Một số hệ thức mới trong dãy fibonacci suy rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG ANH TUẤN MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG Chuyên ngàn

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG ANH TUẤN

MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI

TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên – 2015

Trang 2

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Leonardo Pisano Bogollo (1170–1250), còn được biết đến với tên Leonardo

của Pisa Fibonacci là nhà toán học người Ý tài ba nhất thời Trung Cổ

Fibonacci đã có công giới thiệu hệ đếm Hindu – Ả Rập ở Châu Âu và đặc

biệt nổi tiếng với dãy số mang tên Ông, dãy Fibonacci, vì Ông là người đầu

tiên nghiên cứu dãy số này trong cuốn sách Liber Abbaci (sách về tính toán)

xuất bản năm 1202 Dãy Fibonacci là một trong dãy số đẹp nhất trong toán

học Dãy Fibonacci xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của tự nhiên, với rất

nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng Một trong những phát triển

quan trọng của dãy Fibonacci là dãy Lucas Sau Fibonacci, rất nhiều các

nhà khoa học nghiên cứu về dãy Fibonaci: Cassini (1625–1712), Catalan

(1814–1894), Lucas (1842–1891), Binet (1857–1911), D’Ocagne (1862–

1938),…Và rất nhiều hệ thức của dãy Fibonacci đã được mang tên các nhà

khoa học này Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci, dãy

Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều, mặc dù đã có một vài luận văn về

dãy Fibonacci, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề thú vị của dãy Fibonacci và

dãy Fibonacci suy rộng chưa được đề cập Vì vậy việc nghiên cứu và phổ

biến các kiến thức về đề tài này, theo chúng tôi là thú vị và cần thiết

Trang 3

Luận văn Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng gồm hai chương

Chương 1 Dãy Fibonacci suy rộng

Chương 1 trình bày một số kiến thức của dãy Fibonacci, dãy Fibonacci suy rộng và một số dãy số liên quan

Chương 2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng

Chương 2 tập hợp và chứng minh các hệ thức mới cho dãy Fibonacci và dãy Fibonacci suy rộng

Trang 4

đủ để áp dụng vào dãy Fibonacci và các dãy Fibonacci suy rộng

1.1.1 Định nghĩa

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất là phương trình có dạng

Au n 1 Bu n Cu n 1 0, n 1,2, , (1.1.1) trong đó A 0, , B C là những hằng số.

1.1.2 Công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình (1.1.1) có phương trình đặc trưng là

Trang 5

Vậy (1.1.3) là nghiệm của phương trình (1.1.1)

Nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì ta có thể tìm được hai hằng số tự do C1và

2,

C khi ấy nghiệm hoàn toàn được xác định

Ví dụ1.1 Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

(1.1.4) với điều kiện ban đầu u0 7, u1 6

Giải: Phương trình đặc trưng của phương trình (1.1.4) là

Trang 6

với điều kiện ban đầu u0 0, =1 u1

Công thức (1.2.1) còn có thể viết dưới dạng

1.2.1.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Fibonacci

Phương trình đặc trưng 2 1 0 của (1.2.1) có nghiệm là

Trang 7

Trang 8

Như vậy, dãy Lucas cũng có phương trình đặc trưng là 2

1 0, hoàn toàn trùng với phương trình đặc trưng của dãy Fibonacci Hai dãy số này chỉ khác nhau

ở điều kiện ban đầu

1.2.2.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Lucas

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) là

Vậy công thức tổng quát của dãy Lucas là u n n n

Kí hiệu L n là dãy Lucas Khi ấy, số hạng tổng quát của dãy Lucas là

1.2.3.1 Định nghĩa Dãy Jacobsthal là dãy được cho bởi phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai thuần nhất

1.2.3.2 Công thức nghiệm tổng quát của dãy Jacobsthal

Phương trình đặc trưng của (1.2.3) là 2

Phương trình đặc trưng có nghiệm là 1 1, 2 2

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.3) là

Trang 9

Phương trình (1.2.4) có phương trình đặc trưng là 2

Trang 10

Vậy

2

1

,4

Trang 11

1.2.7.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal–Lucas là dãy được cho bởi hệ thức truy

Trang 12

Với k 1 ta trở về dãy Jacobsthal

1.2.8.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci suy rộng là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi

1 1

, 1,2, ,,

1.2.8.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy Fibonacci suy rộng

Công thức hệ số tổng quát của phương trình (1.2.8) là

1,

G bF aF

trong đó F n là số hạng của dãy Fibonacci

Chứng minh Với n 2, vì F2 F1 1, nên ta có

Vậy công thức trên đúng với n 3

Giả sử công thức đúng với k 3,k  Theo qui nạp ta có

Trang 13

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên n 1

Phương trình (1.2.9) có phương trình đặc trưng là 2

Trang 14

Vậy công thức được chứng minh

1.2.10 Dãy Fibonacci tổng quát

1.2.10.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi

, = 1,2, ,, =

u a u b (1.2.10)

Chọn , , , p q a b thích hợp ta sẽ được các dãy: Fibonacci, Lucas, Jacobsthal,…

1.3 Các đẳng thức tiêu biểu trong dãy Fibonacci tổng quát

1.3.1 Công thức Binet

1.3.1.1 Công thức Binet cho dãy Fibonacci

Công thức Binet’s của dãy Fibonacci được cho bởi

Trang 15

1.3.1.2 Công thức Binet cho dãy Lucas

Công thức Binet của dãy Lucas được cho bởi công thức

Trang 16

Vậy

.5

n

G

1.3.2 Hệ thức Catalan cho dãy Fibonacci

Cho k là số nguyên dương và n k Ta có

Trang 17

Trang 18

Trang 19

1

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n F L F L 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

