Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) và thống kê lượng tử của chúng

Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lí lí thuyết như lí thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lí thuyết

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội 2

hà nội - 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu, hướng dẫn, giải thích cho tôi những phần kiến thức khó mà bản thân tôi không thể tự lĩnh hội được Cô còn luôn động viên tôi mỗi khi tôi gặp khó khăn Sự quan tâm chỉ bảo của cô đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này

Nhân dịp đây cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy

cô giáo trong khoa Vật Lý - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

HỌC VIÊN

Phạm Văn Hợi

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trông luận văn là trung thực.Đó là sự phấn đấu và tìm tòi, tính toán của tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

HỌC VIÊN

Phạm Văn Hợi

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU……….…… 4

NỘI DUNG……… 6

Chương I : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG……… 6

1.1 Dao động bozon biến dạng q……… … 6

1.2 Dao động fecmion biến dạng q……… 9

1.3 Dao động biến dạng R(q)……… 12

Chương II : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ….….15 2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng………….……….15

2.1.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 15

2.1.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 20

2.1.2.1 Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần……… 20

2.1.2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại… 23

2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……… 30

Chương III : THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ……….……36

3.1 Phân bố thống kê của các dao động biến dạng q……….……36

3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q)……… 37

3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……….38

KẾT LUẬN……….…….40

TÀI LIỆU THAM KHẢO………….… 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhóm lượng tử hoặc đại số lượng tử là sự biến dạng của đại số Lie cổ điển Việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã được quan tâm ngày càng nhiều trong những năm gần đây Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lí lí thuyết như lí thuyết tán xạ ngược lượng

tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lí thuyết trường Comfomal hữu tỉ, lí thuyết trường hai chiều với thống kê phân số…

Đại số Heisenberg biến dạng R là sự biến dạng bao gồm toán tử phản

xạ R đã được đưa ra khi tiếp cận đại số spin cao và đã được phát triển bởi các tác giả khác, trong khảo sát cơ lượng tử n mode

Biến dạng R(q) láuwj tổhowpjcuarbieens dạng R và biến dạng q

Hầu hết các tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao động mạng tinh thể Mỗi tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ phonon của nó Phổ phonon quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của chất rắn như: nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt Chính vì vậy mà bài toán dao động mạng tinh thể là một phần quan trọng của vật lý chất rắn Bên cạnh đó nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cũng đã thu hút được sự quan tâm của các nhà vật lý bởi chúng có rất nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý

Vì vậy tôi chọn nghiên cứu đề tài “dao động mạng tinh thể biến dạng

R(q) và thống kê lượng tử của chúng”

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng dao động mạng tinh thể lượng tử biến dạng R(q)

- Tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

- Tính thống kê của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu các dao động tử biến dạng

3.2 Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử biến dạng R(q) và dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dùng phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử

- Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn

- Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết

6 Giả thuyết khoa học (hoặc: Dự kiến đóng góp mới)

Đưa ra một công cụ hiện đại để nghiên cứu dao động tử biến dạng và dao động của mạng tinh thể biến dạng

7 Cấu trúc luận văn

Chương I : Dao động biến dạng

1.1 Dao động bozon biến dạng q

1.2 Dao động fecmion biến dạng q

1.3 Dao động biến dạng R(q)

Chương II : Dao động biến dạng mạng tinh thể

2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng

2.1.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 2.1.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại

2.1.2.1 Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần

2.1.2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

Chương III : Thống kê lượng tử của dao động mạng tinh thể

3.1 Thống kê của các dao động biến dạng q

3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q)

3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)

NỘI DUNG

Chương 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 1.1 Dao động tử Boson biến dạng q

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử

hủy và toán tử sinh dao động tử â, â + thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:



a

a ˆˆ - N

q a

aˆˆ   (1.1) Với q là thông số biến dạng

Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

q

q n n n

ˆ ˆ , ˆ

ˆ ˆ , ˆ

|

!

) ˆ

|

q

n q

n n

n n

q q

q q n

1

2

1

ˆ ˆ ( 0

| )

q

n q

a q a a a

a

n

a a a n

a

a

= N ˆ)n1  ˆˆ ˆ)n1 | 0 

a a a a

q

= qN aˆ  )n 1  aˆ  (q aˆ  qN)(a)n 2 | 0  = qN aˆ  )n 1 qN 2 aˆ  )n 1 q2 aˆ  ) 2a(a)n 2 | 0 

q q

a a

Vậy:

n n

n q q

q q

ˆ(0

|

!

)ˆˆˆ

|ˆ

ˆ

q

n N

a a n

|

!

) ˆ ˆ ˆ

q

n N q

n

n

a q n

a a a

q q n n

n q n q q

q q

q

n n n n

n q

q

q q q q

1 1 1 1

n n

n q q

q q

1 1

n n n a

n n n a a

|

| ˆ ˆ

Hamiloniam được biểu diễn qua toán tử tọa độ xˆvà toán xung lượng pˆ

có dạng:

2 2 2

ˆ 2

1 2

ˆ

m p

Toán tử hủy và sinh dao động tử 

i x

m a

p m

i x m a

ˆ ˆ

2 ˆ

ˆ ˆ

2 ˆ

a a m x

ˆ ˆ 2 ˆ

ˆ ˆ 2 ˆ

1 2 Dao động tử Fermion biến dạng q

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử sinh dao động tử bˆ và hủy dao động tử bˆ thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán như sau:

0 ) ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 2

q b b

(1.11) Với q là thông số biến dạng

Trong phương trình (1.11) nếu q = 1 thì trở về hệ thức phản giao hoán của dao động tử điều hòa

Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng và trị riêng:

q

q n n n

ˆ ˆ , ˆ

ˆ ˆ , ˆ

q q

n

n n n

 n q!   n q.n 1 q.n 2  q 1q (1.16) Tác dụng bˆ,bˆbˆ lên trạng thái riêng |n qta được

n

q

n q

b b b q b

b

n

b b b n

0

| ˆ

ˆ

0

| )

ˆ (

ˆ

0

| ˆ

ˆ

1 1 2

1

2 2

2 1 1 1

2 1

1 1

a b q b

q q

q q

b b b q b

q b

q

b b b q b b

q

b b b b

q

n n n n N N

N N

n n

N n N

n N

n N

n n

ˆˆ

b b q b q q

q b

b

n q q

q b

bˆˆ| 0    1  2   1| 

q

n n n

n q

q

q q

 n q n q b

n

b b n b

n

b b b n

b q

n

b b b q

N

q n q

n N

q

n N

| ˆ ˆ

|

!

) (

0

|

!

) ( ˆ ˆ

Mặt khác: bˆbˆ|nq  n q |nq

q

n n n

q N

q q

q q

q n q n

q

n n n

n

n q

q

q q

1 1

q

n n n

q

q

n n n n

n q

n q

q

q q

n b

n q

q

q q q

q n b

| ˆ

| )

1 (

| ˆ

1

1 1

1

1 1 1

pˆcó dạng:

2 2 2

ˆ 2

1 2

i x

m b

p m

i x

m b

ˆ ˆ

2 ˆ

ˆ ˆ

2 ˆ

m i p

b b m x

ˆ ˆ 2 ˆ

ˆ ˆ 2 ˆ

aˆ   ˆ  ˆ = 1+ R

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 1

a qR R a

ở đây | 0 là trạng thái chân không và thỏa mãn:

0 0

|

1 0

| 0

1 ˆ

a R q

q n a

n a

n n n a a

q

q

| 1

| ˆ

|

| ˆ ˆ

n q

|

!

) (



(1.28)

nm m

p v

) 1 ( ) 1 ( 1 ˆ , ˆ

p a a a N

p a

a a m x

ˆ ˆ 2

ˆ ˆ 2

2

ˆ ˆ 2

a a aa H

, 2 ˆ 2 ˆ

|

!

) ( ˆ ˆ ˆ 2

n

a a a a n

q q n

E

n n n

) 1 ( 2

2 2

1 v n

E n

Chương 2: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ

2.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng

2.1.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại:

2 2 2

ˆ 2

1 2

k

k k

k

p m

i u k m k a

p m

i u k m k a

ˆ ˆ

( )

( 2

1 ˆ

ˆ ˆ

( )

( 2

1 ˆ

) ( 2

) ( 2

1 ˆ

) ( 2

1 ˆ

) ( ˆ

) ˆ ˆ 2

) ( ) (

1 ˆ

k k

a a k m i p

a a k k

m u

   

ˆ ˆ  0 ,ˆ ˆ  0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

, , ˆ ˆ ,

' '

' , '

'

' , '

k

k k N k k k k

k k k k

k k k k k k

a a a

a

q a a a a

a a

N a

a N

k





(2.4)

