Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ Boson biến dạng

Trong cơ học lượng tử, mỗi đại lượng vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử.. Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một loạt các công cụ toán, trong số

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi  xin  gửi  lời  cảm  ơn  chân  thành  và  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới PGS.TS.Lưu  Thị  Kim  Thanh  đã  tận  tình  hướng  dẫn,  động  viên,  giúp  đỡ  tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. 

Cuối cùng tôi xin tỏ   long biết ơn  tới gia đình,  bạn bè,những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã rất  cố gắng song  bản luận  văn này  không tránh  khỏi những  hạn  chế và  thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. 

Hà nội, tháng 11 năm 2011

Tác giả   

Đoàn Thị Thu Hường

Tác giả   

Đoàn Thị Thu Hường

MỞ ĐẦU

Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, được phát triển mạnh 

mẽ cả về bề rộng và bề sâu. Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của các hiện tượng tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5]. 

Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ: 

a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm. Xây dựng những thuyết bao gồm và giải thích được một số phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý. 

b) Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới những quy luật  tổng  quát  hơn  các  quy  luật  đó  biết,  đoán  trước  được  những  mối  liên  hệ giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được. 

Thuyết  lượng  tử,  là  một  trong  những  lý  thuyết  cơ  bản  của  vật  lý  lý thuyết học, trong đó cơ học lượng tử đó làm thay đổi cơ bản quan niệm về thế giới vi mô, là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (cũn gọi là cơ học 

cổ điển).  Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý và hoá học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt  Trong cơ học lượng tử, mỗi  đại  lượng  vật  lý  đều  được  đặc  trưng  bởi  một  toán  tử.  Ví  dụ  như:  năng lượng, động lượng, tọa độ,  mô  men góc, …đều sẽ có một toán tử tương ứng. Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một loạt các công cụ toán, trong số đó toán tử giữ  một vị trí quan trọng [6,7,8,9]. Việc  hiểu  rõ  toán  tử  và  tính  chất  của  chúng  là  rất  cần  thiết  đối  với  người nghiên cứu vật lý hiện đại.  

Ngày nay, lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để  giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đó 

mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới hạt vi 

Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lí  thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng tử 

mà cấu trúc nó là đại số biến dạng  phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử . 

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức  luận  dao  động  tử  điều  hoà  biến  dạng.  Trong  những  năm  gần  đây  việc nghiên  cứu  nhóm  lượng  tử  và  đại  số  biến  dạng  được  kích  thích  thêm  bởi  sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống 

kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê 

mở  rộng [10, 11,  12,  13,  14].  Cho  đến nay  cách  mở  rộng  đáng chú ý nhất  là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài 

“Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”

Mục đích của đề tài là tìm hiểu các toán tử trong vật lý, một công cụ hữu hiệu dựng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô. Xây dựng biểu diễn ma trận của các toán tử boson biến dạng q, thỏa mãn các hệ thức giao hoán tương ứng và xây dựng các thống kê lượng tử biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử.  

NỘI DUNG Chương 1:

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ  

Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt sự mô tả các trạng thái của cơ học lượng tử bởi Dirac và lí thuyết biểu diễn. 

Trước hết, trạng thái của hệ lượng tử là gì? Chúng ta thừa nhận rằng nếu biết trạng thái của hệ chúng ta sẽ biết các thông tin về hệ. Một hệ lượng tử ở một  trạng  thái  xác  định  nào  đó  khi  mọi  điều  ta  muốn  biết  về  nó  đều  có  thể được biết, ngoại trừ sự vi phạm các qui luật của cơ học lượng tử. 

Các trạng thái của hệ lượng tử có thể mô tả bởi các hàm sóng ψ. Sự mô 

tả trạng thái lượng tử khác nhiều các trạng thái trong cơ học cổ điển. Ví dụ, đối với các trạng thái lượng tử ta không thể đồng thời xác định chính xác cả tọa độ 

và xung lượng của hệ do nguyên lí bất định Heisenberg. Hơn nữa, ta chỉ có thể tiên đoán xác suất của các sư kiện tương lai mà thôi. Sự khác biệt thứ hai của các trạng thái lượng tử là ở chỗ các hàm sóng mô tả chúng tuân theo nguyên lí chồng chất trạng thái. 

Các trạng thái lượng tử có thể mô tả bởi các vectơ trạng thái |ψ> (tương ứng  với  hàm  sóng  (r , t)

)  trong  không  gian  vectơ.  Không  gian  này  gọi  là không gian Hilbert với các vectơ cơ sở kí hiệu bởi |uj> gọi là các trạng thái cở 

sở hay các ket cơ sở {|uj>}. 

1.1 Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide

1.1.1 Không gian vectơ E

Định nghĩa: Không gian vectơ E là một tập hợp các phần tử (x, y, z…) 

với phép cộng hai phần tử x,  y bất kì và phép nhân một phần tử x bất kì với một số thực λ thỏa mãn các tính chất sau đây: 

n vectơ bất kì độc lập tuyến tính (x , x , , x )1 2 n (x ,i 1, 2, , n)i  làm cơ sở. Khi 

đó  một  vectơ bất kì z ∈ E có thể khai triển duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở: 

n

i i

za x E                  (1.1) 

hệ số  ai là thực  (nếu E là không gian vectơ) hoặc phức  (nếu E  là không gian phức). 

1 2

n

zz

.z

1.1.2 Không gian vectơ Euclide

  Trong  không  gian  Euclide  độ  dài  (hay  môđun)  của  vectơ  x  được  định nghĩa: 

  Góc θ giữa hai vectơ x và y bất kì được định nghĩa như sau: 

(x, y)cos

  Trong không gian Unita các tọa độ xi của vecto x; x(x , x , , x )1 2 n  nói chung là các số phức. Tích vô hướng của hai vectơ x, y có dạng: 

(x, y)x y x y  x y         (1.7) 

  Các khái niệm độ dài của một vectơ, tính trực giao của hai vectơ trong không gian Unita vẫn giữ như trong không gian Euclide thực. 

  Trong không gian phức n chiều Z, sau khi đã chọn cơ sở thì các tọa độ của mỗi vectơ được xác định. Biểu diễn mỗi vectơ bằng một ma trận cột 

1 2

1 2 n

n

yy(x, y) (x x x ) X Y

.y

là giới hạn của một chuỗi vectơ của tập hợp (ví dụ các số hữu tỷ hợp thành một tập hợp trù mật trong tập hợp trù mật trong tập hợp các số thực). 

  Không gian Hilbert là tách được, nếu người ta tìm được ít nhất  một cơ 

sở đếm được của không gian đó. 

  Thí dụ: Tập hợp các đơn thức 1, x, x , , x , (với k là số nguyên) là một 2 k

cơ sở đếm được của không gian các đa thức có bậc bất kì. Tập hợp các sóng phẳng eikx (với k là số sóng, có thể có các giá trị liên tục) không phải là một cơ 

1.2.2 Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều

  Không  gian  Hilbert  vô  hạn  chiều  có  một  số  tính  chất  khác  lạ  so  với không gian hữu hạn chiều. 

  a. Không gian Hilbert tách được có ít nhất một cơ sở đếm được, ngoài ra 

có thể có cơ sở không đếm được. Như vậy, một vecto của không gian vừa có thể khai triển trong một cơ sở không đếm được. 

  b.  Một vectơ  của không gian  Hilbert  có  thể  khai  triển  trong  một  cơ  sở gồm các vectơ nằm ngoài không gian đó. 

  c.  Thành  phần  thứ  i (φi) của vectơ  φ  trong  không gian  có N  (hữu hạn) chiều bằng hình chiếu của vectơ φ lên vectơ cơ sở thứ i (ei). 

       i (e , )i   

  Muốn xác định được vectơ φ ta cần biết tất N hình chiếu của nó lên các vectơ cơ sở. 

1.3 Vecto ket, bra

  Tương tự (1.12), tích vô hướng của hai hàm sóng ui và ψ cho phép ta xác định hệ số khai triển ci trong công thức (1.13) 

      ci dx ui* 

  Kí hiệu tích vô hướng trong không gian vectơ bởi <ui|ψ> 

c u |  dx u x*( ) ( ) x               (1.14) 

  Kí hiệu ui|  gọi là bracket, <ui| gọi là một bra còn |ψ> - ket. 

  Như vậy vectơ ket |ψ> chính là vectơ    Vectơ bra <ψ| không phụ Zthuộc vào không gian Z, tập hợp các vectơ bra hợp thành  một không gian Z* gọi là không gian đối ngẫu của Z. Dưới dạng ma trận, vectơ bra <ψ| là một ma trận hàng: 

      |: ( , , , )c c1* 2* cn*  ( u1| *, ,un | *)

      (1.22) Thỏa mãn điều kiện: 

cc

cả các biểu diễn đều tương đương nhau. Việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ do tính thuận lợi của những bài toán vật lý cụ thể. 

1.4 Toán tử

1.4.1 Ma trận của toán tử liên hợp

Ta  biết  rằng  tác  dụng  của  toán  tử  A lên  vectơ  trạng  thái     dẫn  đến trạng thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái    Định nghĩa này được viết dưới dạng phương trình: 

           

           A   A         (1.31) 

A  là  toán tử tác  dụng trong  không gian  đối  ngẫu Z*, chuyển  bra     thành bra    Toán tử  A gọi là toán tử liên hợp với  A   

Dựa  vào  biểu  thức  của  tích  vô  hướng:         tức  là ,   , *

1.4.2 Toán tử ecmite

Định nghĩa toán tử ecmite: Toán tử  A  gọi là ecmite nếu  AA, trong 

đó  A  là  toán tử liên hợp  ecmite  với  A   và được xác định bởi hệ thức tương tự (1.42)

 A    A        *    (1.35) Như vậy nếu  A là toán tử ecmite thì ta có: 

Từ  định nghĩa  A A  và  công thức  (1.34)  ta  có thể suy  ra  ma  trận  A biểu diễn một toán tử ecmite có tính chất sau: 

      A A      (1.37) hay ma trận A gọi là ma trận ecmite với các phần tử A có tính chất sau: 

      Aij A*ji       (1.38) 1.5 Vectơ riêng và trị riêng của toán tử

nghĩa là  a x  đều là vectơ riêng của  A  ứng với cùng giá trị riêng    Nếu ứng với một trị riêng    có một vectơ riêng  x  (xác định sai kém một hằng số nhân a) thì trị riêng    gọi là không suy biến. 

  Nếu  ứng  với  một  trị riêng     có  g  vectơ  riêng độc  lập  tuyến  tính,  thỏa mãn các phương trình trị riêng  

      A xn  n x  

  Đối  với  hàm  toán  tử f A   khai  triển  thành  chuỗi  Taylor,  ta  có  thể  áp  

1. Các trị riêng của một toán tử ecmite là thực

  Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng của  A  

       A x   x        (1.43) 

ta được        x A  * x        (1.44)   Nhân trái hai vế của (1.43) với  x  

       Theo định nghĩa vectơ riêng  x   nên  x x0  , suy ra    là một số 0thực  

        *      (1.45) 

2. Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Ecmite thì trực

giao với nhau

1.5.3 Phương trình đặc trưng của toán tử

      Trong cơ sở trực chuẩn un , vectơ  x  có thể khai triển một cách duy nhất: 

        x a u1 1 a u2 2  a u n n        (1.49)       Với các hệ số a , a , , a  là các tọa độ của vectơ 1 2 n x  trong cơ sở đang xét . Vectơ  x  có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột 

         

1 2

n

aa

.a

        A         (1.53) I 0       Chú ý rằng nếu chuyển sang cơ sở khác thì  A   vẫn không thay đổi, Itức là các trị riêng của  A  không thay đổi. 

1.6 Phép biến đổi cơ sở Unita và các bất biến

1.6.1 Phép biến đổi Unita

      Khi  thay  đổi  cơ  sở  là  các  vectơ  ket  trong  không  gian  Hilbert,  ta  biết rằng phép biến đổi cơ sở trực chuẩn đó được thực hiện bởi các toán tử Unita và các vectơ trạng thái của hệ lượng tử đang xét cũng như các toán tử biểu diễn các đại lượng vật lí đo được cũng sẽ thay đổi dạng. Tuy nhiên khi thay cơ sở, 

có những tính chất của hệ phản ánh bản chất nội tại nào đó của hệ không thay đổi. Các lượng không biến đổi khi thay đổi cơ sở gọi là các bất biến. Ta sẽ lần lượt xét các vấn đề trên. 

      Trước hết, phép biến đổi cơ sở trực chuẩn được thực hiện bởi các toán 

tử Unita. Thật vậy, cho một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert em  

       e e            (1.54) 

       Xét sự biến đổi cơ sở, từ cơ sở en 

 sang cơ sở e 'n . Khi đó vết TrA biến đổi thành: 

det A ' a 'I det S A a 'I S det Sdet A a 'I det S

det SS det A a 'I det A a 'I

1.7 Giao hoán tử của các toán tử - Hệ thức bất định

Giả sử  U  là vectơ riêng của toán tử  A  tương ứng với các trị riêng : 

Vì trạng thái bất kì có thể được khai triển theo hệ vectơ riêng của các toán tử 

A và B U  Như vậy, muốn đo đồng thời các đại lượng vật lí và  ở trạng thái   thì trạng thái của hệ   phải trùng với vectơ riêng  U  của toán tử 

A và B  Ta dễ  dàng chứng minh  được điều kiện  cần và đủ để hai  đại  lượng vật  lí     có thể đo  được  một  cách  chính  xác,  đồng  thời  là  các toán  tử  biểu ,diễn chúng giao hoán với nhau. 

        * * * 2

f fd g gd  f gd

           (1.70) Đồng nhất f  với  

2 2

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1  

Trong  Chương  1  em  trình  bày  một  cách  có  hệ  thống  có  kiến  thức  về không  gian  vectơ,  một  số  tính  chất  của  không  gian  Hilbert  và  các  kiến  thức tổng quát về ma trận của các toán tử,…. Đây là những cơ sở toán học cần thiết 

để em nghiên cứu nội dung của các chương tiếp theo. 

Chương 2:

MỘT SỐ HỆ THỨC ĐẠI SỐ TOÁN TỬ QUAN TRỌNG

Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập một số hệ thức đại số toán tử quan trọng thường gặp trong lý thuyết lượng tử hệ nhiều hạt. 

        A B A B A B  A A  

Ae e   e Be  e e   A e Be    f         (2.9) Đặt:     e  A Be  A 

Giả sử f a, a  là hàm của các toán tử sinh hạt  a và hủy hạt  a

boson và có thể phân tích thành chuỗi theo a,a khi đó ta có:

Giả sử   là các tham số; n là số nguyên, khi đó đối với toán tử sinh ,hạt  a và hủy hạt  a boson, ta có hệ thức:

a   a  n n a

e a  a   e          (2.41) 

b   n a a  n

a e  e  a              (2.42) Chứng minh công thức (2.41). 

Áp dụng hệ thức (2.36) với    ,   , ta có:  0

a a

e a e   a   

Trong  chương  2,  chúng  tôi  đã  thiết  lập  một  số  hệ  thức  đại  số  của  các toán tử, các hệ thức này rất quan trọng khi xây dựng các phân bố thống kê của 

Chương 3:

BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ BOSON BIẾN DẠNG q

3.1 Phép biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hoà

3.1.1 Biểu diễn tọa độ

  Trong cơ học cổ điển chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt khối lượng m, chịu tác dụng của lực đàn hồi F= - Kx (K là hệ số đàn hồi) được diễn tả bằng phương trình Newton:  

2 2

là  

2 2

2 2

1a

. 

  Trong Cơ học lượng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là: 

2 2

2 2

d

0d

  Để xác định dạng tường minh của hàm sóng  x  ta lưu ý rằng với 2n 1

    phương trình (3.5) trở thành  

        ''  '   

v   2 v  2nv    0  Mặt  khác,  từ  toán  học  ta  lại  biết  đa  thức  Hermite  H    thỏa  mãn n 

dW x dx= x dx.  

3.1.2 Biểu diễn số hạt

  Phổ  năng  lượng  của  dao  động  tử  điều  hòa  cũng  có  thể  tìm  được  bằng phương  pháp  đại  số,  sủ  dụng  các  hệ  thức  giao  hoán  chính  tắc  và  biểu  thức Hamiltonian 

2 2

2 2

  Dễ dàng chứng minh được rằng các toán tử trên thỏa mãn hệ thức giao hoán