Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

Lý do chọn đề tài Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trình dừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện vào

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô trường Đại học sư phạm Hà Nội II, phòng sau đại học, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình dạy bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Giáo sư – Tiến sĩ khoa học Nguyễn Mạnh Hùng, người đã dành rất nhiều thời gian, tâm huyết, tạo mọi điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này Sự hiểu biết sâu sắc về khoa học, cũng như kinh nghiệm của thầy chính là tiền đề giúp tôi đạt được những thành tựu và kinh nghiệm quý báu

Bên cạnh đó, tôi cũng không thể quên gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn Thị Bích Liên đã không quản ngại thời gian, công sức để trao đổi, thảo luận

và đưa ra những chỉ dẫn, đề nghị cho luận văn của tôi

Cuối cùng, tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, gia đình và đồng nghiệp đã luôn bên tôi, cổ vũ và động viên những lúc khó khăn để có thể vượt qua và hoàn thành tốt luận văn này

Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013

Học viên

Lê Hoàng Anh

LÊ HOÀNG ANH

BÀI TOÁN BIÊN THỨ 2 ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP 2 TRONG TRỤ VÔ HẠN

Chuyên ngành : Toán giải tích

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tự bản thân tôi thực hiện, có sự hỗ trợ hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình Các nội dung sử dụng trong luận văn là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực và nguyên bản của luận văn

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình

Hà Nội, ngày 16 tháng 6 năm 2013

Tác giả

Lê Hoàng Anh

Mục lục

4

I.1 Lý do chọn đề tài 4

4

5

5

6

6

1.1 Không gian Banach 6

1.1.1 Không gian định chuẩn 6

1.1.2 Không gian Banach 7

1.2 Không gian Hilbert 9

1.2.1 Tích vô hướng 9

1.2.2 Không gian Hilbert 11

1.3 Không gian Sobolev 14

1.3.1 Đạo hàm suy rộng 14

1.3.2 Không gian Sobolev 15

Chương II Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn 19

2.1 Giới thiệu: 19

2.2 Thiết lập bài toán 20

2.2.1 Đặt bài toán 21

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 23

Chương III Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình Hyperbolic cấp 2 không có điều kiện ban đầu 36

3.1 Giới thiệu 36

3.2 Kết quả chính 38

Phần III : Danh mục tài liệu tham khảo 45

1

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trình dừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỉ XX Tuy nhiên, một vấn đề quan trọng được đặt ra đó là khi tính trơn của biên bị phá vỡ, tức là biên của miền xét bài toán chứa các điểm kì dị Các kết quả nghiên cứu mang tính chất nền móng của V.A Kondrative năm 1967 đã giải quyết được một số vấn đề mang tính nguyên lí để khắc phục điểm biên kì dị của bài toán biên tổng quát đối với phương trình Elliptic Từ những kết quả quan trọng của V.A Kondrative các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu hệ phương trình Elliptic và hướng nghiên cứu này đã khá hoàn thiện vào những năm chín mươi của thế kỉ XX Nghiên cứu các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không dừng trong trụ có đáy là miền với biên không trơn được nghiên cứu một cách

hệ thống với các hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic và Schrodinger Trong đó, các kết quả của bài toán biên tổng quát đối với phương trình và hệ phương trình Hyperbolic có ứng dụng thực tiễn quan trọng trong vật lí, cơ học

và hóa học lượng tử Chình vì thế “Bài toán biên thứ 2 đối với phương trình

Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn” là đề tài mà tôi đã lựa chọn nghiên cứu

trong luận văn

2.

Mục đích nghiên cứu của luận văn là chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng và tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian trong bài toán biên ban đầu tổng quát đối với phương trình Hyperbolic trong trụ vô hạn và đáy là miền có biên không trơn

-4 Phươn

Sử các phương pháp giải tích hàm : phương pháp ước lượng tiên nghiệm và phương pháp Galerkin

Chương 1

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

thực hay số phức K, p là một nửa chuẩn xác định trong X , tức p là một

ánh xạ X ¡ thỏa mãn hai điều kiện :

Theo nhận xét p x 0 x X Ta có p 0 0, nhưng có thể xảy

ra p x 0 với x 0 nào đó Nếu p thỏa mãn them điều kiện:

c) p x 0 x 0 , thì p được gọi là một chuẩn trong X Khi đó ta

kí hiệu x thay cho p x Như vậy một chuẩn thỏa mãn ba điều kiện:

Định nghĩa1.1.2 Không gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một

chuẩn xác định trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực (hay phức)

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa1.1.3 Nếu không gian định chuẩn X là một không gian

Metric đầy đủ (với khoảng cách d x y, x y ) thì X được gọi là không gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ

chuẩn với chuẩn:

