CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1.. Chứng minh các bất đẳng thức sau a.. Áp dụng 1 chứng minh các bất đẳng thức sau a.. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các b
Trang 1CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc d a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
e a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae
với a, b, c > 0
g a + b + c ≥ ab bc ca với a, b, c ≥ 0
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a3 b3 a b 3
với a, b ≥ 0 b a4 + b4 ≥ a³b + ab³
c a4 + 3 ≥ 4a d a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0
e a4 b4 a62 b62
; với a, b ≠ 0 f 1 2 1 2 2
1 ab
1 a 1 b ; với ab ≥ 1
g (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > 0
Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu a 1
b thì a a c
(1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a b b c c a
a b c b c d c d a d a b
c 2 a b b c c d d a 3
a b c b c d c d a d a b
Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a (a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca) b 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
c a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
Bài 5 Cho a, b không âm Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a b abc b c abc c a abc abc với a, b, c > 0
b 3 13 3 13 3 13
a b 1 b c 1 c a 1 ≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1
c 34(a3b )3 34(b3c )3 34(c3a )3 ≥ 2(a + b + c) với mọi a, b, c ≥ 0
Bài 6 Chứng minh bất đẳng thức Mincốpxki: a2x2 b2y2 (a b) 2 (x y) 2 (1)
Áp dụng (1) thực hiện các yêu cầu sau
a Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1 Chứng minh: 1 a 2 1 b 2 5
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 12 b2 12
c Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh: x2 12 y2 12 z2 12 82
d Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 223 x 2 223 y 2 223 z 2
Bài 7 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh
Trang 2a ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)
b abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0
d a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³
HD: a Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c²
b Gợi ý a² > a² – (b – c)²
c Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
d Phân tích thành nhân tử
Bài 8 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
a (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc
c (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (13abc)3 d bc ca ab
a b c ≥ a + b + c
b c c a a b 2
Bài 9 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a (a³ + b³ + c³)(1 1 1)
a b c ≥ (a + b + c)²
b 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
c 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³
HD: a Chú ý: a3 b3
b a ≥ 2ab
b Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b)
c Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
Bài 10 Cho a, b > 0 Chứng minh 1 1 4
a b a b (1) Áp dụng chứng minh
a b c a b b c c a với a, b, c > 0
a b b c c a 2a b c a 2b c a b 2c với a, b, c > 0
c Cho a, b, c > 0 thỏa 1 1 1 4
2a b c a 2b c a b 2c
; với a, b, c > 0
e Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + 2y + 3z = 12 Chứng minh: x 2y 2y 4z2xy 8yz 4z x4xz
f Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh
p a p b p c a b c
HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1)
d (1) <=> ab 1(a b)
e Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12
f p a p b1 1 p a p b4 4c
Bài 11 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 9
ab c a b c (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đẳng thức
a (a² + b² + c²)( 1 1 1 )
a b b c c a ≥ 3(a + b + c)/2
Trang 3b Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 1 y 1 z 1x y z
c Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 1 2 1 2 1
d Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng 2 12 2 ab bc ca1 1 1
a b c ≥ 30 Bài 12 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a y = x 18
2 x ; với x > 0 b y = x 2
2 x 1 ; với x > 1
c y = x 5
1 x x ; với 0 < x < 1 d y = 2x3 2x2 2 1
x
với x > 0 Bài 13 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ 4 b y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3
c y = 2
| x |
2
x
Bài 14 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² ≥ 2 với a + b = 2 b 3a² + 5b² ≥ 735
47 , với 2a – 3b = 7
c a² + b² ≥ 4/5, với a + 2b = 2 d (x – 2y + 1)² + (2x – 4y + 5)² ≥ 9/5
Bài 15 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² ≥ 1/2, với a + b ≥ 1 b a³ + b³ ≥ 1
4, với a + b ≥ 1
c a4 + b4 ≥ 1/8, với a + b ≥ 1 d a4 + b4 ≥ 2, với a + b = 2
Bài 16 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 1 x 2 1 y 2 1 z 2
Bài 17 Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1 Chứng minh
Bài 18 Cho a, b, c ≥ –1/4 và a + b + c = 1 Chứng minh 7 4a 1 4b 1 4c 1 21
Bài 19 Cho x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a A 4 1
x 4y
, với x + y = 1 b B = x + y, với 2 3 6
Bài 20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 1 y y 1 x , với mọi x, y thỏa mãn x² + y² = 1 Bài 21 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức
a A 7 x 2 x , với –2 ≤ x ≤ 7
b B 6 x 1 8 3 x , với 1 ≤ x ≤ 3
c C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9
Bài 22 Giải các bất phương trình sau
Bài 23 Giải và biện luận bất phương trình sau: m(x 2) x m x 1
Bài 24 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x b mx – m² > mx – 4
Bài 25 Giải các hệ bất phương trình sau
Trang 4a 3x 1 2x 7
4x 3 2x 19
3x 13 4(2x 3)
2 5x x 14 3x 5 11 x
Bài 26 Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau
a
5
7
8x 3
2x 25
2
b
1 15x 2 2x
3 3x 14 2(x 4)
2
Bài 27 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
2x 3m 2 0
mx 3 0
c
2
3x 2 2x 1
(3m 2)x m 0
Bài 28 Giải các bất phương trình
a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b (2x – 7)(5 – x) ≥ 0 c x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0
d x³ + 8x² + 17x + 10 < 0
Bài 29 Giải các bất phương trình
x 3
2 x
+ x ≥ 0
d 2x 3
x 1
≤ x + 1 e 2x2 x
1 2x
≥ 1 – x Bài 30 Giải các bất phương trình
a |5x – 12| < 3 b |3x + 15| ≥ 3 c |x – 2| > x + 1 d |2x – 5| ≤ x + 1
Bài 31 Giải và biện luận các bất phương trình
x 1
x 1
Bài 32 Xét dấu các biểu thức sau
a 3x² – 2x + 1 b (x² – 4x + 3)(x – 5) c 2x² – 7x + 5 d (3x2 2x)(3 x )2
Bài 33 Giải các bất phương trình
a –2x² + 5x < 2 b 5x² – 4x < 12 c –2x² + 3x ≥ 7
d x² – x – 6 ≤ 0 e 3x2 2 x 4 0
Bài 34 Giải các hệ bất phương trình sau
a
2
2
2 2
2 2
d
2 2
4x 7 x
2 2
≤ 1 f 1/13 ≤
2 2
Bài 35 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0
Bài 36 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 37 Giải các bất phương trình
a 2x² < |5x – 3| b x – 8 > |x² + 3x – 4| c |x – 3| – |x + 1| < 2
Trang 5d |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5| e |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0
f 2x 2
2 2
x 3
Bài 38 Giải các phương trình sau
a 3x 5 3x 6 32x 11 b 3x 1 33x 1 3x 1
c 3x 1 3x 2 3x 3
Bài 39 Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a 3x25x 8 3x25x 1 1 b 35x 7 35x 13 1 0
x
Bài 40 Giải các bất phương trình sau
c 2
Bài 41 Giải các bất phương trình sau
a (x 3)(8 x) + x² – 11x + 26 > 0 b (x 5)(x 2) 3 x(x 3) 0
c (x + 1)(x + 4) – 2
Bài 42 Giải các bất phương trình sau
a x2 4x
3 x
Bài 43 Giải các bất phương trình sau
a x + 2 ≤ 3x28 b 3x 1 x 3
Bài 44 Giải các bất phương trình sau
a |x² – 4x – 5| < 4x – 17 b |x – 1| + |x + 2| < 3
c 2|x – 3| – |3x + 1| – x – 5 ≤ 0 d |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4|
e |x – 6| > |x² – 5x + 9| f |x² – 2x – 3| – 2 – |2x – 1| > 0
Bài 45 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4 9
x 1 x với 0 < x < 1
Bài 46 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 1 5 x với 1 ≤ x ≤ 5
Bài 47 Giải bất phương trình
a (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15 b (x + 4)(x + 1) – 2
3 x 5x 2 < 6