Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 6 mẫu ngẫu nhiên

Tập hợp tất cả các phần tử mà từ các phần tử từ đó ta có thể khảo sát, thu thập những thông tin về các dấu hiệu ta cần nghiên cứu được gọi là tổng theå... Đối với tổng thể, ta sử dụng mộ

Khi nghiên cứu các vấn đề kinh tế - xã hội, cũng như nhiều vấn đề thuộc các lĩnh vực khác, người

ta thường phải khảo sát một hay một số dấu hiệu nào đó Những thông tin về các dấu hiệu này được thu thập trên nhiều phần tử khác nhau

Tập hợp tất cả các phần tử mà từ các phần tử từ đó ta có thể khảo sát, thu thập những thông tin về các dấu hiệu ta cần nghiên cứu được gọi là tổng theå

(Population)

Các thí dụ:

 Nghiên cứu về năng suất lúa ở vùng đồng bằng sông Cửu Long, tổng thể là số héc ta trồng lúa ở vùng này.

 Khảo sát thu nhập của những người làm việc ở một công ty, tổng thể là những người làm việc

ở công ty này.

 Khảo sát doanh số bán của một siêu thị trong một năm (365 ngày), tổng thể là 365 ngày trong năm.

Đối với tổng thể, ta sử dụng một số khái niệm và ký hiệu sau đây:

 N: Số phần tử của tổng thể và N: Số phần tử của tổng thể và

được gọi là kích thước của tổng theå.

 X X * : Dấu hiệu ta cần khảo sát, nghiên cứu (trong kinh tế thường gọi là chỉ tiêu).

Khi nói nghiên cứu một tổng thể có nghĩa là nghiên cứu dấu hiệu

X * mà những thông tin về X* được khảo sát, thu thập trên các phần tử của tổng thể.

 x x i (i = 1, 2, , k) là các giá trị

của dấu hiệu X * đo được trên các phần tử của tổng thể

x i là những thông tin cần thiết để

ta nghiên cứu về dấu hiệu X * , còn các phần tử của tổng thể là những đối tượng mang thông tin.

 N N i (i = 1, 2, , k): Tần số của

x i - là số phần tử nhận giá trị x i





k

1 i

i N

Bảng cơ cấu của tổng thể theo dấu hiệu X * thể hiện sự tương ứng giữa x i , N i , p i

Giá trị của X* x1 x2 xk

Tần số (N i ) N1 N2 Nk

Tần suất (p i ) p1 p2 pk

* Chú ý: Chú ý Có thể lập bảng cơ cấu Có thể lập bảng cơ cấu

của tổng thể dưới dạng cột.

tổng thể:

1- Trung bình của tổng thể

Trung bình của tổng thể (ký hiệu là ), được xác định theo công thức:



k

1 i

i

i p x

2- Phương sai của tổng thể

Phương sai của tổng thể (ký hiệu là 2 ) được xác định theo công thức:

i

2

x

3- Độ lệch chuẩn của tổng thể

Độ lệch chuẩn của tổng thể (ký hiệu là ) được xác định theo công thức:

Giả sử tổng thể gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A

Gọi p = là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể (gọi tắt là tỷ lệ tổng thể)

N

M M

4- Tỷ lệ tổng thể

Thí dụ: Ngành cao su có 500.000 công nhân Để nghiên cứu mức sống của họ, người ta khảo sát chỉ tiêu X * :”Thu nhập thực tế của công nhân ngành cao su” và giả sử thu được các số liệu cho ở bảng sau:

Để lập bảng cơ cấu của tổng thể từ đó ta tính được trung bình, phương sai của tổng thể thì ta cần khảo sát toàn bộ N phần tử của tổng thể Cách làm này trong thực tế sẽ gặp phải những khó khăn sau đây:

II- KHÁI NIỆM MẪU:

 Phải chịu chi phí lớn về tiền Phải chịu chi phí lớn về tiền

của, thời gian, nhân lực, phương tiện,

 Có nhiều trường hợp khi điều Có nhiều trường hợp khi điều

tra sẽ phá hủy đi các phần tử được điều tra Do vậy về phương diện kinh tế thì không thể điều tra toàn bộ được

 Có những trường hợp ta không thể xác định được toàn bộ N phần tử của tổng thể Trường hợp này thường xảy ra trong việc điều tra các vấn đề thuộc về lĩnh vực xã hội học