1

2 1

n i i

n

Không gian ¡ n

là không gian Banach

phức) liên tục trên các khoảng đóng a,b ¡ C a b trở thành không gian ,định chuẩn với chuẩn :

max

a t b

Không gian C a b là không gian Banach ,

Ví dụ 3: Giả sử C S là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức)

liên tục trên không gian Tôpô compact (S) C S là không gian định chuẩn

với các phép toán đại số thông thường và với chuẩn :

max

t S

Ví dụ 4: C và l là các không gian Banach Ta sẽ chứng minh cho 0

không gian C ; đối với l chứng minh tương tự 0

Giả sử x m m 1 là một dãy Cauchy trong C , trong đó 0 1m, 2m,

trongl , trong đó p x m 1m, 2m, Do đó 0, m0, m m0, r nguyên

Từ (1.1.4) suy ra với mọi n, tồn tại giới hạn:

p

p m

trong lý thuyết tích phân Lebesgue đã chỉ ra l a b là không gian Banach 1 ,Tính đầy đủ của không gian l a b p , p 1 cũng chứng minh tương tự

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Tích vô hướng

Trong không gian ¡ k

tích vô hướng của hai vectơ x 1, , ,2 k ,

của vectơ ấy với chính nó) và góc giữa hai vectơ (cosin của góc này bằng tích

vô hướng của hai vectơ chia cho tích các độ dài của chúng) Thành thử trong khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng,…

Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào không gian định chuẩn Ta nhận thấy tích vô hướng ,x y của hai vectơ , x y

Đẳng thức này có nghĩa là: tổng bình phương các cạnh của một hình bình hành bằng tổng bình phương của hai đường chéo, cho nên thường gọi là

điều kiện bình hành

Vậy muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện bình hành Ngược lại có thể chứng minh ( không khó lắm ) rằng nếu một không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện bình hành thì bằng cách đặt

1,

4

ta sẽ có hàm hai biến ,x y với các tính chất 1 đến 4

Tóm lại, không gian Hilbert chẳng qua là không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện bình hành (1)

Nhưng trong phần lớn các ứng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trước khái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thường xuất phát từ một không gian tuyến tính (chưa định chuẩn ),lấy các tính chất 1 – 4 làm những tiên đề để định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi mới định nghĩa chuẩn bởi 5 Tức là x x x (đương nhiên cần chứng ,minh rằng đó là một chuẩn, nghĩa là nó thỏa mãn đủ các tiên đề về chuẩn)

1.2.2 Không gian Hilbert

Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không gian tiền Hilbert,

nếu trong đó có xác định một hàm hai biến x y , gọi là tích vô hướng của ,hai vectơ ,x y , với các tính chất 1 – 4

Ta hãy chứng minh rằng hệ thức 5 tức là

,

xác định một chuẩn trong không gian X, nói cách khác không gian tiền

Hilbert định nghĩa như trên là một không gian định chuẩn

Trước hết, với mọi số thực ta có

nghĩa là bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn Mặt khác từ 3 , 4 , 5 ta suy

ra ngay: x 0 nếu x 0, x 0 nếu x 0 , và x x Do đó x

đúng là một chuẩn

Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền Hilbert luôn

luôn có bất đẳng thức (1.2.4) gọi là bất đẳng thức Schwarz Vả lại theo trên

Vậy tích vô hướng , x y là một hàm liên tục đối với x và y Vả chăng

các tính chất 2 , 3 có nghĩa là ,x y là một phiếm hàm song tuyến tính trên

X, và bất đẳng thức Schwarz (1.2.4) cho thấy phiếm hàm này bị chặn, do đó theo kết quả ở Chương 5, mục 5.3, nó phải liên tục

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó Nói riêng một không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ Một không gian tiền Hilbert

đủ gọi là một không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung cho thành không gian Hilbert: muốn như thế, người ta coi nó là một không gian định chuẩn với chuẩn x x x để bổ sung cho thành một không gian ,Banach (như đã thấy ở Chương 5, mục 1.4), sau đó sẽ chứng minh rằng trong không gian Banach này có thể định nghĩa tích vô hướng thêm cho các phần tử mới để vẫn có x x x ,

Giữa các khái niệm không gian Metric, không gian tuyến tính, không gian định chuẩn và không gian Hilbert, có những liên hệ như trong Bảng 1

Trong những ví dụ về không gian định chuẩn đã gặp, ¡ k

dĩ nhiên là không gian Hilbert, với tích vô hướng là x y, k i 1 i i

Một không gian Hilbert thường gặp nữa là không gian 2

l , lập thành bởi

tập tất cả các dãy số x 1, , 2 sao cho 2

i , với các phép toán tuyến tính : x y 1 1, 2 2, ; x 1, 2, , và tích vô hướng

định lí rút ra hàm v có không quá một đạo hàm suy rộng Thật vậy, giả sử u1

và u2 là hai đạo hàm suy rộng của hàm v Khi đó

0

Do đó u1 = u2 hầu khắp nơi trong

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm (theo nghĩa cổ điển) Để lấy ví dụ ta lấy v x f x1 g x Khi đó 2

1.3.2 Không gian Sobolev

Không gian W p m là không gian bao gồm tất cả các hàm u x L p , sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp , m thuộc L p được trang bị chuẩn

m p

p W

m

Không khó khăn, ta kiểm tra được m

p

W là không gian Banach với

1 p và là không gian Hilbert với p 2 Không gian m

p

W với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev

Trong luận văn này, chúng tôi giả sử là một miền bị chặn trong ¡ n

(n 2) với biên Hơn nữa, giả sử rằng \ 0 trơn vô hạn và trùng với nón : x

x

đây G là một miền trên mặt cầu đơn vị n 1

S với biên G trơn

Kí hiệu Q T 0,T , S T 0,T , G T G 0,T , G G 0,T

với 0 T ;Q t 0,t với 0 t T

Giả sử l, k và h là những số nguyên không âm; , là những số thực với 0 Trong luận văn này chúng tôi thường sử dụng các không gian hàm sau

:

l

l H

H - không gian Soblev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo

được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn

1

2 2

Wl

- không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo

được u x có đạo hàm suy rộng đến cấp l, thỏa mãn

1

2 2

2

,

T T

hàm đến cấp l theo biến x và cấp k theo biến t, thỏa mãn

,

1 2 2

,

T

đo được u x t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn ,

1 ,

2 2 1

,

T

đo được u x t có đạo hàm đến cấp l theo hai biến x và t, thỏa mãn ,

trong không gian l

H , xác định trên (0,T) và có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn

1

,0 ,

2

2 ,

0 0

:

T h

l

j T h

t j

V e S - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị

trong H l 1 , xác định trên 0,T và có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn

1

1,0 2

2

2 ,

0 0

:

T h

l

j T h

t j

L e T - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị

phức đo được u t có đạo hàm theo t đến cấp h, thỏa mãn

1

2 2

2 2 , 0,

0 0

:

T h

L T L - không gian gồm các hàm nhận giá trị trong không

gian L2 , xác định trên 0,T và thỏa mãn

Chương 2 Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình Hyperbolic

trong trụ vô hạn

2.1 Giới thiệu:

Các bài toán giá trị biên elip trong miền xác định với các điểm bất thường được xem xét ở bài báo [1,2], trong đó một số quan trọng về sự tồn tại duy nhất của nghiệm và sự khai triển tiệm cận của nghiệm cho các bài toán đó trong không gian Sobolev được đưa ra Tính trơn của các nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình eliptic bậc 2 trong miền xác định với biên được

mô tả ở [3] Bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình và hệ thống bất định trong miền xác định với các điểm hình nón được nghiên cứu trong các công trình [4,5] Bài toán với điều kiện biên Neumann trong miền xác định với biên được giải quyết cho phương trình nhiệt kinh điển ở [6] và cho phương trình parabolic bậc 2 nói chung ở [7] Bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình hyperbolic bậc 2 trong hình trụ với đáy không trơn được khảo sát ở [8] và bài toán tương tự cho phương trình Schrodinger được mô tả ở [9,10], trong đó tính trơn của nghiệm được nghiên cứu trong hình trụ với đáy bao gồm các điểm hình nón Trong bản luận văn này, chúng tôi xem xét phương trình hyberbol bậc 2 với điều kiện Cauchy-Neumann trong hình trụ với đáy chứa các điểm hình nón Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn đối với sự biến đổi của các nghiệm tổng quát của bài toán được đưa

ra

Bản luận văn được trình bày như sau Phần 2 nói về các ký hiệu và sự thiết lập của bài toán Phần 3 trình bày về sự tồn tại duy nhất và tính trơn của nghiệm tổng quát của bài toán đối với biến thời gian Phần 4 đưa ra tính trơn

của nghiệm tổng quát đối với biến không gian Phần cuối ứng dụng kết quả phần 3 và 4 vào một vấn đề trong vật lý toán

2.2 Thiết lập bài toán

là một miền bị chăn trong ¡ n

, n 2 với biên Chúng ta giả thiết rằng là một bề mặt khả vị vô hạn lần trừ điểm gốc, trong miền lần lận của trung với hình nón K { : /x x x G , với G là một miền trơn trên hình }cầu đơn vị n 1

u u t là đạo hàm chung bậc k đối với t

Chúng ta bắt đầu với việc đưa ra một số không gian hàm được sử dụng thường xuyên trong bản luận văn này

( )

l

W là không gian chứa tất cả các hàm u(x), x , với chuẩn:

1 2 2

l

p W

2 2

2 0

x trong đó pháp tuyến đơn

vị ngoài với S Ta xem xét bài toàn sau trong hình trụ T T

Bổ đề 2.2.1 Giả thiết rằng điều kiện (2.2.1) được thỏa mãn Như vậy

tồn tại 2 hằng số 0 0 và 0 0 sao cho bất đẳng thức sau

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

kiện 2.2.1 và thỏa mãn điều kiện sau:

( , )

sup ij ;

x t

a a

ta thu được

1 2

theo bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta có J b( ) 0 với mọi b [0, 0/ 2 ]C

Theo đó: u x b, 0 với mọi b [0, 0 / 2 ]C Một cách tương tự, ta có thể

chứng minh rằng u x b, 0 với b [ 0/ 2 ,C 0 /C hầu khắp nơi Với một ]quy trình như vậy, sau hữu hạn bước, ta thu được u x b, 0 với a.e [0, ]

b Vì là bất kỳ nên u x t1( , ) u x t Bổ đề được chứng minh 2( , )