ierbein và trường Gauge với chiều không gian phụ trội

Với cách tiếp cận thứ ba thì số chiều phụ trội phụ thuộc vào nhóm đối xứng gauge, trong đó các trường gauge được gắn liền với metric ứng với các chiều phụ trội thông qua vierbein.. Mục đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

- -

VŨ THỊ HƯƠNG

VIERBEIN VÀ TRƯỜNG GAUGE

VỚI CHIỀU KHÔNG GIAN PHỤ TRỘI

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào Vọng Đức,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng Sau Đại Học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Người thực hiện

Vũ Thị Hương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 0

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CẤU TRÚC LUẬN VĂN 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 : NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE 4

1.1 Biến đổi toàn cục và biến đổi định xứ 4

1.2 Biến đổi gauge phi abel 6

1.3 Lagrangian bất biến 9

1.4 Tương tác gauge 11

CHƯƠNG 2: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT 14

2.1 Phép biến đổi tương đối tổng quát 14

2.2 Các đại lượng tensor 15

2.3 Liên thông affine 17

2.4 Metric và Vierbein 19

2.5 Tiên đề Vierbein 22

CHƯƠNG 3: KHÔNG - THỜI GIAN PHỤ TRỘI 24

3.1 Trường gauge trong mô hình Kaluza - Klein 24

3.2 Co gọn chiều không gian phụ trội 28

3.3 Vierbein và Metric trong không - thời gian 5 chiều 32

3.4 Không - thời gian trong lý thuyết dây 34

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xây dựng lý thuyết thống nhất các tương tác cơ bản là phương hướng nghiên cứu có tính thời sự bậc nhất của Vật lý học hiện đại Những cách tiếp cận được nhìn nhận có nhiều triển vọng nhất hiện nay là:

Thứ nhất là: Lý thuyết siêu dây

Thứ hai là: Lý thuyết mô hình chuẩn xây dựng trên cơ sở nguyên lý bất

biến gauge

Thứ ba là: Lý thuyết thống nhất xây dựng trên cơ sở mở rộng lý thuyết

tương đối tổng quát

Các công trình nghiên cứu thuộc các phương hướng trên đã chứng tỏ sự cần thiết tồn tại các chiều không gian phụ trội

Với lý thuyết Siêu Dây thì ít nhất phải có 6 chiều không gian phụ trội Với cách tiếp cận thứ ba thì số chiều phụ trội phụ thuộc vào nhóm đối xứng gauge, trong đó các trường gauge được gắn liền với metric ứng với các chiều phụ trội thông qua vierbein

Vì những lý do trên tôi chọn đề tài “Vierbein và trường gauge với

chiều không gian phụ trội”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu và nghiên cứu một số vấn

đề về trường gauge thể hiện trong vierbein trong không thời gian nhiều chiều

D4 trong lý thuyết tương đối tổng quát mở rộng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Vierbein và trường gauge với chiều không gian phụ trội

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về trường gauge thể hiện qua vierbein với các chiều không gian phụ trội

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán đặc biệt là:

 Lý thuyết trường lượng tử và hạt cơ bản

 Lý thuyết nhóm đối xứng gauge

 Lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn được trình bày thành 03 chương với nội dung của từng chương như sau:

 Chương 1: Trình bày những nguyên lý cơ bản về trường gauge abel

và phi abel, đặc biệt là Lagrangian tương tác gauge

 Chương 2: Trình bày những nguyên lý cơ bản về Lý thuyết tương

đối tổng quát đặc biệt là hình thức luận Vierbein

 Chương 3: Nghiên cứu về lý thuyết tương đối tổng quát trong không

thời gian với các chiều phụ trội, các thành phần vierbein và metric gắn với các chiều phụ trội và các trường gauge

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE

1.1 Biến đổi toàn cục và biến đổi định xứ

Đến nay các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm cho phép ta

khẳng định rằng các tương tác giữa các hạt cơ bản - mạnh, điện từ, yếu (và có

thể cả hấp dẫn) đều có cùng một bản chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến

gauge

Trong mục này trình bày về phép biến đổi gauge đơn giản nhất - tương

ứng với nhóm gauge một thông số U(1), chẳng hạn phép biến đổi điện tích

Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường ( ) x ứng với hạt

mang điện tích q biến đổi theo quy luật

( )x '( )x e iq ( )x

Trong đó:  là thông số của phép biến đổi

Khi  không phụ thuộc vào x thì Lagrangian của các trường tích điện

bất biến đối với phép biến đổi (1.1.1) Khi  không phụ thuộc vào x thì ta có

phép biến đổi toàn cục

Khi   ( )x ta có phép biến đổi:

