Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————— LÊ NGỌC HẢI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN LUẬN VĂ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

LÊ NGỌC HẢI

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

LÊ NGỌC HẢI

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giámhiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy

cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngànhToán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Lê Ngọc Hải

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Một số không gian hàm 6

1.2.1 Không gian Lp(Ω) 6

1.2.2 Không gian L∞(Ω) 7

1.2.3 Không gian Sobolev 7

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 12

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón 16

2.1 Đặt bài toán 16

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 17

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 19

2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 22

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón 27

3.1 Đặt bài toán 27

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 28

3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 28

3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 31

Kết luận 35Tài liệu tam khảo 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữathế kỉ thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, La-grange và Laplace như một công cụ để mô tả các mô hình của vật lýhọc, cơ học Đến thế kỉ thứ 19 công trình toán học, đặc biệt là côngtrình của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụmạnh trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toánthực tiễn

Chính vì thế, phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọngcủa toán học Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơbản Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trìnhnghiên cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạohàm riêng Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàmriêng với các ngành toán học khác nhau như: giải tích hàm, lý thuyếthàm, tô pô, đại số, giải tích phức Phương trình đạo hàm riêng tuyến tínhhiện đại gồm có: Phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic,phương trình loại hypebolic Không gian nghiệm đối với 3 loại phươngtrình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêngtuyến tính Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiếtvới nhau Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câuhỏi nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất

không? phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?

Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng,những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bảnthân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nên nhờ sự giúp đỡ củaGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bàitoán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phươngtrình Schrodinger trong miền nón”

Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về các kí hiệu, một số khônggian hàm, và một số bất đẳng thức cơ bản Điều này giúp cho bạn đọcthuận tiện và dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu luận văn

Chương 2: Nêu định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tínhduy nhất, và đánh giá nghiệm của bài toán có điều kiện ban đầu trongtrụ có đáy không trơn

Chương 3: Xét bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đốivới phương tình Schrodinger trong miền nón Nội dung chính là đưa ranghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, đánh giá nghiệmcủa bài toán

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được củabài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhSchrodinger trong miền nón Kết quả nhận được là các định lý tồn tại vàduy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong

miền nón.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu củaluận văn là:

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gianSobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan Từ đó áp dụngvào nghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gianSobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được củabài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhSchrodinger trong miền nón

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp xấp xỉ Galerkin

6 Đóng góp mới của đề tài

Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các kí hiệu

Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn.Cho hai điểm x, y ∈ Rn, x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) Tích vôhướng được xác định bởi công thức:

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biêncủa nó Ω = Ω ∪ ∂Ω

Kí hiệu Ωba = Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, a < t < b, 0 ≤ a < b < ∞}

là trụ trong Rn+1 và mặt xung quanh của nó là: Sab = ∂Ω × (a, b) ={(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}

và Ω∞h = Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}; Sh∞ = ∂Ω × (h, ∞) ={(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)}

Giả sử rằng ∂Ω là mặt khả vi vô hạn khắp nơi trừ gốc toạ độ, còntrong lân cận nào đó của gốc toạ độ Ω trùng với nón K = {x : x/ |x| ∈ G},

ở đây G là miền trơn trên mặt cầu đơn vị Sn−1

là các số nguyên không âm, |p| = p1 + + pn.

Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm

đó khác không và kí hiệu là supp Kí hiệu Ck(Ω) là tập hợp tất cả cáchàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞;

Co∞(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compacttrong Ω

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.kX Kí hiệu L∞(0, T ; X)

là không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong khônggian X, xác định trên (0, T ) sao cho

Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho

0 ≤ p ≤ +∞ Khi đó Lp(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:

với tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi

đó L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theoLebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn:

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩathông thường.

Ví dụ

Xét hàm u (x) = |x| , x ∈ (−1, 1) Dễ thấy tại x = 0, hàm số khôngtồn tại đạo hàm thông thường Tuy nhiên ta có thể chỉ ra hàm số có đạohàm suy rộng cấp 1 tại x = 0

ψ (x) dx

+ x.ψ (x) |10

Từ đó ta nhận được u (x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω cũngchính là hàm v (x) Đạo hàm suy rộng trong miền Ω0 được gọi là thu hẹpcủa đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω0.

Có thể kiểm tra được rằng: Dα+βv = Dα Dβv
,

aDαv1 + bDαv2 = Dα(av1 + bv2), ở đó a,b là các hằng số tuỳ ý

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộngkhông phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộngbảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường.Tuy nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộngcấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α

• Không gian Hm(Ω)

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn

Ta định nghĩa không gian Hm(Ω) là không gian Hilbert bao gồm cáchàm thuộc L2(Ω) với chuẩn:

• Không gian H1(Ω)

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn

Ta định nghĩa không gian H1(Ω) là không gian Hilbert bao gồm cáchàm thuộc L2(Ω) với chuẩn:

• Không gian Hm

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn

Ta định nghĩa không gian Hom(Ω) là bao đóng của Co∞(Ω) trong chuẩncủa Hm(Ω)

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau

kukHk,l (Ω b

a ) =



Z

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau

Không gian H1,1 Ωba
là một không gian Hilbert với tích vô hướng đượcsinh bởi chuẩn.

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau

Rn, n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian

Rn, n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian

Định nghĩa 1.2.12 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian

Rn, n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian

là không gian hàm véctơ chuẩn

kukHk,l (−γ,Ω b

a ) =



Z

Ta có:

a.b =

h(2)12a

i b(2)12

Áp dụng Cauchy

h(2)12a

i b(2)12

|uv| ≤ kuk kvk Chứng minh

Giả sử u và Φ là các hàm khả tích không âm trên [to, T ),

u (t) ≤ Φ (t) + L

Z t

t 0

eL(t−s)Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0, T ) Hơn nữa, nếu Φ (t) có đạo hàm Φ0(t) khả tích trên [t0, T ) thì

u (t) ≤ Φ (t0) + L

Z t

t 0

eL(t−s)Φ0(s) ds, ∀t ∈ [t0, T ) Chứng minh

Đặt y(t) = Rtt

0u(t)dt, ta có

y0 = u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t), ∀t ∈ [t0, T ) ,hay

y0 − Ly(t) ≤ Φ(t), ∀t ∈ [t0, T ) Bây giờ đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được

Nếu Φ(s) có đạo hàm Φ0(s) khả tích trên [t0, T ) thì bằng cách tính tíchphân từng phần, ta có

Nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t0, T ) thì từ bất đẳng thức trên ta suy rabất đẳng thức Gronwall - Belman thông thường, tức là

u (t) ≤ CeL(t−t0 )

, ∀t ∈ [t0, T ) Nếu Φ ≡ 0 trên [t0, T ) thì ta có

u(t) ≤ L

Z t

t0

u(s)ds ⇒ u(t) ≡ 0, ∀t ∈ [t0, T ) Bất đẳng thức được chứng minh đầy đủ

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình

Schrodinger trong miền nón

Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệmsuy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phươngtrình Schrodinger trong miền nón, ta nhận được kết quả về tính giải đượccủa bài toán trong các không gian Sobolev

ở đây aij ≡ aij(x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ω∞h ,

t và u, sao cho

− B (u, u) (t) ≥ µ0ku (·, t)k2H1 (Ω), (2.1)với ∀u ∈

o

H1,0(Ω∞h ) và t ∈ [h, ∞)

Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ Ω∞h

iL (x, t, ∂) u − ut = f (x, t) trong Ω∞h (2.2)với điều kiện ban đầu

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Định nghĩa: Cho f ∈ L2(−γ, Ω∞h ) Khi đó hàm u (x, t) được gọi lànghiệm suy rộng của bài toán (2.2)−(2.4) trong không gian

o

H1,0(−γ, Ω∞h )nếu u (x, t) ∈

o

H1,0(−γ, Ω∞h ), u(x, h) = 0; với mỗi T > 0 đẳng thức tíchphân

iZ

o

H1,1(−γ, Ω∞h ) , η (x, t) = 0 với t ≥ T

Ta xét bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.1) thoả mãn Khi đó tồn tại 2 hằng số

µ0 > 0, λ0 ≥ 0 sao cho với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈

o

H1,0(−γ, Ω∞h )

ta có bất đẳng thức sau:

− B (u, u) (t) ≥ µ0kuk2H1 (Ω) − λ0kuk2L

2 (Ω) (2.6)Chứng minh

Từ điều kiện (2.1) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:

kuk2W1 (Ω) ≤ −C1B (u, u) (t) + (C1 + 1) kuk2H0 (Ω)

Ta thấy tồn tại C2 = C2(ε) sao cho

kuk2H0 (Ω) ≤ ε kuk2H1 (Ω) + C2kuk2L

2 (Ω)

Thay vào trên ta nhận được

−B (u, u) (t) ≥ 1 − (C1 + 1) ε

C1 kuk2H1 (Ω) − (C1 + 1) C2

C1 kuk2L

2 (Ω).Chọn 0 < ε < min

o

b

H1,1(−γ, Ω∞h ) =

η(x, t) ∈

o

H1,1(−γ, Ω∞h ) |η(x, h) = 0

,Khi đó tập hợp M trù mật trong

o

b

H1,1(−γ, Ω∞h )

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Định lý 2.3.1 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, D) thoả mãn điềukiện (2.1) và thoả mãn điều kiện sau:

aijηxjtηxidxdt + i

Z

Ω h b

∂aij

∂t ηxjηxidxdt.Do

vi(x, t) =

Z h t

uxi (x, τ ) dτ, h < t < b

Ta có

ηxi (x, t) =

Z t b

uxi(x, τ ) dτ = vi(x, b) − vi(x, t) Thay chúng vào (2.8) ta được

vi2 dxdt.Đặt

J (t) dt

Do đó

J (b) ≤ 2C

Z b h

J (t) dt, ∀b ∈



h, 12C

,

ở đó c = const > 0 chỉ phụ thuộc vào µ, µ0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall - Bellman ta nhận được J (t) ≡ 0 trên

h, 2

2C

Từ đó ta có

Z h t

u (x, τ ) dτ = 0, ∀t ∈



h, 12C



Từ đây suy ra u (x, t) = 0 với hầu khắp t ∈ h, 1

2C, tức là u1 ≡ u2 vớihầu khắp t ∈ h, 1

2C Lí luận tương tự ta chứng minh được u1 ≡ u2 vớihầu khắp t ∈ 2C1 ,C1 Tiếp tục như vậy sau một số hữu hạn bước ta

nhận được u1 ≡ u2 với hầu khắp t ∈ [h, ∞).

o

= µ < ∞(ii) ft, f ∈ L2(−γ, Ω∞h )

Ta chứng minh sự tồn tại bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin

Giả sử {ϕ}∞k=1 là cơ sở trong H1(Ω) trực giao trong L2(Ω) Với bất kì

N ∈ N, ta xét hàm uN (x, t) = PN

k=1CkN (t) ϕk(x) tại CkN (t)
Nk=1 lànghiệm của hệ vi phân thường

!.(2.11)

Sử dụng (2.1) và bất đẳng thức Cauchy ta nhận được (2.11), mà

uN (·, T ) 2H1 (Ω) ≤ (n + 1) µ + ε

µ0 − ε

Z T h

kf (·, t)k2L

2 (Ω)dt

 (2.12)

kfs(·, s)k2L

2 (Ω)ds

dt

kft(·, t)k2L

2 (Ω)dt

.Nhân cả 2 vế của bất phương trình với e−2γT và kết hợp đối với T từ hđến ∞ , ta được

e−2γT

Z T h

kft(·, t)k2L

2 (Ω)dtdT+2α

Z ∞ h

e−2γT

Z T h

e2α(T −t)kf (·, t)k2L

2 (Ω)dtdT+ 2α

Z ∞ h

e2γT

Z T h

e2α(T −t)

Z T h

 (µ0 − ε)

Z ∞ h

kft(·, t)k2L

2 (Ω)

