Bài toán sylvester và bài toán fermat torricelli cho các hình cầu euclid

Lý do chọn đề tài Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, Định lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG

LONG

-HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT – TORRICELLI

CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

-HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT– TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ : 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới

PGS.TS ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trong

suốt học tập và làm luận văn này

Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội Em xin cảm ơn tới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạy cho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học

Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành khóa luận này

Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long,

chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tình

giúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua

Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luôn ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình học tập và thời gian làm luận văn

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI 1.1 Tập lồi và nón lồi 3

1.1.1.Tập lồi 3

1.1.2.Nón lồi 4

1.2 Hàm lồi 8

1.2.1.Hàm lồi 8

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 14

1.3 Dưới vi phân hàm lồi 17

1.4 Dưới vi phân hàm max 23

Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID 2.1 Khái niệm và định nghĩa 25

2.2 Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid 26

2.2.1 Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu 26

2.2.2 Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu 32

2.3 Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid 49

2.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu 49

2.3.2 Cấu trúc nghiệm 56

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi

và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Định

lý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đối tượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặc trưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàm lồi

Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng Cực trị địa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại của một hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này Bài toán Sylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các hình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai” Bài toán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ các hình cầu Euclid Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần nhất đến các hình cầu của họ thứ hai” Các bài toán đó được nghiên cứu

bằng công cụ giải tích lồi trong [3] Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO

2 Nội dung đề tài

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N M Nam, N Hoang và N T An đăng trên tạp chí J Optim Theory Appl 160 (2014) bằng phương pháp giải tích lồi

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: “Các kiến thức cơ bản vê hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi” Trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân của hàm max

Chương 2: “ Bài toán Sylester và bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid”

Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải của Nam – Hoang – An (2014) cho bài toán Sylester với các hình cầu Euclid và bài toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid Trường hợp quan trọng của bài toán Sylester với ba hình cầu và mối quan hệ với bài toán Apollonius cũng được trình bày trong chương này

5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi phân của hàm max Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [1], [2]

6

Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 , nếu:

n

∀x, y ∈K, ∀λ

> 0 ⇒ x + y ∈K, λ x ∈ K.

a) Giả sử K là nón lồi Khi đó, do K là tập lồi, ta có:

8

∑ λi x i ∈ K

i= 1

Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính

dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.

Định nghĩa 1.6

Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là

lin A = KA - KA .

trong đó convA là bao lồi của A.

Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

pháp tuyến của A tại x , ký hiệu là N ( x |A) Như vậy:

Nón pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈A là lồi đóng

Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính

Định lý 1.3

10

11

Hàm f được gọi là lồi trên D, nếu epif là tập lồi trong X

gọi là lõm trên D, nếu –f là hàm lồi trên D.

Nhận xét 1.5

Nếu f lồi ⇒ dom f lồi

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epif :

Ví dụ 1.8

∂x

12

lồi trên D khi và chỉ khi:

λ ∈(0, 1) Không thể xảy ra trường hợp f(x) < +∞ , f(y) <

+∞, mà f ( λ x +(1 - λ )y) = +∞, bởi vì dom f lồi, với x, y ∈ dom f thì [x, y]

λx + (1 - λ)y, λr + (1 - λ)s) ∈epif

⇒ f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ r + (1 - λ )s.

⇒ f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ f(x) + (1 - λ )f(y)

( lấy r = f(x), s = f(y) )

b) Ngược lại, giả sử (1.2) đúng Lấy (x, r) ∈epif , (y, s) ∈epif , λ ∈[0, 1] ta phải chứng minh:

λm f(xm).

Giả sử f : X →[ −∞ , +∞] Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi:

f( λ x + (1 - λ )y) < λ r + (1 - λ )s

là lồi khi và chỉ khi:

f ( x + y ) ≤ f (x) + f (

y )

(∀x, y ∈ X )

Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Do đó,

epif là một nón lồi Vậy f là hàm lồi.

Vì vậy, epif đóng kéo theo tất cả các tập Lα f đóng.

Ngược lại, giả sử tất cả các tập Lα f đóng Ta chứng minh epif đóng?

(x0 ,α0 )

trong

X × R

Nếu

(x,α)∈V thì x ∉ ℒβf Do α < β, x ∉ ℒαf Vì vậy, f(x) > α, nghĩa là(epif) V = ∅

Giả sử F là tập lồi trong

Khi đó f chính là hàm lồi trên X.

Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là convf và định tương ứng như sau:

1.3 DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Giả sử f là hàm lồi trên X; X* là không gian liên hợp của X

≥< x∗, x − x

>

}

b)

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x ∈ domf Khi đó:

∂f

( x) ={x∗},∀x ∈ X .

22

Như vậy, ∂δ(x | A) là nón pháp tuyến của A tại x :

≥< x∗, 0 − x >= − < x∗, x >

x = 2x − x ≥< x∗, 2x − x >=< x∗, x >

⇒ x =< x* , x >

(1.12)Với z ∈ X , λ >

Chú ý phép lấy bao đóng ở đây bỏ được

Vì g là hàm lồi, cho nên g chính quy tại

có dấu bằng và f chính quy tại x

h

(x) (định lí 2.3(ii) [2]) Khi đó (1.13)

hương 2 BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN

FERMAT – TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu mới của N M Nam, N Hoang,

N T An ( [3], 2014 ) về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli với các hình cầu Euclid bằng công cụ dưới vi phân hàm lồi Trường hợp riêng quan trọng của bài toán Sylvester với ba hình cầu cũng được trình bày trong chương này Các kết quả trình bày trong chương này được tham khảo trong [3] – [6]

2.1 KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

Giả sử I và J là hai tập chỉ số hữu hạn sao cho |I| + |J| > 1, trong đó |I| là

số phần tử của I Giả sử � là hình cầu đơn vị đóng, và Ωi := �(ai; ri) (ri ≥ 0) với

∈J, là hai tập họ các hình cầu đóng trong ℝ

được trang bị chuẩn || ||

Với một tập lồi đóng bị chặn Q, hàm khoảng cách xa nhất và hàm khoảng cách đến Q được cho bởi:

C

28

tương ứng là biên và phần trong của

Ω; conv Ω là kí hiệu bao lồi của

Ω; với a, b

∈ℝn và a ≠b,

[a, b] := {ta + (1 – t)b | t

∈[0 1]};

(a, b) := {ta + (1 – t)b | t ∈(0 1)};

L(a, b) := {ta + (1 – t)b | t ∈ℝ}

2.2 BÀI TOÁN SYLVESTER CHO HÌNH CẦU EUCLID

2.2.1 Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu.

Trong chương này chúng ta nghiên cứu bài toán Sylvester suy rộng và

ối quan hệ của nó với bài toán Apollonius: Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid, hãy tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các hình cầu của họ thứ nhất

và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai Chúng ta cũng nghiên cứu bài toán Fermat – Torricelli suy rộng như sau: Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid, tìm một điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần nhất đến các hình cầu của họ thứ hai

Ta bắt đầu mục này với các công thức đơn giản để tính khoảng cách đến hình cầu Euclid trong ℝn cũng như dưới vi phân

30

Tập các chỉ số tích cực A(x) được cho bởi hợp rời nhau A(x) = K(x) ⊔ L(x) Rõ

Ta đã chỉ ra được (2.5) Chọn một hằng số l sao cho l > max{ sj | j ∈J} Từ (2.5)

ta suy ra x là một nghiệm tối ưu của (2.1) nếu và chỉ nếu nó là một nghiệm của bài toán tối ưu sau:

Với bất kỳ điểm x

∈ℝn, hình chiếu xa nhất và hình chiếu gần nhất từ x đến tập Q được cho, tương ứng, bởi:

�(x; Q) = { ��(�), � �ế � = �

�−�

{ − �

�và

Định lý 2.2

∅với r i > 0 với mọi i ∈ I Một phần tử

x là nghiệm tối

ưu của (2.1) nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây đúng:

x = ai và �( x ) = r = M( x ; Ωi ) = ri với mọi i ∈ℐ Vì thế tất cả các hình cầu Ωi

Chứng minh phần ngược lại suy ra từ qui tắc dưới vi phân Fermat bởi vì chúng ta

có thể kiểm tra rằng (2.7) thỏa mãn trong mỗi trường hợp

34

Giả sử rằng I

≠∅với r i > 0 với mọi i ∈ I Nếu

x là nghiệm tối ưu của (2.1), thì tồn tại các tập chỉ số I 1 ⊆ I và J 1 ⊆ J với 1 < |I 1 | + |J 1 | ≤ n + 1 sao cho

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu bài toán Sylvester suy rộng cho trường hợp

ba hình cầu Euclid trong không gian hai chiều Từ mệnh đề 2.2, ta thấy rằng đây

là trường hợp quan trọng nhất bởi vì nó có thể qui về bài toán bao hàm một số

lớn các hình cầu qui từ bài toán đó về bài toán ba hình cầu hoặc ít hơn Quan sát

này được sử dụng như một ý tưởng chính cho nhiều thuật giải để giải các bài

toán hình cầu cực tiểu cổ điển

Với hai hình cầu �(a; r) và �(b; s), ta nói rằng �(a; r) chứa ngặt �(b; s)

nếu � (b; s) ⊆ � (a; r) và chúng không có điểm biên chung; � (a; r) chứa tiếp

xúc � (b; s) nếu � (b; s) ⊆ � (a; r) và chúng có đúng một điểm biên chung Ta

cũng nói rằng hai hình cầu giao chặt nếu chúng cắt tại nhiều hơn một điểm, và

giao tiếp xúc nếu chúng cắt tại đúng một điểm

Bài toán ba hình cầu: Mô hình I Mô hình thứ nhất chúng ta nghiên cứu trong

phần này được phát biểu như sau: cho ba hình cầu tùy ý Ωi = �(ai ; ri) với i = 1,

2, 3 trong mặt phẳng Euclid, hãy dựng hình cầu nhỏ nhất chứa được tất cả các

hình cầu đã cho Trong trường hợp này, I = {1, 2, 3}, J = ∅, và (2.1) qui về bài

35

Chứng minh

Để ý rằng (2.8) có một nghiệm duy nhất theo định lý 2.1 Giả sử |K( x )| =

1, chẳng hạn K( x ) = {1} Bởi vì x là nghiệm duy nhất của (2.8), ta có:

Hơn nữa, r > M (a1 ; Ωi ) = ||a1 – ai|| + ri với i = 2, 3 Điều này kéo theo �( x ; r)

= � (a1 ; r1) và chứa ngặt hai hình cầu khác

Chứng minh phần ngược lại trực tiếp Thật vậy, giả sử rằng �( x ; r)

trùng với � (a1 ; r1) và chứa ngặt các hình cầu khác Khi đó x = a1, �( x )

Giả sử |K( x )| = 2, chẳng hạn, K( x ) = {1, 2} Xét các trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: x = a1 = a2 Trong trường hợp này,

x = a1 , ||a1 – a2|| = r1 – r2 và ||a1 – a3|| < r1 – r3 .Như vậy, �( x ; r) = � (a1 ; r1) , �( x ; r) chứa tiếp xúc � (a2 ; r2), và �( x ; r) chứa ngặt � (a3 ; r3) Trong trường hợp này, (ii) đúng

là tập một điểm Từ định lý 2.2 suy ra x = p1 + p2 Hơn nữa,

2

|| x - a3|| + r3 <|| p1 − p2 ||

2

rong trường hợp này, sử dụng biểu diễn của khoảng cách xa nhất, ta có x thuộcđoạn thẳng mở (a

và u3t3v3 lớn hơn 90 Như vậy, (iii) đúng

Từ Định lý 2.2, chiều ngược lại với điều kiện (i) hoặc (ii) được suy ra trựctiếp Giả sử (iii) đúng Khi đó:

và chỉ nếu các điều kiện sau đây đúng:

(i) �( x ; r) trùng với một trong các hình cầu Ωi

hai hình cầu còn lại (ii) �( x ; r) trùng với hai hình cầu trong số Ωi

với i ∈ I và chứa tiếp xúc với

với i ∈ I và chứa tiếp xúc với

T

o

38

M(a1 ; Ωi ) = r = ||a1 – ai|| + ri , với i = 2, 3.

Trong trường hợp này, Ω1 chứa tiếp xúc hai hình cầu còn lại Nếu đúng hai tập

trong số � ( x ; Ωi ) với i ∈ I không là các tập một điểm, thì (ii) đúng Nếu tất

cả � ( x ; Ωi ) với i ∈I không là các tập một điểm, thì (iii) đúng

Phần ngược lại được suy trực tiếp từ định lý 2.2

Ta có thể xây dựng hình cầu nhỏ nhất mà nó chứa ba hình cầu trong mặt phẳng như sau:

Bước 1: Nếu một trong ba hình cầu đã cho chứa hai hình cầu còn lại, chẳng hạn

39

2 Ω3 ⊆ Ω1 , thì x = a1 là nghiệm của bài toán và r = r1 là giá trị tối ưu Nếukhông, ta chuyển sang bước tiếp theo

là giá trị tối ưu Nếu không, ta chuyển sang bước tiếp theo

Bước 3: Hình cầu bao quanh nhỏ nhất trùng với hình cầu Apollonius mà chứa

tiếp xúc Ωi với i ∈I (xem [5])

Bài toán Ba hình cầu: Mô hình II Ta xét mô hình thứ hai của bài toán

Sylvester suy rộng có ba hình cầu: cho ba hình cầu trong ℝ2, đó là Ω= � (ai ; ri)

i

với i = 1, 2 và Θ

1 = � (b1 ; s1) Tìm hình cầu nhỏ nhất chứa

Trong trường hợp này, (2.9) có một nghiệm tối ưu duy nhất theo Định lý 2.1

Giả sử |K(u)| + |L(u)| = 1 Khi đó |K( x )| = 1 và |L( x )| = 0, hoặc |K( x )| = 0

và |L( x )| = 1 Ta xét trường hợp đầu tiên |K( x )| = 0 và |L( x )| = 1 Trong trườnghợp này, ta có �( x ) = D( x ; Θ1 ) > 0 và

Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu sau đây:

41

= 1 nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây là đúng:

Giả sử x là một nghiệm của bài toán và |K( x )| = |L( x )| = 1 Khi đó |K( x

)| = {1} hoặc |K( x )| = {2} và |L( x )| = {1} Xét trường hợp khi |K( x )| = {1} và

|L( x )| = {1} Khi đó:

r := �( x ) = M( x

;và

Ω1 ) = D( x ; Θ1 ) = ||a1 – b1|| - s1 Trong trường hợp

Xét trương hợp khi x ≠ a1 Theo Định lý 2.2, x = y1 +

z1

2

khi y1 = �( x ;

Ω1 ) và z1 = Π( x ; Θ1 ) Trong trương hợp này, y1 = u1 , z1 = v1, và x = w1 Bởi vì

; Ω ) = ||w – t ||, ta có u t v > 90o Chứng minh điều ngược