Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NINH BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN TRƠN... Lý do chọn đề tài Tính giải được của bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NINH

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG

MIỀN VỚI BIÊN TRƠN

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyênngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, độngviên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập vàhoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng đượccông bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Mục lục

1.1 Không gian Holder 5

1.1.1 Không gian C`(Ω) 5

1.1.2 Không gian C`,γ(Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 6

1.2 Các định lí điểm bất động Leray-Schauder 7

1.2.1 Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder 7 1.2.2 Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder 8

1.3 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 9

1.4 Ứng dụng của Định lí Leray-Schauder 11

1.4.1 Ứng dụng của trường hợp đặc biệt 11

1.4.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình 13

1.5 Các bước kiểm tra điều kiện (1.15) và (1.16) 14

1

2 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai

2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai 162.2 Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền 172.3 Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một bên

trong miền 192.4 Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một ở

trên biên 25

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic átuyến tính cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối vớiđạo hàm cấp một của nghiệm ở trong lân cận biên của miền Giả thiết

về tính trơn của biên miền được xét sẽ đưa tới khả năng thực hiện đượcđánh giá nói trên

Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của PGS TS Hà TiếnNgoạn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Bài toán Dirichlet chophương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biêntrơn”

Bố cục của luận văn gồm 2 chương :

Chương 1 của luận văn trình bày định nghĩa không gian Holder, cácđịnh lí về điểm bất động Leray-Schauder và áp dụng vào bài toán Dirich-let cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai đưa tới việc đánh giátiên nghiệm

Chương 2 của luận văn tập trung trình bày bước 1 và bước 4 trongbốn bước đánh giá tiên nghiệm dẫn tới tính giải được của phương trìnhelliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

Tài liệu tham khảo chính của Luận văn là các chương 11 và 13 củatài liệu [4]

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phươngtrình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phươngtrình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp haitrong miền với biên trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để được nghiên cứu tổng quan về bài toán Dirichlet cho phương trìnhelliptic á tuyến tính cấp hai trong miền biên trơn

6 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này

kukC(Ω) = kuk0;Ω = sup

và không gian C`(Ω) được trang bị chuẩn

Các không gian C`(Ω) là các không gian Banach

1.1.2 Không gian C`,γ(Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1

Trước tiên ta định nghĩa không gian C0;γ(Ω) như sau

và được trang bị chuẩn cho C0; γ(Ω) như sau

Từ đó ta có định nghĩa của không gian C`,γ(Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 bởiđiều kiện

Các không gian C`,γ(Ω) là các không gian Banach Ta có C`,0(Ω) =

C`(Ω) và C0,`(Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitztrong Ω

1.2 Các định lí điểm bất động Leray-Schauder

1.2.1 Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder

Định lý 1.1 ([4]) Giả sử T là ánh xạ compact từ không gian Banach

X lên chính nó, và giả thiết tồn tại hằng số M sao cho

do đó x = T∗x = T x

Chú ý: Từ chứng minh Định lí 1.1 ta suy ra nếu T là ánh xạ compactbất kì của không gian Banach X vào chính nó thì với σ ∈ (0, 1] nào đó,ánh xạ σT có một điểm bất động Hơn nữa, nếu đánh giá (??) là đúngthì σT có một điểm bất động với mọi σ ∈ (0, 1]

1.2.2 Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder

Bổ đề 1.1 ([4]) Giả sử B = B1(0) là hình cầu đơn vị trong X và giả

sử T là ánh xạ liên tục của B vào X sao cho T B là tiền compact và

ta định nghĩa ánh xạ T∗ từ B vào X bởi

nếu − ε ≤ kxk ≤ 1,

T 1−ε1 , 1
nếu kxk < 1 − ε

Ánh xạ T∗ là liên tục, T∗B là tiền compact bởi tính compact của T và

T∗∂B = 0 Khi đó theo Bổ đề 1.1, ánh xạ T∗ có một điểm bất độngx(ε) Ta đặt

σ < 1, ta phải có kxkk ≥ 1 − 1/k với k đủ lớn và khi đó kxk = 1,

x = T (x, σ), mâu thuẫn với Bổ đề 1.1 Nếu σ = 1, ta có T liên tục khi

T1/k∗ xk → T (x, 1) và khi đó x vẫn là điểm bất động của T1

1.3 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á

tuyến tính cấp hai

Phương trình á tuyến tính cấp hai có dạng

Qu = 0,trong đó

Qu = aij(x, u, Du)Diju + b(x, u, Du), aij = aji, (1.7)với x = (x1, , xn) chứa trong miền Ω của Rn, n ≥ 2 và hàm u thuộc

