Về vai trò của toán tử chiếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân

C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert.. Khæng gian ti·n Hilbert.. l mët t½ch væ h÷îng tr¶n H ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert hay cán gåi l khæng gian Unita... Khæng gian Rn l khæng gian

Líi cam oan

Tæi xin cam oan to n bë nëi dung luªn v«n l  cæng tr¼nh nghi¶ncùu cõa ri¶ng tæi, ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u tham kh£o C¡c k¸t qu£tr¼nh b y trong luªn v«n ho n to n trung thüc, khæng sao ch²p, tròngl°p vîi b§t k¼ t i li»u n o kh¡c

Håc vi¶n

Ho ng Thà Ng¥n

Líi c£m ìn

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th¡iNguy¶n Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin gûilíi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi GS.TSKH L¶ Dông M÷u, th¦y l ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï v  ëng vi¶n tæitrong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc,quþ th¦y, cæ gi¡o trong khoa To¡n, c¡c b¤n håc vi¶n lîp Cao håc To¡nK21B ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng

Qua ¥y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¥n trongtrong gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong suèt qu¡tr¼nh ho n th nh kho¡ håc

M°c dò câ nhi·u câ g­ng nh÷ng luªn v«n n y v¨n khæng tr¡nhkhäi nhúng thi¸u sât v  h¤n ch¸ Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n

âng gâp quþ b¡u cõa th¦y, cæ v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»nhìn

Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 14 th¡ng 03 n«m 2015

Håc vi¶n

Ho ng Thà Ng¥n

Möc löc

1.1 C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert 2

1.1.1 T½ch væ h÷îng 2

1.1.2 Khæng gian ti·n Hilbert 3

1.1.3 Khæng gian Hilbert 3

1.2 C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi 8

1.2.1 Tªp lçi 8

1.2.2 H m lçi 10

1.2.3 C¡c ành l½ t¡ch 12

1.2.4 D÷îi vi ph¥n 12

2 Vai trá cõa to¡n tû chi¸u èi vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n 16

2.1 To¡n tû chi¸u 16

2.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 20

2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 20

2.2.2 Sü tçn t¤i nghi»m 22

2.3 Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 27 2.3.1 Ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n 28

2.3.2 Ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng 30

Mð ¦u

To¡n tû chi¸u l¶n mët tªp lçi âng l  mët lîp ¡nh x¤ quan trångtrong gi£i t½ch, °c bi»t l  gi£i t½ch ùng döng Trong khæng gian Hilbertthüc to¡n tû n y luæn tçn t¤i v  câ nhi·u t½nh ch§t °c thò câ thº khaith¡c º nghi¶n cùu v  gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n trong c¡c l¾nh vüc kh¡cnhau nh÷ trong: Lþ thuy¸t tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v 

b i to¡n c¥n b¬ng

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  mët lîp b i to¡n quan trång cânhi·u ùng döng trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m, c¡c b i to¡n vªt lþ v  k¾thuªt công nh÷ trong tèi ÷u ho¡ C¡c h÷îng nghi¶n cùu ch½nh trong b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  sü tçn t¤i nghi»m v  ph÷ìng ph¡p gi£i,trong â ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u v  c¡c ành lþ iºm b§t

ëng th÷íng ÷ñc sû döng, ÷ñc tr½ch d¨n chõ y¸u trong c¡c t i li»u [7],[9]

B£n luªn v«n n y nh¬m möc ½ch giîi thi»u vai trá cõa to¡n tû chi¸utrong khæng gian Hilbert v  vi»c ¡p döng lîp b i to¡n n y v o b§t ¯ngbi¸n ph¥n Cö thº:

1 Sû döng to¡n tû chi¸u k¸t hñp vîi ành lþ iºm b§t ëng Brouwer

º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n

2 Giîi thi»u hai ph÷ìng ph¡p düa v o to¡n tû chi¸u º gi£i b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, â l  ph÷ìng ph¡p chi¸u cì b£n gi£i b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u m¤nh câ t½nh Lipschitz v ph÷ìng ph¡p chi¸u t«ng c÷íng (chi¸u hai l¦n) º gi£i b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u

Ch֓ng 1

C¡c ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, ta s³ nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc quan trång l mn·n t£ng º nghi¶n cùu ch÷ìng sau â l  c¡c ki¸n thùc cì b£n v· khænggian Hilbert v  gi£i t½ch lçi C¡c nëi dung trong ch÷ìng ÷ñc tr½ch d¨n

tø c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3]

1.1 C¡c ki¸n thùc v· khæng gian Hilbert

1.1.1 T½ch væ h÷îng

ành ngh¾a 1.1.1 Cho H l  mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng sè thüc

R T½ch væ h÷îng tr¶n H l  mët ¡nh x¤ x¡c ành nh÷ sau:

.,  :H×H→ R(x, y) 7→ x, ytho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:

1 x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 khi v  ch¿ khi x = 0

2 x, y = y, x, ∀x, y ∈ H

3 x + y, z = x, z+ y, z, ∀x, y, z ∈ H

4 λx, y = λ x, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R.

x, y ÷ñc gåi l  t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v  y tr¶n H

1.1.2 Khæng gian ti·n Hilbert

ành ngh¾a 1.1.2 C°p H, , 
, trong â H l  mët khæng gian vectìtr¶n tr÷íng sè thüc R, ,

l  mët t½ch væ h÷îng tr¶n H ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert (hay cán gåi l  khæng gian Unita)

ành lþ 1.1 (B§t ¯ng thùc Cauchy- Schwartz) Trong khæng gian ti·nHilbert H, vîi måi x, y ∈ H ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau:

| x, y|2 ≤ x, x y, y (1.1)

D§u b¬ng cõa b§t ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x, y phö thuëctuy¸n t½nh

Mèi quan h» giúa chu©n v  t½ch væ h÷îng ÷ñc thº hiºn qua ành l½ sau

ành lþ 1.2 Måi khæng gian ti·n Hilbert H ·u l  khæng gian tuy¸nt½nh ành chu©n, vîi chu©n ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc

x =

q

Chu©n n y ÷ñc gåi l  chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng Theo ành

lþ tr¶n, khæng gian ti·n Hilbert l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, câthº ¦y õ ho°c khæng ¦y õ

1.1.3 Khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.1.3 N¸u H l  mët khæng gian ti·n Hilbert v  ¦y õ èivîi chu©n c£m sinh tø t½ch væ h÷îng th¼ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert.V½ dö 1.1

1 Khæng gian Rn l  khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng

Nh÷ vªy ta câ khæng gian Hilbert l  mët khæng gian Banach Do

â c¡c khæng gian n y câ c¡c t½nh ch§t cõa mët khæng gian ành chu©n

v  câ th¶m mët sè t½nh ch§t mîi sau ¥y

ành lþ 1.3 Gi£ sû H l  mët khæng gian ti·n Hilbert Khi â t½ch væh÷îng l  mët h m sè li¶n töc tr¶n H×H

ành lþ 1.4 Vîi måi x, y thuëc khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ

¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh sau:

x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 + y 2) (1.3)

p döng ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh cho hai vectì x − y v  x − z

ta câ h» qu£ sau

H» qu£ 1.1 Gi£ sû H l  mët khæng gian ti·n Hilbert v  x, y, z ∈ H.Khi â ta câ ¯ng thùc Apollonius:

2( x − y 2 + x − z 2) = 4 x − y + z

2 + y − z

2

.Nhªn x²t 1.1

1 ¯ng thùc (1.3) kh¡i qu¡t mët t½nh ch§t quen thuëc trong h¼nh håc:têng c¡c b¼nh ph÷ìng hai ÷íng ch²o cõa mët h¼nh b¼nh h nh b¬ngtêng c¡c b¼nh ph÷ìng cõa c¡c c¤nh V¼ lþ do â nâ câ t¶n l  ¯ngthùc h¼nh b¼nh h nh

2 ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh công l  i·u ki»n õ º ÷a ÷ñc t½ch væh÷îng v o khæng gian ành chu©n Ng÷ñc l¤i n¸u H l  khæng gian

ành chu©n, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh ÷ñc th£o m¢n vîimåi ph¦n tû thuëc H th¼ tr¶n H s³ tçn t¤i mët t½ch væ h÷îng sinh

ra chu©n tr¶n khæng gian ành chu©n H, i·u n y ÷ñc thº hi»nqua ành lþ sau

ành lþ 1.5 Gi£ sû H,
l  mët khæng gian ành chu©n tr¶n tr÷íng

K, trong â ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh nghi»m óng vîi måi x, y ∈ H,tùc l :

x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + y 2.Khi â vîi tr÷íng R ta °t

x, y = p(x, y) = 1

4 x + y

2

− x − y 2
, (1.4)th¼ ,  l  mët t½ch væ h÷îng tr¶n H v  ta câ

x, x = x 2, ∀x ∈ H

iºm mîi nêi bªt cõa khæng gian Hilbert so vîi khæng gian ànhchu©n l  trong khæng gian Hilbert kh¡i ni»m t½ch væ h÷îng bao h m c¡ckh¡i ni»m v· t½nh trüc giao, trüc chu©n Trong ph¦n sau ¥y chóng ta s³nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v  mët sè v½ dö li¶n quan

ành ngh¾a 1.1.4 Cho H l  mët khæng gian ti·n Hilbert.

1 Hai ph¦n tû x, y ∈ H ÷ñc gåi l  trüc giao vîi nhau, k½ hi»u l  x⊥yn¸u x, y = 0

2 Hai tªp A, B ⊂ H ÷ñc gåi l  trüc giao vîi nhau, k½ hi»u l  A⊥Bn¸u vîi méi x ∈ A, y ∈ B ta câ x⊥y , tùc l  x, y = 0

3 Ta nâi ph¦n tû x cõa H trüc giao vîi tªp con A cõa H n¸u vîi

∀y ∈ A ta câ x, y = 0 v  ÷ñc k½ hi»u l  x⊥A

4 Ph¦n bò trüc giao cõa A ∈H l  tªp hñp c¡c ph¦n tû tho£ m¢n:

A⊥ = x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ A ,n¸u A = {x}, ta vi¸t x⊥ thay cho {x}⊥

5 Hå O⊂ H ÷ñc gåi l  h» trüc giao n¸u c¡c ph¦n tû cõa O æi mëttrüc giao vîi nhau, tùc l  ∀x, y ∈O, x 6= y,th¼ x, y = 0

6 Hå E = {ei}i∈∧ ⊂ H ÷ñc gåi l  h» trüc chu©n n¸u E l  mët h»trüc giao v  ei = 1, ∀ei ∈ E Nh÷ vªy E = {ei}i∈∧ l  mët h» trücchu©n n¸u

ei, ej =

(

0 n¸u i 6= j

1 n¸u i = j

ành lþ 1.6 N¸u A l  mët tªp hñp trong khæng gian ti·n Hilbert H th¼

A⊥ l  mët khæng gian con âng cõa H

ành lþ 1.7 H» trüc chu©n l  mët h» ëc lªp tuy¸n t½nh, tùc l  måi håcon húu h¤n cõa h» l  ëc lªp tuy¸n t½nh

Ng÷ñc l¤i, tø mët h» ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû ëc lªp tuy¸n t½nh, ta

câ thº x¥y düng ÷ñc mët h» trüc giao theo ph÷ìng ph¡p trüc giao ho¡Schmidt

M»nh · 1.1 Trong khæng gian ti·n Hilbert H ta luæn câ:

1 N¸u x⊥y th¼ y⊥x, x⊥x khi v  ch¿ khi x = 0

2 N¸u x⊥y vîi måi y ∈ H th¼ x = 0

3 N¸u x⊥yi, vîi méi i ∈ {1, · · · , n} th¼ x⊥(λ1y1, · · · , λnyn).

4 N¸u x⊥yn vîi måi n v  limn→∞yn = y th¼ x⊥y

5 N¸u A trò mªt trong H th¼ M⊥ = {0} Tùc l  x⊥M khi v  ch¿ khi

x = 0

6 N¸u x⊥y th¼ x + y 2 = x 2+ y 2, têng qu¡t hìn, n¸u x1, · · · , xn

æi mët trüc giao vîi nhau th¼ ta câ ¯ng thùc Pythagore

°c bi»t, n¸u {en, n ∈ N∗} l  h» trüc chu©n trong H th¼ chuéi

n

X

i=1

xi, eiei l  h¼nh chi¸u trüc giaocõa x l¶n khæng gian con A v 

1.2 C¡c ki¸n thùc v· tªp lçi, h m lçi

Ta nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch lçi nh÷ tªp lçi,

h m lçi, d÷îi vi ph¥n, trong khæng gian Hilbert H

1.2.1 Tªp lçi

ành ngh¾a 1.2.1 Cho a ∈ H, khi â ta câ c¡c ành ngh¾a sau:

1 Tªp A ÷ñc gåi l  tªp affine n¸u

ành ngh¾a 1.2.2 Mët tªp A ⊂ H ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u

∀a, b ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] ta câ λa + (1 − λ)b ∈ A

ành ngh¾a 1.2.3 Gi£ sû A ⊂ H, a, b ∈ A o¤n th¯ng nèi hai iºm

a, b ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

[a, b] = x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]

Nhªn x²t 1.2 V· m°t h¼nh håc, ành ngh¾a tªp lçi câ ngh¾a r¬ng, n¸uhai iºm b§t k¼ thuëc A, c£ o¤n th¯ng nèi hai iºm §y công n¬m tråntrong A

V½ dö 1.2

1 Tªp réng l  tªp lçi

2 Tªp ch¿ chùa mët iºm duy nh§t l  tªp lçi

3 Trong m°t ph¯ng hay trong khæng gian 3 chi·u, måi h¼nh quen thuëcnh÷ o¤n th¯ng, h¼nh tam gi¡c, h¼nh chú nhªt, h¼nh hëp chú nhªt,h¼nh trán, h¼nh c¦u ·u l  nhúng tªp lçi.

M»nh · 1.2 Ta câ:

1 Tªp lçi âng vîi ph²p giao, ph²p cëng v  ph²p nh¥n vîi mët sè thüc

2 T½ch · c¡c cõa c¡c tªp lçi l  tªp lçi

3 Tªp £nh v  t¤o £nh cõa tªp lçi qua ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l  tªp lçi

ành ngh¾a 1.2.5

1 Tªp K ⊂H ÷ñc gåi l  nân câ ¿nh t¤i 0 n¸u:

∀x ∈ K, ∀λ > 0, ⇒ λx ∈ K

2 K ÷ñc gåi l  nân câ ¿nh t¤i x0 n¸u K − x0 l  nân câ ¿nh t¤i 0

3 Nân K câ ¿nh t¤i 0 ÷ñc gåi l  nân lçi n¸u K l  mët tªp lçi, tùc

H m f ÷ñc gåi l  Lipschitz àa ph÷ìng tr¶n tªp A ⊂ H, n¸u f Lipschitz

àa ph÷ìng t¤i måi x ∈ A

H m f ÷ñc gåi l  Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz K tr¶n tªp A ⊂ H,n¸u (1.6) óng vîi måi x, x0 ∈ A

Mèi quan h» giúa h m lçi v  h m Lipschitz àa ph÷ìng ÷ñc thºhi»n qua ành l½ sau.

ành lþ 1.10 N¸u f l  h m lçi v  bà ch°n tr¶n trong mët l¥n cªn cõa

x ∈ H th¼ f l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x

1.2.3 C¡c ành l½ t¡ch

ành ngh¾a 1.2.9 Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert, H∗ l  khæng gianli¶n hñp cõa H L§y x∗ ∈ H∗, x∗ 6= 0, α ∈ R, ta câ

H(x∗, α) = x ∈ H : x∗, x = α

÷ñc gåi l  mët si¶u ph¯ng trong H

ành ngh¾a 1.2.10 Cho hai tªp A, B ∈ H, ta nâi r¬ng si¶u ph¯ngH(x∗, α) :

1 t¡ch hai tªp A v  B n¸u x∗, a ≤ α ≤ x∗, b, ∀a ∈ A, b ∈ B

2 t¡ch ng°t hai tªp A v  B n¸u x∗, a < α < x∗, b, ∀a ∈ A, b ∈ B

ành lþ 1.12 (ành l½ t¡ch thù hai) Cho A v  B l  hai tªp lçi ângkh¡c réng trong khæng gian Hilbert H v  A ∩ B = ∅ Trong â câ ½t nh§tmët tªp l  compact Khi â, mët si¶u ph¯ng câ thº t¡ch m¤nh hai tªp A

n¸u giîi h¤n n y tçn t¤i (câ thº húu h¤n ho°c b¬ng ±∞).

Nhªn x²t 1.3 H m f0(x0, d) l  h m thu¦n nh§t d÷ìng

ành ngh¾a 1.2.12 Gi£ sû f l  h m lçi tr¶n H.Phi¸m h m x∗ ∈ H

÷ñc gåi l  d÷îi gradient cõa h m f t¤i x ∈H n¸u

Khi â d÷îi vi ph¥n cõa h m ch¿ cõa A t¤i x ∈ A l  nân ph¡p tuy¸n cõa

A t¤i x

ành lþ 1.13 Gi£ sû f l  h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n H v  λ > 0 Khi

â vîi måi x ∈ H

Ta câ int(epif) 6= ∅ Thªt vªy, vîi måi  > 0 tçn t¤i mët l¥n cªn

mð cõa x sao cho

Theo ành l½ t¡ch thù nh§t, tçn t¤i x∗

1 ∈ H v  β ∈ R vîi (x∗

1, β) 6= ∅sao cho

Ch֓ng 2

Vai trá cõa to¡n tû chi¸u èi vîi

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

2.1 To¡n tû chi¸u

Trong ph¦n n y, ta nh­c l¤i kh¡i ni»m v  mët sè t½nh ch§t cõato¡n tû chi¸u l¶n mët tªp lçi âng trong khæng gian Hilbert Nhúng ki¸nthùc n y chõ y¸u ÷ñc tr½ch tø t i li»u [6]

ành ngh¾a 2.1.1 Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gianHilbert H, gi£ sû x ∈ H, p ∈ A Kho£ng c¡ch tø x ¸n tªp A k½ hi»u

dA(x) l  mët h m ÷ñc x¡c ành bði

dA(x) := inf

p∈A x − p , p ∈ A

Trong tr÷íng hñp câ mët ph¦n tû p ∈ A m  x − p = dA(x) vîi måi

x ∈ A th¼ ta nâi r¬ng p l  h¼nh chi¸u cõa x l¶n tªp A K½ hi»u PA : x 7→

PA(x) ÷ñc gåi l  to¡n tû chi¸u l¶n tªp A

ành lþ 2.1 Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert

H Gi£ sû x ∈H, p ∈ A th¼ ta câ

p = PA(x) ⇔ p − x, y − p ≥ 0 vîi måi y ∈ A (2.1)Chùng minh

H» qu£ 2.1 Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert

H Khi â vîi måi x ∈H, p ∈ A ta câ p = PA(x) ⇔ x − p ∈ NA(p).M»nh · 2.1 Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert

H Khi â vîi måi x ∈ H to¡n tû chi¸u PA(x) luæn tçn t¤i v  duy nh§t.Chùng minh

• Sü tçn t¤i N¸u x ∈ A th¼ ta câ dA(x) = 0

N¸u x 6∈ A th¼ ta câ dA(x) = infp∈A p − x , theo ành ngh¾a cªnd÷îi óng, tçn t¤i mët d¢y {yk} ∈ A sao cho

0 ≤ lim

k→∞ yk− x = dA(x) ≤ +∞

V¼ d¢y {yk} bà ch°n n¶n tçn t¤i mët d¢y con {ykj} hëi tö tîi iºm

p tuý þ thuëc A (do A l  tªp âng) Khi â ta câ

p − x = lim

j→∞ ykj − x = lim

k→∞ yk − x = dA(x)

Vªy p l  h¼nh chi¸u cõa x l¶n A

• T½nh duy nh§t Gi£ sû p1, p2 l  hai h¼nh chi¸u cõa x l¶n A Ta câ

M»nh · 2.2 Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert

H Gi£ sû x, y ∈ H, khi â ta câ

Cauchy-PA(x) − PA(y) ≤ x − y

2 p döng (2.1) vîi x = y, p = PA(y), y = PA(x) ta câ

PA(y) − y, PA(x) − PA(y) ≥ 0

T÷ìng tü vîi x = x, p = PA(x), y = PA(y) ta câ

PA(x) − x, PA(y) − PA(x) ≥ 0

Cëng hai v¸ b§t ¯ng thùc v  ¡p döng b§t ¯ng thùc Schwart ta suy ra

Cauchy-x − y, PA(x) − PA(y) ≥ PA(x) − PA(y) 2

Tø c¡c M»nh · 2.1 v  2.2 ta suy ra ành lþ sau

ành lþ 2.2 Cho tªp lçi âng kh¡c réng A trong khæng gian Hilbert H,

v  mët iºm a 6∈ A Khi â tçn t¤i mët iºm duy nh§t x0 ∈ A sao cho

a − x0, x − x0 ≤ 0, vîi måi x ∈ A

Nhªn x²t 2.1 iºm x0 trong ành l½ tr¶n ÷ñc gåi l  h¼nh chi¸u cõa al¶n tªp A Nâ l  ph¦n tû cõa A g¦n a nh§t v  sè a − x0 ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch tø a ¸n A, Vectì t = a − x0 6= 0 tho£ m¢n

2.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

Nëi dung trong ph¦n n y ÷ñc tr½ch tø c¡c t i li»u [4], [5], [6], [7],[8], [9] Ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, cö thº l : ph¡t biºu

b i to¡n, v½ dö, sü tçn t¤i, t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n v  giîi thi»umët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n

Cho A l  tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H

F : A → H l  mët ¡nh x¤ li¶n töc Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n ÷ñc k½ hi»u l  V I(A, F ), l  b i to¡n

T¼m x∗ ∈ A : F (x∗), x − x∗ ≥ 0,vîi måi x ∈ A (2.3)

iºm x∗ ∈ A tho£ m¢n (2.3) ÷ñc gåi l  nghi»m cõa b i to¡n K½ hi»u

S l  tªp nghi»m cõa b i to¡n V I(A, F )

D÷îi ¥y ta x²t mët v i tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n

V½ dö 2.1 1 B i to¡n tèi ÷u ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

T¼m mët iºm x∗ ∈ A sao cho ϕ(x∗) ≤ ϕ(x) vîi måi x ∈ A, hay

÷ñc vi¸t ng­n gån l  min ϕ(x), vîi x ∈ A,trong â A l  tªp lçi ângtrong khæng gian Hilbert H, ϕ l  ¡nh x¤ kh£ vi, li¶n töc Khi â ta

câ n¸u x∗ ∈ A l  nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u th¼ x∗ l  nghi»m cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V I(A, F ), trong â F (x) = ∇ϕ(x).Chùng minh Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng, gi£ sû r¬ng x∗ ∈ A

l  nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u nh÷ng khæng l  nghi»m cõa b i to¡n

V I(A, F ), tùc l 

∇ϕ(x∗), x − x∗ < 0,vîi måi x ∈ A