CÁC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Sử dụng khái niệm căn Jacobson của nửa vành, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành cộng -chính quy J-nửa đơn. 2. Chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng, và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Ngoài ra, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn. 3. Chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng -chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái và lớp các V-nửa vành trái Artin trái. Từ các kết quả này, chúng tôi trả lời một phần Vấn đề 1 trong bài của Katsov và Nam (Commun. Algebra 42: 5065-5099, 2014). Ngoài ra, chúng tôi mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Qua đó, chúng tôi trả lời một phần Vấn đề 1 trong bài của Abuhlail, Il’in, Katsov và Nam (Commun. Algebra 43: 4632-4654, 2015). 4. Chúng tôi đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành. Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu. 5. Chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền, và chứng minh được lớp căn trên củamột lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Từ kết quả này suy ra lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là di truyền.
Trang 1-oOo-LÊ HOÀNG MAI
CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HUẾ - NĂM 2016
Trang 2MỤC LỤC
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH VÀ NỬA
1.1 Nửa vành và nửa môđun 15
1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương 21
1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun 25
1.4 Kết luận Chương 1 31
Chương 2 VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN CỦA NỬA VÀNH 32 2.1 Về căn Jacobson của nửa vành 32
2.2 Về Js-căn của nửa vành 42
2.3 Về mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js-căn của nửa vành 52
2.4 Về V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn 60
2.5 Kết luận Chương 2 63
Chương 3 VỀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH 64 3.1 Đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được 64
3.2 Về lớp căn dưới của một lớp các nửa vành 74
3.3 Về lớp căn di truyền của các nửa vành 78
3.4 Kết luận Chương 3 81 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 82 DANH MỤC CÔNG TRÌNH 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84
Trang 4MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Kí hiệu Ý nghĩa
N Nửa vành tất cả các số tự nhiên
Q+ Nửa vành tất cả các số hữu tỷ không âm
R+ Nửa vành tất cả các số thực không âm
Mn(R) Nửa vành các ma trận vuông cấp n trên nửa vành R R[x] Nửa vành đa thức ẩn x với hệ tử trên nửa vành R
B Nửa trường Boolean
End(M ) Nửa vành các tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán(M, +) Ker(f ) Nhân của đồng cấu f
Im(f ) Ảnh của đồng cấu f
f (R) Ảnh thực sự của đồng cấu f từ nửa vành R đến nửa
J (R) Căn Jacobson (J-căn) của nửa vành R
Js(R) Js-căn của nửa vành R
N il(R) Căn Nil của nửa vành R
I(R) Tập tất cả các iđêan của nửa vành R
K(R) Tập tất cả các iđêan cô lập (k-iđêan) của nửa vành R (0 : M )R Linh hóa tử của R-nửa môđun M trong nửa vành R
H Lớp tất cả các nửa vành
U Lớp phổ dụng của các nửa vành trong H
R Lớp căn của các nửa vành trong U
S Lớp nửa đơn của các nửa vành trong U
LA Lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành
UM Lớp căn trên của một lớp chính quy M các nửa vành
Trang 5ACC Điều kiện dãy tăng
DCC Điều kiện dãy giảm
Z(R) Tập cộng hút của nửa vành R
V (R) Vành con lớn nhất của nửa vành R
∼
= Đẳng cấu nửa vành, nửa môđun
' Nửa đẳng cấu nửa vành, nửa môđun
ρ Quan hệ tương đẳng trên nửa vành, nửa môđun
r/ρ lớp tương đương của phần tử r theo tương đẳng ρ Cong(M ) Tập tất cả các quan hệ tương đẳng trên nửa môđun M Sub(M ) Tập tất cả các nửa môđun con của nửa môđun M M/ρ Nửa môđun thương của nửa nửa môđun M theo tương
đẳng ρ
M/N Nửa môđun thương của nửa môđunM theo tương đẳng
Bourne ≡N
Kết thúc chứng minh, nhận xét và ví dụ
Trang 6MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Khái niệm căn được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Cartan cho các đại số Liehữu hạn chiều trên các trường đóng đại số Căn của một đại số Lie hữu hạnchiều A là iđêan giải được lớn nhất của A và nó đạt được bằng cách lấy tổngtất cả các iđêan giải được của A Đại số Lie A được gọi là nửa đơn nếu căn của
nó bằng 0 Cartan đã chỉ ra rằng đại số Lie nửa đơn là tổng trực tiếp của hữuhạn đại số Lie đơn Hơn nữa, ông còn mô tả được các đại số Lie đơn hữu hạnchiều trên các trường đóng đại số Do đó, cấu trúc của các đại số Lie nửa đơnhữu hạn chiều là hoàn toàn được xác định
Wedderburn đã mở rộng kết quả nói trên cho các đại số kết hợp hữu hạnchiều trên các trường Ông định nghĩa căn của một đại số A như vậy, kí hiệu
rad(A), là iđêan lũy linh lớn nhất của A và nó cũng bằng tổng tất cả các iđêanlũy linh củaA Tương tự như Cartan, Wedderburn gọi một đại số hữu hạn chiều
A là nửa đơn nếu rad(A) = 0 Ông đã chứng minh được rằng đại số hữu hạnchiều A là nửa đơn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các đại sốđơn hữu hạn chiều Ai, trong đó mỗi Ai là một đại số ma trận trên một đại sốchia được hữu hạn chiều
Artin đã mở rộng định lý của Wedderburn cho các vành thỏa mãn điều kiệncực tiểu (gọi là vành Artin) Với các vành R như vậy, tổng của các iđêan lũylinh trong R là lũy linh, do đó R có một iđêan lũy linh lớn nhất rad(R), đượcgọi là căn Wedderburn của R Như vậy, định lý của Wedderburn cho các đại sốđơn và nửa đơn đã được mở rộng thành công cho các vành Artin một phía Tuynhiên, đối với vành không Artin một phía R, tổng của các iđêan lũy linh trong
R không còn là lũy linh và như vậy, R không có iđêan lũy linh lớn nhất, do đóchúng ta không có khái niệm căn cho các vành bất kỳ
Năm 1945, Jacobson [25] đề xuất khái niệm căn (được gọi là căn Jacobson)cho vành kết hợp bất kỳ là tổng của tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải.Đặc biệt, khi R là vành Artin một phía thì khái niệm căn Jacobson và cănWedderburn củaR là trùng nhau Kể từ đây, khái niệm căn Jacobson trở thànhmột trong những công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc vành Căn Jacobsoncủa lý thuyết vành và các vấn đề liên quan đã được trình bày tương đối đầy
đủ và có hệ thống trong các tài liệu như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] vàAnderson-Fuller [6]
Trang 7Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [56] vào năm 1934, là tổngquát hóa khái niệm vành kết hợp theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng củaphép cộng Trong thập niên 30 của thế kỷ 20, khái niệm nửa vành chưa đượccộng đồng toán học quan tâm nhiều Tầm quan trọng của nửa vành trong lýthuyết khoa học máy tính, đầu tiên được công nhận bởi Sch¨utzenberger [52].Ngày nay, nửa vành được phát triển cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng.Các tính chất, ứng dụng của nửa vành và các vấn đề liên quan đã được trìnhbày trong các tài liệu như: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] và Polák [18].Gần đây, nửa vành cộng lũy đẳng (còn được gọi là nửa vành lũy đẳng bởi một
số tác giả) được các nhà toán học quan tâm như: Gathmann [12] và Rowen [23] vì nửa vành cộng lũy đẳng là tâm điểm của các đối tượng tươngđối mới như hình học tropical và đại số tropical Cùng với đó, khái niệm nửamôđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng cũng được quan tâm nghiên cứunhư: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] đã mô tả tất cả các lớp nửa môđun tráiđơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữuhạn), Kendziorra-Zumbr¨agel [32] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trênlớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng và Katsov-Nam-Zumbr¨agel[29] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ cótương đẳng tầm thường với RR 6= 0 Tuy nhiên, sự tồn tại nửa môđun trái đơntrong trường hợp nửa vành nói chung là một vấn đề chưa có lời giải
Izhakian-Từ những vấn đề này gợi ý chúng tôi nghiên cứu cấu trúc các nửa vành.Tương tự như vành, trong luận án này chúng tôi sử dụng một trong những công
cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành đó là công cụ căn Nói chung,căn của nửa vành là một iđêan cô lập gồm tất cả các phần tử “xấu” của nửavành sao cho nửa vành thương theo căn của nó không có phần tử xấu
Căn của nửa vành bắt đầu được quan tâm bởi một số nhà toán học từ thậpniên 50 của thế kỷ 20 Đặc biệt, năm 1951 Bourne [9] đã giới thiệu khái niệm cănJacobson (hay J-căn) của nửa vành theo iđêan nửa chính quy một phía Ngoài
ra, Bourne cũng đã chứng minh được mọi iđêan trái (phải) lũy linh của nửa vành
bị chứa trong J-căn [9, Theorem 7] và tính được J-căn của nửa vành ma trậntrên nửa vành có đơn vị [9, Theorem 9] Năm 1958, Bounne và Zassenhaus [10]giới thiệu một lớp các iđêan đặc biêt của nửa vành mà nó được gọi là iđêan côlập (hay k-iđêan) và chứng minh được J-căn của nửa vành là một iđêan cô lập.Căn Jacobson của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu bởi Iizuka theoquan điểm lý thuyết biểu diễn Trong [21], Iizuka đã sử dụng lớp các nửa môđuntrái bất khả quy để đặc trưng J-căn của nửa vành [21, Theorem 8] Ông cũng
Trang 8giới thiệu khái niệm iđêan nguyên thủy cô lập mạnh của nửa vành và đặc trưng
J-căn là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy cô lập mạnh [21, Theorem 6], vàchỉ ra mối liên hệ giữa J-căn của nửa vành và căn Jacobson vành sai phân của
nó [21, p 420] Ngoài ra, ông giới thiệu một lớp iđêan đặc biệt của nửa vành màđược gọi là h-iđêan và chứng minh J-căn của các nửa vành là một h-iđêan.Trong [38], LaTorre đã chứng minhJ-căn của nửa vành làk-iđêan (h-iđêan)phải sinh bởi tập tất cả các k-iđêan (h-iđêan) phải nửa chính quy phải [38,Theorem 3.1] và nếu R là một vành thì hai khái niệm căn Jacobson của vành
và nửa vành là trùng nhau [38, Theorem 3.2] Ngoài ra, ông thiết lập được một
số tính chất quen thuộc liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành chotrường hợp nửa vành Đặc biệt, LaTorre đã mô tả cấu trúc của nửa vành cộngchính quy J-nửa đơn [38, Theorem 3.4] Tuy nhiên, các kết quả liên quan đến
J-căn của nửa vành đến thời điểm này còn rất khiêm tốn so với các kết quả liênquan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành
Gần đây, Katsov-Nam đã nhận được một số kết quả liên quan đến J-cănđối với các nửa vành [26, Section 3 và 4], đặc biệt là các kết quả liên quan đếncấu trúc của các nửa vành thông qua J-căn như định lý của Hopkins đối vớinửa vành Artin [26, Corrollary 4.4] và định lý cấu trúc đối với nửa vành nguyênthủy [26, Theorem 4.5] Tuy nhiên, một hạn chế củaJ-căn là các nửa vành cộnglũy đẳng thuộc về lớp căn cảm sinh của nó, tức là, nếu R là nửa vành cộng lũyđẳng thìJ (R) = R([26, Example 3.7] hoặc [53, Mệnh đề 2.5 ]) Để khắc phục vấn
đề này, Katsov-Nam giới thiệu khái niệm J s-căn (một dạng tổng quát hóa cănJacobson trong lý thuyết vành) của các nửa vành bằng cách sử dụng lớp các nửamôđun trái đơn [26, p 5076] và nhận được định lý mô tả cấu trúc của nửa vànhcộng lũy đẳng hữu hạn Js-nửa đơn thông qua căn này [26, Theorem 3.11] Đồngthời, họ cũng chỉ ra rằng J-căn và J s-căn là trùng nhau đối với lớp tất cả cácvành nhưng trong trường hợp chung của nửa vành thì khác nhau, chẳng hạn lớpcác nửa vành cộng lũy đẳng [26, Example 3.7], và chỉ ra mối quan hệ giữa chúngcho các nửa vành cộng chính quy và nửa vành giao hoán [26, Proposition 4.8].Tuy nhiên, mối quan hệ giữa J-căn và J s-căn của các nửa vành trong trườnghợp tổng quát thì chưa biết Để làm sáng tỏ điều này, một vấn đề tự nhiên đượcđặt ra là xét mối quan hệ giữa các căn này
Bài toán [26, Problem 1] Mô tả lớp các nửa vành R sao cho Js(R) ⊆ J (R),trong trường hợp đặc biệt J s (R) = J (R)
Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục sử dụng công cụ J-căn và Js-căn đểnghiên cứu cấu trúc một số lớp các nửa vành, thiết lập một số kết quả quan
Trang 9trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành,
mô tả mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn đối với một số lớp các nửa vành, qua
đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]
Ngoài ra, luận án này cũng quan tâm căn của nửa vành theo quan điểmKurosh-Amitsur Đầu thập niên 50 thế kỷ 20, Amitsur [2, 3, 4] và Kurosh [34]
là những nhà toán học đầu tiên độc lập khám phá ra rằng tất cả các căn cổ điển
có các tính chất chung nào đó và họ đã sử dụng các tính chất đại số này để tiên
đề hóa định nghĩa lớp căn trừu tượng Năm 1988, căn Kurosh-Amitsur cho mộtphạm trù đại số chung được đề xuất bởi Márki-Mlitz-Wiegandt [46] Năm 2004,căn của vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur và các kết quả liên quan đã đượctrình bày một cách có hệ thống bởi Gardner-Wiegandt [11] Trong đó, ứng vớimỗi lớp căn γ cho trước ta luôn xác định được một toán tử căn hay phép lấycăn (gọi là γ-căn hay căn Kurosh-Amitsur) và ngược lại với mỗi toán tử căn ρ
cho trước ta luôn xác định được một lớp căn
Năm 1983, Olson-Jenkins [48] đã tổng quát hóa khái niệm lớp căn trong lýthuyết vành cho trường hợp nửa vành và sau đó một số vấn đề liên quan đến lớpcăn của các nửa vành được Olson và các cộng sự của ông trình bày trong mộtloạt các công trình [49, 50, 51] Ngoài ra, căn Kurosh-Amitsur cho các phạm trùnửa trường được nghiên cứu bởi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phạm trù nhómđược nghiên cứu bởi Krempa-Malinawska [33] và Li-Zhang [42]
Gần đây, căn Kurosh-Amitsur của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu.Trong [15, p 652], Hebisch-Weinert đã xây dựng được các lớp căn từ các lớp đặcbiệt và đặc biệt yếu Morak [47] đã xây dựng ba trụ cột của căn Kurosh-Amitsurcủa nửa vành một cách độc lập đó là: Lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn vàHebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] đã chỉ ra được sự tương ứng 1-1 giữa ba trụcột đó Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert đã chứng minh được từ mộtlớp căn theo quan điểm lý thuyết vành luôn xây dựng được một lớp căn theoquan điểm lý thuyết nửa vành Ngoài ra, Morak [47, Theorem 5.3] cũng xâydựng được một lớp căn từ một lớp chính quy các nửa vành cho trước được gọi
là lớp căn trên
Trong [11, p 28], lớp căn dưới của một lớp δ các vành là giao tất cả các lớpcăn chứa δ và nó là lớp căn nhỏ nhất chứa δ, kí hiệu Lδ Có một vài phươngpháp xây dựng lớp căn dưới của một lớp δ của các vành đó là phương pháp củaWatters [58], phương pháp của Kurosh [34] và phương pháp của Lee [40] Lớpcăn dưới của một lớp các nửa vành thì được định nghĩa tương tự như trong lýthuyết vành và lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành cũng được kí hiệu là
Trang 10LA Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar đã xây dựng lớp căn dưới của một lớp cácnửa vành theo phương pháp tương tự của Watters Ngoài ra, Zulfiqar [62, 64]cũng đã tổng quát hóa khái niệm tổng của hai lớp căn và giao của một lớp cănvới tổng của hai lớp căn trong lý thuyết vành được xây dựng bởi Lee-Propes [11]cho trường hợp nửa vành Tính chất di truyền của lớp căn các vành thì đượcnghiên cứu bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5] và Morak [47, Section 6] đã tổngquát hóa các tính chất này cho trường hợp lớp căn của các nửa vành.
Tuy nhiên, những kết quả liên quan căn Kurosh-Amitsur của nửa vành chođến thời điểm hiện tại còn khá khiêm tốn so với các kết quả tương ứng cănKurosh-Amitsur trong lý thuyết vành
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Về căn Jacobson, Js-căn vàcác lớp căn của nửa vành” làm đề tài luận án Những vấn đề sau của đề tàiđược tập trung nghiên cứu
(1) Sử dụng công cụ J-căn và Js-căn để nghiên cứu cấu trúc của một sốlớp các nửa vành và thiết lập một vài kết quả quan trọng liên quan đến cănJacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành
(2) Thiết lập mối quan hệ giữaJ-căn vàJs-căn trên một số lớp các nửa vành(qua đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]) Mô tả một số lớp nửa vành
mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn (qua đó trả lời một phần Bài toán[1, Problem 1])
(3) Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lớp căn các nửa vành như: đề xuấtkhái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn theo khái niệmnửa vành con chấp nhận được và đồng cấu, xây dựng lớp căn từ một lớp chotrước các nửa vành và nghiên cứu tính di truyền của lớp căn các nửa vành
2 Mục đích nghiên cứu
Mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vànhJ-nửa đơn hoặcJ s-nửa đơn và thiết lậpmột vài kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vànhcho trường hợp nửa vành So sánh Js-căn và căn Nil trên lớp các nửa vành cóđơn vị giao hoán phi khả đối Thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căntrùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy,lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành Mô tả một số lớp các nửavành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn Đặc trưng lớp căn của nửavành theo khái niệm nửa vành con chấp nhận được, xây dựng lớp căn dưới củamột lớp các nửa vành và thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của mộtlớp chính quy các nửa vành là di truyền
Trang 113 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu:
- J-căn, Js-căn của nửa vành
- Lớp căn của nửa vành
3.2 Phạm vi nghiên cứu:
Đại số kết hợp Lý thuyết nửa vành và nửa môđun
4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu toán lý thuyết và phương pháp đặc thù của lýthuyết nửa vành và nửa môđun
- Sử dụng công cụ căn như:J-căn, Js-căn và lớp căn để nghiên cứu cấu trúccác nửa vành và các vấn đề liên quan
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Mô tả đầy đủ cấu trúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn Chứng tỏ sựtồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành cộng lũy đẳng, chứng minh
Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối,thiết lập một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thứctrong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối
và cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khảđối Js-nửa đơn Trả lời một phần các Bài toán [26, Problem 1] và [1, Problem1] Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được vàđồng cấu Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, một lớp các nửavành đóng đồng cấu Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớpchính quy các nửa vành là di truyền Chứng tỏ lớp căn trên của một lớp chínhquy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền
6 Tổng quan và cấu trúc của luận án
6.1 Tổng quan luận án
Từ Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấutrúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn Kết quả này là một mở rộng kếtquả của Latorre [38, Theorem 3.4]
Định lý 2.1.14 Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy Khi đó, cácphát biểu sau là tương đương:
(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;
(2) R là một vành J-nửa đơn;
Trang 12(3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy.
Theo Nhận xét 2.1.7(1), không tồn tại nửa môđun trái bất khả quy trên nửavành cộng lũy đẳng Tuy nhiên, tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộnglũy đẳng
Định lý 2.2.5 Cho R là một nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng Khi đó,tồn tại một R-nửa môđun trái đơn
Chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giaohoán phi khả đối Trong kết quả này, điều kiện “phi khả đối” không thể bỏ qua(Nhận xét 2.2.13)
Định lý 2.2.12 Cho R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối.Khi đó, Js(R) = N il(R)
Như một hệ quả của Định lý 2.2.12, chúng tôi nhận được một kết quả tương
tự [36, Theorem 5.1] của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lýthuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối
Hệ quả 2.2.15 Giả sử R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối
và R[x] là nửa vành đa thức trên R Khi đó,
Js(R[x]) = N il(R[x]) = N il(R)[x].
Ngoài ra, từ Định lý 2.2.12 và [57, Theorem 3.3 và Theorem 3.4] của Wang,chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phikhả đối Js-nửa đơn
Hệ quả 2.2.18 Các điều kiện sau đây trên các nửa vành có đơn vị giaohoán phi khả đối R là tương đương:
(1) R là Js-nửa đơn;
(2) R là tựa dương;
(3) R nửa đẳng cấu với tích trực tiếp con các thương nguyên cực đại của nó.Tiếp theo, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1] Cụ thể, thiếtlập điều kiện cần và đủ đểJ-căn trùng với J s-căn trên một số lớp các nửa vành
Trang 13Trước tiên, trên lớp các nửa vành nửa đơn.
Định lý 2.3.4 Cho R là một nửa vành nửa đơn trái Khi đó, Js(R) = J (R)
nếu và chỉ nếu Z(R) = 0
Trên lớp các nửa vành cộng π-chính quy
Định lý 2.3.6 Cho R là nửa vành cộng π-chính quy Khi đó, Js(R) = J (R)
nếu và chỉ nếu R là một vành
Trên lớp các nửa vành Artin trái phản bị chặn
Định lý 2.3.11 Cho R là một nửa vành Artin trái phản bị chặn Khi đó,
Js(R) = J (R) nếu và chỉ nếu R là một vành Artin trái
Và trên lớp các V-nửa vành trái Artin trái
Định lý 2.3.16 Cho R là một V-nửa vành trái Artin trái Khi đó, J s (R) =
J (R) nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái
Chúng tôi cũng trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1] Cụ thể, mô tảđược lớp các nửa vành đơn với một phần tử vô hạn, lớp các nửa vành cô lậptrái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường và lớp các nửa vànhcộng hút phản bị chặn là các V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn
Định lý 2.4.5 Cho R là một nửa vành có đơn vị Nếu một trong các điềukiện sau được thỏa mãn thì R là một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn
(1) R là một nửa vành đơn với một phần tử vô hạn;
(2) R là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳngtầm thường
Định lý 2.4.7 Nếu R là một nửa vành cộng hút phản bị chặn thì R là mộtV-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn
Đối với lớp căn (căn theo quan điểm Kurosh-Amitsur) của các nửa vành,chúng tôi đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được, sử dụng khái niệm
Trang 14này chúng tôi nhận được một đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành conchấp nhận được và đồng cấu nửa vành Kết quả này là một mở rộng của Định
lý 3.1.3 và là một kết quả tương tự của [11, Theorem 3.1.9] trong lý thuyết vành
Định lý 3.1.17 Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là mộtlớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(1’) Nếu R ∈ R thì với mọi toàn cấu khác không f : R → S luôn tồn tại mộtnửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I ∈R;
(2’) Nếu R ∈U và với mọi toàn cấu khác không f : R → S luôn tồn tại mộtnửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I ∈R thì R ∈R.
Kurosh đã xây dựng được lớp căn từ một lớp các vành [11, Theorem 3.3.1]
Sử dụng phương pháp này, chúng tôi xây dựng lớp căn từ một lớp các nửa vànhtrong lớp phổ dụng U
Giả sử A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U Xác định cáclớp δλ(A)với mỗi chỉ số λ bằng quy nạp như dưới đây Trước tiên, xác định baođóng đồng cấu δ 1 (A) của A, tức là
δ1(A) := {S ∈U| S là ảnh đồng cấu của một nửa vành A ∈A}
Bắt đầu quy nạp, giả sử δµ(A) đã được xác định với mọi chỉ số µ < λ Khi đó,chúng tôi xác định δλ(A) như sau:
δλ(A) := {S ∈U| mọi ảnh đồng cấu khác không của S luôn có iđêan khác
không thuộc δµ(A) với µ < λ}.Cuối cùng, xác định lớp δ(A) := ∪δλ(A), trong đó hợp được lấy trên tất cả cácchỉ số λ
Định lý 3.2.2 Cho A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U.Khi đó, lớp δ(A) là một lớp căn chứa A trong lớp phổ dụng U
Hơn nữa, lớp căn δ(A) trong Định lý 3.2.2 chính là lớp căn dưới xác địnhbởi lớp A các nửa vành trong U
Định lý 3.2.3 Cho A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U.Khi đó, δ(A) = LA
Trang 15Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp xây dựnglớp căn từ một lớp các vành đóng đồng cấu của Lee [11, Theorem 3.3.2], xâydựng lớp căn từ một lớp các nửa vành đóng đồng cấu.
Định lý 3.2.4 Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng Ucác nửa vành Khi đó, lớp
YA= {S ∈U| mọi ảnh đồng cấu khác không của S có nửa vành con chấp nhận
được khác không thuộc A}
là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U
Ngoài ra, lớp căn YA trong Định lý 3.2.4 chính là lớp căn dưới xác định bởi
Định lý 3.3.4 Giả sử M là một lớp chính quy của lớp phổ dụng U các nửavành Khi đó, lớp căn trên UM là di truyền nếu và chỉ nếu M thỏa mãn điều
kiện sau: Nếu I là một iđêan khác không của S ∈U và A ∈ M là một ảnh đồng
cấu khác không của I thì tồn tại một ảnh đồng cấu khác không B của S sao cho
6.2 Cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm
ba chương
Trang 16Chương 1 của luận án, trình bày lại các khái niệm và một số tính chấtliên quan đến nửa vành, nửa môđun Các khái niệm và kết quả này là cầnthiết cho các chứng minh trong hai chương chính của luận án Trong Tiết 1.1,trình bày các khái niệm và cho các ví dụ minh họa về nửa vành, nửa vành con,iđêan, nửa môđun, nửa môđun con, nửa môđun Artin (Noether), nửa vành Artin(Noether), Trong Tiết 1.2, trình bày khái niệm tương đẳng trên nửa vành vànửa môđun, đặc biệt là tương đẳng Bourne; khái niệm nửa vành thương và nửamôđun thương Trong Tiết 1.3, trình bày khái niệm đồng cấu nửa vành và đồngcấu nửa môđun Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu thamkhảo [9], [13], [21] và [26].
Trong Chương 2, sử dụng J-căn và Js-căn để nghiên cứu cấu trúc các nửavành và các vấn đề liên quan Trong Tiết 2.1, chúng tôi trình bày lại một sốkhái niệm và tính chất liên quan đến J-căn Sau đó, cho một mô tả đầy đủcấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn (Định lý 2.1.14) Ngoài ra,chứng minh một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong
lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước (Định lý 2.1.18) TrongTiết 2.2, trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa môđuntrái đơn và J s-căn của các nửa vành Tiếp theo, chứng tỏ sự tồn tại nửa môđuntrái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng (Định lý 2.2.5) và chứngminhJs-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khảđối (Định lý 2.2.12) Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tựcủa Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trườnghợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Hệ quả 2.2.15) và cho một mô tảđầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn (Hệquả 2.2.18) Trong Tiết 2.3, thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căntrùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn (Định lý 2.3.4), trên lớp các nửavành cộng π-chính quy (Mệnh đề 2.3.5 và Định lý 2.3.6), trên lớp các nửa vànhphản bị chặn Artin trái (Định lý 2.3.10 và Định lý 2.3.11) và trên lớp các V-nửavành trái Artin trái (Mệnh đề 2.3.14 và Định lý 2.3.16) Trong Tiết 2.4, cho một
mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành nửa đơn mà nó là V-nửa vành trái (phải)
Js-nửa đơn (Định lý 2.4.1); mô tả được lớp các nửa vành đơn với một phần tử
vô hạn, lớp các nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳngtầm thường và lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn là các V-nửa vành trái(phải) J s-nửa đơn (Định lý 2.4.5 và Định lý 2.4.7) Nội dung của chương nàyđược viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [53], [43], [44] và [45]
Chương 3, dành cho việc nghiên cứu lớp căn (căn theo quan điểm
Trang 17Kurosh-Amitsur) các nửa vành Trong Tiết 3.1, trình bày lại một số khái niệm và tínhchất liên quan đến lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn của các nửa vành Sau
đó, giới thiệu khái niệm nửa vành con chấp nhận được (Định nghĩa 3.1.15) vàđặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu(Định lý 3.1.17) Trong Tiết 3.2, xây dựng một lớp căn dưới từ một lớp các nửavành cho trước (Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3) Ngoài ra, chúng tôi cũng xâydựng một lớp căn dưới từ một lớp đóng đồng cấu các nửa vành cho trước (Định
lý 3.2.4 và Hệ quả 3.2.6) Trong Tiết 3.3, trình bày lại điều kiện cần và đủ đểlớp căn các nửa vành là di truyền Từ đó, chúng tôi nhận được các lớp căn J và
Js là di truyền (Hệ quả 3.3.2) Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên củamột lớp chính quy các nửa vành là di truyền (Định lý 3.3.4) và chứng minh lớpcăn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị thì luôn di truyền (Định
lý 3.3.5) Từ kết quả này, chúng tôi nhận được lớp căn Browm-McCoy của lớpphổ dụng U các nửa vành là di truyền (Hệ quả 3.3.6) Nội dung của chương nàyđược viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [54] và [22]
Trang 18Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH
VÀ NỬA MÔĐUN
Trong chương này, sử dụng các tài liệu tham khảo [9], [13], [21] và [26]
để trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa vành và nửamôđun Điều này là cần thiết để trình bày các chương chính của luận án (Chương
2 và Chương 3) Nội dung chương này được chia làm bốn tiết gồm: Nửa vành
và nửa môđun; Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương;Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun; Kết luận Chương 1
1.1 Nửa vành và nửa môđun
Tiết này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và cho các ví dụ liên quannửa vành và nửa môđun như: khái niệm nửa vành, nửa vành con, iđêan, nửamôđun, nửa môđun con,
Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp R khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôicộng “+” và nhân “·” trên R được gọi là một nửa vành nếu các điều kiện sauđược thỏa mãn:
(1) (R, +) là một vị nhóm giao hoán, với phần tử không kí hiệu là 0;
(2) (R, ·) là một nửa nhóm;
(3) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng, tức là:
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx,với mọi x, y, z ∈ R;
(4) 0x = x0 = 0 với mọi x ∈ R
Nếu nửa vành R mà trong đó (R, ) là nửa nhóm giao hoán thì R được gọi
là nửa vành giao hoán Nếu nửa vành R mà trong đó (R, ) là một vị nhóm vớiphần tử đơn vị khác phần tử không thì R được gọi là nửa vành có đơn vị, kí
Trang 19hiệu phần tử đơn vị là 1 Nửa vành có đơn vị R được gọi là nguyên nếu ab = 0
dẫn đến a = 0 hoặc b = 0 với mọi a, b ∈ R
Một nửa vành có đơn vị R được gọi là nửa vành chia nếu (R \ {0}, ) là mộtnhóm đối với phép nhân Nửa vành chia giao hoán được gọi là nửa trường
Ví dụ 1.1.2 (1) Mọi vành đều là nửa vành Một nửa vành mà không phải làvành được gọi là nửa vành thật sự
(2) Tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số hữu tỷ không âm Q+, tập hợpcác số thực không âm R+ cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường làcác nửa vành giao hoán, có đơn vị Trong đó, Q+ và R+ là các nửa trường.(3) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng bất kì và P(X) là tập hợp tất cảcác tập con của X Khi đó, P(X) cùng với phép hợp và phép giao các tập hợp,lập thành một nửa vành giao hoán có đơn vị với phần tử không là tập ∅ vàphần tử đơn vị là tập X Đặc biệt, nếu X chỉ có duy nhất một phần tử thì
P(X) = {∅, X} được gọi là nửa vành Boolean, và được kí hiệu lại là B := {0, 1}.Nửa vành Boolean là một nửa trường
(4) Tập hợp R3 = {0, 1, a}cùng với hai phép toán cộng và nhân được cho bởicác bảng sau:
là một nửa vành thật sự, giao hoán, có đơn vị
(5) ChoR là một nửa vành và n ≥ 2là một số nguyên dương Kí hiệu M n (R)
là tập tất cả các ma trận vuông cấp n với các thành phần lấy trên R Khi đó,tập hợp Mn(R) cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường các ma trận
là một nửa vành không giao hoán Nếu R có đơn vị thì Mn(R) có đơn vị
(6) Cho (M, +, 0M) là một vị nhóm giao hoán Kí hiệu End(M ) là tập hợptất cả các tự đồng cấu của vị nhóm M Khi đó, End(M ) với phép cộng và phépnhân xác định bởi: Với mọi f, g ∈ End(M ) và với mọi x ∈ M
(f + g)(x) := f (x) + g(x) và f g(x) := f (g(x))
là một nửa vành có đơn vị không giao hoán với phần tử không là đồng cấu không
Trang 20và phần tử đơn vị là đồng cấu đồng nhất Nửa vành End(M ) được gọi là nửavành các tự đồng cấu của một vị nhóm giao hoán.
(7) Giả sử n là một số nguyên dương và Bn+1 là nửa dàn hợp xác định trênxích 0 < 1 < 2 < < n Trên Bn+1 trang bị hai phép toán cộng x + y := x ∨ y vànhân
(2) A được gọi là cô lập mạnh nếu với r, s ∈ R và r + s ∈ A thì r, s ∈ A
Định nghĩa 1.1.4 Cho R là một nửa vành Tập con khác rỗng S của R đượcgọi là một nửa vành con của R nếu:
(1) 0R ∈ S;
(2) s1+ s2, s1s2 ∈ S với mọi s1, s2∈ S
Định nghĩa 1.1.5 (1) Cho R là một nửa vành Tập con khác rỗng I của R
được gọi là một iđêan trái (phải) của R nếu:
(a) (I, +) là một nửa nhóm con của (R, +);
(b) ri ∈ I (ir ∈ I) với mọi r ∈ R, i ∈ I
Nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R thì I được gọi là iđêan haiphía hay iđêan của R
(2) Iđêan I của nửa vành R được gọi là cô lập (cô lập mạnh) nếu nó là tập
cô lập (cô lập mạnh) Iđêan cô lập còn được gọi là k-iđêan Kí hiệuI(R) và K(R)
lần lượt là tập tất cả các iđêan và iđêan cô lập của nửa vành R
(3) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan của R Đặt
I := {r ∈ R | ∃ a, b ∈ I : r + a = b},
dễ dàng thấy rằng I là một iđêan cô lập của R và I được gọi là bao đóng của I.Hiển nhiên, ta có I ⊆ I và I = I nếu và chỉ nếu I là iđêan cô lập của R
Trang 21(4) Nửa vành R được gọi là cô lập (cô lập mạnh) nếu mọi iđêan của R là côlập (cô lập mạnh) Dễ dàng thấy rằng nửa vành cô lập mạnh là cô lập nhưngchiều ngược lại không đúng Chẳng hạn, vành là nửa vành cô lập nhưng không
cô lập mạnh
Định nghĩa 1.1.6 Cho R là một nửa vành
(1) Iđêan trái (phải, hai phía) của R được gọi là iđêan trái (phải, hai phía)cực đại nếu I 6= R và mọi iđêan trái (phải, hai phía) của R chứa I thật sự đềubằng R Nói cách khác, không có iđêan trái (phải, hai phía) nào chứa I khác I
Định nghĩa 1.1.9 (1) Cho S là một tập con khác rỗng của một nửa vành R.Giao tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan nhỏ nhất của R chứa S đượcgọi là iđêan sinh bởi tập S, kí hiệu (S)
(2) Iđêan của một nửa vành R sinh bởi tập hợp một phần tử {r} được gọi
là iđêan chính của R sinh bởi phần tử r, kí hiệu (r)
Định nghĩa 1.1.10 Một iđêan I của nửa vành có đơn vịR được gọi là nguyên
tố nếu với các iđêan H, K củaR sao cho HK ⊆ I ta luôn có H ⊆ I hoặc K ⊆ I
Mệnh đề 1.1.11 ([13, Corollary 7.6 và Proposition 7.14]) Cho R là một nửavành có đơn vị giao hoán Khi đó,
(1) Iđêan I của nửa vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu với mọi a, b ∈ R mà
ab ∈ I ta luôn có a ∈ I hoặc b ∈ I
Trang 22(2) Mọi iđêan nguyên tố I của nửa vành R luôn chứa một iđêan nguyên tốcực tiểu của R.
Định nghĩa 1.1.12 Cho R là một nửa vành và M là một vị nhóm cộng giaohoán với phần tử không là 0M Khi đó, M cùng với phép nhân vô hướng:
ϕ : R × M −→ M (r, x) 7−→ rx
được gọi là một R-nửa môđun trái, kí hiệu RM, nếu nó thỏa mãn các điều kiện:Với mọi r, s ∈ R và x, y ∈ M
Định nghĩa 1.1.13 (1) Một tập con N khác rỗng của R-nửa môđun trái RM
được gọi là một nửa môđun con của RM, kí hiệuN ≤ RM, nếu với mọi x, y ∈ N
và r ∈ R ta luôn có
x + y ∈ N và rx ∈ N
Một R-nửa môđun trái M 6= 0có ít nhất hai nửa môđun con là 0 và M Các nửamôđun con này được gọi là nửa môđun con tầm thường Kí hiệu Sub(M ) là tậptất cả các nửa môđun con của R-nửa môđun trái M
(2) Nửa môđun con N của R-nửa môđun trái M được gọi là cô lập (cô lậpmạnh) nếu N là tập cô lập (cô lập mạnh) trong RM
(3) Một R-nửa môđun trái M 6= 0 được gọi là cực tiểu nếu M chỉ có môđuncon tầm thường
Trang 23Định nghĩa 1.1.14 ChoR là một nửa vành và M làR-nửa môđun trái, iđêan
(0 : M )R := {r ∈ R | rM = 0}
của nửa vành R được gọi là linh hóa tử của M trong R Một R-nửa môđun trái
M được gọi là trung thành nếu (0 : M )R = 0 Ngoài ra, chúng ta có các nửamôđun con của R-nửa môđun trái M sau đây:
Nhận xét 1.1.15 Nếu M là một B-nửa môđun trái thì vị nhóm giao hoán
(M, +, 0) là lũy đẳng Ngược lại, nếu (M, +, 0) là một vị nhóm giao hoán và lũyđẳng thì M cũng trở thành một B-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng xácđịnh bởi: Với mọi b ∈ B và m ∈ M,
là thỏa mãn điều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thường được viết tắt
là ACC) nếu mọi dãy
L1⊆ L2 ⊆ ⊆ Ln ⊆
trong L, tồn tại n ∈N để cho L n+i = L n (i = 1, 2, )
(2) Một họ các tập con Li, i ∈ I nằm trong tập L gọi là thỏa mãn điều kiệndãy giảm (decending chain condition, thường được viết tắt là DCC) nếu mọi dãy
Trang 24L 1 ⊇ L 2 ⊇ ⊇ L n ⊇
trong L, tồn tại n ∈N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, )
Định nghĩa 1.1.17 (1)R-nửa môđun trái (phải)M được gọi là Artin (Noether)nếu tập tất cả nửa môđun con củaM thỏa mãn điều kiện DCC (tương ứng ACC).(2) Nửa vànhR được gọi là Artin (Noether) trái nếu R là mộtR-nửa môđuntrái Artin (tương ứng Noether) Tương tự, ta có khái niệm nửa vành Artin(Noether) phải
(3) Một R-nửa môđun trái M được gọi là nội xạ nếu với bất kì phép nhúng
µ : A B (A là nửa môđun con của R-nửa môđun trái B) và mọi đồng cấu
f : A −→ M luôn tồn tại một đồng cấu ef : B −→ M sao cho ef µ = f
Bổ đề 1.1.19 (Bổ đề Zorn) Nếu mỗi dây chuyền của một tập sắp thứ tự Γ
khác rỗng đều có cận trên trong Γ thì Γ có chứa phần tử tối đại
1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương
Trong tiết này chúng tôi giới thiệu lại khái niệm tương đẳng trên nửa vành
và nửa môđun, cách xây dựng nửa vành thương và nửa môđun thương Ngoài
ra, chúng tôi cho một vài ví dụ và nhận xét cho các khái niệm này
Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một nửa vành Một quan hệ tương đương ρ trên
R được gọi là quan hệ tương đẳng nếu nó thỏa mãn: Với r, r0, s, s0∈ R
r ρ r0 và s ρ s0 suy ra (r + s) ρ (r0+ s0) và (rs) ρ (r0s0)
Trang 25Kí hiệu Cong(R) là tập tất cả các tương đẳng trên nửa vành R Nếu R 6= 0
thì tập Cong(R) luôn có ít nhất 2 phần tử, đó là tương đẳng đường chéo
∆R := {(r, r) | r ∈ R},
và tương đẳng phổ dụng
R2:= {(r, s) | r, s ∈ R}.
Hai tương đẳng này được gọi là tương đẳng tầm thường của nửa vành R
Hơn nữa,Cong(R)là một tập được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự “≤” đượcxác định bởi: Với ρ, ρ0∈ Cong(R) và r, s ∈ R
ρ ≤ ρ0 ⇐⇒ (r ρ s =⇒ r ρ0 s),
và ta luôn có ∆R ≤ ρ ≤ R 2 với mọi ρ ∈ Cong(R)
Với ρ ∈ Cong(R) và r ∈ R, kí hiệur/ρ := {s ∈ R | r ρ s} được gọi là lớp tươngđương của phần tử r theo quan hệ tương đẳng ρ Khi đó, tập hợp
R/ρ := {r/ρ | r ∈ R}
có cấu trúc của một nửa vành với các phép toán cộng và nhân trên R/ρ đượcxác định bởi: Với mọi r, s ∈ R
r/ρ + s/ρ := (r + s)/ρ và (r/ρ)(s/ρ) := (rs)/ρ.Nửa vànhR/ρ được gọi là nửa vành thương của nửa vành R theo quan hệ tươngđẳng ρ
Ví dụ 1.2.2 (1) Cho R là một nửa vành và I là iđêan của R Khi đó, I cảmsinh một quan hệ tương đẳng ≡I trên R được gọi là tương đẳng Bourne đượcxác định bởi: Với x, x0∈ R
x ≡I x0 ⇐⇒ ∃ i, i0∈ I : x + i = x0+ i0.
Kí hiệu lớp tương đương của mỗi phần tử x ∈ R theo tương đẳng Bourne ≡I là
x/I và nửa vành thương của R theo tương đẳng Bourne ≡I là R/I
(2) Cho R là một nửa vành và I là iđêan của R Khi đó, I cảm sinh mộtquan hệ tương đẳng [≡]I trên R được gọi là tương đẳng Iizuka được xác địnhbởi: Với x, x0∈ R
x [≡]I x0⇐⇒ ∃ i, i0 ∈ I, y ∈ R : x + i + y = x0+ i0+ y.
Kí hiệu lớp tương đương của mỗi phần tử x ∈ R theo tương đẳng Iizuka [≡]I là
x[/]I và nửa vành thương của R theo tương đẳng Iizuka [≡]I là R[/]I
Trang 26Nhận xét 1.2.3 (1) NếuI là iđêan của nửa vành R thì 0/I là iđêan cô lập của
R, đồng thời 0/I là iđêan cô lập nhỏ nhất của R chứa I Đặc biệt, 0/I = I khi
và chỉ khi I là iđêan cô lập của R Chẳng hạn, với mỗi n ∈N ta có nN là iđêan
cô lập của nửa vành N các số tự nhiên và
N/nN:= {0/nN, 1/nN, , (n − 1)/nN}
là một nửa vành thương của N theo tương đẳng Bourne ≡nN
(2) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan của nó Đặt 0 là lớp tươngđương của phần tử 0 theo tương đẳng Buorne ≡I Ta có I ⊆ 0, bao hàm thứcngược lại nói chung là không đúng và thậm chí R/I = {0} khi I 6= R Chẳnghạn, xét R :=N là nửa vành các số tự nhiên cùng với phép cộng và nhân thông
thường và I :=N\ {1} Khi đó, I là một iđêan thật sự của R và lớp tương đương
0 = R Do đó, nửa vành thương R/I = {0}
(3) Mỗi phần tử của tập r + I = {r + i | i ∈ I} luôn tương đương với phần tử
r, nhưng mỗi phần tử tương đương với phần tử r thì chưa chắc thuộc tập r + I
Do đó, ta có r + I ⊆ r/I và r + I = r/I nếu(I, +, 0) là một nhóm Định nghĩa 1.2.4 Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái.Một quan hệ tương đương ρ trên M được gọi là R-quan hệ tương đẳng (gọi tắt
là quan hệ tương đẳng) nếu nó thỏa mãn: Với x, x0, y, y0 ∈ M và mọi r ∈ R
Trang 27Hơn nữa,Cong(M ) là một tập được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự “≤” đượcxác định bởi: Với ρ, ρ0∈ Cong(M ) và x, y ∈ M
ρ ≤ ρ0⇐⇒ (x ρ y =⇒ x ρ0 y),
và ta có ∆M ≤ ρ ≤ M 2 với mọi ρ ∈ Cong(M )
Với ρ ∈ Cong(M ) và m ∈ M, kí hiệu m/ρ := {m0 ∈ M | m ρ m0} được gọi làlớp tương đương của phần tử m theo quan hệ tương đẳng ρ Kí hiệu
M/ρ := {m/ρ | m ∈ M },
khi đó tập M/ρ có cấu trúc của một R-nửa môđun trái với các phép toán cộng
và phép nhân vô hướng được xác định bởi: Với mọi x, y ∈ M và r ∈ R
x/ρ + y/ρ := (x + y)/ρ và r(x/ρ) := (rx)/ρ.
R-nửa môđun trái M/ρ được gọi là nửa môđun thương của R-nửa môđun trái M
theo quan hệ tương đẳng ρ
Ví dụ 1.2.5 (1) Cho N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M Khi đó,
N cảm sinh một quan hệ tương đẳng ≡N trênM được gọi là tương đẳng Bourneđược xác định bởi: Với m, m0 ∈ M
m ≡N m0 ⇐⇒ ∃ n, n0∈ N : m + n = m0+ n0.
Với mỗi m ∈ M, ta kí hiệu lớp tương đương của m theo tương đẳng Bourne ≡N
là m/N và R-nửa môđun thương của M theo tương đẳng Bourne ≡N là M/N.(2) ChoN là nửa môđun con của R-nửa môđun tráiM Khi đó, N cảm sinhmột quan hệ tương đẳng [≡]N trên M được gọi là tương đẳng Iizuka được xácđịnh bởi: Với m, m0 ∈ M
m [≡]N m0 ⇐⇒ ∃ n, n0∈ N, m00 ∈ M : m + n + m00= m0+ n0+ m00.
Với mỗim ∈ M, ta kí hiệu lớp tương đương của mtheo tương đẳng Iizuka[≡]N là
m[/]N và R-nửa môđun thương của M theo tương đẳng Iizuka là M [/]N Ngoài
ra, tương đẳng Iizuka trên M thỏa mãn luật giản ước và vì thế nửa môđunthương M [/]N là R-nửa môđun trái giản ước Nhận xét 1.2.6 Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái Khi đó,mỗi tương đẳng ρ trên RM, lớp tương đương 0/ρ (còn được kí hiệu 0) là mộtnửa môđun con của RM Ngược lại, với mỗi môđun con N của R-nửa môđuntrái M, nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡N trên RM Nói cách khác, haitương ứng
Trang 28có tương đẳng tầm thường nếu và chỉ nếu M chỉ có môđun con tầm thường.Tuy nhiên, điều này không còn đúng đối với nửa môđun nói chung Chẳng hạn,
R+-nửa môđun trái R+ là cực tiểu nhưng R+ có tương đẳng không tầm thường.Thật vậy, xét quan hệ tương đương ρ trên R+ xác định bởi: với x, y ∈R+
x ρ y ⇐⇒ x = y = 0 hoặc xy 6= 0,
dễ dàng kiểm tra được ρ là một tương đẳng không tầm thường trên R+
1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun
Tiết này chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả liên quan đếnđồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun Chúng tôi cho các ví dụ và nhậnxét để chỉ ra những sự mở rộng của đồng cấu nửa vành và nửa môđun đối vớiđồng cấu vành và môđun
Định nghĩa 1.3.1 Giả sử R và S là các nửa vành Ánh xạ f : R −→ S đượcgọi là đồng cấu nửa vành nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọir1, r2∈ R
là các nửa vành có đơn vị thì đồng cấu f : R −→ S thỏa f (1R) = 1S được gọi làđồng cấu unita
Trang 29Định nghĩa 1.3.2 Cho R và S là các nửa vành và f : R −→ S là một đồngcấu nửa vành.
là một nửa vành con của S được gọi là ảnh thật sự của f
(4) Một toàn cấu f : R −→ S được gọi là nửa đẳng cấu nếu Ker(f ) = 0 Kíhiệu R ' S
Nhận xét 1.3.3 (1) Trong đồng cấu vành,f là đơn cấu nếu và chỉ nếuKer(f ) =
0 Tuy nhiên, trong đồng cấu nửa vành, nếu f là đơn cấu thìKer(f ) = 0, nhưngchiều ngược lại không đúng Chẳng hạn, ánh xạf : N−→ B từ nửa vành các số
tự nhiên N vào nửa vành Boolean B xác định bởi f (0) = 0 và f (n) = 1 với mọi
0 6= n ∈N là một đồng cấu nửa vành có Ker(f ) = 0 nhưng f không là đơn cấu.(2) Trong đồng cấu vành, khái niệm ảnh và ảnh thật sự là trùng nhau, tức
là f (R) = Im(f ) Nhưng trong đồng cấu nửa vành thì f (R) ⊆ Im(f ), nói chung
f (R) 6= Im(f ) Thật vậy, xét đơn cấu chính tắc f : N −→Z từ nửa vành các số
tự nhiên vào vành các số nguyên xác định bởi f (n) = n với mọi n ∈N Khi đó,
Mệnh đề 1.3.4 ([13, Proposition 10.11]) Cho R và S là các nửa vành, ánh xạ
f : R −→ S là một đồng cấu nửa vành và I là một iđêan bất kì của R Khi đó,
I là nhân của f, tức là I = Ker(f ) nếu và chỉ nếu I là iđêan cô lập
Trang 30Hoàn toàn tương tự như đồng cấu vành, các kết quả sau đây cho thấy tínhbảo toàn cấu trúc của đồng cấu nửa vành.
Mệnh đề 1.3.5 ([13, Proposition 9.46]) Cho R và S là các nửa vành và ánh
xạ f : R −→ S là đồng cấu nửa vành Khi đó,
(1) Nếu I là một iđêan trái của S thì f−1(I) là một iđêan trái của R Hơnnữa, nếu I là iđêan cô lập trong S thì f−1(I) là iđêan cô lập trong R;(2) Nếu f là một toàn cấu và K là một iđêan trái của R thì f (K) là một iđêantrái của S
Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I Tích trực tiếp của một họ các nửa vành
(R i )i∈I, kí hiệu Q
i∈I R i := {(r i )i∈I | r i ∈ R i , i ∈ I} Khi đó, tích Q
i∈I R i cùng vớihai phép toán cộng và nhân xác định bởi: Với mọi (ri)i∈I, (si)i∈I ∈Q
i∈I Ri(ri)i∈I+ (si)i∈I := (ri+ si)i∈I, (ri)i∈I(si)i∈I := (risi)i∈I
là một nửa vành, và nó được gọi là nửa vành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I Ngoài
ra, với mỗii ∈ I đồng cấu πi: Q
i∈I Ri −→ Ri xác định bởi πi(ri)i∈I := ri với mọi
(ri)i∈I ∈Q
i∈I Ri là một toàn cấu
Định nghĩa 1.3.6 ([38, p 9]) Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I và R là nửavành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I Nửa vành con S của R được gọi là tích trựctiếp con của một họ các nửa vành(Ri)i∈I, kí hiệu S =Qsub
i∈I Ri, nếu với mỗi i ∈ I,đồng cấu hạn chế π i |S: S −→ R i cũng là một toàn cấu
Định lý sau đây được xem như định lý đồng cấu tổng quát của các nửa vành.Định lý 1.3.7 ([47, Theorem 2.1]) Cho R và S là các nửa vành, ϕ : R −→ S
là đồng cấu nửa vành và p : R −→ R/K là toàn cấu chính tắc với K := Ker(ϕ).Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu nửa vành
Trang 31Định lý 1.3.8 ([47, Theorem 2.2]) Giả sử A là nửa vành con và B là iđêancủa nửa vành R Khi đó, ánh xạ
ϕ : A/(A ∩ B) −→ (A + B)/B
xác định bởi ϕ(aA∩B) := aB với mọi a ∈ A là một nửa đẳng cấu
Định lý 1.3.9 ([47, Theorem 2.3]) Giả sử A và B là các iđêan của nửa vành
R thỏa điều kiện A ⊆ B Khi đó, ánh xạ
e
ϕ : R/B −→ (R/A)/(B/A)
xác định bởi ϕ(re B) := [rA]B/A với mọi r ∈ R là một đẳng cấu
Mệnh đề sau đây chỉ ra cách xác định phép nhân vô hướng củaR-nửa môđuntrái M khi biết M là nửa môđun trái trên nửa vành thương R/I và ngược lại,trong đó I là một iđêan của nửa vành R
Mệnh đề 1.3.10 ([26, Proposition 2.1]) Giả sửR là một nửa vành và I là mộtiđêan của R Khi đó,
(1) Nếu M là một R/I-nửa môđun trái thì với phép nhân vô hướng rm := rm,
M trở thành một R-nửa môđun trái với I ⊆ (0 : M )R
(2) Nếu M là một R-nửa môđun trái với I ⊆ (0 : M )R thì M là một R/I-nửamôđun trái với phép nhân vô hướng rm := rm
(3) Mọi nửa môđun con của R/I-nửa môđun trái M cũng là nửa môđun concủa R-nửa môđun trái M và điều ngược lại cũng đúng khi I ⊆ (0 : M )R.(4) (0 : M )R/I = (0 : M )R/I
Phần tiếp theo của tiết này, chúng tôi trình bày khái niệm đồng cấu của cácnửa môđun và một vài kết quả liên quan đến nó
Định nghĩa 1.3.11 ChoR là một nửa vành vàM, N là cácR-nửa môđun trái.Một ánh xạ f : M −→ N được gọi là R-đồng cấu nửa môđun trái nếu: Với mọi
x, y ∈ M và r ∈ R
(1) f (0M) = 0N;
(2) f (x + y) = f (x) + f (y);
Trang 32(3) f (rx) = rf (x).
Một R-đồng cấu nửa môđun trái f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)nếu ánh xạ f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Khi f là một đẳngcấu thì ta nói M và N đẳng cấu với nhau, kí hiệu M ∼ = N
Ví dụ 1.3.12 (1) Cho M là một R-nửa môđun trái, với mỗi m ∈ M ánh xạ
là một nửa môđun con của N được gọi là ảnh thật sự của f
Định nghĩa 1.3.14 Cho f : M −→ N là một R-đồng cấu từ R-nửa môđuntrái M vào R-nửa môđun trái N Khi đó,
(1) f được gọi là i-chính quy nếu f (M ) = Im(f )
(2) f được gọi là k-chính quy nếu f (m) = f (m0)thì tồn tại k, k0 ∈ Ker(f )saocho m + k = m0+ k0
(3) f được gọi là chính quy nếu f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy
Trang 33Nhận xét 1.3.15 Nếu f là R-toàn cấu (R-đơn cấu, R-đẳng cấu) thì f là chính quy (tương ứng k-chính quy, chính quy) Điều ngược lại nói chung làkhông đúng Tuy nhiên, nếu f là k-chính quy và Ker(f ) = 0 thì f là đơn cấu Mệnh đề 1.3.16 Nếu f : M −→ N là một R-toàn cấu k-chính quy thì
i-M/Ker(f ) ∼ = N.
Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc xây dựng nửa môđun sai phân và vànhsai phân Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái Khi đó, tậphợp
(m, m0) ≡W (m 1 , m01) ⇔ ∃ (a, a), (b, b) ∈ W : (m, m0) + (a, a) = (m 1 , m01) + (b, b).
Trang 34là mộtR-nửa môđun trái với phần tử không 0D(M ) = (0, 0), và với mọi (m, m0) ∈ D(M )ta luôn có (m, m0) + (m0, m) = (0, 0)nên (m0, m) là phần tử đối của (m, m0)
trong D(M ) R-nửa môđun trái D(M ) xây dựng như trên được gọi là R- nửamôđun trái sai phân của R-nửa môđun trái M [13, Chapter 16]
Ngoài ra, tồn tại một đồng cấu chính tắc
ξM : M −→ D(M ),
xác định bởi m 7−→ (m, 0) Trong trường hợp M là R-nửa môđun trái giản ướcthì ξM là một đơn cấu Khi đó, chúng ta có thể đồng nhất phần tử m ∈ M vớiphần tử (m, 0) ∈ D(M ), và vì thế M được xem như nửa môđun con của R-nửamôđun trái D(M ) Khi đó, với bất kì phần tử (m, m0) ∈ D(M ) ta có
Trang 352.1 Về căn Jacobson của nửa vành
Trong tiết này, trước tiên chúng tôi trình bày lại khái niệm căn Jacobson(J-căn) của nửa vành và một vài tính chất liên quan Sau đó, chúng tôi sử dụngcông cụ J-căn của nửa vành để mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy
và thiết lập một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong
lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước
Năm 1951, Bourne [9] sử dụng lớp các iđêan nửa chính quy một phía để địnhnghĩa căn Jacobson của các nửa vành
Định nghĩa 2.1.1 ([9, Definition 3]) ChoR là một nửa vành vàI là một iđêanphải củaR IđêanI được gọi là nửa chính quy phải củaRnếu với mỗi cặpi1, i2 ∈ I
thì tồn tại j1, j2∈ I sao cho:
i1+ j1+ i1j1+ i2j2 = i2+ j2+ i1j2+ i2j1.
Trang 36Iđêan nửa chính quy trái của nửa vành được định nghĩa tương tự Một iđêancủa nửa vành được gọi là iđêan nửa chính quy nếu nó vừa là iđêan nửa chínhquy trái vừa là nửa chính quy phải.
Nhận xét 2.1.2 (1) Mọi nửa vành luôn có ít nhất một iđêan nửa chính quymột phía, chẳng hạn iđêan không
(2) Chúng tôi nhắc lại rằng, một phần tửz của một vànhR bất kì được gọi làtựa chính quy phải [25, p 302] nếu tồn tại phần tửz0 ∈ R sao choz + z0+ zz0= 0.Một iđêan phải I của vành R bất kì được gọi là tựa chính quy phải nếu tất cảcác phần tử của I là tựa chính quy phải
Nếu R là một vành thì khái niệm iđêan phải nửa chính quy phải trùng vớikhái niệm iđêan phải tựa chính quy phải Thật vậy, giả sử I là một iđêan phảinửa chính quy phải của vành R và với mọi i ∈ I Xét cặp phần tử i1 = i, i2 = 0,
vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại các phần tử j1, j2 ∈ I sao cho
Trang 37(3) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thìR là iđêan phải nửa chính quyphải của chính nó Thật vậy, với mỗi cặp phần tử i1, i2 ∈ R, vì R cộng lũy đẳngnên ta có
Do đó, R là iđêan phải nửa chính quy phải
(4) Nửa vành N các số tự nhiên có duy nhất iđêan phải nửa chính quy phải
là 0 Thật vậy, gọi I là iđêan phải nửa chính quy phải bất kì của nửa vành N vàvới mọi x ∈ I Xét cặp i1 = x, i2 = 0 ∈ I, vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại
j1, j2 ∈ I sao cho i1+ j1+ i1j1+ i2j2 = i2+ j2+ i1j2+ i2j1 Do đó,
x+j1+xj1 = j2+xj2 (*)Nếu j1 > j2 thì x + j1 + xj1 > j1+ xj1 > j2+ xj2, mâu thuẫn với (*) Nếu
j 1 < j 2 thì j 1 + 1 ≤ j 2 Khi đó, j 2 + xj 2 ≥ j 2 + x(j 1 + 1) ≥ j 1 + 1 + xj 1 + x >
x + j1+ xj1, mâu thuẫn với (*) Từ hai điều này suy ra j1= j2, thay vào (*) tađược x + j1+ xj1 = j1+ xj1, vì N cộng giản ước nên x = 0 Do đó, I = 0 hay Nchỉ có duy nhất iđêan không là nửa chính quy phải Định lý 2.1.3 ([9, Theorems 3]) Cho R là một nửa vành Khi đó, tổng tất cảcác iđêan phải nửa chính quy phải của R là một iđêan nửa chính quy phải
Theo Nhận xét 2.1.2(1) và Định lý 2.1.3, chúng ta thấy rằng trong nửa vànhbất kì luôn tồn tại iđêan nửa chính quy phải lớn nhất Từ đó, Bourne [9] địnhnghĩa căn Jacobson của nửa vành như sau:
Định nghĩa 2.1.4 ([9, Definition 4 và Theorem 4]) Cho R là một nửa vành.(1) Tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải củaR, kí hiệuJ (R), đượcgọi là căn Jacobson hay J-căn của nửa vành R
(2) Nửa vành R được gọi là J-nửa đơn nếu J (R) = 0
Trang 38Ví dụ 2.1.5 (1) Nếu R là một vành thì J-căn J (R) trùng với căn Jacobsontrong lý thuyết vành Thật vậy, theo [25, Definition 2], căn Jacobson của vành
R là tổng tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải của R Do đó, theo Nhận xét2.1.2(2), J-căn J (R) trùng với căn Jacobson của vành R
(2) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì J (R) = R Thật vậy, theoNhận xét 2.1.2(3), R là iđêan nửa chính quy phải của nó Do đó, theo Địnhnghĩa 2.1.4, ta có J (R) = R
(3) Ta luôn có J (N) = 0 Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(4), N có duy nhấtiđêan không là nửa chính quy phải Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta cóJ (N) = 0.(4) Cho R là một nửa vành và M n (R) (n ≥ 1) là nửa vành ma trận trên R.Khi đó, J (Mn(R)) = Mn(J (R)) [26, Theorem 5.8(iii)]
Iizuka [21] sử dụng lớp các nửa môđun trái bất khả quy để đặc trưng J-căncủa các nửa vành
Định nghĩa 2.1.6 ([21, Definition 5]) Cho R là một nửa vành Một R-nửamôđun trái giản ước M 6= 0 gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu với mọi cặp phần
tử cố định bất kỳ u1, u2 ∈ M với u1 6= u2 và bất kỳ x ∈ M luôn tồn tại a1, a2∈ R
sao cho
x + a 1 u 1 + a 2 u 2 = a 1 u 2 + a 2 u 1
Từ Định nghĩa 2.1.6 dễ dàng suy ra rằng: Nếu M là R-nửa môđun trái bấtkhả quy thì RM 6= 0
Nhận xét 2.1.7 (1) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì không tồn tại
R-nửa môđun trái bất khả quy Thật vậy, giả sử M là một nửa môđun trái bấtkhả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R Khi đó, M 6= 0 và với mọi 0 6= m ∈ M,lấy u1 = m, u2 = 0 ∈ M và x = m ∈ M, vì M là R-nửa môđun trái bất khả quynên tồn tại a1, a2 ∈ R sao cho x + a1u1+ a2u2 = a2u1+ a1u2 Do đó,
Trang 39Vì M giản ước nên m = 0 (mâu thuẫn) Do đó, không tồn tại nửa môđun tráibất khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R.
(2) ChoRlà một nửa vành Theo [21, p 419, Section 4(c)], mộtR-nửa môđuntráiM là bất khả quy nếu và chỉ nếu M giản ước vàD(M ) là một D(R)-môđuntrái đơn (trong đó, D(M ) là R-nửa môđun trái sai phân của R-nửa môđun trái
M và D(R) là vành sai phân của nửa vành R đã được nhắc lại trong Mục 1.3)
Do đó, nếu R là một vành thì khái niệm R-nửa môđun trái bất khả quy trùngvới khái niệm R-môđun trái đơn Định lý 2.1.8 ([21, Theorem 8]) Giả sử R là một nửa vành Khi đó,
J (R) = ∩{(0 : M )R | M ∈ J },trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành R Chú
ý rằng: Nếu J = ∅ thì ta quy ước ∩{(0 : M )R | M ∈ J } bằng R
Chúng tôi nhắc lại khái niệm nửa vành nguyên thủy, nó được định nghĩahoàn toàn tương tự như vành nguyên thủy trong lý thuyết vành Ngoài ra, chúngtôi cũng nhắc lại khái niệm vành con trù mật của vành tự đồng cấu của khônggian véctơ trái trên một vành chia
Định nghĩa 2.1.9 (1) ([21, Definition 9]) Một nửa vànhR được gọi là nguyênthủy nếu tồn tại một R-nửa môđun trái M bất khả quy và trung thành
(2) ([36, Chapter 4]) Một vành con R của vành tự đồng cấu End(DV ) củakhông gian véctơ trái DV trên một vành chia D được gọi là trù mật nếu vớibất kì các phần tử độc lập tuyến tính v1, v2, , vn ∈ V và bất kì các phần tử
v10, v20, , v0n ∈ V luôn tồn tại f ∈ R sao cho f (vi) = v0i với mọi i = 1, 2, , n
Hai kết quả sau đây của Katsov-Nam [26] mô tả đầy đủ cấu trúc các nửavành J-nửa đơn Trong đó, Định lý 2.1.10 là một mở rộng kết quả của LaTorre[38, Theorem 3.3]
Định lý 2.1.10 ([26, Corollary 3.8]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉnếu R nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành nguyên thủy.Định lý 2.1.11 ([26, Corollary 4.6]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉnếu R nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành cộng giản ước
S mà vành sai phân D(S) đẳng cấu với vành con trù mật của vành tự đồng cấu
End(DV ) của không gian véctơ trái DV trên vành chia D
Trang 40Sử dụng Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủcấu trúc các nửa vành cộngπ-chính quy J-nửa đơn Kết quả này là một mở rộngkết quả của LaTorre [38, Theorem 3.4] Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệmnửa vành cộng π-chính quy.
Định nghĩa 2.1.12 ([14] hoặc [19, p 1496]) Một nửa vành có đơn vị R đượcgọi là cộng π-chính quy nếu với bất kì phần tử x ∈ R, luôn tồn tại một số tựnhiên n và phần tử y ∈ R sao cho
nx + y + nx = nx.
Nhận xét 2.1.13 (1) Mọi vành có đơn vị đều là nửa vành cộng π-chính quy.(2) Mọi nửa vành cộng chính quy đều là cộng π-chính quy Đặc biệt, mọinửa vành cộng lũy đẳng đều là cộng π-chính quy
(3) Mọi nửa vành có đơn vị hữu hạn là cộng π-chính quy Thật vậy, cho R
là một nửa vành có đơn vị hữu hạn Đặt
(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;
(2) R là một vành J-nửa đơn;
(3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy
Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R là một nửa vành J-nửa đơn Theo Định lý2.1.11, R nửa đẳng cấu với Qsub
i∈I R i của các nửa vành cộng giản ước R i (i ∈ I)
Vì mỗi Ri (i ∈ I) là nửa vành cộng giản ước nên Qsub
i∈I Ri cũng là nửa vành cộnggiản ước Mặt khác, vì R là một nửa vành cộng π-chính quy và R nửa đẳng