Vì vậy, từ thế kỷ 17, phương pháp nghiên cứu mẫu đã ra đời, ngày càng phát triển và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực

Tư tưởng cơ bản của phương pháp mẫu như sau:

Từ tổng thể ta lấy ra n phần tử và

đo lường giá trị của dấu hiệu X *

trên chúng, n phần tử này lập nên một mẫu Số phần tử của mẫu (n) được gọi là kích thước mẫu

Thông thường kích thước của mẫu nhỏ hơn nhiều so với kích thước của tổng thể

Vì vậy ta có khả năng thực tế để thu thập, xử lý và khai thác thông tin mẫu một cách nhanh chóng, toàn diện hơn

Sử dụng các phương pháp toán học người ta tiến hành suy rộng kết quả nghiên cứu trên mẫu cho toàn bộ tổng thể, đó là mục đích cuối cùng của phương pháp mẫu.

Để đạt được mục đích trên thì mẫu phải đại diện cho tổng thể Muốn vậy, khi lấy mẫu phải đảm bảo tính ngẫu nhiên, không chọn mẫu theo một tiêu chuẩn chủ quan đã định trước

 Lấy mẫu ngẫu nhiên: Lấy mẫu ngẫu nhiên:

 Chọn mẫu cơ giới

 Chọn mẫu bằng cách phân lớp Chọn mẫu bằng cách phân lớp

 Lấy mẫu có hoàn lại (có lặp) Lấy mẫu có hoàn lại (có lặp)

(không lặp)

Trong thực tế có nhiều cách lấy mẫu:

Có thể mô hình hoá dấu hiệu X *

bằng một đại lượng ngẫu nhiên.

III- MÔ HÌNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG THỂ VÀ MẪU

1- Đại lượng ngẫu nhiên gốc

vàø phân phối gốc

Lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra một phần tử và gọi X là giá trị của dấu hiệu X * đo được trên phần tử lấy ra thì X là ĐLNN có phân phối xác suất như sau:

X x x1 x2 xk

P p1 p2 pk

Như vậy dấu hiệu mà ta nghiên cứu (X * ) được mô hình hóa bởi đại lượng ngẫu nhiên X Phân phối xác suất của X được gọi là phân phối gốc.

a- Kỳ vọng toán:

i

x )

X (

E

Trung bình của tổng thể chính là kỳ vọng toán của đ.l.n.n X.

2

i E ( X ) p x

) X (

i

2

x ( )

X (

Var

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X chính là phương sai của tổng thể: Var(X) = 2

3- Mẫu ngẫu nhiên

Cho đ.l.n.n X với phân phối xác suất nào đó Một mẫu ng.nhiên kích thước n được thành lập từ X là n đ.l.n.n độc lập, có cùng phân phối xác suất với X

Ký hiệu mẫu ng.n kích thước n được xây dựng từ X là:

W X = (X 1 , X 2 , , X n )

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên W X , tức là thực hiện một phép thử đối với mỗi thành phần (X i ) của mẫu

Giả sử X i nhận giá trị x i ( i = 1,

2, , n)

Các giá trị x 1 , x 2 , , x n tạo thành một giá trị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn được gọi là một mẫu cụ thể.

Ký hiệu là W x = (x 1 , x 2 , , x n )

Thí dụ:

Kết quả thi môn toán của một lớp gồm 50 sinh viên như sau:

Gọi X là điểm thi môn toán của một sinh viên chọn ng.n trong danh sách của lớp thì X là đ.l.n.n có phân phối xác suất như sau:

Điểm thi 4 5 6 7 9

Số s/v 8 15 13 9 5

X 4 5 6 7 9

P 0,16 0,3 0,26 0,18 0,1

Từ lớp này ta lấy một mẫu gồm 5 s/v Gọi X i ( i =1, 2, 3, 4, 5) là điểm thi môn toán của s/v thứ i được lấy vào mẫu Vậy ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 5 được xây dựng từ X:

1 5 ,

W X = (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 )

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ng.n này, tức chọn ngẫu nhiên 5 s/v của lớp Giả sử điểm thi của s/v thứ nhất, thứ hai, thứ

ba, thứ tư, thứ năm tương ứng là

5, 9, 5, 7, 4, thì ta có một mẫu cụ thể là: W

x = (5, 9, 5, 7, 4)

Thực hiện một phép thử khác đối với W X (tức chọn 5 s/v khác của lớp) ta lại được một mẫu cụ thể khác, chẳng hạn:

W x = (4, 7, 9, 9, 5)

Thí dụ 2: (Đọc giáo trình)

IV- CÁC THAM SỐ

ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU

Trung bình mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu là ) được định nghĩa: X

i

X n

1 X

Nếu có mẫu cụ thể:

W x = (x 1 , x 2 , , x n )

thì ta sẽ tính được giá trị của

(ký hiệu là x )

Như vậy, bất kể phân phối xác suất của đ.l.n.n gốc như thế nào,

X cũng có kỳ vọng toán bằng kỳ vọng của đ.l.n.n gốc E(X) = E(X), và phương sai của X nhỏ hơn phương sai của đ.l.n.n gốc n lần

Thí dụ: Tổng thể là tập hợp gồm 5 công ty A, B, C, D, E với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt là: 29, 31, 32, 33,

36 Lấy mẫu ng.n kích thước n = 4 từ tổng thể này Tính kỳ vọng toán và phương sai của trung bình mẫu ng.n trong hai trường hợp:

a- Chọn mẫu có lặp;

b- Chọn mẫu không lặp.

c- Phân phối xác suất của X

Phân phối xác suất của X phụ thuộc vào phân phối xác suất của đ.l.n.n gốc Nếu X có phân phối chuẩn N(; 2 ) thì X có phân phối chuẩn N( ; 2 /n).

2- Phöông sai maãu

2- Phöông sai maãu

2

i X ) X

( 1

n 1

Nếu có mẫu cụ thể:

c- Ñònh lyù 2:

X ~ N(  ; 2) thì:

X - 

S/  n   T(n-1)

3- Độ lệch chuẩn mẫu

Độ lệch chuẩn của mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu S) là căn bậc hai của phương sai mẫu:

S = S 2

Nếu có mẫu cụ thể thì độ lệch chuẩn của mẫu cụ thể là một giá trị của S (ký hiệu là s)

2

s

4- Tỷ lệ mẫu 

Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu F) được định nghĩa như sau:



n

1 i

i

X n

1

X i (i = 1, 2, , n) là số phần tử có tính chất A có trong lần lấy phần tử thứ i vào mẫu

X i nhận giá trị 0 nếu phần tử thứ i lấy vào mẫu không có tính chất A; X i nhận giá trị 1 nếu phần tử thứ i lấy vào mẫu có tính chất A.

Nếu có mẫu cụ thể, ta sẽ tính được giá trị của F n (ký hiệu là f)

V- PHƯƠNG PHÁP TÍNH CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU

1- Trường hợp số liệu của mẫu cho dưới dạng gồm n giá trị quan sát

2- Trường hợp số liệu của mẫu cho dưới dạng có tần số n i (nói chung

n i > 1): > 1):

s2 =

X =  nixi

i=1 nk

n-1 1 i=1 k nix2 i - n(x)2

Thí dụ:

Quan sát điểm thi môn Toán cao cấp của 10 sinh viên được chọn ngẫu nhiên từ một lớp ta thu được các số liệu sau:

5; 6; 7; 4; 6; 9; 4; 5; 5; 7.

Tính x và s của mẫu này.

x

 358 10 ( 5 , 8 )  2 , 4 9

1 4

, 2

; X = = 5,8 58

10

* Với các số liệu cho ở thí dụ

trên, ta có thể trình bày số liệu quan sát của mẫu này dưới dạng có tần số như sau:

x i 4 5 6 7 9

n i 2 3 2 2 1

* Chú ý: Nếu số liệu của mẫu được chia thành từng khoảng, thì khi tính ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng đó.

'' i

' i i





( i = 1, 2, , k)

* Thí dụ:

* Thí dụ: Bảng dưới đây là số liệu

quan sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty (đơn vị: ngàn đồng/tháng) Hãy tính trung bình mẫu và phương sai mẫu.

Thu nhập Số người x i

6 8 10 12 14 16 18 21

x = 11,95625

S = 4,019366

Tổng kết chương 6

k/niệm

Cách tính

s ; f

Bài tập:

6.7; 6.8; 6.9;

6.10; 6.11; 6.12;

Hết chương 6