Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 1 xác suất của biến cố và các công thức tính xác suất

Chương 1Xác suất của biến cố và các công thức tính xác suấtChương 2 Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất... Kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra khi thực hiện phép thử

Phần I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Chương 1

Xác suất của biến

cố và các công thức tính xác suấtChương 2 Chương 2

Đại lượng ngẫu

nhiên và phân phối xác

suất

Chương 3

Một số phân phối

xác suất thông

dụng

Chương 4

Chương 4

Đại lượng ngẫu

nhiên hai chiều – hàm của các đại lượng

ngẫu nhiên

Chương 8

Kiểm định giả Kiểm định giả

thiết thống kê

Chương 7

Chương 7

Ước lượng các tham

số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

1- Lý thuyết xác suất & thống kê toán.

Hoàng Ngọc Nhậm

NXB Kinh tế TP Hồ Chí

M inh 2012

TÀI LIỆU HỌC TẬP VÀ THAM KHẢO

3- Bài tập xác suất thống kê

Ths Trần Gia Tùng NXB ĐH Quốc gia TP Hồ Chí

Minh, 2009

Bài kiểm tra giữa kỳ:

Thời gian: 45 phút

Nội dung: phần xác

PHAÀN I

Chöông 1

 Quan sát điểm thi môn toán cao cấp của một sinh viên hệ CQ.

 Làm các thí nghiệm để nghiên cứu về năng suất của một giống lúa mới.

 Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát

 Phép thử là những công việc, những

công việc, những

hành động của con người nhằm quan sát, nghiên cứu một hiện tượng, một đối tượng nào đó.

Khi thực hiện một phép thử có nhiều kết quả có thể xảy

ra Có kết quả đơn giản, có kết quả phức hợp

Khi tung một con súc sắc, súc sắc ra mặt 1 chấm, 2 chấm, , 6 chấm là những kết quả đơn giản, súc sắc

ra mặt chẵn, súc sắc

ra mặt lớn hơn 3, là những kết quả phức hợp

Kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố sơ cấp.

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các

(không gian mẫu)

 Mỗi tập con của

không gian mẫu được gọi là biến cố.

 Biến cố là một kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.

 Không gian các biến cố sơ cấp ký hiệu là

 (hoặc S)

Gieo một con súc sắc

i (i = 1, 2, , 6) chỉ kết quả súc sắc xuất hiện mặt i chấm.

Thí dụ 1: :

  = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,

6

Thí dụ 2: Kiểm tra 1 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng Giả thiết sản phẩm hoặc loại I, hoặc loại II, hoặc phế phẩm.

   = 1 , 2 , 3

Thí dụ 3: Kiểm tra 2 Kiểm tra 2

sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng Giả thiết sản phẩm hoặc loại I, hoặc loại II, hoặc phế phẩm.

phẩm.  Không gian các biến cố sơ cấp gồm có các

phần tử nào ?

Chú ý:

Các biến cố cụ thể luôn gắn liền với phép thử cụ thể.

Phé

p

thử

Khô ng

gian các b/c

sơ cấp

Biế n

cố

Phép thử Kh gian mẫu Biến cố

 Bieán coá ngaãu

Định

nghĩa 1:

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là A  B nếu

A xảy ra thì B cũng xảy ra.

Thí dụ:

Tung một con súc sắc, gọi A là biến cố “súc sắc ra mặt 2” và B là biến cố “súc sắc ra mặt chẵn” thì: A  B

Định

nghĩa 2:

Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương, ký hiệu là A = B nếu A  B và B Nếu A = B thì: P(A) = P(B)  A.

