Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi ở trường Trung học phổ thông thông qua dạy học bất đẳng thức

Vấn đề dạy học toán trong trường phổ thông hiện nay nói chung tuy đã có đổi mới về phương pháp giảng dạy cũng như nội dung chương trình nhưng vẫn còn tồn tại nhiều nơi phương pháp dạy họ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hướng dẫn khoa học: TS BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015

Tác giả luận văn

Hà Thị Tuyền

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thị Hạnh Lâm - cô là

người đã chỉ bảo, hướng dẫn tận tình em trong quá trình thực hiện luận văn

Cô cũng là người đã luôn động viên, khích lệ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện đề tài

Em xin trân trọng cảm ơn:

+ Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo ở Viện Toán học Việt Nam, trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội, trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên đã hướng dẫn chúng em học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

+ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ThS Phan Thị Phương Thảo -

cô là người đã động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện

+ Bạn bè và gia đình đã giúp đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015

Tác giả luận văn

Hà Thị Tuyền

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iiii

Những cụm từ viết tắt trong luận văn iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Đại cương về tư duy 4

1.1.1 Khái niệm chung về tư duy 4

1.1.2 Quá trình tư duy 5

1.2 Sáng tạo 6

1.2.1 Sáng tạo là gì? 6

1.2.2 Quá trình sáng tạo 7

1.2.3 Cấp độ của sự sáng tạo 8

1.2.4 Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo 10

1.3 Tư duy sáng tạo 11

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo 11

1.3.2 Các tính chất của tư duy sáng tạo 12

1.4 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THPT 18

1.4.1 Những biểu hiện của học sinh giỏi về toán 18

1.4.2 Năng khiếu toán học 18

1.4.3 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh trong nhà trường phổ thông 19

1.5 Ưu thế của nội dung bất đẳng thức trong việc phát triển tư duy sáng tạo 20 1.6 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài tập bất đẳng thức 21

1.7 Kết luận chương 1 25

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN TƯ DUY

SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT

THÔNG QUA DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 27

2.1 Rèn luyện cho học sinh tìm được nhiều cách giải cho một bài toán bất đẳng thức 27

2.2 Rèn luyện cho học sinh biết sáng tạo ra các bất đẳng thức mới 42

2.3 Rèn luyện cho học sinh khả năng kết nối các kiến thức đã học để tìm được lời giải độc đáo cho một bài toán bất đẳng thức 47

2.4 Rèn luyện cho học sinh khả năng tạo ra nhiều bài toán từ các bài toán mở 58

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.1 Mục đích thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm 71

3.3 Đối tượng thực nghiệm 86

3.4 Tổ chức thực nghiệm 86

3.6 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 88

3.7 Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

TT Viết tắt Viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nước ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với cộng đồng quốc tế Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nước, đổi mới giáo dục là trọng tâm của sự phát triển Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế là con người Công cuộc đổi mới này đòi hỏi nhà trường phải tạo ra những con người lao động năng động, sáng tạo để làm chủ đất nước, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Vấn đề dạy học toán trong trường phổ thông hiện nay nói chung tuy đã có đổi mới về phương pháp giảng dạy cũng như nội dung chương trình nhưng vẫn còn tồn tại nhiều nơi phương pháp dạy học cũ, thiếu tính tích cực từ phía người học, thiên về dạy, yếu về học, không kiểm soát được việc học… Thực trạng đó chưa đáp ứng được yêu cầu đối với sự nghiệp GD & ĐT trong công cuộc đổi mới đất nước, nhất là việc quan tâm rèn luyện, phát triển năng lực tư duy sáng tạo, bồi dưỡng nhân tài ở nhà trường phổ thông

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán phổ thông nhưng cũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị Trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay được đề cập và là một thử thách thực sự với các thí sinh Để giải được các bài toán bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, sử dụng các kiến thức toán học rộng khắp và đặc biệt tư duy giải toán linh hoạt sáng tạo, Mặc dù vậy trong SGK cũng như sách bài tập toán THPT, số lượng bài tập về bất đẳng thức

không nhiều Thực tiễn khi giảng dạy cho thấy nhiều giáo viên và học sinh ít quan tâm đến thể loại bài tập này

Để góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi cấp THPT

và đổi mới phương pháp dạy học toán cũng như khắc phục những tình trạng

trên đây, đề tài được chọn là “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá

giỏi ở trường THPT thông qua dạy học bất đẳng thức”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu TDST, về nội dung bất đẳng thức, về đặc điểm đối tượng học sinh khá giỏi cấp THPT, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo Toán học cho học sinh khá giỏi thông qua nội dung bất đẳng thức

