Giao trinh bai tap 3 bai tap qua trinh hap phu k2011 2014

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ HopitalỨng dụng của đạo hàm để tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital 7 dạng vô định trong giới hạn hàm số... Tìm giới

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Bài toán máy bay rơi

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đangbay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hết xăngđược mô tả bởi phương trình

máy bay lúc hết xăng Thời gian từ lúc hết xăngcho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt

độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3thì v (0, 3) = 0

Theo công thức, ta có

Như vậy

Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận của

lim

x →x0

Định lý

f 0(x0) = f−0(x0) = f+0(x0)

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàm

thì tại điểm này hàm số y = u ± v = u(x ) ± v (x )

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàm

thì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x ).v (x )

luôn có đẳng thức

Chú ý Công thức trên cũng có thể mở rộng cho

u0.v ω + u.v0 .ω + + u.v ω0

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàm

Đạo hàm của hàm hợp

Định lý

thì hàm hợp z = h(x ) = g (f (x )) có đạo hàm hữu

h0(x0) = g0(y0).f0(x0) hay zx0 = zy0.yx0

Ví dụ

Đạo hàm của hàm ngược

Định lý

trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ Rlên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Định nghĩa

Cho hàm số u = u(x ) > 0 và v = v (x ) xác địnhtrên cùng 1 tập hợp X ⊂ R khi đó hàm số

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) > 0 và v = v (x ) tại một số

điểm x này cũng có đạo hàm hữu hạn và lúc này

Đạo hàm của hàm tham số

Định lý

Cho hàm số x = x (t), y = y (t) xác định trong lân

Ví dụ

Cho hàm số y = f (x ) được xác định bởi công thức

Định nghĩa

0 t

2

0 t

Công thức Leibnitz.

Nếu f (x ) và g (x ) có đạo hàm cấp n thì f (x ).g (x )cũng có đạo hàm cấp n và

x + 2

Ví dụ

Theo công thức Leibnitz, ta có

+Cn1(x2)0(cos 2x )(n−1) + Cn2(x2)00(cos 2x )(n−2)Mặt khác



+2nnx sin

 2x + nπ

2



Khi n = 2k + 1 thì

f (2k+1)(0) = −(2k)(2k − 1)f (2k−1)(0) = =

Định nghĩa

dnf (x0) = f (n)(x0)dxn

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Ứng dụng của đạo hàm để tìm giới hạn dạng

không xác định theo qui tắc L’ Hopital

7 dạng vô định trong giới hạn hàm số

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản 00

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Định lý

Cho thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Định lý

Cho thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng[c, +∞)

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định ∞∞ theo qui tắc L’

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Định lý

Cho thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

I = lim

x →0

1 x

x2

= 0

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Định lý

Cho thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng[c, +∞)

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Dạng không xác định này được chuyển về dạng

Chú ý Trên thực tế dạng không xác định này

c Tìm giới hạn dạng không xác định 1∞, 00Những dạng không xác định này đối với hàm số

xác định quen thuộc 0.∞ bằng cách logarit hóa

Xét đồ thị hàm số y = ex − 1 và các hàm đa thức:

bởi hàm đa thức tại 1 điểm nào đó

Câu hỏi: Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm hàm

đa thức xấp xỉ với một hàm số cho trước?

Công thức Taylor

trong lân cận này đạo hàm đến cấp n − 1, và cho

Định lý

2k+1 + o(x2n+2);

π2

x44! + o(x

4 )



Ví dụ

2

1 + sin xđến cấp 6

Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurint

Tìm giới hạn bằng khai triển Maclaurint đối với

0 khi thay VCB tương đương bị triệt tiêu.

phải là đa thức đến bậc thấp nhất củaVCB ở mẫu

Ví dụ

Tính giới hạn I = lim

x →0

arctan x − arcsin xtan x − sin x

2 + o(xx33)

=

−1/2

Khai triển biểu thức tử số đến cấp 3, ta có

Ví dụ

Tính giới hạn I = lim

x →0

ecos x − e.√3 1 − 4x2 1

8

Các bước khảo sát hàm số y = f (x)

Tìm tập xác định

hàm bằng 0 hoặc không tồn tại

Khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn

Nếu f 00 (x ) > 0 trong khoảng (a, b) nào đó thì đồ thị hàm số lõm

trong khoảng này.

Nếu f 00 (x ) < 0 trong khoảng (a, b) nào đó thì đồ thị hàm số lồi

trong khoảng này.

Nếu f 00 (xi) = 0 hoặc không tồn tại f00(xi) và đạo hàm đổi dấu khi qua x i thì hàm số có điểm uốn tại x i

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

là −∞, b có thể là +∞) ⇒ Lập bảng biếnthiên ⇒ Kết luận

Tìm f0(x ) ⇒ tìm những điểm xi mà tại đó f0(xi) = 0

Loại những điểm x i ∈ [a, b] Tính giá trị của f (x) tại / những điểm x i ∈ [a, b]

So sánh f (a), f (b) và f (x i ) với xi ∈ [a, b] ⇒ GTLN, GTNN.

Ví dụ

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

y =

 (x − 3)ex +1, x > −1 (x − 3)e−x−1, x < −1

@, x = −1

y0 = 0 ⇔ x = 2

⇒ f (−2) = −5e, f (4) = e 5 , f (2) = −e3, f (−1) = −4 Vậy GTLN = e5, GTNN = −e3.

Tiệm cận: lim

x →+∞

x3

ngang về phía phải

Không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên

Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận

Tính đạo hàm

syms x; diff (x ˆ2 + 2) ⇒ ans=2*x

diff(f,x,n) Ví dụ: syms x; diff (exp(x ˆ2 + 1), 4)

⇒ ans = 12 ∗ exp(x ˆ2 + 1) + 48 ∗ x ˆ2 ∗

exp(x ˆ2 + 1) + 16 ∗ x ˆ4 ∗ exp(x ˆ2 + 1)

Khai triển Taylor-Maclaurint

Giải phương trình tìm điểm nghi ngờ, điểm cực trị, điểm uốn

Vẽ đồ thị

Ví dụ: syms t; x=t;y=t ˆ2; ezplot(x,y,[0,2])

THANK YOU FOR ATTENTION