Tại sao xác suất của các biến cố tương đương lại bằng nhau?

hoặc có 2 phế

phẩm” thì:

A = B

Tổng của 2 biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B (hoặc

A + B) Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra

Định

nghĩa 3:

Thí dụ:

Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi xạ thủ bắn một viên Gọi A là biến cố

“xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”

C = A  B

Định nghĩa 4:

Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B (hoặc AB), biến cố này xảy

ra khi và chỉ khi cả A và B xảy ra

Thí dụ:

Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia (mỗi người bắn một viên) Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố

“xạ thủ thứ hai bắn trật” và C là biến cố

“ bia không trúng đạn” Thì: C = AB

Định nghĩa 5:

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = 

A, B là 2 biến cố xung khắc nếu chúng

khắc nếu chúng

không thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử

A, B là 2 biến cố

không xung khắc nếu chúng có thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thửù

2 bieán coá xung khaéc.

Thí dụ 2:

Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi A là biến cố “sản phẩm thứ nhất là sản phẩm tốt; B là biến cố sản phẩm thứ hai là sản phẩm tốt A, B là 2 biến cố không xung khắc.

Biến cố “ không xảy

ra biến cố A” được gọi là biến cố đối lập với biến cố A.

với biến cố A

Biểu đồ VENN:

Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi xạ thủ bắn một viên Gọi A là biến cố

“xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”

C = A  B

Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi xạ thủ bắn một viên Gọi A là biến cố

“xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật”,

C là biến cố “bia không trúng đạn”

C = A  B

Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi xạ thủ bắn một viên Gọi A là biến cố

“có một viên trúng”,

B là biến cố “có 2 viên trúng”, A, B xung khắc

Quan sát 2 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi xạ thủ bắn một viên Gọi A là biến cố

“có một viên trúng”, thì A sẽ là biến cố

“có 2 viên trúng hoặc không có viên nào trúng”.

Biểu đồ VENN:

Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng Giả thiết sản phẩm hoặc là đạt tiêu chuẩn hoặc không đạt tiêu chuẩn

-Không gian mẫu có

bao nhiêu phần tử? Hãy chỉ ra các phần tử của không gian mẫu?

Hãy chỉ ra các tập hợp biểu diễn các b/c sau:

1- Có 1 sp đạt tiêu chuẩn trong 3 sp kiểm tra.

2- Có ít nhất 2 sp đạt tiêu chuẩn trong 3 sp kiểm tra

Các tính chất:

 A  B = B  A

 A   B = B  A

 A ( BC) = (AB)C

= A  B  C

B A

B

B A

1- Khái niệm về xác

suất:

Xác suất của một biến cố là một con số biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử.

Xét phép thử , giả sử không gian mẫu có hữu hạn các biến cố

sơ cấp và các biến cố này có khả năng xảy

ra như nhau (ta gọi là đồng khả năng).

 Số biến cố sơ cấp đồng khả năng là n

2- Định nghĩa cổ điển về xác suất

Ta nói đơn giản: n là số trường hợp đồng khả năng có thể xảy

ra khi thực hiện phép thử 

 Biến cố A = A 1A 2

 A m

trong đó A i ( i = 1, 2, , m) là các biến cố sơ cấp.

Ta nói đơn giản: m là số trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho b/c A.

Khi đó, xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), được định nghĩa là: P(A) = P(A) = m n

(Đọc phần: “Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển” trang

23 – Lý thuyết xác suất và thống kê toán)

Thí dụ 1

Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất.

Các trường hợp đồng khả năng là: súc sắc

ra mặt 1, súc sắc ra mặt 2, , súc sắc ra mặt 6 Vậy n = 6.

Thí dụ 2

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nữ và 20 nam).

Trường hợp đồng khả năng là những trường hợp nào?

Bao nhiêu trường hợp đồng khả năng?

Thí dụ 3

Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II).

Trường hợp đồng khả năng là những trường hợp nào?

Bao nhiêu trường hợp đồng khả năng?

Thí dụ 1

Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất Gọi A là b/c súc sắc ra mặt chẵn

Các trường hợp thuận lợi cho A là: súc sắc ra mặt 2, súc sắc ra mặt

4, súc sắc ra mặt 6 Vậy m = 3.

