TIỂU LUẬN môn học QUẢN TRỊ rủi RO tài CHÍNH INTEREST RATE RISK rủi RO lãi SUẤT

Một sự phức tạp là có rất nhiều lãi suất khác nhau trong bất kỳ đồng tiền nhất định Lãi suất chính phủ, lãi suất vay và cho vay liên ngân hàng, lãi suất hoán đổi, lãi suất thế chấp, lã

INTEREST RATE RISK

RỦI RO LÃI SUẤT

GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Thụy Bích Trâm

Thực hiện: Nhóm 3

NỘI DUNG

Mở đầu

1 Quản lý thu nhập từ lãi ròng

2 Các loại lãi suất

3 Duration, duration điều chỉnh, dollar duration

4 Convexity – Độ lồi

5 Generalzation - Tổng hợp

6 Nonparallel yield curve shifts

7 Interest rate delta in practice - Deltas lãi suất trong thực tiễn

8 Principal components analysis – Phân tích những thành phần chính

9 Gamma and Vega

10 Kết luận

MỞ ĐẦU

- QTRR Lãi suất là khó khăn hơn nhiều so với QTRR giá tăng từ biến đổi của thị trường như giá cổ phiếu, giá ngoại tệ và giá cả hàng hóa Một sự phức tạp

là có rất nhiều lãi suất khác nhau trong bất kỳ đồng tiền nhất định (Lãi suất

chính phủ, lãi suất vay và cho vay liên ngân hàng, lãi suất hoán đổi, lãi suất thế chấp, lãi suất huy động, lãi suất cơ bản,vv …)

- Mặc dù những rủi ro này xuất hiện và di chuyển cùng nhau, tuy nhiên chúng tương quan không hoàn toàn.

- Chúng ta cần một chức năng mô tả sự biến đổi của lãi suất với kì hạn thanh toán Điều này được biết như là cấu trúc kỳ hạn của lãi suất hoặc đường cong lợi suất.

MỞ ĐẦU

- Chương này bắt đầu với mô tả của phương pháp truyền thống được sử dụng bởi một tổ chức tài chính để quản lý rủi ro lãi suất Nó giải thích một số mức lãi suất quan trọng đối với các tổ chức tài chính Sau đó gồm các biện pháp đo lường

Duration và độ lồi Đây có thể được coi là lãi suất tương đương của việc xem xét

đo lường delta và gamma trong các chương trước

- Một phương pháp tiếp cận khác để quản lý rủi ro của thay đổi không song song

đã được trình bày Chúng bao gồm việc sử dụng các Duration 1 phần, tính toán của nhiều delta, và việc sử dụng phân tích các thành phần chủ yếu

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Chìa khóa quản lý hoạt động cho các ngân hàng là quản lý thu nhập lãi ròng

- Thu nhập lãi ròng là phần dư của lãi nhận được và lãi phải trả => Đó là vai trò của tổ chức quản lý tài sản-nợ trong ngân hàng để đảm bảo rằng tỷ lệ lãi

biên, được tính bằng thu nhập từ lãi ròng chia cho thu nhập thu được từ tài sản, vẫn duy trì ổn định qua thời gian Phần này xem xét cách thực hiện nó

- Làm thế nào biến động trong biên độ lãi ròng có thể xảy ra? Hãy xem xét một tình huống đơn giản khi mà ngân hàng đề xuất cho khách hàng lãi suất tiền gửi trong một năm và năm năm tốt như lãi suất thế chấp một năm và năm

năm Các mức lãi suất được trình bày trong Bảng 9.1

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

Kỳ hạn (Năm) Lãi suất tiền gửi Lãi suất thế chấp

Bảng 9.1: Lãi suất đề nghị của ngân hàng dành cho khách hàng

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Bảng 9.1 Lãi suất trong bảng 9.1 là công bằng ở chỗ chúng phản ánh kỳ

vọng của thị trường Ta thấy, lãi suất tiền gửi có thể tăng hoặc giảm, thông thường khách hàng chọn gửi 1 năm với LS 3% thay vì gửi 5 năm với LS

3% => Lợi hơn về thanh khoản, và có thể tái đầu tư ở những năm tiếp theo

- Lãi suất thế chấp cũng có thể tăng hoặc giảm, thông thường khách hàng sẽ chọn thế chấp 5 năm với mức LS 6% thay vì thế chấp 1 năm với mức LS 6% => Tạo tâm lý ổn định về lãi suất đi vay dài hạn, lo sợ tăng lãi suất khi thế chấp sẽ mất tiền nhiều hơn

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

Þ Ta thấy khách hàng thường chọn kỳ hạn gửi là 1 năm, và chọn kỳ hạn thế chấp

là 5 năm dẫn đến sự chênh lệch kỳ hạn, tạo nên sự chênh lệch về tài sản/ nợ cho ngân hàng và nó dẫn đến rủi ro về lãi ròng

Các khoản tiền gửi được tài trợ năm năm 6% tài sản thế chấp được gia hạn thanh toán qua mỗi năm Không có vấn đề nếu lãi suất giảm Sau một năm, các ngân

hàng sẽ nhận thấy chính nó tài trợ cho năm năm 6% thế chấp với tiền gửi mà chi

phí ít hơn 3% và thu nhập từ lãi ròng sẽ tăng lên Tuy nhiên, nếu lãi suất tăng, các khoản tiền gửi được tài trợ thế chấp 6% sẽ có giá hơn 3% và thu nhập lãi ròng sẽ giảm Giả sử rằng có một sự gia tăng 3% lãi suất trong hai năm đầu tiên Điều này

sẽ làm giảm thu nhập lãi ròng trong năm thứ ba về không

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Đó là công việc của các tập đoàn quản lý tài sản-nợ để đảm bảo rằng loại rủi ro lãi suất được giảm thiểu Một cách để làm điều này là đảm bảo rằng thời gian đáo hạn của các tài sản có lãi thu được và thời gian đáo hạn của các khoản nợ có trả lãi được khớp nhau Trong ví dụ của chúng ta, sự kết hợp có thể đạt được bằng cách tăng lãi suất năm năm về cả tiền gửi và các khoản thế chấp

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

Kỳ hạn (Năm) Lãi suất tiền gửi Lãi suất thế chấp

Bảng 9.2: Lãi suất 5 năm gia tăng để phù hợp với kỳ hạn của tài sản và nơ

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Bảng 9.2, nơi tỷ lệ tiền gửi năm năm là 4% và tỷ lệ thế chấp năm năm là 7%

Điều này sẽ làm cho tiền gửi năm năm và thế chấp một năm tương đối hấp

dẫn hơn Một số khách hàng đã lựa chọn gửi tiền một năm khi lãi thể hiện như trong Bảng 9.1 và sẽ chọn tiền gửi năm năm khi lãi suất như trong Bảng 9.2

- Một số khách hàng đã lựa chọn thế chấp 5 năm khi lãi suất này là như trong Bảng 9.1 sẽ chọn thế chấp một năm Điều này có thể dẫn đến thời gian đáo hạn của tài sản và nợ phải trả tương xứng nhau Nếu vẫn còn là một sự mất cân bằng với người gửi tiền có xu hướng lựa chọn kỳ hạn một năm và khách hàng vay kỳ hạn năm năm, lãi suất huy động và thế chấp năm năm có thể

tăng thêm nữa Cuối cùng, sự mất cân bằng sẽ biến mất

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Kết quả cuối cùng của tất cả các ngân hàng hành xử theo cách mà chúng

ta vừa mô tả là lãi suất dài hạn có xu hướng cao hơn so với những dự đoán của lãi suất ngắn hạn về tương lai dự kiến => Hiện tượng này được gọi là lý thuyết sở thích thanh khoản Nó dẫn đến lãi suất dài hạn là cao hơn so với lãi suất ngắn hạn hầu hết thời gian Ngay cả khi thị trường kỳ vọng một sự suy giảm nhỏ trong lãi suất ngắn hạn, lý thuyết sở thích thanh khoản có thể gây ra lãi suất dài hạn cao hơn so với lãi suất ngắn hạn Chỉ khi giảm mạnh lãi suất được dự kiến sẽ làm cho lãi suất dài hạn thấp hơn lãi suất ngắn

hạn

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Nhiều ngân hàng có hệ thống phức tạp để giám sát các quyết định được thực

hiện bởi khách hàng, để khi họ phát hiện sự khác biệt nhỏ giữa các kỳ hạn của tài sản và nợ phải trả được lựa chọn, họ có thể điều chỉnh tinh vi các mức phí mà

họ cung cấp Thường các sản phẩm tài chính như hoán đổi lãi suất được sử

dụng để quản lý rủi của họ Kết quả của bài này là tỷ lệ lãi biên thường là ổn

định Điều này không phải luôn luôn đúng trong các trường hợp

- Trong những năm 1980 tại Hoa Kỳ, những thất bại của các công ty tiết kiệm và cho vay và Continental Illinois phần lớn là kết quả thất bại của họ phù hợp với

thời gian đáo hạn đối với tài sản và nợ phải trả

1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

- Tính thanh khoản

+ Khác nhau về thời gian tài trợ các khoản vay dài hạn và các khoản tiền gửi ngắn hạn

+ Niềm tin của khách hàng đối với ngân hàng

ÞThiếu hụt thanh khoản hoặc mất khả năng thanh khoản

VD: Tổ chức tài chính Northern Rock Ở Anh và Bear Stearns, Lehman

Brothers gặp các vấn đề về thanh khoản Ngân hàng ở Anh thì bị chính phủ tiếp quản năm 2008, còn Lehman Brothers thì bị phá sản

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

2.1 Treasury Rates - Lãi suất trái phiếu chính phủ

2.2 LIBOR (London interbank offered rate) and Swap Rates – LIBOR và lãi suất hoán đổi

2.3 LIBOR vs Treasury Rates – LIBOR với lãi suất chính phủ

2.4 The OIS Rates ( An Overnight Indexed Swap) – Lãi suất hoán đổi chỉ

số qua đêm

2.5 Repo Rates (Repurchase Agreement) – Lãi suất mua lại

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

2.1 Treasury Rates - Lãi suất chính phủ là lãi suất nhà đầu tư nhận được

trên T–Bills (Tín phiếu kho bạc (Trái phiếu ngắn hạn) – Thời gian đáo hạn 6 tháng đến 1 năm) và T-Bonds (Trái phiếu chính phủ dài hạn, 6 năm đến 30 năm) Đây là những công cụ được các chính phủ sử dụng để vay tiền bằng đồng tiền riêng của mình

- Lãi suất chính phủ Nhật là lãi suất chính phủ cam kết vay bằng đồng Yên, của Mỹ là đồng Dollars, vv…và lãi suất, vốn gốc sẽ được thanh toán như cam kết

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

2.2 LIBOR (London interbank offered rate) and Swap Rates – LIBOR và lãi suất

hoán đổi: LIBOR là viết tắt của lãi suất trái phiếu liên ngân hàng London Đây là một

tỷ lệ vay ngắn hạn không có bảo đảm giữa các ngân hàng Lãi suất LIBOR truyền

thống được tính mỗi ngày làm việc đối với 10 loại tiền tệ và 15 kỳ vay Các thời kỳ vay nằm trong khoảng từ một ngày đến một năm

- Lãi suất LIBOR được sử dụng làm giá tham chiếu cho hàng trăm nghìn tỷ đô la của các giao dịch trên toàn thế giới Một dẫn chứng phổ biến và quan trọng cho giao dịch phái sinh mà sử dụng LIBOR như một lãi suất tham chiếu là hoán đổi lãi suất

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Lãi suất LIBOR được công bố bởi Hiệp hội Ngân hàng Anh (BBA) lúc 11:30 giờ

sáng (giờ Anh) Các BBA hỏi một số ngân hàng khác nhau để cung cấp báo giá

ước tính tỷ lệ lãi suất mà tại đó họ có thể vay tiền từ các ngân hàng khác ngay

trước khi đến 11 giờ sáng (giờ Anh) cho mỗi đồng tiền và mỗi thời gian vay Các báo giá quý đầu và quý cuối cho mỗi đồng tiền / kết hợp kỳ hạn vay sẽ bị loại bỏ và những người còn lại được tính trung bình để xác định LIBOR cố định cho một

ngày Thông thường các ngân hàng gửi báo giá có xếp hạng tín dụng AA

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Trong những năm gần đây đã có những đề xuất rằng một số ngân hàng có thể đã chế tác giá LIBOR của họ Hai lý do đã được đề xuất cho việc này:

+ Một là làm cho chi phí đi vay của các ngân hàng dường như thấp hơn trên thực

tế để ngân hàng họ khỏe mạnh hơn

+ Hai là làm cho các giao dịch như giao dịch hoán đổi lãi suất, mà dòng tiền phụ thuộc vào LIBOR cố định có lợi hơn

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

=> Vấn đề cơ bản là không có đủ giao dịch vay liên ngân hàng để các ngân hàng có những ước tính chính xác về lãi suất vay của họ cho tất cả đồng tiền khác nhau/ kết hợp kỳ hạn vay được sử dụng Dường như rằng qua thời gian số lượng lớn các báo giá LIBOR đã được cung cấp mỗi ngày sẽ được thay thế bởi một số lượng nhỏ các báo giá dựa trên giao dịch thực tế trong một thị trường thanh khoản hơn

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Làm thế nào đường cong lãi suất LIBOR có thể được mở rộng hơn một năm? Có hai phương pháp có thể:

+ Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho các mức lãi suất mà công ty được xếp loại AA hiện nay có thể vay tiền trong thời gian dài hơn một năm

+ Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho lãi suất vay ngắn hạn trong tương lai cho các công ty xếp hạng AA

=>Điều quan trọng là phải hiểu được sự khác biệt Giả sử rằng đường cong lãi suất

là 4% cho tất cả các kỳ hạn

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Nếu đường cong lãi suất được tạo ra theo cách đầu tiên, điều này có nghĩa là các công ty được xếp loại AA hiện nay có thể ổn định trong lãi suất 4% bất kể bao lâu

họ muốn vay

- Nếu đường cong lãi suất được tạo ra theo cách thứ hai, mong rằng thị trường cho lãi suất vay ngắn hạn của công ty xếp loại AA tại một thời điểm trong tương lai là 4%

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Khi đường cong lãi suất được tạo ra theo cách đầu tiên, nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn cho một công ty xếp loại AA hiện nay

- Khi nó được tạo ra theo cách thứ hai, nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn cho một công ty sẽ được xếp hạng AA ở thời điểm bắt đầu của giai đoạn đầu được bảo vệ bởi hợp đồng kỳ hạn

Trong thực tế, đường cong lãi suất LIBOR được mở rộng bằng cách sử dụng

phương pháp tiếp cận thứ hai Lãi suất hoán đổi được sử dụng để mở rộng đường cong lãi suất LIBOR => Kết quả là đường cong lãi suất đôi khi được gọi là đường cong lãi suất LIBOR, và đôi khi là đường cong lãi suất hoán đổi, và đôi khi LIBOR / đường cong lợi suất hoán đổi

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Để hiểu tại sao lãi suất hoán đổi có thể được sử dụng để mở rộng đường cong lãi suất LIBOR khi phương pháp thứ hai được sử dụng, lưu ý rằng một ngân hàng có thể chuyển đổi một loạt các khoản vay LIBOR ngắn hạn với tỷ lệ hoán đổi sử dụng cho các thị trường trao đổi Ví dụ, nó có thể:

+ Cho một khách hàng AA vay một vốn gốc trong sáu tháng và vay lại nó trong

khoảng thời gian chín tháng liên tiếp cho khách hàng vay, người được đánh giá AA tại thời điểm vay

+ Thực hiện một hoán đổi để trao đổi LIBOR cho tỷ lệ hoán đổi năm năm

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Điều này có nghĩa rằng tỷ lệ trao đổi đại diện cho những gì các ngân hàng có thể mong đợi để kiếm được từ một loạt các khoản vay ngắn hạn để vay ở mức lãi

LIBOR Nó đôi khi được gọi là một tỷ lệ làm mới liên tục (thay đổi liên tục)

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

2.3 LIBOR vs Treasury Rates – LIBOR với lãi suất chính phủ: Lãi suất phi

rủi ro rất quan trọng trong việc định giá các hợp đồng tài chính Lãi suất trái

phiếu chính phủ có thể được coi là lãi suất tự nhiên để sử dụng như lãi suất phi rủi ro, nhưng trong thực tế nó được coi là thấp, không thực tế, bởi vì:

•Số vốn một ngân hàng được yêu cầu phải giữ để hỗ trợ đầu tư vào các trái phiếu chính phủ ngắn hạn và dài hạn là nhỏ hơn đáng kể so với lượng vốn cần thiết để hỗ trợ một đầu tư tương tự trong như những công cụ rủi ro rất

thấp khác

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

•Tại Hoa Kỳ, trái phiếu chính phủ được hưởng một ưu đãi về thuế so với hầu hết các khoản đầu tư có thu nhập cố định khác bởi vì họ không bị đánh thuế ở cấp tiểu bang

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

Trước cuộc khủng hoảng tín dụng bắt đầu từ năm 2007, các tổ chức tài

chính sử dụng LIBOR và lãi suất hoán đổi là một đại diện cho lãi suất phi rủi

ro Kể từ khi cuộc khủng hoảng, họ đã chuyển sang sử dụng lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) cho mục đích này

2.4 The OIS Rates ( An Overnight Indexed Swap) – Lãi suất hoán đổi chỉ

số qua đêm Một hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) là một trao đổi trong đó

mức lãi suất cố định trong một thời gian (ví dụ, một tháng, ba tháng, một

năm hoặc hai năm) được trao đổi với trung bình số học của lãi suất qua

đêm trong kỳ

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Lãi suất qua đêm liên quan là lãi suất trên thị trường liên ngân hàng các tổ chức chính phủ nơi ngân hàng dự trữ dư thừa cho vay đối với các ngân hàng cần vay

để đáp ứng nhu cầu dự trữ của họ

- Tại Hoa Kỳ, lãi suất vay qua đêm trên thị trường này được gọi là (fed funds rate – Lãi suất quỹ fed) tỷ lệ lãi suất cho vay nhằm đáp ứng yêu cầu dự trữ bắt buộc Lãi suất này có hiệu quả vào một ngày cụ thể là bình quân gia quyền của lãi suất qua đêm trả tiền bằng cách đi vay ngân hàng để ngân hàng cho vay vào ngày hôm đó Đây là những gì được sử dụng trong các tính toán trung bình OIS Nhiều quốc

gia khác có thị trường qua đêm tương tự

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Một chỉ số quan trọng trong hệ thống ngân hàng là chênh lệch LIBOR-OIS Đây là số tiền lãi suất liên ngân hàng London (LIBOR) trong ba tháng vượt quá lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm được lập (OIS) trong ba tháng

- Trong điều kiện thị trường bình thường, chênh lệch LIBOR-OIS là ít hơn

10 điểm cơ bản (tính theo năm) Chênh lệch LIBOR-OIS càng lớn làm

tăng sự miễn cưỡng của các ngân hàng cho vay lẫn nhau

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Hình 9.1 cho thấy sự chênh lệch LIBOR-OIS từ tháng 1 năm 2002 đến tháng 8

năm 2014 Trước khi đến tháng 8 năm 2007, chênh lệch lãi suất LIBOR-OIS là ít hơn 10 điểm cơ bản Vào tháng 8 năm 2007, các vấn đề trong thị trường nhà đất

ở Mỹ trở nên rõ ràng và các ngân hàng ngày càng trở nên không muốn cho vay với nhau thì nó bắt đầu tăng Nó đạt đến một đỉnh cao của 364 điểm cơ bản vào đầu tháng 10 năm 2008 Một năm sau đó, nó đã trở về mức bình thường hơn Sau đó nó đã quay trở lại sau kết quả từ những lo ngại về sức khỏe tài chính của nền Hy Lạp và một số nước châu Âu

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

2.5 Repo rates – Lãi suất mua lại– lãi suất repo được đảm bảo lãi vay

Trong một repo - một khoản vay có bảo đảm (hoặc thỏa thuận mua lại), một

tổ chức tài chính sở hữu chứng khoán đồng ý bán chứng khoán với một

mức giá nhất định và để mua lại vào một thời gian sau đó với một mức giá cao hơn một chút Các tổ chức tài chính có được một khoản vay, và sự

quan tâm là sự khác biệt giữa giá mà tại đó các chứng khoán được bán và giá mà họ đang mua lại Lãi suất này được gọi là lãi suất mua lại (Repo

rate)

2 CÁC LOẠI LÃI SUẤT

- Nếu cơ cấu một cách cẩn thận, một repo liên quan đến rủi ro tín dụng rất

ít Nếu người vay không tôn trọng thỏa thuận, các công ty cho vay chỉ đơn giản là giữ các chứng khoán Nếu công ty cho vay không giữ cho họ một số thỏa thuận, chủ sở hữu ban đầu của chứng khoán giữ tiền mặt được cung cấp bởi các công ty cho vay - Các loại phổ biến nhất của repo là repo qua đêm, trong đó có thể được tái tiếp tục ngày này sang ngày khác Tuy nhiên, thỏa thuận dài hạn, được gọi là Repo kì hạn, đôi khi được sử dụng Bởi vì

nó là tỷ lệ bảo đảm, lãi suất repo nói chung là một vài điểm cơ bản dưới

LIBOR hoặc fed funds rate

3 Duration

- Duration là một thuật ngữ được sử dụng rộng rãi dùng để đo lường về độ nhạy

cảm của 1 trái phiếu với những thay đổi trong lợi suất trái phiếu.( Là thời gian đáo hạn bình quân gia quyền của các khoản thu nhập bằng tiền từ trái phiếu, với quyền

số là hiện giá của chúng Dùng để đo biến động giá trái phiếu khi lãi suất thị trường thay đổi)

- Giả sử gọi y là lợi suất của trái phiếu và B giá trị thị trường của trái phiếu đó

Duration xác định theo công thức: D = (9.1)

Trong đó Δy là sự thay đổi nhỏ trong lợi suất trái phiếu và Δy là sự thay đổi nhỏ trong lợi suất trái phiếu và Δy là sự thay đổi nhỏ trong lợi suất trái phiếu và ΔB sẽ thay đổi tương ứng

theo giá Duration đo lường độ nhạy cảm của phần trăm sự thay đổi trong giá trái

phiếu sẽ dẫn đến sự thay đổi của lợi suất của trái phiếu đó

•  

3 Duration

- Khảo sát dòng tiền của 1 trái phiếu c1, c2…trong thời điểm t1, t2…(dòng tiền bao gồm các khoảng lợi tức và thanh toán chính trên trái phiếu) Lợi tức trái phiếu y được định nghĩa là tỷ lệ chiết khấu tương đương giá lý thuyết

của trái phiếu theo giá thị trường của nó Chúng ta biểu thị các giá trị hiện tại của dòng tiền là ci, chiết khấu từ thời điểm đến ngày hôm nay là y thay bằng Vi vì thế ta có giá chiết khấu là:

B =

- Một định nghĩa khác của Duration là:

D = () (9.3)

•  

Duration là thước đo thời gian bao nhiêu lâu trái chủ nhận được dòng tiền.

•  

3 Duration

Thời gian t

(Năm)

Dòng tiền C, ($)

Giá trị hiện tại Tỉ trọng Thời gian x Tỉ

Tổng các số trong cột 3 là giá thị trường của trái phiếu, bằng 94,213 Các trọng số được tính bằng cách chia các số trong cột 3 cho 94,213 Tổng các số ở cột 5 cho Duration là 2,653 năm.

•  

3 Duration

- Những thay đổi nhỏ trong tỷ lệ lãi suất thường được đo bằng điểm cơ bản Một điểm cơ bản là 0.01% mỗi năm Ví dụ sau đây cho thấy phương trình (9.1) là chính xác khi Duration được định nghĩa như trong phương trình

(9.3) và lợi suất được đo bằng lãi kép liên tục