Nếu thay Hˆcho bởi (3.11) chúng ta xem xét Hamiltonian Hˆcủa dao

động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại cho bởi:

2

1 ˆ ˆ 2

1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4

) (

k k k k k k k k k

k k

k k k k k k k k

a a a a a a a a k u

u k m a

a a a a a a a k

) (

ˆ ( 1 )

k k k k k

a a a a

k k k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k k

a a i

a a a a i

a a a a a a a a a a a a i

a a a a a a a a i

ˆ , ˆ

) ˆ ˆ ˆ ˆ

) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

) ˆ ˆ )(

ˆ ˆ ) ˆ ˆ )(

ˆ ˆ 2

2 2

2 2









q k q k

n k n k

n n

a a n

k k

n n

n n

q q

q q n

k k

1

2 1

1

| 1

| ˆ

n n n a

n n

n a

q k k

q k k

(2.11) Thật vậy:

1

|

| ˆ

n n

a

n n

a

n k

n k

n n n

a a n n

k

N k k k

k q

k

k k q

k

| ˆ

ˆ

|

| ˆ ˆ

|

|

| 1

|

1 1

2 2





1 2

1

1 2

1

1 1

|

|

| 1

n n

n n

N k

k

q q

n n q n

n q

n q

n n a a q n

1 2

n

n n q

k

q k n

q n q

q q

 

 k q

n

q k

n n

n

n n

n n

n

n n

n n n

n

n q

q

q q

q q

q q

q q

q q q

q q q

k k

k k

k k

k k k

2

1

1 1

1 1

2

1 1

2 1

Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi

nguyên tử cùng loại cho bởi:

) (

| ˆ ˆ

| ˆ ˆ 2

) (

a a a a n

n

a a a a k

n q

k q k

n k n k k k q

k q k

n k n k k k k

k k

k k

| 0

|

!

!

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

|

!

!

ˆ ˆ ˆ ˆ 2

) (

a a

a n n

a k

n

n k k k q k q k

n k n

k k q k q k

n k k

k k

k k

| 0

| ˆ ˆ ˆ

!

!

ˆ 0

| ˆ

ˆ

!

!

ˆ 2

n k k

n n

a n

ˆ ( 0

|

ˆ

k N k k n

)

ˆ ˆ ˆ

) (

0

| ˆ

) ˆ

ˆ ( ˆ ˆ

ˆ

0

| ˆ

) ˆ

ˆ ( ˆ ˆ

2 2 4

2

3 3

3 1 4

2

3 2

2 1 2

1

2 1

k n k n n k n N N

N N

n k k k n

k N N

N

n k N k k k n

k N n

k N

n k N k k k n

k N

a a q a

q q

q q

a a a q a

q q

q

a q a a q a q a

q a

q

a q a a q a q a

q

k k k k

k k

k k

k k

k k

k

k k

k k

k k

k k

k k

                        



0

| ˆ ˆ ˆ

)

( 0

| ˆ

ˆ

k n k n n k n N N

N N

n k

q

q n k n k

| 1

| ˆ ˆ

!

!

ˆ k n k 1

k k q k q k

n k

a a n n a

| ˆ ˆ ˆ

0

| ˆ ) ˆ

ˆ (

k k k

k k

n k N n

k k k

n k N k k

a q a

a a

a q a a

!

!

ˆ

| ˆ

ˆ

0

| ˆ ˆ

ˆ )

( 0

| ˆ ˆ

ˆ

1

1 1

2 5

3 1

k k

k k k k

k k

k k

k

n k k q k q k

n k k

k

k n k n n k n N N

N N

n k k

k

a a n n

a n

a

a

a a

q a

q q

q q

a a

q

q q

n q

q

q q

q q

n q q

q

q q q

k k

k k

k k

k k k

n n

n n

n n

n n n

1

1 1

1 1

2.1.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại

2.1.2.1 Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần

Hamiltonian của hệ dao động biến dạng q được cho bởi:

j j j j

j

x m m

p H

1

2ˆ 2 2

2

1 2

j j j j j j j

p m

i x

m a

p m

i x

m a

ˆ ˆ

2 ˆ

ˆ ˆ

2 ˆ

) ˆ ˆ 2

j j j j j

a a

m p

a a m x

ˆ ˆ 2

ˆ ˆ 2

a a a a a a

m



(2.15) được viết thành:

   2 21

2 2

) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4

j

j j j j j j j

a a a a a a a

a a a a a

a a a a H

1

) ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ij N i j j i

a a N

a a N

q a a a

ˆ ˆ , ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

|

q j q i

n j n i

n n

a a n

j k

1

| 1

| ˆ

| ˆ

| ˆ

0 0

| ˆ

n n n a

n n

n a

n n n N a

q i i

q i i

i i

(2.21)

Và sử dụng ký hiệu:

q q

q q n

j

n q j

1

|

| ˆ

n n

a

n n

a

n k

n j

n n n

a a n n

N j k k

j q

i

n n

k j q

i

| ˆ

ˆ

|

| ˆ ˆ

|

|

| 1

|

1 1

2 2





1 2 1

1 2

1

1 1

n n

N j

k

q q

n n q n n q

n q n n a a q n

n n

n

n n

n n

n

n n n n

n q i n

n n

q

i

n

n q

q

q q

q q

q q

q q

q q q

q q q

q n q

q q

n

i i

i i

i i

i i i

i i

1

1 1 1

1 2

1 1

2 1

1 2

1

1 2 1

n E n a a a a

n n

j

j j N j j j

n n

j

j j j j j

j

|

| ) ˆ ˆ ˆ

ˆ ( 2

|

| ) ˆ ˆ ˆ ˆ 2

n

j

N j

|

ˆ

ˆ

q j q i

n j n i j j j

j

n n

a a a a n

a

a

j i

n

i a a a n

n a

       



0

| ˆ ˆ ˆ 0

| ˆ

ˆ

j j j n

)

) (

0

| ˆ ) ˆ

ˆ ( ) ˆ ˆ

ˆ

0

| ˆ ) ˆ

ˆ ( ˆ ˆ

0

| ˆ ) ˆ

ˆ (

1 2

2 4

2

3 3

3 1 4

2

3 2

2 1 2 1

2 1

1

j n j n n j n N N

N N

n j j j n

j N N

N

n j N j j j n

j N n

j N

n j N j j j n

j N

n j N j j

a a q a

q q

q q

a a a q a

q q

q

a q a a a q a

q a

q

a q a a a a

q

a q a a

j j j j

j j

j j

j j

j j

j

j j j

j j

j

j j j

j

j j

q q

n a

a

a a q a q

q q

q a

a

a

j j

j j

j j j j

j j

j j

j

n n

n n

j j

j n j n n j n N N

N N

n j j

j

| )

(

| ˆ

ˆ

0

| ˆ ˆ ˆ

)

( 0

| ˆ

ˆ

ˆ

1 5

3 1

1 1

2 5

3 1

q

q n i n i

| 1

q q

n

j

n n n

i i

|

| )

1 ( 2

n n j n

n

j

n n

n n n n

j n

q q

q q q q

q q E

q q

q q

q q q

q E

j j

j j

j j

j j j j

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1 1

E

1

1 2

Hamiltonian của chuỗi nguyên tử đó có thể được biểu diễn dưới dạng:

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2

2

1

2

ˆ 2

1 ˆ 2

1 2

ˆ 2

ˆ

M

q M

k

k k

k

k k

k

k k

k

q M

i v M a

q M

i v M a

p M

i u M a

p M

i u M a

ˆ ˆ

2

1 ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ

2 2

2 2

)

2

(

2 2

2 2

)

2

(

1 1

1 1

)

1

(

1 1

1 1

k

k k

k

q M

i v M a

p M

i u M a

ˆ ˆ

2

1 ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ

2 2

2 2

)

2

(

1 1

1 1

aˆ ˆ 2 ˆ

1 1

) 1 ( ) 1 (

2 2

) 2 ( ) 2 (

p



ˆ ˆ 2

M i

q



Toán tử số dao động và các toán tử sinh dao động, hủy dao động thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

i k j k i

k

ij k k i k j k i

k

j k i k j k

i

k

ij k k N i k j k j k i

k

a a

N

a a

N

a a a

a

q a a a

' )

' , ) ) ' )

) ' ) ) (

' )

' , )

' ) ( ) ( ' )

ˆ ˆ

,

ˆ

ˆ ˆ

,

ˆ

0 ˆ , ˆ ˆ

,

ˆ

ˆ ˆ ˆ

2

1 ˆ ˆ 2

1 ˆ ˆ ( 2

1 ˆ ˆ 2

1

2 2 2

2 1 1 1

) 1 (

ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ˆ

ˆ k k a k a k a k a k

M u

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 2

ˆ

ˆ k k a k a k a k a k

M v

v





ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 2

ˆ

k k k k k

k k k k

a a a a a

a a a

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

ˆ , ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 2

k k

k k k k

k k k k k k k k

a a i

a a a a i

a a a a a

a a a i

) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (

) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (

ˆ , ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ 2

k k

k k k k

k k k k k k k k

a a i

a a a a i

a a a a a

a a a i

ˆˆ

|

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( )

2 ( )

1 ( )

1 ( (1) (1) (2) (2)

q k q k q k q k

n k n k n k n k

n n n n

a a

a a

n

k k

k k

n q i k

n n

n n

q q

q q n

i k n i k

1

2

1

)

1 )

) )

Tác động các toán tử aˆk( 1 )  và aˆ (k1 )lên các trạng thái trên |ncó thể thu được:

|

ˆ

) )

) )

n n n

a

n n

n

a

q i k i

k

q i k i

1

|

| ˆ ) )

n n

a

n n

a

n i

k

n i

a a q n n a a n n

n n n

a a n n

i k

N i

k i k i

k i k q

i

k

n n

i k i k q

i

k

| ˆ

ˆ

|

| ˆ ˆ

|

|

| 1

|

1 )

) 1 )

) )

2 2

) ) )

1

1 2

1

1 )

) 1

) ) )

i k

i k

n n

n n

N i

k i k

q q

n n q n n q

n q

n n a a q n

p i k n

n

n n

n n

n

n p i k n

n n p

i k

n

n q

q

q q

q q

q q

q q

q q q

q q q

q n q

q q

n

i k n i

k

i k n i k n i k n i

k

i k

i k n i k

i k

i k

1 2

1

1 2

1 1

2 1

1 )

2 1

1 2

1 )

1 ) )

1 ) 1 ) 1 ) )

) )

)

) )

k k

2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ 2

) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 )

1

(2.37)

ˆ ˆ

ˆ ˆ

| ˆ

ˆ

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

) 2 ( )

2 ( )

1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1 ( )

1

(

) 2 ( )

2 ( )

1 ( )

1 (

q k q k q k q k

n k n k n k n k k k k

k

n n

n n

a a

a a

a a n a

a

k k

k k

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

) 2 ( ) 2 ( ) 1

) 2 ( )

2 ( )

1 (

k k

k k

n k k q k q k q k q k

n k n k n

n n n n

a a

1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1

| ˆ ˆ ˆ

0

| ˆ ˆ

ˆ

) 1 ( ) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( )

1 ( ) 1 (

k k

k

k k

n k N n

k k k

n k n k k

a q a

a a

a q a a

ˆ ˆ 0

| ˆ

ˆ ( 1 ) ( 1 ) (1k) ( 1 ) ( 1 ) (1k) ( 1 ) n(1k) 1

k N k k n

ˆ ˆ ˆ

0

| ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

) 1 ( ) 1 ( )

1 ( 1 2 2

2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2

2 ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 (

) 1 ( )

1 ( )

1 ( ) 1 (

) 1 ( )

1 ( )

1 ( ) 1 (

k n k n

k n N N

N

n k k k n

k N

N

n k N k k k n

k N

a a

q a

q q

q

a a a q a

q q

a q a a a a

q

k k

n k k

k k

k

k k

k k

k k

k k

ˆ

0

| ˆ ˆ

ˆ ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 3 2 1 ( 1 ) ( 1 ) (1) 1 ( 1 )

) 1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 (

k n k n

k n N N

N n

k k

k

N k

ˆ

) 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 (

1 3

1 )

1 ( ) 1 (

n q

q

q q

n q

q

q q

q q

n q

q q

q q q

q k

n n

n n

n n

n n n

k k

k k

k k

k k k

| 1

|

|

|

) 1 ( 1

1 1

1

1 1

1 1

1 1

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

ˆ ˆ

ˆ ˆ

| ˆ ˆ

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

) 2 ( )

2 ( )

1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1

(

) 2 ( )

2 ( )

1 ( )

1 (

q k q k q k q k

n k n k n k n k k k k

k

n n

n n

a a

a a

a a n a a

k k

k k

) 2 ( )

2 ( )

1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

) 2 ( ) 2 ( ) 1 (

k k

k k

n k k k

n k n k n

n n n n

a a

a