(do 0) n n n n n n F Hệ thức 1.4.7

2 2 1 5 2 1 n n n L L F (1.4.7) Chứng minh Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n

2

n

F

Vậy

Trang 20

Chương 2

MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG

Trong chương này, để cho tiện, ta kí hiệu dãy Fibonacci như sau:

Trang 21

51

Trang 22

Trang 23

Trang 24

2.2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci

Mục này chứng minh một số hệ thức trong dãy Fibonacci, tuy đã được John H Halton trình bày trong [3] từ năm 1965, nhưng chúng còn chưa được trình bày trong các tài liệu bằng tiếng Việt Từ “ Hệ thức mới ” ở đây được hiểu theo nghĩa như vậy

2.2.1 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi

Để thuận tiện trong việc chứng minh các hệ thức, chúng ta đưa thêm vào khái niệm

số Fibonacci với chỉ số âm như sau:

Trang 25

Giả sử đẳng thức F n 1 n 1F n đúng với n 2 Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng tới n 1 Thật vậy theo công thức (2.2.1) và giả thiết quy nạp, ta có

1 1

Trang 26

Trang 27

Trang 28

1 1

0 1

1 0

1 1

1 0

h k

1

0 1

h r r m n k r hm h

Trang 29

0 0

3

0 1

Trang 30

0

1 0

k

k m n m k h m k h h k h

r r m n kr hm h

n k

n k n

Vì 1 2m k h( ) 1 nên ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.2.2.2 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên ,k r và m m n, kr n ta

k

h

Trang 31

Hệ quả 2.2.2.3 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên , ,k r m và n kr ta có

r 1

k

h k

Trang 32

r 0

k

h

Trang 33

Hệ quả 2.2.2.8 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên , ,k r m và n 1 ta có

k

h

Trang 34

Hệ quả 2.2.2.10 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên , ,k r n và m 1 ta có

1 0

F

1 0

Trang 35

Hệ quả 2.2.2.12 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên ,k r và m 1, n kr ta có

1 0

h k

1 0

Trang 36

h k

Trang 37

k

h k h

m n k hm h

k

h k

Trang 38

k

r r kr h h

k

h h k h

r r kr h h

k

h k

k

r r kr h h

k

h h k h

r r kr h h

k

h k

Trang 39

k

m hm k h

k

h k

h

Trang 40

Hệ quả 2.2.2.23 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên k và r 1, m 1, n nk ta

h

Trang 41

Hệ quả 2.2.2.25 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên k và r 2, m 1, n n ta

2 0

h k

2 0

h k

h

Trang 42

Hệ quả 2.2.2.27 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên k và r 2, m 1, n 2k

2 0

h k

h

Trang 43

Hệ quả 2.2.2.29 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên k và r 1, m 1, n 0 ta có

1 0

k

k h

k h h

k

k h h

k

h

k F h k

F h

2 0

0

k

k h h

k

k h

k h h

k

k h h

k

h

k F h k

F h

Trang 44

0

2 0

k

h

k h h

k

h k

F h

Hệ quả 2.2.2.32 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên , ,m n r và k 1 ta có

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Hệ quả 2.2.2.41 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên m và k 1, r 1, n m 1 ta

Trang 48

Dãy trên được gọi là dãy Fibonacci suy rộng

Định lí 2.3.1 Cho G là số hạng thứ n n của dãy Fibonacci suy rộng Ta có

Trang 49

Trang 50

n n

L L

Trang 51

Trang 52

Trang 53

Chứng minh Ta có

n n n n n n n n n n n n n n n n n n G G G c d c d c d c d c d c d cd cd cd 2 2 4 2 2 2 4 2 2 1 3 1 3 1 2 3 1 10

5.2

n n n n n c d cd cd cd 1 5.2 1 n

Vậy 1 2 2 2 2 3 1 2 1 n n n n G G G Hệ thức 2.3.11 (Ruggles, 1963) G n G F m n m 1 G F m 1 n m. (2.3.11) Chứng minh Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

m m n m n m m m n m n m m n m m n m n n n n m n m n m m m n m n m m G F G F c d c d c d c d c d c d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n m n m n m m n n n n c d c d c d c d c d 1 1

5

c d

Do đó

n m n m m n m

Trang 54

Trang 55

2.4 Một số hệ thức trong dãy Lucas

Trang 56

Trang 57

L L L

Trang 58

Vậy

1 2

Trang 59

Trang 60

2.5 Một số hệ thức khác của dãy Fibonacci

Ngoài những hệ thức ở trên, các hệ thức dưới đây chỉ ra sự phong phú của các hệ thức trong dãy Fibonacci (xem [4])

1 1

5) F n F F m n m F m F n m

3 3

Trang 61

Trang 62

Trang 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

1 Tạ Duy Phượng, Phạm Thị Hồng Lý (2008), Một số dạng toán thi học

sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử, tái bản lần thứ hai Nhà xuất

3 John H Halton (1965), "On a general Fibonacci Identity," The

Fibonacci Quartely, Number 1, Volume 3

4 Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with

Applications, Wiley –Iinterscience; 1 edition, USA.

5 Sheryl B Tadlock (1965), "Products of odds," The Fibonacci

Quartely, Number 1, Volume 3

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	2,5 MB