 1] với bước h = 0.1 Vẽ đồ thị của chúng

-1.090745 3.497345 21.695437

-10814.188872 -17145.886063 109737.157142 -58613.898738 -104298.648139 610753.192713 -320035.195522 -613175.821671 3402301.173238 -1758519.020314 -3534528.190170 18964026.804106

Đồ thị:

Câu 7: Xét bài toán biên

{𝑥

2𝑦′′(𝑥) + 𝑀𝑥𝑦′(𝑥) − 12𝑦(𝑥) = (1 + 𝑥2)𝑒−𝑥

𝑦(1) = 0, 𝑦(2) = 0.5𝑀 1 ≤ x ≤2

Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy xấp xỉ hàm y(x) trong [1, 2] với bước

h = 0.1 Vẽ đồ thị

Giải

y(x)=

Đồ thị: