Chuyển động của hệ chất điểm • Ví dụ 1: cây thước.. Bài tập 2 Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có khối lượng M và chiều dài L nằm ở trung điểm của nó.. Giả sử khối lượng trên một
Trang 1Hệ chất điểm
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1 Khối tâm
2 Định luật 2 Newton cho hệ chất điểm
3 Momen động lượng
1a Chuyển động của hệ chất điểm
• Ví dụ 1: cây thước
• Ví dụ 2: vận động viên vượt rào
Chuyển động của mỏ lết
1b Khối tâm
• Trong các ví dụ : cây thước, vận động viên vượt rào…
• Có một vị trí chuyển động theo định luật 2 Newton:
1
i
M
Khối lượng hệ
( 1 1 2 2 )
1
N N CM
M
khối tâm của hệ
CM: center
of mass
Trang 2Câu hỏi 1
Khối tâm của vành tròn?
Câu hỏi 2
Một cây gậy bóng chày được cưa tại vị trí khối tâm làm hai phần như trên hình vẽ Phần nào
có khối lượng lớn hơn?
(a) Phần bên phải
(b) Phần bên trái
(c) Hai phần bằng nhau
(d) Không xác định được
X
CM
Bài tập 1
Một hệ gồm ba chất
điểm có vị trí như trên
hình vẽ, với m1 = m2 =
1,0 kg và m3 = 2,0 kg
Hãy tìm khối tâm của
hệ
ݎԦଵ ݎԦଶ
ݎԦଷ
1 1 2 2 3 3
CM
r
=
Trả lời bài tập 1
1 1 2 2 3 3
CM
x
=
1 1 2 2 3 3
CM
y
=
( )
0,75
CM
( )
1,0
CM
+ +
ൈ ݎԦெ
Trang 3Bài tập 2
Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có
khối lượng M và chiều dài L nằm ở trung điểm
của nó Giả sử khối lượng trên một đơn vị dài
của thanh là hằng số
Trả lời bài tập 2
• Chọn trục x theo chiều dài thanh Đoạn vi phân dx ở vị trí x có
• khối lượng dm = λdx
• λ là khối lượng trên một đơn vị dài
• Khối tâm có tọa độ cho bởi:
1
CM
M
x
dx
Trả lời bài tập 2 (tt)
• Suy ra:
• Tích phân trên cho ta:
• Vật đối xứng: khối tâm trùng với tâm đối
xứng
1
CM
λ
2 0
1
L CM
L
L
M L
λ =
Bài tập 3
Xét một thanh không đồng nhất, có khối lượng trên một đơn vị dài thay đổi theo vị trí x:
λ = αx, α là hằng số Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L của thanh
Trang 4Trả lời bài tập 3
• Làm tương tự như bài tập 2 ta có:
• Tích phân cho ta:
2
CM
α λ
3 3
0
L CM
L
Trả lời bài tập 3 (tt)
• Khối lượng của thanh được xác định bởi:
• Thay thế biểu thức của λ ta có:
• Do đó:
M =∫dm=∫λdx
2 2
0
L
M =α∫xdx =α x =α
3
2
CM
L
M
α
2a Động lượng hệ chất điểm
1
i
M
i
Mv =∑m v
system
P
=
system CM
1
i
M
i i
m
vận tốc khối tâm vận tốc chất điểm thứ i
2b Định luật 2 cho hệ
1
i
M
1 1 2 2
1 2 N
tổng các ngoại lực tác động lên hệ
CM tot
system
tot
dP
F
( CM)
CM CM
d Mv dv
1
i
M
Trang 52b Định luật 2 cho hệ (tt)
0
tot
F =
system
Khối tâm đứng yên
hay chuyển động
thẳng đều
Động lượng hệ bảo toàn
0
CM
Nếu Ftot,x = 0 động lượng hệ chỉ bảo toàn trên phương x
Câu hỏi 3
Hai vận động viên trượt băng đứng trên mặt băng không ma sát, nắm hai đầu của một thanh nhẹ nằm ngang Sau đó họ dùng tay kéo
để di chuyển lại gần nhau
Khối tâm của họ sẽ chuyển động thế nào?
Câu hỏi 4
Hai vận động viên trượt băng đứng trên mặt
băng không ma sát, nắm hai đầu của một
thanh nhẹ nằm ngang Sau đó họ dùng tay kéo
để di chuyển lại gần nhau
Họ sẽ gặp nhau ở đâu?
Bài tập 5
Hai xe trượt trên đệm khí đến va chạm hoàn toàn đàn hồi
(a) Tìm vận tốc của chúng sau va chạm
(b) Tìm vận tốc khối tâm của hệ hai xe trước
và sau va chạm
v = 1 m/s v = 0 m/s
Trang 6Trả lời bài tập 5(a)
• Động lượng trên x bảo toàn:
• Va chạm hoàn toàn đàn hồi ⇔ động năng
bảo toàn:
• Minh họa
1 1 1 x 2 2 x
2m v =2m v +2m v ⇒1=v12+0,7v22
ܨ, = 0 → ܲ = ܿ݊ݏݐ
1
2
0,18
1,18
=
=
Trả lời bài tập 5(b)
• Trước va chạm:
• Sau va chạm vận tốc khối tâm không thay đổi
,
CM x x
1
x
P =
ܨ, = 0 → ݒ, = ܿ݊ݏݐ
,
CM x
θ
v1
v2
v
Bài tập 6
Một banh bi-da có vận tốc 5 m/s va chạm với
một trái banh đứng yên cùng khối lượng Sau
đó nó có vận tốc 4,33 m/s lệch một góc 30° so
với phương ban đầu Va chạm là hoàn toàn
đàn hồi, tìm vận tốc trái banh thứ hai sau va
chạm
Trả lời bài tập 6
• Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên động năng
hệ bảo toàn:
θ
v1
v2
v
mv =mv +mv ⇒v2 = v2 −v12
2 5 4,33 2,5
Trang 7Bài tập 6 – mở rộng
Tìm góc lệch của trái banh thứ hai sau va
chạm
θ
v1
v2
v
3a Momen động lượng của chất điểm
• Momen động của chất điểm đối với gốc O
• ⏊ mặt phẳng (ݎԦ, Ԧ)
• chiều: quy tắc bàn tay phải
• đặc trưng cho chuyển động quay
L= ×r p
x
y
z
r
p
L
φ
sin
kg.m2/s
Bài tập 8
Một chất điểm chuyển
động trong mặt phẳng
xy trên một đường tròn
bán kính r tâm O
Tìm độ lớn và chiều
momen động của chất
điểm đối với tâm O, nếu
vận tốc chất điểm là v
ݎԦ
ݒԦ
m
x
y
O
Trả lời bài tập 8
• L ⏊ mặt phẳng xy và hướng theo chiều dương trục z
• Trong chuyển động tròn động lượng vuông góc với vectơ vị trí, do đó ta có:
x
y
z
r
p
L
φ sin
L=rp ϕ =rp=rmv
Trang 83b Momen lực
• Momen của lực F đối với
gốc O
• ⏊ mặt phẳng (ݎԦ, ܨԦ)
• chiều: quy tắc bàn tay
phải
• đặc trưng cho chuyển
động quay
r F
x
y
z
r
F
τ
φ
sin rF
N.m
Bài tập 9
Một con lắc gồm một vật khối lượng m chuyển động trên một quỹ đạo tròn nằm ngang Trong suốt chuyển động dây treo chiều dài l hợp một góc không đổi θ với phương thẳng đứng
Tìm momen của trọng lực đối với điểm treo O
O
Trả lời bài tập 9
sin
rmg
O
r
mg
θ
r
mg
θ
x τ
sin
=
3c Định lý momen động
dp F
dt
=
0
dr
p v mv
( )
d r p
r F
dt
×
dL dt
τ =
( )
r ×
r ×
Hệ chất điểm
system tot
dL dt
Momen ngoại lực
Trang 93c Định lý momen động (tt)
• Minh họa: bánh xe quay, con quay
• Khi tổng momen ngoại lực bằng không thì
momen động của hệ được bảo toàn