Thí dụ 2

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nữ và 20 nam) Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nữ.

Trường hợp thuận lợi cho B là những trường hợp nào? Bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố B?

Thí dụ 3

Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II) Gọi

C là biến cố chọn được một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II.

Trường hợp thuận lợi cho C là những trường hợp nào?

Bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố C?

b- Các tính chất của xác suất:

 Nếu A là b/cố ngẫu Nếu A là b/cố ngẫu

Với B là biến cố bất

kỳ, ta luôn có:

0  P(B)  1 3- Các khái niệm của giải tích tổ hợp

* Qui tắc nhân

ra 1 sản phẩm Vậy có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm từ hai hộp?

1n n

n 

Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng n 1 cách, với mỗi cách chọn A ta có n 2 cách chọn đối tượng B Khi đó số cách chọn A và

B là:

Tổng quát: Nếu chọn k đối tượng thì số cách chọn k đối tượng sẽ là: n  n1n 2 nk

(n i là số cách chọn đối tượng thứ i )

Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị

(đọc giáo trình)Chú ýCó thể dùng qui tắc nhân thay thế cho chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, hoán vị.

* Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử (k  n) là một nhóm không

một nhóm không

phân biệt thứ tự gồm

k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử.

Số tổ hợp chập k của

n phần tử được ký hiệu là

k n

C

)!

k n

(

! k

C

Thí dụ:

Có 5 đội bóng thi đấu với nhau theo cách: 2 đội bất kỳ trong 5 đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

Gia ûi

Một trận đấu giữa hai đội bóng thì không cần phân biệt thứ tự của hai đội bóng đó

Vì vậy một trận đấu giữa 2 đội chọn trong số 5 đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 5 Vậy số trận đấu cần phải tổ chức là: C = 10

5 2

Soá

tt

Soá tt

4- Định nghĩa

thống kê của

xác suất Xét phép thử  và A là một biến cố

Giả sử ta có thể thực hiện lặp lại phép thử  vô hạn lần

Khi thực hiện phép thử  n lần ta thấy có

k lần biến cố A xảy

ra, ta gọi tỷ số là tần suất của biến cố

A trong n phép thử, ký hiệu là f n (A)

k

k

n

fn(A) =

Khi n tăng vô hạn tần suất f n (A) càng gần một số không đổi p, khi đó: P(A) = lim f n (A)

= p n

n k

Trong thực tế, khi n đủ lớn, ta xấp xỉ P(A) 

fThí dụ:n (A)

1- Tính xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm

2- Tính xác suất để xe

ô tô bị tai nạn

Đọc thêm: “Định

Đọc thêm: “Định

nghĩa xác suất theo lối tiên đề” trang 25 – Lý thuyết xác suất và thống kê toán.

IV- Các công thức tính xác suất

xác suất

 Nếu A và B là hai Nếu A và B là hai

biến cố xung khắc thì: P(A  B) = P(A) +

P(B)

1- Công thức cộng xác suất: :

Tổng quát:  

Nếu A 1 , A 2 , , A n là n biến cố xung khắc từng đôi, thì: P(A 1  A 2   A n ) = P(A 1 ) +

P(A 2 ) + + P(A n )

Hệ quả: Nếu A và

là hai biến cố đối

lập nhau thì:

A

 Nếu A và B là hai

biến cố không xung khắc thì: P(A  B) = P(A) + P(B) P(AB)

( P )

A A

( P )

A A

( P

) A ( P )

A ( P )

A ( P )

A A

A

(

P

3 2

3 1

2 1

3 2

1 3

2 1

) A A

A (



Trường hợp n = 3: Nếu

A 1 , A 2 , A 3 là các b/cố

không xung khắc, thì:

Thí dụ 1:

Một hộp có 5 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra

2 sản phẩm Tìm xác suất để có không quá 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra.

