A. ĐẠI SỐ 1. Các phép biến đổi căn thức. 2. Bài toán rút gọn biểu thức chứa căn và các câu hỏi phụ. 3. Giải phương trình vô tỷ. 4. Chứng minh bất đẳng thức. 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. 6. Các khái niệm liên quan đến hàm số. 7. Hàm số bậc nhất và các câu hỏi liên quan. B. HÌNH HỌC 1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông. 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 3. Khái niệm về đường tròn và các cách xác định đường tròn. 4. Liên hệ giữa bán kính và dây. 5. Tiếp tuyến của đường tròn và tính chất của tiếp tuyến cắt nhau. 6. Vị trí tương đối của hai đường tròn 7. Bài toán chứng minh tính chất hình học trong đường tròn; bài toán tính toán trong đường tròn; bài toán tập hợp điểm; bài toán cực trị hình học trong đường tròn.
Trang 1NĂM HỌC 2015 – 2016 (sưu tầm)
A ĐẠI SỐ
1 Các phép biến đổi căn thức
2 Bài toán rút gọn biểu thức chứa căn và các câu hỏi phụ
3 Giải phương trình vô tỷ
4 Chứng minh bất đẳng thức
5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số
6 Các khái niệm liên quan đến hàm số
7 Hàm số bậc nhất và các câu hỏi liên quan
B HÌNH HỌC
1 Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
3 Khái niệm về đường tròn và các cách xác định đường tròn
4 Liên hệ giữa bán kính và dây
5 Tiếp tuyến của đường tròn và tính chất của tiếp tuyến cắt nhau
6 Vị trí tương đối của hai đường tròn
7 Bài toán chứng minh tính chất hình học trong đường tròn; bài toán tính toán trong đường tròn; bài toán tập hợp điểm; bài toán cực trị hình học trong đường tròn
Trang 2Bài 1 Cho biểu thức P x 1 : x 1 1 x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2
x
c) Tìm các giá trị của x thỏa mãn P x 6 x 3 x 4
Bài 2 Cho hàm số y mx m 1 có đồ thị là đường thẳng (d), m là tham số khác 0
a) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng có phương trình2x 3y 7 b) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
c) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Từ đó tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Bài 3 Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB Lấy M thuộc nửa đường tròn (O) sao cho góc ABM 45o,
vẽ dây cung MN vuông góc với AB Tia BM cắt NA tại P, Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng AB Gọi K là giao điểm của PQ với AB
a) Chứng minh các điểm P, K, A, M cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh Q, N, B thẳng hàng và tam giác PKM cân
c) Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O)
d) Xác định M trên (O) để tứ giác PKNM trở thành hình thoi
Bài 4
a) Tính S 17 17
a b biết
;
b) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn x2 y2 1.Chứng minh rằng
9 4(x y) 3 2(x y) 3 2
Trang 3Bài 1 Cho biểu thức
a) Rút gọn Q
b) Tìm các giá trị của m để mọi x > 6 đều thỏa mãn x mx 2
Q
Bài 2 Cho (d m) :y (m 1)x m 2,( ) :d1 y 2x 1, (d2) :y x 2
a) Tìm tập hợp điểm mà họ đường thẳng(d m)không đi qua
b) Tìm m để(d m)chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1
c) Tìm m để (d m)cách B(1; 5) một khoảng lớn nhất
d) Tìm m để( ), (d1 d2), (d m)đồng quy
e) Nếu( )d1 cắt Ox tại M,(d2)cắt Ox tại P,( )d1 cắt(d2)tại Q Tính diện tích tam giác MPQ
Bài 3 Cho đường tròn( ; )O R đường kính AB Một điểm C khác A và B nằm trên đường tròn Tiếp tuyến
Cx của đường tròn cắt tia AB tại điểm I Phân giác gócCIA cắt OC tại điểm O’
a) Chứng minh rằng đường tròn(O O C'; ' )vừa tiếp xúc với đường tròn (O) vừa tiếp xúc với đường thẳng AB
b) Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA và CB với đường tròn (O’) Chứng minh rằng D, O’, E thẳng hàng
c) Tìm vị trí điểm C sao cho đường tròn ngoại tiếp OCI tiếp xúc với AC
d) Cho điểm P nằm trên đường tròn (O), đường thẳng (d) và đường tròn (O) không giao nhau Tìm vị trí của P để khoảng cách từ P đến đường thẳng d lớn nhất
Bài 4
a) Cho x, y, z là số thực thỏa mãn điều kiệnx y z xy yz zx 6 Chứng minh rằng:
2 2 2
3
b) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz M
x y y z z x
c) Cho 3 số thực bất kỳ x, y, z Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số(x y) , (2 y z) , (2 z x) 2 Chứng
minh rằng: 1( 2 2 2)
2
Trang 4Bài 1 Cho biểu thức 3 2 2 : 1
A
a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A < 0
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1
Anguyên.
Bài 2 Cho hàm sốy mx m 1 ( )d
a) Tìm m để (d) cắt đường thẳng( ) :y x 2 tại một điểm trên trục tung
b) Tìm m để (D) chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
c) Giả sử( )cắt Ox tại A,( 1) :y x 4 cắt Ox tại B,( )và( 1)cắt nhau tại C Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm M bất kì trên đường tròn tâm O Tiếp tuyến tại M và
B cắt nhau tại D Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt tiếp tuyến qua M tại C và cắt tiếp tuyến qua B tại N
a) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
b) Chứng minh rằng AC.BD không phụ thuộc vào M
c) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của MH
d) Gọi K là điểm chính giữa cung AB Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHK đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 Cho a, b, c dương thỏa mãna b c 3 Chứng minh rằng:
1
Trang 5Bài 1 Cho biểu thức 1 1 :
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính B khix 19 8 3 28 10 3
c) Tìm x để B > 1
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng( ) :d y (k 1)x n và hai điểmA(0;2), ( 1;0)B
1) Tìm các giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng( ) :y x 2 k
b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua trục tung
2) Cho n = 2 Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp đôi diện tích tam giác OAB
Bài 3 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm
O, cắt (O) tại B và C (B nằm giữa A và C) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D Từ
D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC
a) Chứng minh 4 điểm O, H, D, C nằm trên cùng một đường tròn
b) Chứng minh OH.OA = OI.OD
c) Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Cho OA = 2R Tính theo R diện tích tam giác OAM
Bài 4 Giải phương trình:
x2 x 1 4x2 x 1 5x2 1 2x2 1 3x2
Trang 6Bài 1 Cho biểu thức 1 1 1 : 1
x C
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C
b) Tìm các giá trị của x để 2
3
C
c) Tìm giá trị lớn nhất của C
Bài 2 Cho đường thẳng( ) :d y mx m 1,với m là tham số
a) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d1) :y 3x 1.Với m tìm được, tính diện tích tam giác tạo bởi (d) với hai trục tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)
b) Tìm điểm cố định A mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi giá trị của m
c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông nhận A làm trung điểm cạnh huyền
Bài 3 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC và điểm A nằm trên nửa đường tròn (A khác B, C) Hạ
AH vuông góc với BC (H thuộc BC) I và K lần lượt đối xứng với H qua AB và AC Đường thẳng
IK và tia CA cắt tiếp tuyến kẻ từ B của đường tròn (O) lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng I, A, K thẳng hàng và IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh rằng 12 12 12
c) Gọi E là giao điểm của IH và AB, F là giao điểm của KH và AC Chứng minh M là trung điểm của
BN và ba đường thẳng MC, AH, EF đồng quy
d) Xác định vị trí điểm A trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác BIKC là lớn nhất
Bài 4
a) Giải phương trình: 1 1 5
1
b) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi S là diện tích tam giác ABC và S’ là diện tích tam giác A’B’C’ Chứng minh rằng
2 2 2 '
cos A cos B cos C 1 S
S