Một số lưu ý: 2.1 Phân biệt mệnh đề và một khẳng định: Nếu một khẳng định có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của một ẩn số nào đó.. Chúng ta nói đó là mệnh đề chứa biến và đó chưa th
Trang 1Mệnh đề
A - Tóm tắt lý thuyêt
1 Khái niệm: Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định và có thể đúng hoắc sai (Không được vừa đúng vừa sai)
2 Một số lưu ý:
2.1 Phân biệt mệnh đề và một khẳng định:
Nếu một khẳng định có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của một ẩn số nào đó Chúng ta nói đó
là mệnh đề chứa biến và đó chưa thực sự là một mệnh đề, mà giống với một ĐIỀU KIỆN (biếu thức – phương trình – bất phương trình) hơn
Ví dụ:
A = “tam giác ABC là tam giác cân” là một Mệnh Đề
B = “tam giác cân khi tam giác có hai cạnh bằng nhau” là một Mệnh Đề
C = “2x + 4 = 0” chưa là một Mệnh Đề đầy đủ
+ Nhưng ta quy ước gọi dạng này là Mệnh Đề Phụ Thuộc Biến hoặc ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ký hiệu là P(x) Và khi ta cho giá trị cụ thể của biến thì ta sẽ có 1 mệnh đề thực sự: Ví dụ: C’ = “ x = 2 thì 2x + 4 = 0” là một Mệnh Đề đầy đủ
+ Để phân biệt ta cần hiểu: nói “x = 3” là một khẳng định (nhưng chưa đủ là 1 mệnh đề) Còn nói “x = 3 là nghiệm phương trình 2x + 4 = 10” thì là một khẳng định và đủ thoả mãn là 1 Mệnh Đề
D = “2x + 5 = 11 x = 3” là một Mệnh Đề
2.2 Các ký hiệu hay được sử dụng trong mệnh đề
= nghĩa là bằng | nghĩa là thoả mãn δ đọc là delta (đen ta)
≡ nghĩa là trùng nhau Э nghĩa là tồn tại η đọc là đọc là nuy
> nghĩa là lớn hơn % nghĩa là phần trăm λ đọc là lam đa
< nghĩa là bé hơn α đọc là alpha (an pha) μ đọc là mi cờ rô
≥ nghĩa là lớn hơn hoặc bằng β đọc là beta (bê ta) φ đọc là phi
≤ nghĩa là bé hơn hoặc bằng γ đọc là gama (ga ma) ω đọc là ô mê ga
2.3 Cấu trúc của mệnh đề :
Mệnh đề thường có cấu trúc gồm 3 phần là : (điều kiện đủ => điều kiện cần)
+ vế trái là “vế điều kiện đủ”
+ vế phải là “vế điều kiện cần”
+ nối giữa 2 vế là 1 trong các ký hiệu “=” hay “=>” hay “” hoặc có thể là các từ “là”,
“thì”, “nên”, “suy ra”, “khi”, “khi và chỉ khi”, “tương đương với”
Ví dụ 1 : Mệnh đề: “tam giác cân khi tam giác có hai cạnh bằng nhau”.
Nếu đặt tên mệnh đề là A thì ta có thể viết như sau: A = “tam giác cân khi tam giác có hai cạnh bằng nhau”
Phân tích mệnh đề trên ta thấy: đây là 1 khẳng định (thực ra là một định lý) gồm có:
+ “ vế điều kiện đủ” là “tam giác cân”
+ “ vế điều kiện cần ” là “tam giác có hai cạnh bằng nhau”
+ nối giữa 2 vế là từ “khi”
+ và chúng ta biết: mệnh đề này là một khẳng định đúng
Ví dụ 2 : Tương tự như vậy ta xét mệnh đề: “tam giác cân là tam giác có hai góc vuông”.
Nếu đặt tên mệnh đề là B thì ta có thể viết như sau: B = “tam giác cân là tam giác có hai góc vuông”
Phân tích mệnh đề trên ta thấy: đây là 1 khẳng định gồm có:
Trang 2+ “ vế điều kiện đủ ” là “tam giác cân”
+ “ vế điều kiện cần ” là “tam giác có hai góc vuông”
+ nối giữa 2 vế là từ “là”
+ và chúng ta biết: mệnh đề này là một khẳng định sai
2.4 Phủ định của một mệnh đề:
* Phủ định của 1 mệnh đề là một mệnh đề Mệnh đề đó là “không phải P” (đôi khi ta chỉ cần chèn
từ “không phải” vào vị trí phù hợp trong mệnh đề, ta sẽ có mệnh đề phủ định)
Ví dụ:
+ Xét mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác cân” thì phủ định của mệnh đề này có thể phát biểu là “Tam giác ABC không phải tam giác cân”
+ Xét mệnh đề “x = 2 là nghiệm của phương trình 2x – 1 = 0” thì phủ định của mệnh đề này là “x = 2 không phải là nghiệm của phương trình 2x – 1 = 0”
** Ký hiệu là: P
*** Có ý nghĩa là: nếu P đúng thì phủ định của P sai Ngược lại nếu P sai thì phủ định của P đúng
**** Chú ý: Phủ định của mệnh đề khác với phủ định của điều kiện vì mệnh đề được tạo nên từ các điều kiện, nên phủ định của điều kiện là 1 phần nằm trong phủ định của mệnh đề
Ví dụ: Đối với các điều kiện số học thì phủ định của điều kiện khá đơn giản ví dụ như phủ định của “x = 3” là “x # 3” (tương tự phủ định của “x > 1” là “x ≤ 1” …v…v…)
2.5 Mệnh đề của biến là « số » :
*Chúng ta cũng biết, đa số các bài toán học trong THPT đều là các bài toán liên quan đến các con
số Vì vậy các mệnh đề chúng ta hay gặp thường là mệnh đề của các số.
Ví sụ : Các mệnh đề :
C = “x2 = 4 khi và chỉ khi x = 2 hoặc x = -2”
(mệnh đề C đúng)
D = “2x + 5 = 11 x = 4” (mệnh đề D sai)
E = “-3x + 9 >0 nếu x <3” (mệnh đề E đúng) F = “V x | x2 > -2” (mệnh đề F đúng)
G = “V x | x2 > 5” (mệnh đề G sai) H = “ Э x | 2x > 1” (mệnh đề H đúng)
I = “ Э x | x2 < -1” (mệnh đề I sai) K = “ V x, 2x > 8 => x2 > 16” (mệnh đề K đúng)
**Có 2 loại mệnh đề số thường gặp là:
+ “V x Є tập A | P(x)” nghĩa là: với mọi giá trị của biến x thuộc tập hợp A thì x luôn thoả mãn điều kiện P
+ “ Э x Є tập A | P(x)” nghĩa là tồn tại ít nhất 1 giá trị của biến x thuộc tập hợp A mà x đó thoả mãn điều kiện P
***Xét tính đúng sai của 2 loại mệnh đề số này như sau:
+ Với mệnh đề: “V x Є tập A | P(x)”
- thì mệnh đề đúng khi ta chứng minh được với mọi giá trị của biến x thuộc tập hợp A thì x luôn thoả mãn điều kiện P
- mệnh đề sẽ sai khi ta chỉ ra được ít nhất 1 giá trị của biến x thuộc tập hợp A mà x
đó không thoả mãn điều kiện P – hay với giá trị x đó thì điều kiện P sai
+ Với mệnh đề: “ Э x Є tập A | P(x)”
- thì mệnh đề đúng khi ta chỉ ra được ít nhất 1 giá trị của biến x thuộc tập hợp A
mà x đó thoả mãn điều kiện P – hay với giá trị x đó thì điều kiện P đúng
- mệnh đề là sai khi ta chứng minh được với mọi giá trị của biến x thuộc tập hợp A thì x luôn không thoả mãn điều kiện P – với bất kỳ giá trị nào của x thuộc tập hợp A thì điều kiện P đều sai
Trang 3**** Phủ định của 2 loại mệnh đề số học hay gặp là:
+ Mệnh đề “mọi x Є tập A | điều kiện P(x)” thì phủ định của mệnh đề này là:
“tồn tại x Є tập A | phủ định của điều kiện P(x)”
+ Mệnh đề “tồn tại x Є tập A | điều kiện P(x)” thì phủ định của mệnh đề này là:
“mọi x Є tập A | phủ định của điều kiện P(x)”
2.6 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương:
* Khái niệm:
+ Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Ký hiệu là P => Q Có đặc tính :
- P có thể goi là Giả thiết Cũng có thể gọi là Điều kiện đủ
- Và Q có thể gọi là Kết luận Cũng có thể gọi là Điều kiện cần
- Có thể phát biểu là : P là điều kiện mà đủ để xảy ra Q
- Hoặc có thể hiểu là : Q là điều kiện cần có để có thể xảy ra P
- mệnh đề Q => P khác hoàn toàn với mệnh đề P => Q Và gọi là mệnh đề đảo
+ Mệnh đề “P khi vài chỉ khi Q” gọi là mệnh đề tương đương Ký hiệu là P Q.
- Có thể phát biểu : P là điều kiện cần và đủ để xảy ra Q
- Hay có thể hiểu : điều kiện P là tương đương điều kiện Q
- Mệnh đề Q P là giống hệt mệnh đề P Q Vì vậy nói « P là điều kiện cần
và đủ để xảy ra Q » cũng giống hệt nói « Q là điều kiện cần và đủ để xảy ra
P »
** Xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương :
+ Mệnh đề kéo theo :
- Mệnh đề “P => Q” đúng khi tất cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện P đúng thì khi thay tất cả giá trị đó vào điều kiện Q cũng làm điều kiện Q đúng
- Mệnh đề “P => Q” sai khi trong tất cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện
P đúng lại có ít nhất 1 giá trị của biến trong các giá trị đó khi thay vào điều kiện Q mà làm điều kiện Q sai
+ Ví dụ :
- Mệnh đề “mọi x = 2 => x2 = 4” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x = ±2 => x2 = 4” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x = 3 => x2 = 4” Mệnh đề này sai
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 => x = 2” Mệnh đề này sai
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 => x = ±2” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 => x = 3” Mệnh đề này sai
+ Mệnh đề tương đương :
- Mệnh đề “P Q” đúng khi tất cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện P đúng thì khi thay tất cả giá trị đó vào điều kiện Q cũng làm điều kiện Q đúng Hoặc khi tất
cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện P sai thì khi thay tất cả giá trị đó vào điều kiện Q cũng làm điều kiện Q sai
- Mệnh đề “P Q” sai khi trong tất cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện
P đúng lại có ít nhất 1 giá trị của biến trong các giá trị đó khi thay vào điều kiện Q mà làm điều kiện Q sai Hoặc khi trong tất cả các giá trị của biến mà thoả mãn điều kiện Q đúng lại có ít nhất 1 giá trị của biến trong các giá trị đó khi thay vào điều kiện P mà làm điều kiện P sai
+ Ví dụ :
- Mệnh đề “mọi x = 2 2x= 4” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x = ±2 x2 = 4” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 (x-2).(2x+4) = 0” Mệnh đề này đúng
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 x = 3” Mệnh đề này sai
Trang 4- Mệnh đề “mọi x2 = 4 x = 2” Mệnh đề này sai.
- Mệnh đề “mọi x = ±2 2x = 4” Mệnh đề này sai
- Mệnh đề “mọi x2 = 4 (x-2).(2x+4)(x-3) = 0” Mệnh đề này sai.