3 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp và vận dụng chúng một cách hợp lí trong dạy học bất đẳng thức thì sẽ góp rèn luyện tư duy sáng

tạo cho học sinh khá giỏi ở trường THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu và hệ thống hoá về tư duy, tư duy sáng tạo, về bất đẳng thức

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT

-

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học

sinh khá giỏi ở trường THPT thông qua dạy học bất đẳng thức

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Đại cương về tư duy

1.1.1 Khái niệm chung về tư duy

“Tư duy là quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [26, tr79]

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Nhận thức cảm tính giúp con người nhận biết các thuộc tính trực quan, cụ thể bên ngoài, các mối quan hệ về không gian, thời gian, trạng thái vận động của sự vật, hiện tượng Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vượt xa giới hạn của nhận thức cảm tính, tư duy (nhận thức lý tính) phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan

hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng, những điều mà con người chưa biết cần tìm tòi giải quyết

Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề" Trong quá trình diễn biến của mình,

tư duy nhất thiết phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” (X.L Rubinstein) Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa “Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa” (Ph Angghen)

Trong quá trình tư duy, con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, tiến hành các thao tác trí tuệ và biểu đạt kết quả của tư duy Sản phẩm

của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng những

từ, ngữ, câu…ký hiệu, công thức

Tư duy mang tính khái quát hóa (phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng); tính gián tiếp (phản ánh bằng ngôn ngữ); tính trừu tượng (thoát ly nội dung có tính chất đặc thù của sự vật và hiện tượng) [25, tr1-2]

1.1.2 Quá trình tư duy

Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết

về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ

Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

SƠ ĐỒ QUÁ TRÌNH TƯ DUY (CỦA K.K.PLATÔNÔP)

Theo R.L.Solsor “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức đem lại một cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay một tình huống”

Theo Henry-Glitman “Sáng tạo là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích”

GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra” [24]

Theo từ điển Tiếng Việt (Nhà xuất bản Khoa học xã hội, 1998) “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, hay sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Từ các khái niệm trên về sáng tạo ta có thể hiểu một cách ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới, có ích, độc đáo

Như vậy sáng tạo bao gồm 2 ý chính: có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích có giá trị mới (tốt, có giá trị hơn cái cũ, cái đã biết) Ngoài ra còn có đặc điểm: Sáng tạo là hoạt động chỉ có ở con người; sáng tạo không chỉ phát hiện ra vấn đề mà còn giải quyết được vấn đề Như vậy, sáng tạo là một quá trình thể hiện năng lực trí tuệ của con người trong việc phát hiện ra vấn đề mới và giải quyết được vấn đề mới đó Theo tác giả Trần Luận “Dấu hiệu cơ bản đầu tiên của sáng tạo là sự cảm biến các hiện tượng sự vật, các quá trình thực tiễn hoặc các hình ảnh của chúng” Điều này đòi hỏi muốn sáng tạo phải có môi trường trong đó có các sự vật hiện tượng đồng thời có tình huống nảy sinh trong môi trường đó gợi hứng thú , nhu cầu khám phá, nhận thức Sự cảm biến chỉ có thể được thông qua hiểu hoặc trực giác cảm nhận được vấn đề của đối tượng và hướng giải quyết vấn đề theo cách chưa ai làm

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Theo nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, quá trình sáng tạo bao gồm 4 giai đoạn kế tiếp nhau như sau:

Giai đoạn 1: Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức

Trong giai đoạn này, người nghiên cứu đặt ra nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tư liệu liên quan, huy động các nguồn thông tin có ích để giải đáp vấn đề đặt

ra và thử giải quyết vấn đề đặt ra bằng nhiều cách khác nhau Ở giai đoạn này, các yếu tố suy luận và trực giác của việc tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung cho nhau Tuy nhiên, yếu tố suy luận đóng vai trò chủ đạo

Giai đoạn 2: Giai đoạn ấp ủ

Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề một cách có ý thức ngừng lại và công việc tiếp diễn lúc này chính là hoạt động của các lực lượng tiềm thức Tuy nhiên, để lôi cuốn hoạt động của các lực lượng tâm lý tiềm thức thì cần một sự nỗ lực của ý chí và sự lao động tích cực của trí óc

Pôlya đã khẳng định “Chỉ có những bài toán mà ta tập trung suy nghĩ nhiều, thì khi trở lại mới được biến đổi, sáng ra Hình như sự cố gắng có ý thức

và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc” [4, tr131]

Giai đoạn 3: Giai đoạn bừng sáng

Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự “bừng sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức Đây là giai đoạn quyết định của quá trình tìm kiếm lời giải Sự “bừng sáng” hay trực giác này thường xuất hiện đột nhiên, không thấy trước được Đây là giai đoạn mà tại thời điểm đó con người đột nhiên tìm thấy sự le lói ban đầu của giải pháp mà họ đã tìm kiếm rất lâu Sáng tạo thường xuyên xuất hiện trong sự bừng sáng bất ngờ như vậy Gauus cũng công nhận điều đó: “Việc giải một bài toán mà tôi loay hoay trong vài năm không xong bỗng cuối cùng vụt đến cách đây vài hôm Cách giải quyết đã đến bất ngờ như một tia chớp lóe sáng Tôi không thể nói được cái đã nối liền những kiến thức trước kia của tôi với cái đã làm ra sự thành công của tôi là cái gì?”

Giai đoạn 4: Giai đoạn kiểm chứng

Ở giai đoạn này, các nhà nghiên cứu xem xét, khái quát kết quả, triển khai lập luận và kiểm chứng lời giải nhận được từ trực giác Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằng trực giác là chưa chắc chắn, có tính giả thuyết, nó có thể đánh lừa các nhà nghiên cứu Công việc của các nhà nghiên cứu trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức và rất tích cực

Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo thì giai đoạn ấp ủ

và bừng sáng là quan trọng nhất Tuy vậy cũng chính hai giai đoạn này chứa đựng nhiều quan điểm khác nhau nhất đồng thời chưa được nghiên cứu đầy đủ [3, tr8-9]

Thứ nhất: Sáng tạo là hoạt động cải tạo, cải tiến, đổi mới, nâng cao những

cái đã có lên một trình độ cao hơn Ở cấp độ này, sáng tạo đòi hỏi những nỗ lực cao của toàn bộ năng lực tổng hợp của một cá nhân Chủ thể sáng tạo phải có khả năng tìm tòi, đánh giá các kinh nghiệm đang được vận dụng, phải có khả năng vượt qua những khuôn mẫu, những giải pháp thông thường Kết quả của sự sáng tạo phải có ý nghĩa nhất định đối với xã hội và được xã hội chấp nhận Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng hình thức ứng dụng

Thứ hai: Sáng tạo là hoạt động tạo ra cái mới về chất Đây là cấp độ cao

nhất của hoạt động sáng tạo Nó đòi hỏi những năng lực đặc biệt của chủ thể

Có thể nói chủ thể sáng tạo ở cấp độ này phải đạt tới trình độ của các tài năng hoặc những thiên tài Do đó kết quả là những phát minh, sáng chế, các lý thuyết khoa học mới, các giải pháp mới… cả trong lĩnh vực vật chất cũng như lĩnh vực tinh thần

Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ nếu như họ đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự tìm tòi độc lập những vấn đề đó để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là nếu người giải chưa biết thuật giải để giải và phải tìm kiếm những bước đi chưa biết trước Hoạt động sáng tạo ở các em có thể hiểu là hoạt động đem lại một cài

gì mới độc đáo ở mức độ nào đó biểu lộ được thiên hướng, năng lực và kinh nghiệm của cá nhân học sinh Nhà Toán học Pháp A-đa-ma đã nói “Giữa việc giải quyết một bài toán Đại số hay Hình học của người học sinh và sự phát minh, cái khác nhau chỉ là ở mức độ và chất lượng vì cả hai việc đó đều có cùng một tính chất Thật vậy, tính chất chung đó là sự sáng tạo” Còn G.Polya cho rằng: Một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn

đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh Bài toán mà anh giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo và nếu tự mình giải lấy bài toán đó

thì anh sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi [4, tr3]

Như vậy chúng ta thấy các cấp độ của sự sáng tạo được biểu hiện ra thành các cấp độ năng lực hoạt động của con người Đó là khả năng, tài năng và thiên tài trong đó tài năng và nhất là thiên tài thể hiện sự sáng tạo cao nhất

Trong điều kiện xã hội có nhiều thay đổi mạnh mẽ như hiện nay, sự sáng tạo có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, bởi vì nó cho phép khắc phục được nhiều khó khăn trong cuộc sống, đem lại nhiều thành tựu trên các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, xã hội Giúp cho đất nước phát triển không ngừng Với ý nghĩa

đó của sự sáng tạo, đòi hỏi nhà trường phổ thông phải có ý thức chuẩn bị cho học sinh có được năng lực sáng tạo nhất định làm cơ sở cho sự tồn tại, phát triển sau này

1.2.4 Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo

Theo Lecne I Ia, hoạt động sáng tạo có bảy biểu hiện đặc trưng sau:

- Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo sang tình huống mới gần hoặc xa bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến thức

- Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng

- Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết tạo thành cái mới

- Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng quen thuộc

- Nhìn thấy mọi cách giải quyết vấn đề có thể có, tiến hành giải theo từng cách và lựa chọn cách tối ưu

- Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc khác với những phương pháp quen thuộc đã biết

Bảy biểu hiện trên Lecne I Ia đề cập đến hoạt động sáng tạo nói chung trên cơ sở lý luận của các phương pháp dạy học, nên cũng thể hiện qua hoạt động Toán học Tuy nhiên, trong hoạt động Toán học, theo Trần Thúc Trình thì cần thiết bổ sung thêm một biểu hiện nữa đó là:

- Khái quát tri thức và phương pháp quen thuộc đã biết, vì khái quát hóa

là năng lực cơ bản của các năng lực Toán học [24, tr38]

1.3 Tư duy sáng tạo

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề” [12, tr184]

Quá trình sáng tạo của con người thường bắt đầu từ một ý tưởng mới V.A Cru xtexki đã đưa hình ảnh về 3 đường tròn đồng tâm biểu diễn mối quan hệ giữa tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo

Trong đó ông quan niệm tư duy sáng tạo là kết hợp cao nhất của tư duy độc lập và tư duy tích cực

Xét về bản chất thì sáng tạo nghĩa là nghĩ ra mà nghĩ ra có nghĩa là vạch

kế hoạch trong các quy hoạch trong đầu, hình dung cho mình một cái gì đó như là cái toàn thể và sáng chế ra nó

Nhà tâm lý học Đức G Mehlhoru cho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”

J.Daton (1985) cho rằng “Tư duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, những mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng…”

G.Pôlya “Có thể gọi là tư duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện để giải bài tập”

Theo tác giả Tôn Thân, Trần Luận “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”.Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

Tư duy sáng tạo được hiểu là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiện nhất của tư duy tích cực và tư duy độc lập, tạo ra những cái mới có tính giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và chất lượng Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập vì nó không bị gò

bó, phụ thuộc vào những cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đạt được mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang đậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó [3, tr12]

Các tác giả đã đưa ra các quan điểm khác nhau về TDST nhưng nhìn chung họ đều cho rằng TDST có các đặc điểm sau:

1.3.2 Các tính chất của tư duy sáng tạo

Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tư duy sáng tạo ta có thể thấy nổi lên 5 tính chất cơ bản:

1.3.2.1 Tính mềm dẻo

Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan điểm này sang góc độ quan điểm khác ; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật

mới trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Tính mềm dẻo của tư duy còn có các đặc trưng nổi bật sau đây:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa, và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,

dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó đã có những yếu

tố thay đổi có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết [3,tr13]

Ví dụ 1.1:

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

c b a c p b p a p

1 1 1 2 1 1

1

Để giải bài toán này thông thường các em hay nghĩ đến phép biến đổi tương đương Tuy nhiên đối với những học sinh có khả năng sáng tạo với sự mềm dẻo về kiến thức, các em dễ nhận thấy

c b p a p

a c p b p

b c p a p

Qua đó học sinh liên tưởng đến bài toán quen thuộc: Cho x , y 0 Chứng minh:

Chứng minh bài toán này như sau: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 bộ số

y

x, và

y x

1 ,

1

Ta có: 1 1 4 (*)

y x y

x Chia 2 vế của (*) cho x y ta

được kết quả

y x y x

4 1 1

Từ đó dẫn tới các bất đẳng thức

c b p a p

4 1 1

(1)

a c p b p

4 1 1

(2)

b c p a p

4 1 1

(3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

c b a c

p b p a p

1 1 1 4 1

1 1

2

c b a c p b p a p

1 1 1 2 1 1

1

1.3.2.2 Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết và ý tưởng mới Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện rõ ở hai nét đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần được giải quyết người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc [3,tr13]

Ví dụ 1.2:

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh

64

1 1

1 1

1 1

1

Ta có

abc ca bc ab c b a

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3

27

1 3

1 1

abc abc

abc abc

c b a

9 3 1 1

1

3 abc c

b

a

27 3

1 1 1

3 2 2 2

c b a ca bc

c b a a a

a a

4 2

4 1

4 2

4 1

c

ab c c

4 2

4 1 1

Suy ra 64 64

4 4 4 4

abc

c b a P

4 3

3

4 3

1 3

1 3

1 1

1

1

Tương tự :

b

b b

4 3 3

4 1 1

c

c

c

4 3

3

4 1 1

3

3 64 3

64 3

abc P

Cách 4:

4 3 3

3

1 4 3

1 3

1 3

1 1

`

1 1

a a

a a a

Tương tự: 4

3 3

3

1 4

1 1

b b

4 3 3

3

1 4

1 1

c c

3

3 64 3

1.3.2.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy đặc trưng bởi các yếu tố sau:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Ví dụ 1.3:

Chứng minh rằng nếu a ,,b clà ba cạnh của một tam giác thì:

3 3 3 2

2 2

c b a c b

Bài toán này học sinh dễ dàng chứng minh được bằng phương pháp biến đổi tương đương.Và trong quyển sách “Đa thức và ứng dụng” của tác giả Nguyễn Hữu Điền - NXB Giáo dục (2003) đã cho lời giải như sau:

Đặt x a b c, y a b c, z a b c ta có:

3 3

3 2

2 2

3 3 3 2

2 2

2

x z z y y x x

z z y y x z y x

c b a c b a c b

a

0

3xyz zx

yz xy z y

x luôn đúng

Nhận xét: Cách dùng phép biến đổi tương đương là cách giải theo lối tư duy thông thường khi giải bài toán trên Cách giải thứ hai thì khá cầu kỳ Thực ra một chút khéo léo biến đổi đại số, ta có một lời giải ngắn gọn như sau:

3 3 3 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2a b c c

c c b b b a

a

a

c b a c c b a b c b a a c b a c

b

a

1.3.2.4 Tính hoàn thiện

Khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý

tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

1.3.2.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu lôgic, chưa tối ưu… do đó nảy sinh ý muốn cấu trúc hợp lý hài hòa tạo

ra cái mới

Ngoài 5 tính chất cơ bản trên đây còn có những yếu tố quan trọng khác

như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại

Các tính chất cơ bản trên đây không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm thấy phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo)

Các tính chất này lại quan hệ khăng khít với các tính chất khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các tính chất đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

Tuy nhiên có thể thấy rằng 3 yếu tố: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo là 3 yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo

1.4 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THPT

1.4.1 Những biểu hiện của học sinh giỏi về toán

Học sinh giỏi về toán thường có những biểu hiện rõ rệt các mặt sau:

- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh

- Biểu hiện ở sự linh hoạt trong quá trình tư duy như:

+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không bị gò ép bởi những suy nghĩ rập khuôn có sẵn

+ Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, kết hợp sự liên tưởng tốt, tìm ra cách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo

+ Biết nhìn nhận những cái khác biệt của vấn đề, lựa chọn phương tiện, cách thức tốt nhất để giải quyết vấn đề đó

+ Lý luận chặt chẽ, hợp lôgic, có các thao tác tư duy nhanh trong giải toán

- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức Toán học cô đọng, nhanh chóng, chính xác và bền vững, giúp học sinh giỏi về toán nhớ được nhiều kiến thức

mà không tốn quá nhiều sức lực và trí tuệ khi giải toán

Các biểu hiện của học sinh trên đây là những biểu hiện cụ thể về những mặt khác nhau của một cấu trúc năng lực hoàn chỉnh, một tư chất của Toán học trí tuệ, người ta gọi đó là năng khiếu Toán học

1.4.2 Năng khiếu toán học

Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển Tiếng Việt là năng lực trội, năng lực đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ Như vậy, năng khiếu Toán học có thể coi như một tổ hợp những năng lực Toán học, mà ở lứa tuổi học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực toán Nhà tâm lí học V.A.Kơrutecxki cho rằng “Năng lực học tập Toán học là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết

là các đặc điểm hoạt động trí tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp

cho việc nắm giáo trình toán một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo Toán học”

Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con người đều tiềm tàng một năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau Đó là một kết luận quan trọng Trong quá trình dạy học toán, người thầy cần có những biện pháp phát hiện những năng khiếu Toán học ở học trò, từ đó chúng ta có thể tạo ra môi trường và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển năng lực đó

1.4.3 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh trong nhà trường phổ thông

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển rất mạnh

mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển TDST cho thế hệ trẻ nói riêng

có vai trò đặc biệt quan trọng Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần được bồi dưỡng

để thúc đẩy mọi tài năng

Phát triển TDST Toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn Toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên, trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy

- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo trong tư duy

Bên cạnh đó, người giáo viên phải áp dụng những phương pháp dạy học tích cực, khoa học và hợp lý, mang lại cho học sinh của mình sự say mê môn

Toán, tìm thấy trong toán niềm vui lớn khi được học tập, qua đó giáo dục các

em nhiều phẩm chất đạo đức tốt đẹp khác

Một điều quan trong nữa, có thể nói trong dạy học sáng tạo (thực ra cả hoạt động dạy học nói chung) vai trò của người thầy hết sức quan trọng Để trở thành một giáo viên dạy giỏi, ngoài lòng tâm huyết, ngoài sự nỗ lực học tập không ngừng thì người thầy giáo cần có và cần biết dạy cho học trò cách tư duy sáng tạo Bởi vì, nói như GS Nguyễn Cảnh Toàn trong một cuốn sách về dạy cách học: Không ai có thể đi dạy cho người khác cái mà bản thân mình chưa có, người thầy không những luôn tự nghiên cứu khoa học mà còn phải là người thiết kế và thi công được óc thông minh và sáng tạo ở học trò, do đó mỗi thầy giáo phải là một nhà khoa học chân chính

1.5 Ưu thế của nội dung bất đẳng thức trong việc phát triển tư duy sáng tạo

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển nhưng xuất hiện trong mọi lĩnh vực của Toán học Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học và Lượng giác Trong các

kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi đều có bài toán bất đẳng thức Chính

vì thế mà chuyên đề BĐT rất thiết thực đối với những ai muốn tìm hiểu sâu về toán sơ cấp Hơn nữa, BĐT còn liên quan đến sự đánh giá, tìm cái chặn hoặc cực trị cho một biểu thức Bởi vậy, BĐT là một trong số những bài toán được rất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm Tuy nhiên, để giải được các bài toán bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, sử dụng các kiến thức toán học rộng khắp và đặc biệt tư duy giải toán linh hoạt sáng tạo Do đó, BĐT sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá Bởi vậy, dạy học chủ đề này có tác dụng lớn trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến thức cơ bản, tăng cường năng lực giải toán

1.6 Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài tập bất đẳng thức

Chúng ta có thể khẳng định rằng, giải toán ắt có sai lầm, và chúng ta có thể học được nhiều điều từ những sai lầm đó Điều quan trọng là giáo viên biết tạo ra các tình huống để học sinh có cơ hội tập luyện kỹ năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm đó

Theo Nguyễn Văn Thuận [22], những sai lầm liên quan đến suy luận thường được chia thành những kiểu sai lầm sau:

i) Sai lầm về luận cứ;

ii) Sai lầm về luận chứng;

iii) Sai lầm về luận đề;

iv) Sai lầm về suy luận qui nạp

Sau đây, chúng ta sẽ đi xét các sai lầm của học sinh thường mắc phải như trên:

i Sai lầm về luận đề

Luận đề là mệnh đề cần chứng minh Sai lầm chủ yếu trong trường hợp này là đánh tráo luận đề Do đó, để khắc phục được sai lầm này thì giáo viên nên cho học sinh nắm vững các khái niệm liên quan đến mệnh đề và tập luyện việc áp dụng mệnh đề vào suy luận Toán học

Ví dụ 1.4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc ab bc ca Chứng minh rằng abc 3(a b c)

+ Lời giải của một học sinh

Từ abc ab bc ca, nên bài toán qui về chứng minh bất đẳng thức

+ Rõ ràng lời giải trên có vấn đề ngay từ phép qui về chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 3(a b c) Người học đã đánh tráo luận đề sang một bài toán không tương đương

Học sinh đã sử dụng phép suy luận A C A B

B C Một phép đánh giá hoàn toàn sai nhưng học sinh đã cảm giác nó đúng và vận dụng để giải toán Đây là một lỗi mà học sinh thường hay mắc phải Nguyên nhân chủ yếu là các

em ít có cơ hội để tập luyện kỹ năng suy luận lôgic

điều phải chứng minh

ii Sai lầm về luận cứ

Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết Do đó, khi giải toán về chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc những sai lầm về việc áp dụng các bất đẳng thức cơ sở không đúng, sử dụng sai các tính chất

về bất đẳng thức…

Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có bất đẳng thức

2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ Lời giải một học sinh

Với mọi số thực a, b, c ta luôn có các bất đẳng thức sau:

kỹ các tính chất của bất đẳng thức thì các bất đẳng thức trên chỉ đúng khi a, b,

c là các số không âm Nghĩa là 0 d

iii Sai lầm về luận chứng

Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong phép chứng minh Trường hợp này học sinh chủ yếu mắc sai lầm ở việc suy luận không hợp lôgic

Ví dụ 1.6: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn 1 1

+ Lời giải của một học sinh

Với a, b là hai số dương ta luôn có các bất đẳng thức sau:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của M là 4026 đạt được khi a = b

+ Khi a = b thì M = 4035 chứ không phải 4026 như trên

Ta thấy khi a = b thì từ giả thiết ta suy ra 1 1

và b thỏa đều kiện đề bài để M có thể đạt được giá trị đó qua phép đánh giá đó

Đó là sự khác biệt cơ bản giữa bài toán cực trị với chứng minh bất đẳng thức

Đến đây giáo viên nên cho học sinh dự đoán dấu “=” xảy ra của bất đẳng thức trên và tiếp tục suy luận để đánh giá biểu thức M Tức là, dấu “=” trong

điều kiện này có thể xảy ra khi 1 1

iv Sai lầm về suy luận qui nạp

Qui nạp là loại suy luận đi từ cái riêng, cái cụ thể để rút ra kết luận tổng quát Do đó, trong quá trình đưa ra kết luận tổng quát đó thường là những kết luận mang tính giả thuyết, chưa được kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng phép chứng minh Sai lầm phổ biến của học sinh khi suy luận qui nạp là các em mới chỉ đưa ra kết luận, mà không chứng minh hoặc ngộ nhận đó là một mệnh đề đúng và tiếp tục vận dụng kết quả đó cho việc giải các bài toán khác Chẳng

b a

(1) với n N ? Trong khi đó, bất đẳng thức *

chỉ đúng khi có điều kiện a + b 0

Một sai lầm khác trong suy luận qui nạp là học sinh nhầm lẫn giữa qui nạp hoàn toàn với qui nạp Toán học Tức là từ việc thử hữu hạn một số trường hợp nào đó rồi kết luận mệnh đề đúng trên toàn bộ tập một tập vô hạn nào đó

Ví dụ 1.7: Từ bất đẳng thức Nesbit đã biết: “Với các số dương a, b, c thì

32

Không phải mọi kết luận qui nạp đều đúng, mà cũng chưa hẳn là sai Đã

có rất nhiều giả thuyết được đưa ra mà ta chưa chứng minh được, mà cũng không bác bỏ nó được Bài toán tổng quát bất đẳng thức Nesbit theo hướng như trên cũng vậy Cho đến nay, người ta chỉ mới chứng minh được với n = 4, 5, 6 còn lại đang ở mức độ giả thuyết Do đó, trong quá trình giải toán mà chúng ta

sử dụng kết quả tổng quát trên là không được chấp nhận

nhân có thể vun đắp được ngay từ khi còn là học sinh ở nhà trường phổ thông Nếu nhà trường nào nói riêng, đất nước nào nói chung biết nhận ra được những học sinh có tư duy sáng tạo và tạo điều kiện thuận lợi để các em đó phát triển một cách tốt nhất thì đất nước đó sẽ có được những ưu thế lớn lao

Ta hiểu tư duy sáng tạo là cốt lõi của tư duy tích cực và tư duy độc lập, tạo ra những cái mới, có tính giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả và chất lượng TDST tạo ra cái mới, cái mới ở đây là phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, có kết quả mới

Hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần tập trung ba yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tính độc đáo

Quá trình học tập sáng tạo của học sinh là quá trình rèn luyện tư duy biện chứng trong phát hiện vấn đề (phát hiện mâu thuẫn, mối quan hệ giữa nội dung và hình thức…), vận dụng tư duy lôgic trong giải quyết vấn đề (phân

tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, suy luận, chứng minh…)

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT THÔNG QUA

DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Rèn luyện cho học sinh tìm được nhiều cách giải cho một bài toán bất đẳng thức

- Mục đích của biện pháp: Rèn luyện khả năng xem xét đối tượng dưới

nhiều khía cạnh; rèn luyện khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ

và tình huống khác nhau.Tập hợp nhiều cách giải và tìm được cách giải tối ưu cho bài toán là quá trình suy nghĩ đến cách giải Từ đó phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới, dễ dàng áp dụng vào thực tiễn, vào các trường hợp riêng của bài toán hay đi đến hướng giải tổng quát cho từng loại bài toán Thực hiện biện pháp này góp phần rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh

- Cách thực hiện: Trên lớp, GV làm mẫu việc phân tích một bài toán

theo các góc độ khác nhau để HS có thể đề xuất được các cách giải tương ứng với các góc độ xem xét đó Qua đó, HS thấy được một bài toán có thể có một hoặc nhiều cách giải, tùy theo góc độ nhìn nhận có thể tìm ra cách giải tương ứng, có thể tìm ra cách giải theo phương pháp chung hoặc cách giải độc đáo

Trên cơ sở đó, GV luôn khuyến khích HS tập phân tích bài toán để tìm cách giải và cố gắng tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán

Ví dụ 2.1: Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn: a b c 3

Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3

Để rèn luyện kĩ năng tìm nhiều lời giải cho một bài toán, GV có thể đưa

ra các cách nhìn nhận để HS phát hiện ra cách giải tương ứng

Định hướng 1: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (Sử dụng bất

đẳng thức Côsi )

Nếu khai thác từ góc độ a, b, c là các số dương thì ta có thể liên tưởng đến BĐT Côsi

- Có áp dụng được BĐT Côsi cho các hạng tử VT ngay không?

- Đẳng thức xảy ra khi nào?

Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 Vậy số còn lại bằng 1

- Bạn có thể tổng quát hóa bài toán được không?

- Bài toán đã cho áp dụng cho ba số dương, mở rộng cho n số dương phát biểu như thế nào?

Cho n số dương a a1, 2, ,a thỏa mãn: n a1 a2 a n n Chứng minh rằng:

- Làm thế nào để hạ bậc, từ bậc bốn xuống bậc ba?

- Với cách làm trên hãy tổng quát hóa theo bậc của a b c, , ?

Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn: a b c 3 Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương n ta luôn có: n 1 n 1 n 1 n n n

Định hướng 3: Khai thác các mối liên hệ ở điều phải chứng minh

- Nhận xét dấu của a 1 và a3 1 và suy ra mối quan hệ giữa 4

Định hướng 4: Nhìn bài toán ở dạng khái quát một bất đẳng thức phụ

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy giải bài toán liên quan dễ hơn không?

Cho a b, là hai số dương thỏa mãn a b 2 Chứng minh rằng:

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?

- So sánh những cái đã biết với yêu cầu bài toán:

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu đƣợc với 4 4 4

a b c và sử dụng giả thiết, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Định hướng 5: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

- Bạn có nhận xét gì về bậc của hai vế, có thể đƣa chúng về cùng bậc không? Bạn đã sử dụng hết dữ kiện bài toán chƣa?

Vế trái bậc bốn, vế phải bậc ba, mà a b c 3, nên hai vế của bất đẳng thức có thể đƣa về cùng bậc bốn:

- Hãy để ý vào vế trái của bất đẳng thức, tổng bình phương của đại lượng

- Vai trò của x y z, , như nhau nên áp dụng đều cho x y z, ,

- Đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1

không suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

- Hãy xem lại dấu của bất đẳng thức xảy ra? (khi 1

x y z (theo giả thiết), từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

- Đề xuất bài toán tương tự hoặc tổng quát hóa được không?

Bài toán đã cho áp dụng cho 3 số dương có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 1, có thể mở rộng cho n số dương được không? (lưu ý dấu đẳng thức xảy ra khi nào?)

Tổng quát: Cho x x1, , ,2 x là n số dương có n x1 x2 x n 1

Định hướng 2: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (bất đẳng

thức Côsi)

- Khai thác từ giả thiết: tổng và tích của ba số dương gợi cho các bạn

nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào?

Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương:

3 3

1

xyz

- Vế trái của bất đẳng thức là tổng của các số hạng thì chưa có mối quan

hệ với giả thiết tổng và tích của các số dương gợi cho các bạn nghi tới bất đẳng

thức quen thuộc nào?

- Với cách trên thì căn bậc hai và bậc của x không ảnh hưởng trực tiếp

vào lời giải bài toán Đề xuất bài toán tổng quát hóa được không?

Tổng quát: Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 Chứng minh rằng: