Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình QUAN TRỌNG Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của p
Trang 1tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9
Kiến thức cần nhớ.
1 Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A ≥ 0
2 Các công thức biến đổi căn thức (QUAN TRỌNG)
a A2 = A
b AB = A B. (A≥0;B≥0)
B = B ≥ >
d A B2 = A B (B≥0)
e A B = A B2 (A≥0;B≥0)
A B = − A B2 (A<0;B≥0)
f
1
( 0; 0)
A
B B
k
2 2
( 0; )
A B
−
±
m
( 0; 0; )
A B
−
±
m
3 Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0)
4 Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành
5 Vị trí tơng đối của hai đờng
thẳng(QUAN TRỌNG)
Xét đờng thẳng y = ax + b (d)
(d) // (d') ↔ a = a' và b ≠ b' (d) ≡ (d') ↔ a = a' và b = b'
Phần I:
Đại số
Trang 2Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và
y = ax2 (P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung
7 Phơng trình bậc hai (QUAN TRỌNG)
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn
∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
a
b x
2
1
∆ +
−
=
b x
2
2
∆
−
−
=
Nếu ∆ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
b
x
x
2
2
1
−
=
=
Nếu ∆ < 0 : Phơng trình vô nghiệm
∆' = b'2 - ac với b = 2b'
- Nếu ∆' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x1 =− '+ ∆'
b
x2 = − '− ∆'
- Nếu ∆' = 0 : Phơng trình có nghiệm
b x
x
' 2
1
−
=
=
- Nếu ∆' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
8 Hệ thức Viet và ứng dụng (QUAN TRỌNG)
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) thì:
1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
−
= + =
- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =
c a
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =
c a
−
9 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình (QUAN TRỌNG)
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào
thích hợp với bài toán và kết luận
Kiến thức cần nhớ.
Phần II:
hình học
Trang 3KIẾN THỨC TOÁN 9 ễN THI VÀO 10
1 Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
(QUAN TRỌNG)
b2 = ab' c2 = ac'
h2 = b'c'
ah = bc
a2 = b2 + c2
2 2 2
1 1 1
c b
2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn
0 < sinα < 1 0 < cossα < 1
α cosαα
sin
=
tg
α sin αα
cos cotg =
sin2α + cos2α = 1
tgα.cotgα = 1 α 2 α
2
cos
1
1 +tg =
α
2
sin
1 cot
1 + g =
3 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4 Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một
đ-ờng tròn
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục
đối xứng
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn(QUAN TRỌNG)
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
a
b' c'
b c
h
H
B
C A
b
a c
C B
A
Trang 4+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệgiữa d và R
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau
- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau
- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối Số điểmchung Hệ thức liên hệ giữa dvà R
- Hai đờng tròn cắt nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong
1 OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đờng tròn không giao nhau
Trang 5KIẾN THỨC TOÁN 9 ễN THI VÀO 10
+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm
0 OO' < R - r
OO' = 0
5 Tiếp tuyến của đờng tròn(QUAN TRỌNG)
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp
điểm
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
(QUAN TRỌNG)
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng
Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong
6 Góc với đờng tròn(QUAN TRỌNG)
AOB sd AB=
2 Góc nội tiếp
B O
A
M
d'
d
O' O
d' d
O' O
O
M
O
Trang 6KIẾN THỨC TOÁN 9 ễN THI VÀO 10
ã 1 ằ
2
AMB= sd AB
3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung
ã ằ
1 2
xBA= sd AB
4 Góc có đỉnh ở bên trong
2
AMB= sd AB sdCD+
5 Góc có đỉnh ở bên ngoài
đ-ờng tròn
ã 1( ằ ằ )
2
AMB= sd AB sdCD−
Chú ý: Trong một đờng tròn(QUAN TRỌNG)
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
7 Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2πR = πd
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn
l=π
8 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = πR2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2
360 2
R n lR
S=π =
9 Các loại đờng tròn(QUAN TRỌNG)
Đờng tròn ngoại tiếp
tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác
Tâm đờng tròn là giao của ba đờng trung trực của tam giác ba đờng phân giác trong củaTâm đờng tròn là giao của
tam giác
O
M
D C
B A
O
O
B A
D C M
O
C B
A
O
C B
A
Trang 7KIẾN THỨC TOÁN 9 ễN THI VÀO 10
10 Các loại hình không gian.
a Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh
- Diện tích toàn phần: Stp = 2πrh + πr2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = πr2h
b Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl
- Diện tích toàn phần: Stp = 2πrl + πr2
- Thể tích hình trụ: V =
2
1 r
3 π h
c Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l
- Thể tích: V =
2 2
1 2 1 2
1
3 πh r + +r r r
d Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd
- Thể tích hình cầu: V =
3
4
3 πR
11 Tứ giác nội tiếp: (QUAN TRỌNG)
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc
α
r: bán kính Trong đó
h: chiều cao
r: bán kính Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao
r1: bán kính dáy lớn
r2: bán kính đáy nhỏ Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao
R: bán kính Trong đó
d: đờng kính