CHỦ điểm số NGUYÊN tố

CHỦ ĐIỂM:SỐ NGUYÊN TỐ... SÁCH NHÓM 1 Lê Phương Thảo Lê Thị Như Ngô Thị Loan Trần Thị Thanh Tình... Ta có lời giải sau: Bài toán số 1: Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a+1 là lập phương của

CHỦ ĐIỂM:

SỐ NGUYÊN TỐ

SÁCH

NHÓM 1

Lê Phương Thảo

Lê Thị Như Ngô Thị Loan Trần Thị Thanh Tình

PHÂN TÍCH:

 Cần chú ý rằng mỗi số nguyên tố chỉ có ước là 1 và

chính nó.

 Mặt khác, mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ.

Ta có lời giải sau:

Bài toán số 1: Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a+1 là lập phương của một số nguyên tố.

LỜI GIẢI:

• Với , ta có , không thích hợp.

• Với , do a là số nguyên tố nên a lẻ.

Vậy là lập phương của một số lẻ nghĩa là

Từ đó k là ước của a Do a là số nguyên tố nên hoặc

• Nếu

• Nếu

Không có số nguyên tố a nào thỏa mãn phương trình này vì vế phải luôn lớn hơn 1.

Kết luận

•

Bài toán số 1: Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a+1 là lập phương của một số nguyên tố.

PHÂN TÍCH:

 Căn cứ vào tính chất nếu p là số nguyên tố thì

 Từ chỗ abc chia hết cho 3 ta có ít nhất một trong

ba thữa số đó chia hết cho 3.

Ta có lời giải sau:

•

Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện:

LỜI GIẢI:

Từ suy ra a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3, giả sử a chia hết cho 3, vì a là số nguyên tố nên

Vậy

Do b và c là các số nguyên tố nên

Vậy ta có các trường hợp sau:

•

Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện:

Hoặc

Hoặc

Hoặc b b

Kết luận: Các số phải tìm là: (3;3;3), (3;2;5), (3;5;2), (5;3;2),

(5;2;3), (2;3;5), (2;5;3).

•

Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện:

PHÂN TÍCH:

 Vì p là số nguyên tố nên để chứng minh A chia hết cho pm

cần chỉ ra A chứa n (n>m) thừa số p

 Mặt khác, từ số 1 đến số (pm) có pm số tự nhiên liên tiếp,

mà cứ p số (kể từ số 1) lại có một bội của p vì vậy ta sẽ cố

gắng làm xuất hiện tích của (pm) số tự nhiên liên tiếp tính từ

số 1.

Bài toán số 3: Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng với

mọi số nguyên m>1, ta có:

A = (m+1)(m+2) (pm-1)(pm) Chia hết cho pm mà không chia hết cho pm+1

LỜI GIẢI:

A =

Nhóm tất cả cá bội của p ta có:

A =

=

= pm.1.2 (p - 1).(p +1) (mp -1)

Vậy A chia hết cho pm

Cần chú ý rằng trong tích 1.2 (p – 1).(p + 1) (mp – 1) không có thừa

số nào chia hết cho p và tất cả các bội của p đã bị nhóm lại rồi, do p là số nguyên tố nên tích 1.2 (p – 1).(p + 1) (mp – 1) không chia hết cho p Vậy A không chia hết cho pm+1

Bài toán số 3: Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng với

mọi số nguyên m>1, ta có:

A = (m+1)(m+2) (pm-1)(pm) Chia hết cho pm mà không chia hết cho pm+1

PHÂN TÍCH:

có hướng chứng minh 4p – 1 là hợp số nhờ tính chất chia hết cho 3

Bài toán số 4: Cho p là số lớn hơn 3 sao cho 4p + 1 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng 4p – 1 là hợp số

LỜI GIẢI:

4p + 1 cũng là số nguyên tố nên ta có được 4p và 4p + 1 không chia hết cho 3

có 4p - 1 chia hết cho 3

Bài toán số 4: Cho p là số lớn hơn 3 sao cho 4p + 1 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng 4p – 1 là hợp số

PHÂN TÍCH:

Ta có thể tìm p nhờ xác định dư trong phép chia p

cho một số nào đó , chẳng hạn cho 3.

Bài toán số 5: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và

Bài toán số 5: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và

LỜI GIẢI:

với p = 2 nên xét với p>2

hơn 3 nên là hợp số

3 và chia hết cho 3)