Giao trinh bai tap chương 7 dòng chảy đều trong ống

Khi lưu chất chuyên động với số Rạ > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tỒn tại trong một lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên.. Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương tr

Trong thực tế lưu chất luôn luôn tổn tại tính nhớt Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động của lưu chất lý tưởng cũng đóng một vai trò quan trọng vì một số lý do sau đây:

1 Khi lưu chất chuyên động với số Rạ > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tỒn tại trong một lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng của tính nhớt đến

sự chuyển động của các phần tử lưu chất là khá bé, khi đó, ta có thể xem dòng lưu chất như

3 Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyên động của lưu chất

sẽ đơn giản hơn, trong một SỐ trường hợp và điềữ kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải

giải tích khá dễ dàng Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực

nghiệm số trên các mô hình toán hoặc hiệu khinh mô hình vật lý

4 Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực như khí động, chuyển động sóng‹<`

6.1 Chuyển động thế (chuyền độnế khồng-đuay)

Trước khi đi vào nội dung chính, ta:cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyên

động thê

e_ Trường lực có thể

Trường lực #` được gọi là có thế, khi công do nó thực hiện đi dọc

theo một đường coág nỗi hai điểm, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và ` điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm này

e Truong dong chảy có thể:

Về mặt toán học, một trường vận tốc # được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế vận tôc o sao cho thỏa điêu kiện sau:

www.datechensvn.com

PGS TS Lé Van Duc

Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy co thế

Phương ( trình (6.1) có thê viết lại như SaU:

Từ đây ta suy ra:

Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của ọ như sau:

+ Trong hệ toa độ Descar†es!

6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyền động thế

Đối với lưu chất không nén được (p=const), lý tưởng (không có ma sát nhớt), chịu tác dụng của trường lực khối F, phuong trinh Euler cho ta:

www.datechengvn.com

Thế (6.12) vào 2 số hạng cuối về phải của phương trình (6.11), ta được:

1ô Cu, Ôu Ou Ou

Thê (6.14) vào (6.13) và sắp xêp lại, ta được:

Cuối cùng chúng ta đạt đừợc phương trình Bernoulli áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển

động chỊu tác dụng của.tro'f@ lực (lực khôi có thê), chuyên động ôn định, có thê (không quay) đôi

với lưu chât lý tưởïấc (không ma sát) và không nén được như sau:

vectơ

6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế

Lẫy rỏt hai về của phương trình vectơ (6.3b), ta được:

rö1(#) = röt(gräd(0))

www.datechensvn.com

Theo công thức toán học ta co:

e Toan tu Grad(@) trong toạ độ cực:

e Toán tử Div () trong toa độ cực:

PGS TS Lé Van Duc

Phương trình (6.23a), (6.23b) hay (6.23c) được gọi là phương trình Laplace, phương trình vị phân

tuyến tính đạo hàm riêng phần Có vô số lời giải thoả phương trình Laplace, do đó lời giải cụ thé cần tìm kiếm sẽ phải thỏa mãn một điều kiện biên nhất định nảo đó

Phương trình (6.24) là phương trình vi phân của đường đăng thé Tích phân phương trình vi phân này, ta sẽ được phương trình đường đăng thê

6.1.3 Hàm dòng trong chuyển động thé phang

Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiêu, hàm dòng và hàm thể là một cặp rât hữu ích được sử dụng đê nghiên cứu.chuyên động thê phăng Hàm dòng \Ứ được định nghĩa sao cho thỏa điêu kiện sau:

Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta có thể kết luận như sau:

© Ta luôn luôn tìm được hàm dòng, không phụ thuộc vào điễu kiện dòng chảy quay hay không quay

e Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tôn tại của hàm dòng

e Truong vận tốc ẩược truy ra từ hàm dòng V tự động thỏa phương trình liên tục

Ta có thê tìm được vi phân toàn phần của \ như sau:

+ Trong hệ tọa độ Descartes

www.datechensvn.com

aya OE tx & ay Ox oy

+ Trong hé toa d6 cuc

Nhu vay trong dong thé phang, ham dong théa phuong trinh Laplace

6.1.3.2 Quan hé giira duéng V = const-va duong dong

Phuong trinh cé ‘¥ = const , suy ra d‘¥ =0, suy ra:

Phương trình (6.32) là phương trình của đường dòng

Vậy các đường cong cỗ W = const chính là các đường B

dòng

6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý của đường dòng

và B là hai điêm lân lượt trên C› và C¡ Gọi M là một Hình 6.2

điểm trên đường cong bất kỳ nối hai điểm A và B vận

tốc tại M là ø Lưu lượng đi giữa hai đường đòng C¡

và C; có thê được tính như sau:

q = jz nds

AMB

Voi ds la doan vi phân nằm trên tiếp tuyến với đường cong qua A và B, tai M Va 7 1a vecto don

vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, tại M Ta có thể viết:

www.datechensvn.com

6.1.3.4 Sự trực giao giữa họ đường dòng và đường dang thé

Tại giao điểm của đường dòng và đường đẳng thế, ta có:

Vậy, hai họ đường dòng và đường đẳng thế trực giắo nhau

6.1.3.5 Hàm thế phức

Vì cả hai hàm thế ọ(%.y), ham dong w(x,y) déu thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết của hàm biến phức, ta có thế xây dựng riột hàm-Điến phức như sau:

Với Z=xt i.y; với ¡ là số ảo (1= 4—1), z là biến ảo

Hoặc z=r.e°= = r(cosO 1sin9)

W(z) duge gor ta thệ phức của dòng chảy

Do đó người ta cớ thể nghiên cứu trực tiếp dòng thế qua việc nghiên cứu hàm thế phức này Khi cho trước hàm thế phức w(?), ta có thể dùng các phép biến đôi toán học để đưa về dạng (6.34) Từ đó ta rút ra được: hàm thê là phân thực và hàm dòng là phan ảo

6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng thế phẳng thông qua hàm dòng, hàm thế và thế phức

Khi giải các bài toán có liên quan đến dòng thế phẳng, chúng ta gặp hai loại bài toán chính như sau:

%% Cho trước hàm thế 0(x,y), hoặc hàm dòng (x,y) hoặc hàm thể phức w(z), xác định trường vận tốc của dòng chảy Đây là loại bài toán tìm đạo hàm:

e Nhờ vào phương trình (6.34), ta có thể tìm thấy hàm thế (x,y) hodc ham dong w(x,y)

e Nhờ vào các công thức (6.3c), (6.4b), (6.26) và (6.28) ta có thé tim được các thành phần vận tốc trong hệ toạ độ Descartes hay trong tọa độ cực tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động

www.datechensvn.com

e ĐỂ tim áp suất tại một điểm bất ky trong truong chuyén dong, ta dung phuong trinh Bernoulli (6.21) ap dụng đối với điểm cân tìm và một điểm cho trước (pạ„ uạ), thường là điểm ở xa vô cùng

e Dùng phương pháp vi tích phân, ta có thể tìm được lực do dòng chảy tác dụng lên một đoạn mặt cong nào đó dựa trên áp suất đã tìm được ở bước (rê» Cần chú ý tính chất của áp suất thủy động là tác dụng vuông góc với mặt chịu lực đối với dòng lưu chất lý tưởng (không có

ma sát nhớt)

® Tìm lưu lượng đi qua một đoan cong (thực tẾ là diện tích cong tạo bởi một đoạn thắng (đường sinh) vuông sóc với mặt phẳng xoy, có chiều dày là 1 m, trot doc theo doan cong) nối hai điểm A và B, ta áp dụng công thức (6.33)

s* Cho trước trường vận tốc ủ, yêu cấu tìm hàm thế 0(x,y) hoặc hàm dòng w(x,y) Déy la loại bài toán tìm tích phân, là giải phương trình vi phân Laplace (6.23c) hoặc (6.30) Trong quá trình lấy tích phân xuất hiện hai hằng số tích phân Hai hằng số,tích phân này sẽ được xác

định cụ thể đựa vào hai điều kiện ở xa vô cùng và điều kiện biên

e Điều kiện ở xa vô cùng:

Điểu kiện ở xa vô cùng là các giá trị của vận tốc và áp sbát dúơi mà dòng chảy không

chịu ảnh hưởng của các điểm đặc biệt, hay của vật vein

e Điều kiện biên:

Khi trường dòng chảy bị giới hạn bởi thành rắrí dọè.theø đường cong > Điệu kiện biên có thể có đạng sau:

1) w=const, hay

ii) = =0_ (với 7 là phương pHáp tuyến của biên >)

n

“* Phuong phap chong chap nhiéu ehuyéndong thé:

Vi ham thé (x,y) hoặc hàm dòng w(x,y) đều được mô tả bang cac phuong trinh vi phan dao ham riéng loai tuyén tinh, phuong trinh Laplace, nén ta co thé chong chap nhiéu chuyén động thế đơn giản thànhˆmột chuyên động thê phức hợp (tông hợp nhiều dòng thế phẳng); hoặc phân tích chuyên động thế phức tạp thành nhiều chuyên động thế đơn giản hơn

Gọi ọ¡ và œ¿ là hai chuyên động thế Cả hai thỏa phương trình Laplace:

Chuyên động tông hợp này cũng thỏa phương trình Laplace:

dW = - uy.dx + u;.dy, suy ra:

d'¥ = - U.sin(a).dx + U.cos(a).dy Hình 6.4 Ham dong va thé chuyên động đêu

do đó, (x,y) = U[cos(a).y - sin(ơ).x] + C = u„y - uy.x + C,

Chọn W=0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đó ta được hàm dòng:

e Xác định hàm thế:

Công thức (6.3d), cho:

dọ = u;.dx + uy.dy = U.cos(a).dx + U.sin(a).dy

p(x, y) = U.[cos(a).x + sin(a).y] + C

Chon o =0 khi qua gic tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đỏ'ta được hàm thế:

e Vận tốc dòng chảy xuyên qua tâm điểm nguồn hoặc giếng Thành phân vận tốc pháp tuyến với

đường thắng nối tâm băng không

e Diểm nguôn (giếng) đặt tại điểm M(%u, yạ):

Ta có thể tìm thấy các công thức sau:

e Đường dòng là các đường thăng đi xuyên qua điểm nguồn (giếng)

e Đường đắng thê là các vòng tròn đông tâm, có tâm tại điêm nguôn (giênp), trực g1ao với các đường dòng

www.datechengvn.com

PGS TS Lé Van Duc

6.2.3 Xoáy tự do:

e Khái niệm:

" Dòng xoáy tự do có tâm xoáy là O là một dòng chảy sao cho lưu số dọc theo một đường cong

kín bất kỳ bao xung quanh tâm O một lần không đổi

C

L`> Ú: ngược chiều kim đồng hồ ; ['< 0: thuận chiều kim đồng hồ

= Van tốc dòng chảy theo phương xuyên tâm xoáy sẽ băng không, và chỉ tồn tại thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến với đường thắng xuyên tâm

"m Xét vòng tròn tâm O(0, 0), bán kính r Trong hệ toạ độ cực, ta có công thức tính vận tốc như

e Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm O: Đườn dòng,

Áp dụng công thức (6.28a) và (6.4c), ta có thể tìm được: N / ,

e Ham dong, ham thế của dong xoay tu daCOtG4MWM (xo, Vo):

Áp dụng công thức chuyên trục toạ độ về M(o, yọ) đối với

VỚI : Z¿ = Xo † 1.Vo ; với L' thuận theo qui ước dâu như nêu trên, nghĩa là ['> 0 nêu ngược chiêu kim

đông hô; I'< 0 nêu thuận chiêu kim đông hô

Nhận xét:

= Duong dòng là các vòng tròn đồng tâm, có tâm là tâm xoáy

" Đường đăng thế là các đường thắng xuyên qua tâm xoáy, và trực giao với các đường dòng

www.datechensvn.com

6.2.4 Lưỡng cực:

e Khải niệm:

Xét một dòng chuyển động tổng hợp, tạo bởi một điểm nguồn và một điểm giếng đặt trên trục ox,

đối xứng qua trục oy, cách nhau một đoạn là e, có cường độ là q Áp dụng nguyên tắc chồng chập,

ta có:

V= Wot vn= 0, - ~—0y = -ˆ—(0, - Ô) 27r 27z 27r (6.55)

© = On + On = -— Inứ,) - -—In() = -®—-(nứ,) — InŒ)) (6.56)

Chuyên động của lưỡng cực là chuyên động đượế tạo bởi một cặp điểm nguồn và giếng đặt cách

nhau một đoạn e, có cường độ q, sao cho e.q ->ứnạ khi e — 0 mạ được gọi là cường độ hay

moment của lưỡng cực

2# ( x2 tựi

www.datechensvn.com

e Đường dòng là các vòng tfòn đi quá gốc tọa độ

O, có tâm năm trên trục Ôy

e Dường đăng thê là các vòng tròn đi qua gôc O, có tâm nắm trên trục Ox, và trực g1ao với các đường dòng

6.3 Chồng nhập nhiều chuyền động thế phẳng cơ bản:

Áp dụng nguyên tác chồng chap duge néu 6 muc 6.1.3.6, ta có thể chồng chập nhiều chuyên động thê đơn giản thành một chuyên động thê phức hợp

6.3.1 Dòng chảy đều quanh 1 nguồn: chuyền động quanh 1⁄2 cố thể:

e Chuyên động bao gồm: một chuyên động đều có phương song song trục ox, chiều từ trái qua phải,

với vận tôc là U; một nguôn đặt tại O, có cường độ là q

_q_

tọa độ O, cách O một đoạn , khoảng cách này tỉ lệ thuận với cường độ điểm nguồn (q) và

tỷ lệ nghịch với vận tốc dòng đều (U)

= Đường dòng đi qua điểm dừng:

Đường dòng đi qua điểm dừng có thê được tìm thấy bằng cách thế tọa độ điểm dừng vào phương trình (6.63a), ta được:

www.datechensvn.com

" Hình 6.8 chỉ ra đường dòng đi qua điểm dừng,

nó chạy từ bên trái đi qua điểm dừng, rẻ nhánh

và tiến vô hạn về bên phải, chia trường đòng

chảy ra làm hai khu vực không trao đổi lưu

chất lẫn nhau, và thành lập nên đường biên

v Chuyển động đều song song trục ox, chiều từ trái

sang phải với vận tôc là U

` Điêm nguôn đặt tại (-a,0), với cường độ là +q

v Điểm giêng đặt tại (a, 0), với cường độ là -q Hình 6.9 Chuyển động quanh có thê Rankine

Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau:

W(z) = U.z+ © An(zta) - & In(z-a) (6.70)

= Duong dong khi V = 0:

Cho W = 0 vào phương trình (6.69a), ta được:

Đây là một đường cong khép kín, cắt trục ox tại A và B; cắt trục oy tai C va D

= Diém đừng và vận tốc tại các đêm đặc biệt:

Áp dụng công thức (6.3c) và công thức (6.68), ta có thể tính được vận tốc như sau:

Điểm dừng là điểm ở đó hai thành phằn-vận tốc u„ và uy bằng0

Từ phương trình (6.72a) véia, =0, ta suy ra duge y = 0 Như vậy điêm dừng có thê xảy ra trên trục ox Cho y = 0 và u„ =0 vào phứơng trình (6.72) và giải ra ta được:

PGS TS Lé Van Duc

giống như là chuyển động quanh một cố thê răn được bao bởi đường (C) Cô thể này được gọi là

cô thê Rankine

6.3.3 Chuyển động đều quanh hình trụ:

6.3.3.1 Hình trụ đứng yên:

Dòng chảy quanh hình trụ tròn là dòng chảy quanh cô thê Rankine khi ta cho a tiên tới 0 Khi đó

cô thê Rankine thành hình trụ tròn Dòng chảy này cũng có thê xem như là một chuyên động tông

hợp của một dòng đêu và một lưỡng cực