Trả lời: Trước hết, chúng ta nhắc lại một tính chất quan trọng của solenoid: Theo tính chất trên thì từ trường B2 ở giữa hai cuộn dây chỉ do cuộn dây bên ngoài đóng góp, còn từ trường
Trang 1Bài 1 – Định luật Ampère
Cho một vật dẫn đặc hình trụ rất dài có bán kính
a = 12 cm Dòng điện cường độ I1 = 5 A phân bố
đều trên tiết diện của vật, có chiều đi vào mặt
phẳng hình vẽ Một vỏ hình trụ đồng trục bán
kính b = 21 cm mang dòng điện I2 = 3 A đi ra
ngoài mặt phẳng hình vẽ
Xác định từ trường theo khoảng cách r tính từ
trục của hệ
Trả lời:
Hệ có tính đối xứng trụ, với trục đối xứng là trục
chung của hai dòng điện Vì vậy, chúng ta nghĩ
ngay đến việc áp dụng định luật Ampère để tìm
từ trường
Một từ trường đối xứng trụ phải có những đặc
điểm sau:
* đường sức là những đường tròn có tâm nằm
trên trục đối xứng;
* trên một đường sức thì từ trường có độ lớn
không đổi Hay nói cách khác thì độ lớn của từ
trường B chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r tính từ
trục đối xứng
Chọn chu tuyến (C) trùng với một đường sức
Chúng ta có thể định hướng (C) theo chiều nào
cũng được, chẳng hạn như chiều kim đồng hồ
Như vậy chiều dương của dòng điện là chiều
hướng vào trong mặt phẳng hình vẽ Lưu số của
từ trường theo chu tuyến (C) là:
( ) ( ) s s ( ) s2
Trong đó Bs là hình chiếu của B
trên ds
Vì (C)
cũng là một đường sức từ nên từ trường tiếp
tuyến với (C) tại mọi điểm Do đó B = ± Bs dọc
theo chu tuyến (C) Độ lớn của từ trường B
không đổi trên (C) nên Bs cũng thế và có thể đưa
ra ngoài tích phân
Đồng nhất hai biểu thức nói trên của lưu số ta thu được:
0 int 2
s
I B
r
Chúng ta có thể phân biệt ba trường hợp:
2 1 int 1
1 2
Trong đó j1 là mật độ dòng điện đi qua vật dẫn
hình trụ đặc Do dòng điện này phân bố đều trên tiết diện của vật nên:
1
I j a
Thay Iint xác định như trên vào biểu thức của Bs
ta có:
0 1
0 1
0 1 2
2 2 2
s
j
I
r
I I
r b r
Áp dụng bằng số:
Với các số liệu của bài toán ta có:
0
55, 26 0,80
0,32
s
B
r
r
Bs luôn luôn dương, nghĩa là từ trường luôn luôn hướng theo chiều dương của chu tuyến (C), là
chiều hướng theo chiều kim đồng hồ như chúng
ta đã chọn
Vẽ Bs/μ0 theo r, ta có đồ thị sau đây:
Theo định luật Ampère thì:
0 int ( )
C B ds I
Với Iint là cường độ dòng toàn phần đi qua
diện tích giới hạn trong (C).
Trang 2Sau đây là các lệnh Maple để thực hiện đồ thị
trên:
Bài 2 – Solenoid
Cho hai solenoid rất dài và đồng trục Chiều của
dòng điện trong solenoid bên ngoài được chỉ trên
hình vẽ Số vòng dây trên một mét của cuộn dây
bên ngoài là 1000, và của cuộn dây bên trong là
2000
Từ trường giữa hai cuộn dây hướng theo chiều
dương của trục z và có độ lớn 0,01256 T, còn từ
trường trong cuộn dây bê n trong hướng theo
chiều âm của trục z và có độ lớn 0,00628 T
Xác định độ lớn của hai dòng điện và chiều của
dòng điện qua cuộn dây bên trong
Trả lời:
Trước hết, chúng ta nhắc lại một tính chất quan
trọng của solenoid:
Theo tính chất trên thì từ trường B2
ở giữa hai cuộn dây chỉ do cuộn dây bên ngoài đóng góp, còn từ trườngB1
trong cuộn dây bên trong thì do
cả hai cuộn dây đóng góp Do đó, nếu gọiBinner
và
outer
B lần lượt là từ trường do cuộn dây bên trong
và bên ngoài tạo nên, ta có:
2 1
outer inner outer
Chiếu hai hệ thức trên xuống trục z, ta thu được:
z outer z
z outer z inner z
Suy ra:
,
0, 01256
0, 00628 0, 01256
0, 01884
outer z
T
Như vậy, từ trường của cuộn dây bên ngoài
hướng theo chiều dương của trục z, vì dòng điện ngoài đi theo chiều thuận đối với trục z Tuy
nhiên, từ trường của cuộn dây bên trong lại hướng theo chiều âm của trục z, điều này chứng
tỏ rằng dòng điện bên trong đi theo chiều ngược lại so với dòng điện bên ngoài
Mặt khác, chúng ta cũng có:
inner inner z inner inner
outer outer z outer outer
* Từ trường trong một solenoid, ở cách xa hai đầu ống dây là từ trường đều, có phương song song với trục của solenoid, có chiều hướng theo ngón tay cái của bàn tay phải, khi quay các ngón khác theo chiều dòng điện, và
có độ lớn cho bởi:
0
B nI
Trong đó n là số vòng dây trên một đơn vị chiều dài, I là cường độ dòng điện qua ống
dây
* Từ trường bên ngoài solenoid thì bằng không
Trang 3Suy ra:
,
0
,
0
7,5
10
inner z
inner
inner
outer z
outer
outer
B
n
B
n
Bài 3 – Lực từ tác động lên dòng điện
Một dòng điện thẳng dài vô hạn có cường độ I1
nằm trong mặt phẳng yz và song song với trục z
Đặt một vòng dây hình chữ nhật, trong đó có
dòng điện cường độ I2, trong mặt phẳng yz sao
cho chiều dài của nó song song với dòng điện
thẳng
Nếu chiều của các dòng điện được cho như trên
hình vẽ, tìm lực toàn phần tác động lên vòng dây
do từ trường tạo bởi dòng điện thẳng
Trả lời:
Chúng ta cùng ôn lại những điều cần thiết để giải
bài toán này
Ở đây khung dây được đặt trong từ trường do
dòng điện thẳng vô hạn tạo nên
Để tính lực toàn phần tác động lên cả khung dây chúng ta có thể tính lực tác động lên mỗi cạnh rồi sau đó cộng lại
Trước hết chúng ta hãy phân tích lực tác động lên hai cạnh vuông góc với dòng điện thẳng Lưu
ý rằng từ trường thay đổi tại các vị trí khác nhau trên hai cạnh này, cho nên chúng ta không thể đưa từ trường ra ngoài dấu tích phân được Gọi
dl
và dl
là hai yếu tố sơ cấp trên hai cạnh đó, ở
cùng một khoảng cách r tính từ dòng điện thẳng
Vì dl dl
và vì từ trường là như nhau trên hai yếu tố sơ cấp ấy nên ta có lực tổng hợp tác động lên chúng là:
2
( ) 0
dF I dl B r I dl B r
Tổng của biểu thức trên theo tất cả các cặp yếu tố
sơ cấp trên hai cạnh đang xét bằng không Vậy lực tác động lên hai cạnh vuông góc với dòng điện thẳng bằng không
Bây giờ chúng ta xét lực tác động lên hai cạnh còn lại, là hai cạnh song song với dòng điện thẳng Từ trường không thay đổi dọc theo mỗi cạnh này nên ta đưa nó ra ngoài dấu tích phân Như vậy lực từ tác động lên cạnh thứ nhất (ở
khoảng cách R) là:
1 2
F I MNB R
Lực này hướng theo chiều âm của trục y và có độ
lớn:
0 1 0 1 2
1 2
F I b
Tương tự như vậy, lực từ tác động lên cạnh thứ
hai (ở khoảng cách R + a) là:
2 2
F I PQ B R a
Từ trường do dòng điện thẳng vô hạn I tạo nên tại một điểm ở khoảng cách r tính từ
trục của dòng điện có độ lớn:
0
( ) 2
I
B r
r
Đường sức từ là những đường tròn có tâm nằm trên trục của dòng điện và có chiều quay theo các ngón tay của bàn tay phải, khi hướng ngón cái theo dòng điện
Lực từ do một từ trường tác động lên một
dòng điện:
( )C
F I dl B
Trong đó tích phân được lấy theo toàn bộ
dòng điện (C), I là cường độ dòng, còn dl
là
một đoạn vi phân trên (C), có chiều hướng
theo chiều dòng điện
Nếu dòng điện là thẳng đi từ M đến N và từ
trường không thay đổi dọc theo dòng điện
thì:
FI MNB
R
M
N
Q
P
b
a
Trang 4Lực này hướng theo chiều dương của trục y và có
độ lớn:
0 1 0 1 2
Lực tổng hợp tác động lên khung dây sẽ hướng
theo chiều của F1
(lực hút) và có độ lớn cho bởi:
0 1 2
1 2
0 1 2
2 2
I I b
I I ab
Bài 4 – Moment lực từ
Một cuộn dây tròn bán kính 0,05 m có 12 vòng
dây, cường độ dòng qua mỗi vòng dây là 0,3 A
Cuộn dây có thể quay tự do quanh trục x và được
đặt trong một từ trường đều hướng theo trục z, có
độ lớn 0,75 T
(a) Tìm momen lực tác động lên cuộn dây khi
mặt phẳng cuộn dây hợp một góc α = 20° với
mặt phẳng xy
(b) Quay cuộn dây tới góc α = 40° rồi thả ra
(không vận tốc đầu) Động năng của cuộn dây
khi nó quay trở về vị trí ứng với góc α = 0° là
bao nhiêu?
Trả lời:
Chúng ta nhớ lại các tính chất từ sau đây của một
dòng điện khép kín:
(a) Vectơ moment từ của cuộn dây hướng lên
trên và hợp với trục z (tức là từ trường) một góc
α, do đó moment lực tác động lên cuộn dây là:
-3
7, 25 10
m
N m
Cả hai vectơ moment từ và từ trường đều ở trong
mặt phẳng yz, do đó vectơ moment lực có phương là trục x, và theo quy tắc bàn tay phải thì
nó hướng theo chiều âm của trục x
(b) Thế năng của cuộn dây nhỏ nhất khi moment
từ song song với từ trường, tức là khi góc α = 0
Do đó khi quay từ vị trí có góc α ≠ 0 về vị trí có
α = 0 thì thế năng của cuộn dây giảm đi Độ
chênh lệch về thế năng giữa hai vị trí biến thành động năng của cuộn dây ở vị trí sau:
0
1 cos 4, 96 10
m
Bài 5 – Moment lực từ
Một vòng dây hình vuông có cạnh a = 7 cm lúc đầu được đặt trong mặt phẳng xy, vòng dây có thể quay không ma sát quanh trục y Dòng điện qua vòng dây có cường độ không đổi I = 2,4 A
Từ trường đều B = 0,12 T hướng theo chiều dương của trục z
(a) Tìm công ngoài cần thực hiện để quay vòng
dây một góc 30° quanh trục y
(b) Tìm thành phần trên phương y của momen
lực từ tác động lên vòng dây ở góc 30°
Cuộn dây có moment từ pm
xác định bởi:
m
p NIS n
với N là số vòng dây, I là cường độ dòng, S
là diện tích giới hạn trong một vòng dây, và
n
là pháp vectơ của cuộn dây, được chọn
theo chiều thuận đối với chiều dòng điện
Khi đặt một cuộn dây có moment từ pm
vào trong một từ trường đều B
thì cuộn dây chịu tác động của một moment lực từ:
m
và có thế năng:
m
U p B
Theo đó thì moment lực từ có xu hướng quay cuộn dây sao cho moment từ của nó trở nên song song với từ trường, tức là quay cuộn dây về vị trí ứng với thế năng cực tiểu
Trang 5Trả lời:
(a) Như chúng ta đã biết qua bài 4, lực từ làm
cho vòng dây quay, và công W m mà lực từ thực
hiện được lấy từ độ giảm thế năng của vòng dây
Nghĩa là:
m
W U
Khi cuộn dây quay từ vị trí có góc α ≠ 0 về vị trí
có α = 0 thì thế năng của cuộn dây giảm đi, lực
từ thực hiện công dương
Ngược lại, khi quay từ α = 0 đến α ≠ 0 thì thế
năng tăng lên, lực từ thực hiện công âm Trong
trường hợp này ta phải áp đặt một lực ngoài để
thực hiện chuyển động quay, còn lực từ thì cản
lại chuyển động đó
Công của lực ngoài mà chúng ta áp đặt ít nhất
phải bằng về độ lớn và luôn luôn ngược dấu với
công của lực từ Do đó:
1 cos 0,19
m
(b) Cả hai vectơ moment từ và từ trường đều ở
trong mặt phẳng xz, do đó vectơ moment lực có
phương là trục y, và theo quy tắc bàn tay phải thì
nó hướng theo chiều dương của trục y
Vậy hình chiếu của moment lực trên trục y trùng
với độ lớn của nó:
3 sin
0, 71 10
N m
Bài 6 – Cảm ứng điện từ
Một vòng dây hình tam giác, trong đó có chứa
một điện trở R = 1 Ω, được kéo với vận tốc không đổi 2 m/s dọc theo trục x, từ vùng không
có từ trường vào vùng có từ trường đều B = 0,1 T
vuông góc với vòng dây (xem hình vẽ)
Tìm dòng điện cảm ứng đi qua điện trở (Giả sử
lúc t = 0 thì vòng dây bắt đầu đi vào vùng có từ
trường.)
Trả lời:
Hình vẽ dưới đây cho thấy phần khung dây đi
vào vùng có từ trường ở thời điểm t > 0 Đó là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là vt,
có diện tích S = ½ (vt)2
Khi từ thông Φ qua một vòng dây biến thiên thì trong vòng dây xuất hiện một sức điện động cảm ứng:
d e dt
Nếu vòng dây có điện trở R thì cường độ của
dòng cảm ứng là:
1
i
vt
Từ trường B hướng vào trong ×
v
Trang 6Chọn pháp vectơ của khung dây cùng chiều với
từ trường, ta có từ thông qua khung dây lúc t (từ
thông qua phần gạch chéo trên hình) là:
2
2
vt
Suy ra độ lớn của cường độ dòng cảm ứng lúc t:
1 2 2 2
2
1 d Bv t
Tuy nhiên, kể từ thời điểm T, khi toàn bộ khung
dây lọt vào vùng có từ trường thì từ thông qua nó
không còn biến đổi nữa Do đó khi t ≥ T thì
cường độ dòng cảm ứng bằng không Tóm lại:
2
0 0
Bv
t T
Áp dụng bằng số:
Với số liệu của bài toán ta có T = 0,5 s, và sự phụ
thuộc theo thời gian của dòng cảm ứng là:
I
t
Đồ thị diễn tả cường độ dòng cảm ứng theo thời
gian có dạng:
Sau đây là các lệnh Maple để thực hiện đồ thị
trên: