Tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Với sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi chân thành cảm ơn PGS TS Tạ Duy Phượng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên, Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc Nội trú tỉnh Điện Biên, các bạn đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu

Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới gia đình, người thân đã động viên và giúp đỡ rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, được hoàn thiện và bổ sung trên cơ sở những nhận xét đánh giá và góp ý các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ và những trao đổi của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Loan

MỤC LỤC

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……….… 2

Mục lục……… ……… 3

Mở đầu……… ……… 5

Chương I Kiến thức cơ bản ……… 9

1.1 Tập lồi……….……….… 9

1.2 Bao lồi của một tập 10

1.3 Nón lồi 10

1.4 Nón sinh bởi một tập 11

1.5 Phần trong và phần trong tương đối của một tập 11

1.6 Hàm lồi 11

1.7 Hàm tựa lồi 12

1.8 Hàm tựa lồi nửa ngặt 13

1.9 Hàm tựa lồi hiển 14

1.10 Hàm nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên 14

Chương II Tính giảm được của bài toán tối ưu pareto 17

2.1 Quan hệ thứ tự và tối ưu theo nón 17

2.2 Điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập 18

2.3 Tập m bất biến 20

2.4 Tập nón-tia 22

2.5 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto 34

2.6 Tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto 35

Chương III Quan hệ giữa bài toán tối ưu theo thứ tự từ điển và tính giảm được của bài toán tối ưu pareto 41

3.1 Quan hệ nón theo thứ tự từ điển 41

3.3 Thứ tự từ điển……….………… 45

3.3 Hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển 46

3.4 Quan hệ giữa tính giảm được của bài toán tối ưu theo thứ tự từ điển và bài toán tối ưu Pareto 53

Kết luận 59

Tài liệu tham khảo 59

i m và tồn tại một chỉ số i sao cho 0 f i0( )x  f i0( ),x thì xD tốt hơn

xD (theo tiêu chuẩn min), do đó xD không thể được gọi là tối ưu

Điểm xD được gọi là điểm tối ưu Pareto yếu của bài toán (P) nếu không tồn tại một điểm xD sao cho f x i( ) f x i( ) với mọi i 1, 2, , m

Tập các điểm tối ưu (tối ưu yếu) được kí hiệu là Min D f (  WMin D f )  

toán tối ưu hai mục tiêu) và Học giỏi; hoặc Đạo đức tốt; hoặc Sức khỏe tốt (các bài toán tối ưu một mục tiêu)

Ta có bài toán thú vị sau đây: Hãy chỉ ra quan hệ giữa tập nghiệm của bài toán tối ưu ban đầu (có m mục tiêu) với tập nghiệm của các bài toán con của

nó Có hay không một công thức biểu diễn tập nghiệm của bài toán ban đầu qua tập nghiệm của các bài toán con của nó Nếu có, ta có thể giải các bài toán con với số mục tiêu ít hơn, nói chung, dễ hơn Từ đó dễ dàng hơn trong khảo sát tập nghiệm của bài toán ban đầu

Bài toán này lần đầu tiên đã được Lowe, Thisse, Ward và Wendell ([6], 1984) giải quyết cho trường hợp hàm vectơ f là tuyến tính hoặc lồi, Malivert và

Boisard ([7], 1994) cho trường hợp f là tựa lồi chặt Các tác giả này đã đưa

ra công thức biểu diễn tập nghiệm yếu của bài toán ban đầu qua tập nghiệm mạnh của các bài toán con và của chính nó, tức là

là giảm được (reducible)

Các kết quả của Malivert và Boisard ([7], 1994) đã được trình bày và phân tích trong luận văn của Hoàng Mai Hương ([1], 2005) Sun ([12], 1996) đã chứng minh công thức (*) cho lớp hàm vectơ tựa lồi chặt có một thành phần

là tựa lồi mạnh Tạ Duy Phượng và Mai Quang Tâm ([2], 1998) đã mở rộng

kết quả của Sun cho lớp bài toán với f là hàm F  tựa lồi chặt

Gần đây, N Popovici ([8]-[11], 2005-2008) đã đưa ra tiêu chuẩn giảm được

cho bài toán (VOP) với hàm f tổng quát hơn hoặc với tiêu chuẩn tối ưu theo

thứ tự từ điển

Một số tính chất của tập nghiệm (tính liên thông, tính co rút được,…) của bài toán ban đầu có thể được nghiên cứu dựa trên công thức (*) biểu diễn tập nghiệm (xem, thí dụ, [2], [8], [9], [10], [11])

Luận văn có mục đích nghiên cứu tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu, chủ yếu theo các bài báo gần đây [8]-[11] của N Popovici

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn có mục đích trình bày các kết quả mới gần đây về tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu, chủ yếu dựa trên bốn bài báo của N Popovici Luận văn gồm ba Chương

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương 2: Tính giảm được của bài toán tối ưu Pareto

Chương 3: Quan hệ giữa tính giảm được của bài toán tối ưu theo thứ tự từ

điển và bài toán tối ưu Pareto

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các kết quả mới về tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tính giảm được của Bài toán tối ưu đa mục tiêu

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán tối ưu

đa mục tiêu và tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm và lí thuyết tối

ưu để tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp của luận văn

Hy vọng luận văn sẽ được các sinh viên và học viên cao học sử dụng như là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt trong nghiên cứu tính giảm được và cấu trúc tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Tập D X là một tập khác rỗng trong không gian tuyến tính X D được gọi .

là lồi nếu nó chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của nó, tức là nếu

1, 2

x x D thì l x x1,2  t : 1t x 1tx2D với mọi t  0;1

Nhận xét 1.1.1 Giả sử D X là tập lồi và x iD i, 1, , l Khi ấy tổ hợp lồi

của các điểm x cũng thuộc , i D tức là

1

l

i i i

1.2 Bao lồi của một tập

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A X được gọi là bao lồi của tập A và

được kí hiệu là co A

Nhận xét 1.2.1

- coA là tập lồi nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm thức) chứa tập A

- coA trùng với tập hợp chứa tất cả các tổ hợp lồi của : A

  với mọi xC,   suy ra C là nón Chọn  0   1 ,    0,1 ta

có  x y x1yC. Suy ra C là tập lồi Vậy C là nón lồi

Nón lồi C được gọi là nhọn nếu C  C   0

Nhận xét 1.3.1 Ta cũng có thể định nghĩa nón lồi như sau: tập C là nón lồi

khác rỗng trong X nếu C bất biến với phép nhân với các số thực không âm

và C bất biến với phép cộng, tức là C  C và CCC

1.4 Nón sinh bởi một tập

Nón C A: x x: A,0 được gọi là nón sinh bởi tập A

Nón C coA được gọi là nón lồi sinh bởi tập co A

Nhận xét 1.4.1 Nếu A là tập lồi thì C là nón lồi và A C A CcoA

1.5 Phần trong và phần trong tương đối của một tập

Phần trong của tập D   kí hiệu là n, int ,D là tập

trong đó B là một lân cận của gốc tọa độ và affD là không gian affine bé

nhất chứa D Tập D được gọi là mở tương đối nếu ri DD

Biên của tập D kí hiệu là bdD được định nghĩa như sau:

Hàm f D  : được gọi là tựa lõm trên tập lồi D nếu f là tựa lồi trên D .

Nhận xét 1.7.1 Nếu f là hàm lồi trên tập lồi D thì f là hàm tựa lồi trên D

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi D Khi ấy với mọi x x1, 2D

Vậy f là hàm tựa lồi trên D

Nhận xét 1.7.2 Nếu f là hàm tựa lồi trên tập lồi D thì

 

1 1

l

i i

t t

1.8 Hàm tựa lồi nửa ngặt

function) trên tập lồi D nếu

hoặc rỗng hoặc là tập chỉ gồm một điểm

Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn tại x x1, 2D và t t1, 2T x x1, 2,

1 2

1.9 Hàm tựa lồi hiển

Hàm f D   được gọi là tựa lồi hiển (explicitly quasiconvex function) :

trên tập lồi D nếu nó đồng thời là tựa lồi và tựa lồi nửa ngặt

1.10 Hàm nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên

Giả sử D là một tập mở khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính X ,0

x X Ta đã biết khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới:

   