Z ∞ t

2α = (n + 1) µ + ε

µ0 − ε < 2γ,Tiếp theo, số hạng III được ước tính bằng cách

III = 2α

Z ∞ h

e−2αtkf (·, t)k2L

2 (Ω)

Z ∞ t

e2(α−γ)TdT dt

= α

γ − α kf k2L

2 (−γ),Ω ∞

h Cuối cùng, số hạng IV có phương trình

IV = 2α

Z ∞ h

kfs(·, ·s)k2L

2 (Ω)

Z ∞ s

e−2αt

Z 2 t

e2(α−γ)tdT dtds

2γ (γ − α)kftk2L

2 (−γ,Ω∞h ).Kết hợp các ước lượng trên ta được (2.13), mà

trong đó C không đổi và độc lập với N

Vì dãy uN bị chặn trong không gian Hilbert

o

H1,0(−γ, Ω∞h ) nên cóthể trích ra một dãy con hội tụ yếu trong

o

H1,1(−γ, Ω∞h ) |η(x, h) = 0

,

từ bổ đề (2.2.2) nên ta chỉ cần chứng minh u(x, t) thỏa mãn (2.5) với

Nhân cả hai vế của (2.7) với dl(t), lấy tổng theo l từ 1 đến k rồi tíchphân theo t từ h tới T, ta được

aijuNxjηxidxdt −

Z

Ω T h

uNt ηdxdt =

Z

Ω T h

f ηdxdt

Do

Z

Ω T h

uNηtdxdt

= −Z

Ω T h

uNηtdxdt,nên ta có

aijuxjηxidxdt +

Z

Ω T h

uηtdxdt =

Z

Ω T h

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón

Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệmsuy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối vớiphương trình Schrodinger trong miền nón, ta nhận được kết quả về tínhgiải được của bài toán trong các không gian Sobolev

ở đây aij ≡ aij(x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên ΩR,

và u, sao cho

B (u, u) (t) ≥ µ0ku (·, t)k2H1 (Ω), (3.1)với ∀u ∈

o

H1(ΩR) và t ∈ R

Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ ΩR

iL (x, t, ∂) u − ut = f (x, t) trong ΩR, (3.2)với điều kiện biên

Bài toán (3.2) − (3.3) được gọi là bài toán biên không có điều kiện banđầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Định nghĩa: Cho f ∈ L2(−γ, ΩR) Khi đó hàm u (x, t) được gọi lànghiệm suy rộng của bài toán (3.2)−(3.3) trong không gian

o

H1,0(−γ, ΩR)nếu u (x, t) ∈

∂a ij

∂t

< µ1e2γt, ∀t ∈ R với mọi i, j ≤ n bàitoán (3.2) − (3.3) không có nhiều hơn 1 nghiệm suy rộng

Chứng minh

Giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là hai nghiệm suy rộng của bài toán (3.2) −

2

e2γt − |ηxi|2e2γt

dxdt

≤ µ1(n + 1) kηk2H1,1(γ,Ω b

−∞)

ηxi (x, t) =

Z t b

uxi(x, τ ) dτ = vi(x, b) − vi(x, t) Thay chúng vào (3.7), chú ý rằng limτ →−∞vi(x, t) = 0

,tại C dương, liên tục và chỉ phụ thuộc vào µ và µ0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall - Bellman, ta được

J (t) ≡ 0 trên



−∞, 12γln

12C



Vì vậy u (x, t) = 0 hầu khắp nơi t ∈



−∞,2γ1 ln2C1

i Kéo theo u1(x, t) =

u2(x, t) hầu khắp nơi với t ∈ R

Định lý đã đuợc chứng minh

3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng

Nghiệm suy rộng của bài toán (3.2)−(3.3) có thể được đánh giá xấp xỉbởi các nghiệm suy rộng của bài toán có điều kiện ban đầu (2.2) − (2.4).Giả sử tồn tại hàm χ (t) bằng 1 trên (1, ∞], bằng 0 trên (−∞, 0] và đạtgiá trị trong [0, 1] trên [0, 1] Hơn nữa ta giả sử rằng tất cả các đạo hàm