C2(Ω) Hệ số của Q, cụ thể là hàm aij(x, z, p), i, j = 1, , n, b(x, z, p)được xác định với mọi giá trị của (x, z, p) trong tập Ω × R × Rn Haitoán tử trong công thức (??) được gọi là tương đương nếu một toán tử

là bội của toán tử kia cho bởi một hàm cố định dương trong Ω × R × Rn

Chúng ta áp dụng các định nghĩa sau :

Giả sử U là tập con của Ω × R × Rn Khi đó Q là elliptic trong Unếu ma trận hệ số aij(x, z, p) là dương với mọi (x, z, p) ∈ U Ta kíhiệu λ(x, z, p), Λ(x, z, p) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và cực đại của

aij(x, z, p), nghĩa là

0 < λ(x, z, p)|ξ|2 ≤ aij(x, z, p)ξiξj ≤ Λ(x, z, p)|ξ|2 (1.8)với mọi ξ = (ξ1, , ξn) ∈ Rn\ {0} và mọi (x, z, p) ∈ U Hơn nữa, nếuΛ/λ là bị chặn trong U , ta sẽ gọi Q là elliptic đều trong U Nếu Q làelliptic (elliptic đều) trong cả tập Ω × R × Rn, khi đó ta nói đơn giảnrằng Q là elliptic (elliptic đều) trong Ω Nếu u ∈ C1(Ω) và ma trận

aij(x, u(x), Du(x)) là dương với mọi x ∈ Ω, ta nói Q là elliptic đối vớiu

Ta còn định nghĩa hàm vô hướng, bởi

E(x, z, p) = aij(x, z, p)pipj (1.9)Nếu Q là elliptic trong U , từ (??) ta có

0 < λ(x, z, p)|p|2 6 E(x, z, p) 6 Λ(x, z, p)|p|2 (1.10)với mọi (x, z, p) ∈ U

Toán tử Q có dạng bảo toàn nếu tồn tại một hàm vectơ phân biệtΛ(x, z, p) = (A1(x, z, p), , An(x, z, p)) và một hàm vô hướng B(x, z, p)sao cho

Qu = div A(x, u, Du) + B(x, u, Dv), u ∈ C2(Ω); (1.11)

Để áp dụng Định lí 1.1 vào bài toán Dirichlet cho phương trình átuyến tính, ta chọn β ∈ (0, 1) và lấy không gian Banach X vào khônggian Holder X = C1, β(Ω), với Ω là miền bị chặn trong Rn Lấy Q làtoán tử được cho bởi

Qu = aij(x, u, Du)Diju + b(x, u, Du) (1.12)

và giả sử Q là elliptic trong Ω, khi đó, ma trận hệ số aij(x, z, p) làkhông âm với mọi (x, z, p) ∈ Ω × R × Rn Ta thừa nhận với α ∈ (0, 1)nào đó thì các hệ số aij, b ∈ Cα(Ω × R × Rn), còn biên ∂Ω ∈ C2, α và ϕ làhàm cho trước trong C2, α(Ω) Với mọi v ∈ C1,β(Ω), toán tử T xác địnhbởi u = T v là nghiệm duy nhất trong C2,αβ(Ω) của bài toán Dirichlettuyến tính

aij(x, v, Dv)Diju + b(x, v, Dv) = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω (1.13)Tính giải được của bài toán (??) được đảm bảo bởi sự tồn tại và duynhất nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Tính giải đượccủa bài toán Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω trong không gian

C2, α(Ω) được thừa nhận tương đương với tính giải được của u = T u

trong không gian Banach Z = C1, β(Ω) Phương trình u = σT u trong Xtương đương với bài toán Dirichlet

Qσu = aij(x, u, Du)Diju + σb(x, u, Du) = 0 (1.14)trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω

Áp dụng Định lí 1.1, ta có thể phát biểu định lí tồn tại sau đâyĐịnh lý 1.3 ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn và giả thiết Q làelliptic trong Ω với hệ số aij, b ∈ Cα(Ω × R × Rn), 0 < α < 1 Giả sử

∂Ω ∈ C2,α và ϕ ∈ C2,α(Ω) Khi đó, với β > 0 nào đó mà tồn tại mộthằng số M , không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm C2,α(Ω)của bài toán Dirichlet, Qσu = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1đều thỏa mãn bất đẳng thức sau

Từ đánh giá Schauder, ánh xạ T là bị chặn từ C1, β(Ω) lên tập bị chặn

C2,αβ(Ω) và là tiền compact trong C2(Ω) và C1, β(Ω)

Để chỉ ra tính liên tục của T , ta lấy vm, m = 1, 2 hội tụ đến vtrong C1, β(Ω) Từ đó dãy {T vm} là tiền compact trong C2(Ω), mỗi dãycon là một dãy con hội tụ Giả sử {T vm} là dãy con hội tụ trong C2(Ω)

Định lí 1.1 là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2 khi mà T (x, σ) =

σ T1x Lấy Q là toán tử trong công thức (??) và giả sử Q, Ω và ϕ thỏamãn giả thuyết của Định lí 1.3 Để áp dụng Định lí 1.2 vào bài toánDirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, ta gắn bài toán vào họ sau,

Qσu = aij(x, u, Du; σ)Diju + b(x, u, Du; σ) = 0 trong Ω,

Với mọi v ∈ C1, β(Ω), σ ∈ [0, 1] toán tử T xác định bởi u = T (v, σ)

là nghiệm duy nhất trong C2, αβ(Ω) của bài toán Dirichlet tuyến tính,

aij(x, v, Dv; σ)Diju + b(x, v, Dv; σ) = 0

trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω

Từ điều kiện (1) bên trên ta thấy tính giải được của bài toán Dirichlet,

Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω , trong không gian C2,α(Ω) sẽ tươngđương với việc giải phương trình u = T (u, 1) trong không gian Banach

C1, β(Ω) và T (u, 0) = 0 với mọi v ∈ C1, β(Ω) Tính liên tục và compactcủa ánh xạ T được đảm bảo bởi điều kiện (2) và (3), là tương đươngvới việc chứng minh Định lí 1.1 Khi đó ta có thể kết luận Định lí 1.2 làtổng quát của Định lí 1.1

Định lý 1.4 ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω ∈ C2, α

và giả sử ϕ ∈ C2,α(Ω) Giả sử {Qσ, 0 ≤ σ ≤ 1} là họ toán tử thỏa mãncác điều kiện (1), (2), (3) bên trên và giả sử với β > 0 nào đó tồn tạimột hằng số M không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm

C2,α(Ω) của bài toán Dirichlet Qσu = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω đềuthỏa mãn bất đẳng thức sau

Khi đó bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω là giải đượctrong C2,α(Ω)

1.5 Các bước kiểm tra điều kiện (??) và (??)

Để chứng minh tính giải được của bài toán Dirichlet Qu = 0 trong

Ω, u = ϕ trên ∂Ω ta cần chứng minh đánh giá tiên nghiệm (??) trong

C1,β(Ω) với β > 0 nào đó Ta phải trải qua 4 bước

Bước 1 Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền;

Bước 2 Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một bên trong miền;Bước 3 Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một ở trên biên;

Bước 4 Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một

Nội dung chính của chương 2 là thực hiện bước 1 và bước 4 trong cácđánh giá trên

Bài toán Dirichlet cho phương trình

á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến

2.2 Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền

Định lý 2.1 ([4]) Giả sử u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) thỏa mãn Qu ≥ Qvtrong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và toán tử Q thỏa mãn các điều kiện sau đây

1 Toán tử Q là elliptic đều địa phương đối với u hoặc v;

2 Các hệ số aij không phụ thuộc vào z;

3 Hệ số b là không giảm theo z với mỗi (x, p) ∈ Ω × Rn

4 Các hệ số aij, b là khả vi liên tục đối với biến p trong Ω × R × Rn.Khi đó, u ≤ v trong Ω Hơn nữa, nếu Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω

và các điều kiện (1), (2) và (3) đúng (điều kiện (4) không nhất thiết),

ta có bất đẳng thức ngặt u < v trong Ω

Chứng minh Giả sử lấy Q là elliptic đối với u Khi đó, ta có

Qu − Qv = aij(x, Du)Dij(u − v) + (aij(x, Du) − aij(x, Dv))Dijv

+ b(x, u, Du) − b(x, u, Dv) + b(x, u, Dv) − b(x, v, Dv) ≥ 0được viết bởi

trên Ω+ = {x ∈ Ω|w(x) > 0} và w 6 0 trên ∂Ω Sự tồn tại của hàm biênđịa phương bi được đảm bảo bởi điều kiện (4) và định lí về giá trị trungbình Tuy nhiên, sử dụng điều kiện (1) và (4) ta có w 6 0 trong Ω Nếu

Qu > Qv trong Ω, hàm w không thể là cực đại không âm trong Ω Do

Chứng minh Giả sử nếu u ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) thỏa mãn Qu ≥ 0 trong Ω

và định nghĩa toán tử Q bởi

2.3 Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm

cấp một bên trong miền

Giả thiết rằng các hệ số aij và b của toán tử Q tương ứng thuộc

C1(Ω × R × Rn) và C0(Ω × R × Rn) Giả sử Qu = 0 trong Ω và ban đầugiả thiết là u ∈ C3(Ω) Bằng phép lấy vi phân đối với xk, k = 1, , n,

ta có

aij(x, u, Du)Dkiju + Dplaij(x, u, Du)DlkuDiju

+ δkaij(x, u, Du)Diju + Dkb(x, u, Du) = 0 (2.6)với δk là toán tử vi phân xác định bởi

Đặt

a−ij(x) = aij(x, u(x), Du(x)),

aijl(x) = (Dplaij − Dpjail) (x, u(x), Du(x)),

fri(x) = (2Diu(x) + γδir)b(x, u(x), Du(x)),

bij(x) = (2Dku(x) + γδkr)δkaij− 2δijb (x, u(x), Du(x)),

um tương ứng (??), ta thu được (??) Chú ý rằng bằng cách xấp xỉ tương

tự thì khẳng định trên vẫn đúng nếu ta giả thiết u ∈ C0,1(Ω) ∩ W2, 2(Ω).Tiếp tục chứng minh, ta cần khử số hạng mà chứa Diju từ (??) Do

Q là elliptic, ta có

a−ijDkiuDkju ≥ λ D2u

2

≥ 0với λ = λ(x, u(x), Du(x)) Sử dụng Bất đẳng thức Schwarz và (??) ta

fi(x) = e2χw(x)fri(x)e

o

với mọi ζ không âm, ζ ∈ C01(Ω) và hàm w thỏa mãn bất đẳng thức

Lw = Di(eaijDjw) ≥ − (eg + Difei) (2.14)theo nghĩa suy rộng Thay thế Ω nếu cần bởi một miền con chứa ngặt

ta có thể giả thiết rằng toán tử L là elliptic ngặt trong Ω và các hệ số

eaij, efi và eg là bị chặn

Giả sử γ > 0 đủ lớn và viết w±r = ± γDru + v Ta chỉ ra giá trị củaBất đẳng thức (??) với mọi γ ∈ R đủ lớn và r = 1, , n là đủ đểđánh giá Holder cho đạo hàm của các biến Dru, r = 1, , n Chọn

hệ số ζ đủ lớn, hàm wr± được hiểu tương tự như ±Dru Để thuận tiện

âm trong G của phương trình

Lu = − (eg + Difei)

Tiếp tục chọn λK và µK sao cho

0 < λK < λ(x, z, p),

µK ≥ aij(x, z, p) (2.17)+ Dxkaij(x, z, p) + |b(x, z, p)| ,

với mọi x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j, k = 1, , n và đặt p = 1, ta cóđánh giá

và ω0 = max

i=1, , N ωi(R0)

ta giả thiết rằng u = 0 trên ∂Ω Hơn nữa, nếu U là tập mở của Ω và

x → y = ψ(x) xác định một phép biến đổi tọa độ C2(U ), ta có x ∈ U

là tập mở trong Rn sao cho D+ = D ∩ Ω ⊂ Rn+ = {x ∈ Rn|xn > 0} và

2

) (1 + λ−2X aij

2

)và

2

)+X bij

2

(1 + λ−2X aij