0 0

0

0

0 0

Định nghĩa trên tương đương với: Hàm số f D   được gọi là nửa liên :

tục trên tại điểm x0D nếu với mỗi dãy con  x k D hội tụ tới x mà 0

Nhận xét 1.10.1 Mọi hàm lồi là tựa lồi hiển và nửa liên tục trên trên đường

thẳng Hàm tựa lồi nửa ngặt và nửa liên tục dưới trên đường thẳng là tựa lồi

hiển

Tuy nhiên, hàm tựa lồi nửa ngặt và nửa liên tục trên trên đường thẳng không

nhất thiết là hàm tựa lồi

Ví dụ 1.10.1 : cho bởi  x  , 0   x \ 0  và  0 1

Giả sử  x1 (x2) Khi ấy chỉ có thể x  và 0 x 2 0 Do đó với mọi

CHƯƠNG II

TÍNH GIẢM ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO

2.1 Quan hệ thứ tự và tối ưu theo nón

Cho không gian Euclid  m, m 2, với cơ sở chính tắc  1 

I  m Với mỗi vm,iI m ta kí hiệu v là tọa độ thứ i của vectơ v i

Với mỗi I  I m, ta kí hiệu nón lồi đóng

Hiển nhiên C là nón vì nếu I v   thì m v  với mọi i 0 i Suy ra I  v cũng

có tính chất  v i  với mọi 0 iI hay   v C I

Hơn nữa, C là nón lồi vì hai vectơ I uC I và v C I thì u  và i 0 v  i 0 với mọi i Suy ra I u i v i  với mọi 0 i Do đó I u v C I hay C là nón lồi I

Nón C là đóng vì nếu dãy các vectơ I v( )k C I hội tụ tới vectơ v tức là các ,tọa độ v i( )k hội tụ tới tọa độ tương ứng v của i v với mọi iI m Do v i( )k  0nên i lim i( )k 0

k



  với mọi i hay I v C I Vậy C là nón đóng I

Phần trong của C được kí hiệu là I intC I vm| i I v: i 0 

Nhận xét rằng intC là tập mở khác rỗng nếu I I   Thật vậy, nếu vintC I

thì v  với mọi i 0 i Do đó tồn tại số I   (0 0 minv i i, I) sao cho

v  BC vì v i  i i b  với mọi i0  và với mọi vectơ b I B (B là hình

cầu đơn vị của  ) Vậy intm C là tập mở I

Với mỗi II m khác rỗng thì intC   I Do đó mỗi nón C với I   I I m

sinh ra trên  ba quan hệ hai ngôi , m I I,

2.2 Điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập

Vì bài toán tối ưu đa mục tiêu có thể đưa về bài toán tìm các điểm hữu hiệu và

điểm hữu hiệu yếu của tập ảnh nên trước tiên ta trình bày các khái niệm điểm

hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của một tập trong không gian Euclid  m

Trong tối ưu hóa vectơ, tập các điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập

con Y trong  theo nón lồi m C I,  I I m được định nghĩa bởi (xem, [7]):

MinI Y WMinI Y WMinJ Y bdY nếu  I J I m (2.2.1)

Chứng minh Giả sử y0MinI Y Khi ấy y0WMinI Y Thật vậy, nếu 0

WMinI

y  Y thì phải tồn tại y Y để yI y0, tức là y i  y i0 với mọi i I

Có nghĩa là, tồn tại điểm y để tức là Y y i  y i0 với mọi iI và tồn tại j I

(thực ra là với mọi i ) sao cho I y j  y0j Chứng tỏ y0MinI Y Vô lí Vậy

ta có y0WMinI Y

Giả sử y0WMinI Y Khi ấy y0WMinJ Y với  I J I m Thật vậy, nếu y0WMinJ Y thì phải tồn tại y Y để yJ y0, tức là y i  y i0 với mọi

i  Do I I J nên ta cũng có y i  y i0 với mọi i Chứng tỏ I.0

Nếu affY   thì mọi y m  có dạng Y y0,y2T  0m1 aff Y Do đó không tồn tại y mà Y y y0WMinY (vì

y y y Y (y2affY) Chứng tỏ mọi y0 là nghiệm yếu của tập Y Y

hay bdY WMin Y Mặt khác, WMinY bd Y

2.3 Tập m bất biến

Định nghĩa 2.3.1 Tập Y của  được gọi là tập m m

 

bất biến (upward set) nếu Y m Y

Tập m bất biến đóng vai trò quan trọng trong tối ưu vectơ bởi vì nghiên

cứu tập nghiệm (tập nghiệm yếu) của một tập bất kì Y   có thể đưa về m

nghiên cứu tập nghiệm (tập nghiệm yếu) của tập Y   Ta có m

MinY Min Y  m và WMinY WMinY  m

Chứng minh Giả sử y0MinI Y, tức là y0 và không tồn tại y Y Y  sao cho 0,

I



 tức là không tồn tại y sao cho Y y i  y i0 với mọi i và tồn I

tại một chỉ số j sao cho I y i  y i0 Vì 0  nên ta cũng có m

Vậy MinI Y Y MinIY m

y Y  Y  tức là y0 và Y 0  

do đó không tồn tại y Y   sao cho m y i  y i0 với mọi iI Hiển nhiên khi

ấy cũng không tồn tại y Y sao cho y i  y i0 với mọi i (bởi vì nếu tồn tại I

y sao cho Y y i  y i0 với mọi i thì cũng tồn tại I y  y 0 Y   sao mcho y i y i0 với mọi iI Vô lí) Vậy YMinIY mMinI Y Kết hợp lại ta được

MinI Y Y MinI Y  mĐẳng thức

WMinI Y Y WMinI Y  mchứng minh tương tự

Bổ đề dưới đây rất có lợi trong các nghiên cứu tiếp theo

Bổ đề 2.3.1 ([9], Lemma 1) Cho Y là một tập con của m Khi ấy với mỗi tập con I khác rỗng của I thì m

Y YC  Y (2.3.2) Đặc biệt nếu Y là tập m

tại vectơ y sao cho Y y I y Suy ra yI yI y hay yI y. Mâu thuẫn với yWMinI Y Do đó

Định nghĩa 2.4.1 Cho nón C   m Tập A   được gọi là tập n

Cradiant (hay tập bất biến đối với nón C theo tia) nếu

ray a a,  :a aa  A với mọi a a, A a,  a C

Nói riêng, A là n radiant khi và chỉ khi với mọi a a,  với a A   ta có a

xA a vì xCAa Aa Suy ra axat a aA với mọi t  hay 0 raya a, :aaa A

Đảo lại, nếu raya a, :aaa A với mọi a a, A a,  a C thì

Nói cách khác, không tồn tại điểm yY để y y0 cả, hay mọi

y     Y đều là điểm hữu hiệu yếu

Vậy bdY W min Y Do ta luôn có y0W minY bdY nên

W minY bd Y

Hơn nữa WMinY bdY là tập 2 radiant Thật vậy, cặp a a, WMin ,Y

a   tồn tại khi a có dạng a a( ,0)a1 hoặc a(0,a2).Hiển nhiên khi ấy

Hình 2

 thậm chí không liên thông

Định lí 2.4.1 ([8], Theorem 1) Giả sử Y   là tập m m bất biến Khi ấy các khẳng định sau là tương đương

Giả sử A thỏa mãn Theo (1) với mỗi 1  II m ta có

MinI Y  WMinI Y  WMin Y Do đó

cho WMinZ là m radiant

Ta bắt đầu bằng chứng minh P(2) đúng

Cho Z là tập 2 bất biến sao cho WMinZ là 2 radiant.

Giả sử phản chứng, khẳng định P(2) không đúng, tức là tồn tại z0 sao cho

2

0WMinZ \ MinI



 nên z z0 với r r  Mà n.0

zz zTheo giả thiết, tập WMinZ là 2 radiant, mà z z0, WMinZ nên ta có

1 2 m 1,

j  j   j  j kJ m 1, 2, ,m k, 1, 2, ,m1 Do tồn tại duy nhất một song ánh tăng  J :I m1J từ tập I m11, 2, ,m1 vào tập ,J ta có

thể định nghĩa phép chiếu  J :m  xác định bởi m

 i Vì WMinJ Z Z, nên ta chỉ cần chứng minh rằng,với bất kỳ zZ, điều

t  sao cho a:at a aWMin J Z Vì theo (iii)  J Z là 1

Giả sử z z z z,   , Z sao cho a J Z , a  J Z ,a  J Z và

Dễ dàng kiểm tra được:

Theo (i) ta có u u, WMinJ Z

Từ đây theo công thức (2.2.1) trong Nhận xét 2.2.1 ta suy ra ,u u WMin Z