Giải: Gọi A 0 là b/c

“không có sản phẩm loại I nào trong 2 sản phẩm lấy ra”; A 1 là b/c

“có 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra”; A là b/c”có không quá 1 sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra”

A = A 0  A 1

A 0 , A 1 xung khắc

P(A) = P(A P(A) = P(A 0  A 1 ) = P(A 0 )

1 1

10 P(A P(A 1 ) = =

10

6 6

 P(A) = 0,1 + 0,6 = P(A) = 0,1 + 0,6 =

0,7

1- Xaùc suaẫt coù

b- Công thức tính:

Để tính xác suất có điều kiện, tùy theo điều kiện cụ thể của bài toán ta có thể dùng: định nghĩa cổ điển, công thức

điển, công thức

Bayes, hoặc áp dụng công thức sau:

P(A/B)

=

c- Thí dụ: Một lớp có

50 s/v (20 nữ và 30 nam, trong đó có 5 nữ giỏi toán) Gặp ng.n một s/v của lớp Tìm xác suất để gặp được s/v giỏi toán biết s/v này là nữ

P(AB) P(B)

Giải: Gọi A là biến cố

“gặp được s/v giỏi toán”; B là biến cố

“gặp được s/v nữ” Ta cần tìm P(A/B) P(A/B)

=

P(AB) P(B

) =

5/5 0

20/5 0

= =

0,25

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu:

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi:

Các b/c A 1 , A 2 , A n được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi b/c độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại.

Nếu A, B là hai b/c bất kỳ thì: P(AB) =

P(A)P(B/A)

=

P(B)P(A/B)

2- Định lý:

(xem thí duï trang 36)

Nếu A, B là hai b/cố

Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành 3 phần, mỗi phần 3 hộp Tính xác suất để mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất?

Thí dụ:

Giải: Gọi A i (i = 1, 2) là biến cố phần thứ i có 1 hộp sữa kém phẩm chất.

A là biến cố mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất.

(A 2 phụ thuộc A 1 ) Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

A = A 1 A 2

P(A) = P(A 1 A 2 )

28

9 C

C

C

C

C

C

3 6

2 4

1 2 3

9

2 6

1



= P(A 1 )P(A 2 /A 1 )

3- Công thức xác suất đầy đủ

Cho không gian mẫu 

và A 1 , A 2 , , A n , B là các biến cố.

Các biến cố A

Các biến cố A 1 ,

A 2 , , A n là hệ biến cố đầy đủ nếu

cố đầy đủ nếu

chúng thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Các xác suất P(A 1 ), P(A 2 ), , P(A n ) thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm và công thức trên được gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Thí dụ: Có 3 kiện hàng Mỗi kiện có 5 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong kiện 1, kiện 2, kiện 3 tương ứng là: 4, 3, 2 Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tìm xác suất để lấy được sản phẩm loại A.

Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện đã chọn

A 1 , A 2 , A 3 tương ứng là các biến cố chọn được kiện 1, 2, 3.

A 1 , A 2 , A 3 là một hệ biến cố đầy đủ.

1 )

A ( P )

A ( P )

P(B) = (0,8 + 0,6 + 0,4)

= 0,6

1 3

4- Công thức Bayes

Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ và

suất đầy đủ và

thêm điều kiện là phép thử được thực hiện, biến cố B đã xảy ra Khi đó:

P(A i /B) =

2, , n)

2, , n)

) B ( P

) A

/ B ( P ) A

(

Các xác suất P(A i /B) được xác định sau khi đã biết kết quả của phép thử là B đã xảy

ra nên thường được gọi là các xác suất hậu

tiên nghiệm P(A i ) khi biết thông tin là B xảy ra.

Thí dụ: : Có 3 kiện hàng Mỗi kiện có 5 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong kiện 1, kiện 2, kiện 3 tương ứng là: 4, 3, 2 Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại A Tìm xác suất để chọn được kiện 3.