( )

( )x '( )x e iq x ( )x

Được gọi là biến đổi định xứ

Số hạng khối lượng dạng * ( ) ( ), x  x * ( )x ( ),x ( ) ( )x  x của

Lagrangian vẫn bất biến nhưng các số hạng động năng (chứa đạo hàm không -

thời gian không còn bất biến nữa) Để khôi phục lại tính bất biến của

Lagrangian ta tiến hành như sau:

 Đưa vào trường ( )x ; gọi là trường gauge

 Lập đạo hàm hiệp biến theo công thức:

Kết quả cho ta Lagrangian trường ( ) x tự do cùng với Lagrangian mô

tả tương tác giữa trường ( ) x và trường gauge ( )x

Chẳng hạn với trường vô hướng tích điện xuất phát từ Lagrangian tự do

Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa giữa trường vật chất mang điện và trường gauge (ở đây được đồng nhất với trường điện từ)

Ta thấy F' F tức tensor cường độ trường gauge (cũng là trường điện từ) F        v  bất biến với các phép biến đổi, trong khi đó ' '  

     tức không bất biến và do đó lagrangian bất biến không thể có chứa số hạng khối lượng, điều đó có nghĩa là trường gauge phải là không khối lượng

Lagrangian đầy đủ mô tả hệ trường vật chất ( ) x và trường gauge có dạng:

1.2 Biến đổi gauge phi abel

Ta tổng quát hóa các kết quả ở mục trên cho nhóm bất kỳ G với đại số gồm n vi tử T , a = 1, 2, 3…n tuân theo hệ thức giao hoán: a

( f abc là hằng số cấu trúc của nhóm G)

Giả sử dưới tác dụng của các phép biến đổi thuộc G với các thông số

Trong đó: M là các ma trận a r r tuân theo hệ thức giao hoán như (1.2.1):

mà biến đổi theo quy luật:

F' ( )v x S x F S( ) v 1( )x (1.2.9)

Từ (1.2.9) ta thấy rằng TrF Fv vlà bất biến và Lagrangian mô tả hệ

gồm trường vật chất i và trường gauge a có dạng:

Với G là SU(2) hoặc SU(3), và trường vật chất thực hiện biểu diễn cơ

sở Tức i là spinor SU(2) hoặc SU(3)

1 2

i i

i i

a a a

 Lagrangian phải bất biến đối với phép biến đổi Lorentz trong đó

biến đổi khác Trong mục này ta xét Lagrangian phải thỏa mãn đòi hỏi là bất biến đối với phép biến đổi gauge Chẳng hạn phép biến đổi điện tích

Xét trường vô hướng tích điện Dưới tác dụng của phép biến đổi Gauge U(1) trường này biến đổi theo quy luật:

Tức Lagrangian không bất biến đối với phép biến đổi điện tích (1.3.1)

Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian như trên đã nói ta thêm

vào trường gauge A và lập thành đạo hàm hiệp biến theo công thức:

1.4 Tương tác gauge

Các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng các tương tác giữa các hạt cơ bản mạnh, điện từ, yếu (có thể cả hấp dẫn) đều có cùng một bản chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge

Đối với phép biến đổi gauge đơn giản nhất, tương ứng với nhóm gauge một thông số U(1) chẳng hạn phép biến đổi điện tích

Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường ( ) x ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật:

( )x '( )x e iq ( )x

Trong đó:  là thông số của phép biến đổi

Khi  không phụ thuộc vào x thì Lagrangian của các trường vô hướng, vector, spinor tích điện bất biến đối với phép biến đổi (1.4.1)

Khi   ( )x ta có phép biến đổi:

Trên đây ta đã xét phép biến đổi gauge đơn giản nhất bây giờ ta tổng quát hóa các kết quả vừa tìm được cho nhóm bất kỳ G với đại số gồm n vi tử

a

T , a = 1, 2 ,3…,n tuân theo hệ thức giao hoán:

Giả sử dưới tác dụng của các phép biến đổi thuộc G với các thông số

Với các đòi hỏi của bài toán các trường gauge Aa phải biến đổi theo quy tắc sau:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 5

CHƯƠNG 2: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT

2.1 Phép biến đổi tương đối tổng quát

Nguyên lý bất biến tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu, và do đó các phương trình vật lý tương ứng phải bất biến đối với phép biến đổi tổng quát

Tensor covariant hạng r là tập hợp 4r thành phần

1 2 ( )

r

T   x biến đổi theo quy luật:

Được gọi là covariant vector , ví dụ đó là x x

Tensor hỗn hợp covariant hạng r và contravariant hạng s là tập hợp 4r sthành phần 1 2

Từ các tensor có thể lập các đại lượng bất biến Lorentz theo quy tắc:

Tính bất biến của S(x), '( ')S x S x( ) có thể dễ dàng chứng minh từ quy luật (2.2.6) và sử dụng      

Nếu có Lagrangian L(x) bất biến thì tác dụng:

Chẳng hạn, ( ) x là vô hướng nếu: '(x0, x) ( )x

Và là giả vô hướng nếu: '(x0,  x) ( )x

Và là giả vector nếu dấu ngược lại

2.3 Liên thông affine

Để tạo nên tensor từ các vector F( )x và G x( ) ta phải lập đạo hàm hiệp biến trong đó xuất hiện đại lượng v được gọi là liên thông affine biến đổi theo qui luật:

Cũng thỏa mãn điều kiện (2.3.1) và do đó cũng là một liên thông affine

Để liên thông affine xác định một các đơn trị nó phải thỏa mãn các điều kiện phụ do đòi hỏi thực tế của bài toán ta xét trong trường hợp:

 Liên thông affine có tính đối xứng

Ta nêu một vài nhận xét như sau:

Từ quy luật biến đổi (2.3.1) ta thấy đại lượng:

T T T

Là một tensor hạng (1, 2) Tensor này được gọi là tensor xoắn Trong trường hợp liên thông affine là đối xứng (2.3.2) thì T 0và ta nói rằng không -thời gian không xoắn

Phương trình (2.3.4) chứng minh như sau:

Lấycủa cả hai vế đồng nhất hệ thức:

gg 

Ta có: gg 0

Nhân hai vế hệ thức này với g , ta có ngay (2.3.4)

Bây giờ ta hãy tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (2.3.2) và điều kiện tương thích (2.3.3) Viết ba phương trình điều kiện tương thích metric với các chỉ số ( , ,  ) hoán vị vòng như sau:

v x , trong đó a là chỉ số vierbein, nhận các giá trị 0, 1,

2, 3 Từ bây giờ ta kí hiệu các chữ cái a, b, c… là các chỉ số vierbein, còn các chữ cái Hy Lạp , ,    vẫn là các chỉ số Lorentz của không - thời gian

Vierbein v( )a ( )x có các thành phần v( )a ( )x thỏa mãn điều kiện:

Dùng (2.4.6) ta viết lại biểu thức của khoảng ds qua Vierbein như sau: 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

ds g x dx dx   v x v x dx dx   dx dx (2.4.7) Trong đó ta định nghĩa ( )a

a a

m n

Trong đó g det( );g vdet( )v

Ta định nghĩa “đạo hàm dọc theo phương a” là:

( ) ( )a a

Các đạo hàm bình thường không biến đổi như các tensor , để tạo nên

các tensor ta phải lập các đạo hàm hiệp biến và liên thông affine xuất hiện

Khi đó biểu thức của liên thông affine chưa xác định một cách đơn trị, và có

thể có nhiều liên thông affine cùng thỏa mãn qui luật này.Vì vậy nên để xác

định liên thong affine một cách đơn trị thì phải thỏa mãn các điều kiện:

 Điều kiện đối xứng:   

Từ điệu kiện tương thích metric ta tính được:

Trong trường hợp đối xứng:    

Mặt khác có thể nói như phần trên metric có thể biểu diễn qua vierbein

theo công thức (2.4.1)

Ngoài ra theo nguyên lý bất biến trong hình thức luận vierbein: Dưới

tác dụng của phép biến đổi vierbein, các thành phần vierbein của các trường

biến đổi theo quy luật:

Ngoài đạo hàm hiệp biến  ta còn dùng cả đạo hàm hiệp biến khái

quát D được định nghĩa sao cho:

( )

( ) 0

a v

CHƯƠNG 3: KHÔNG - THỜI GIAN PHỤ TRỘI

3.1 Trường gauge trong mô hình Kaluza - Klein

Mô hình Kaluza - Klein xây dựng trên cơ sở lý thuyết tương đối tổng quát trong không-thời gian mở rộng 5 chiều bao gồm 4 chiều không-thời gian thông thường và 1 chiều không gian phụ trội Ta quy ước dùng các chữ cái A, B,…làm các chỉ số Lorentz mở rộng nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 5 để phân biệt với các chỉ số Lorentz 4 chiều thông thường  , … nhận các giá trị 0, 1, 2, 3

Ta cũng kí hiệu metric bởi G AB( )x để phân biệt với metric g( )x của không thời gian 4 chiều thông thường Ý tưởng chủ đạo là gắn trường điện từ( )

A x vào trong các thành phần của metric G AB( )x cụ thể là đặt:

5 5 55

( ) ( )( )

Trong đó  là một trường vô hướng nào đó

Các biểu thức (3.1.1) có thể viết gộp lại dưới dạng ma trận 5 5 như sau:

Metric đối biến G AB( )x có thể tính được bằng cách sau:

Xét phép biển đổi tọa độ x A x'A với:

Để tính Gdet(G AB) trước hết ta tính G'det( ' )G AB theo (3.1.5) '

G g Tiếp theo ta dùng công thức G'J G2 trong đó J là định thức của

ma trận với phần tử hàng A cột B là

'

B A

x x

A J

5 5 5 5

5 5 5 5 55

3.2 Co gọn chiều không gian phụ trội

Trong mô hình Kaluza - Klein tồn tại 1 chiều thời gian và 4 chiều không gian trong đó chiều không gian phụ trội được giả thiết là uống cong lại thành một vòng tròn bé bán kính cỡ 1033cm đến mức không quan sát được với thang năng lượng hiện nay Người ta gọi đó là co gọn chiều không gian phụ trội Mọi số liệu thực nghiệm ở vùng năng lượng không đủ lớn có thể xem như được trung bình hóa theo chiều phụ trội này Lúc này các thành phần của metric đều có thể khai triển Fourier như sau:

5 5

5

x in R n

Lý thuyết hiệu dụng tại vùng năng lượng thấp có thể xây dựng trên cơ

sở xem G không phụ thuộc vào AB x , tức là bỏ qua các số hạng với n5 0 ở biểu thức khai triển (3.2.1)

Bán kính R được xác định bởi điện tích để chứng tỏ điều đó ta hãy xét 5

trường vô hướng phức ( ) x với Lagrangian dạng:

Lagrangian trên chỉ là Lagrangian hiệu dụng

Viết tác dụng dưới dạng bốn chiều thông thường :

( ) 5 5

}2

imx R m m

im

e R

 

( )

5 ( ) ( )

5 5

( ) ( ) ( )

12

x

i m n R

n m

x

i m n R

m

x

i m n R

m

x

i m n R

2

i m n R

  3 1 2

( ) ( ) 1 ( ) ( )

2 2

2 5

5 ( )

x in R n

Lý thuyết hiệu dụng tại miền năng lượng thấp có thể xây dựng trên cơ

sở xem tensor metric G không phụ thuộc AB x tức là bỏ qua các số hạng với 5

5 ( )

x in R n

3.3 Vierbein và Metric trong không - thời gian 5 chiều

Vierbein trong không - thời gian 5 chiều cũng được định nghĩa tương tự như trong trường hợp 4 chiều Trong trường hợp 5 chiều đó là bộ năm vector độc lập tuyến tính ( )

M, N là các chỉ số Vierbein 5 chiều nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 5

Từ (3.3.1) ta có thể tìm được biểu thức của V A(M)( )x bằng cách khai

triển (3.3.1) ta có: