Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6

Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số sao cho trong mỗi số : a Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục.. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nh

BÙI VĂN TUYÊN

-_ BÀI TẬP NÂNG CAO

VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

(Tái bản lần thứ mười ba)

Lời giới thiệu

Hưởng ứng Cuộc thi Viết sách bài tập và sách tham khảo dựa theo chương trình mới Tiểu học và Trung học cơ sở của Bộ Giáo dục và

Đào tạo, các tác giả ở mọi miền đất nước đã gửi về Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam nhiều bản thảo dự thi có nội dung phong phú, đa dạng Thực hiện sự chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam trân trọng giới thiệu với độc giả cuốn sách dự thi này đã được

đưa vào diện xét giải để các thầy, cô giáo và các em học sinh trong cả

nước có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học

tập theo sách giáo khoa mới từ năm học 2002 - 2003

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho nội dung cuốn sách này Thư từ góp ý xin gửi về Ban Tổ chức

Cuộc thi Viết sách bài tập của Bộ Giáo dục và Đào tạo theo địa chỉ :

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 81 - Trần Hưng Đạo - Hà Nội

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam xin trân trọng cảm ơn

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Phần

| SO HOC

Nhận xét : Vì thứ tự liệt kê các phần tử không quan trọng nên ở câu c ta có 2

đáp số

Thí dụ 2 : Cho A CM ;MCN Chứng tỏ rằng A CN

Giải : A c M nên với mọi x e A thì x e M(l)

MCN nén véi mọi x e M thì x e N (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi x e A thì x eN, do đó AcN

Nhận xét : Quan hệ C giữa hai tập hợp có tinh chất bắc cầu

BÀI TẬP

Các tập hợp A và B được cho bởi

sơ đồ ở hình bên A B

a) Viết các tập hợp A và B bằng

cách liệt kê các phần tử của nó

b) Điền chữ A hoặc B vào ô trống

để có cách viết đúng

4e[] ; 4e[] : me[]

c) Viết tập hợp H những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó

, Cho đấy số I ; 5; 9; 13,

a) Nêu quy luật cla day số trên

b) Viết tập hợp B các phần tử là 8 số hạng đầu tiên của dãy đó

a) Viết tập hợp M các chữ cái của chữ "GANG"

b) Với tất cả các phần tử của tập hợp M hãy viết thành một chữ thuộc loại danh từ

Š Cho A ={a,b} ; B=(1;2; 3} Viết tập hợp có ba phần tử trong đó một phần tử thuộc tập hợp A ; hai phần tử thuộc tập hợp B

6 Cho H là tập hợp 3 số lẻ đầu tiên ; K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H

b) Chứng tỏ rằng H c K

c) Tap hop M sao choH CM;McK

~ Hỏi tập hợp M có ít nhất mấy phần tử ? Có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

~ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn các điều kiện trên ?

7 Dùng dấu c ; = để thể hiện quan hệ giữa các tập hợp sau :

b) Bên số nhà lẻ, chữ số nào chưa được dùng ? chữ số nào được dùng

Chữ số 8 không dùng ở hàng đơn vị, còn ở hàng chục thì chưa dùng tới

Vay chữ số 0 và chữ số 8 chưa được dùng đến Chữ số I dùng tới 7 lần ở hàng

đơn vị (nhiều nhất so với các chữ số khác), dùng tới 5 lần ở hàng chục (không

kém so với các chữ số khác) Vậy chữ số 1 được dùng nhiều nhất (12 lần) c) Tạm chưa tính nhà 64 thì phố này có 62 nhà từ 1, 2, 3, tới 62 Trong dãy

số này có 9 số có một chữ số và 62 - 9 = 53 số có 2 chữ số

Số chữ số cần dùng là : 9.1 + 53.2 = 9 +106 = 115

“Thêm 2 chữ số của nhà 64, tổng chữ số cần dùng là I 15 + 2 = 117 (chữ số) Nhận xét : Công thức tính số chữ số cần dùng để ghi các số tự nhiên liên tiếp :

Gọi số các số có I chữ số là aj

số các số có 2 chữ số là aa,

Viết tập hợp 4 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 94 nhưng không quá 100

Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số sao cho trong mỗi số :

a) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục

b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4

c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục

a) Có bao nhiêu số tư nhiên nhỏ hơn 20 ?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ? (n € N)

c) Có bao nhiêu số chẵn nhé hon n ? (n € N)

a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều giống nhau ?

b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ?

©) Có bao nhiêu số có n chữ số (n e N*)

Bảng hiện số của đồng hồ điện tử có 3 nhóm số chỉ giờ, phút, giây (mỗi nhóm

có 2 chữ số) Nếu chỉ nhìn vào phần hiện số của nhóm chỉ giây thì trong

một phút có :

a) Bao nhiêu lần thay đổi các số ?

b) Bao nhiêu lần thay đổi các chữ số ?

Hãy chia các số trên mặt đồng hồ làm 2 nhóm : Nhóm I gồm các số tự nhiên liên tiếp và nhóm II gồm các số còn lại sao cho

a) Tổng các số của nhóm I bằng tổng các số của nhóm II

b) Tổng các chữ số của nhóm I bằng tổng các chữ số của nhóm II

c) Tổng các chữ số của nhóm I bằng một nửa tổng các chữ số của nhóm II

Cho một số có 3 chữ số là abc (a, b, c khác nhau và khác 0) Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số

như vậy ? (Kể cả số ban đầu)

Cho 4 chữ số a, b, c va s6 0 (a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số

này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ?

18 Cho 5 chữ số khác nhau Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu

19 Quyển sách giáo khoa Toán 6 tập một có 132 trang Hai trang đầu không đánh

số Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này ?

20 Dùng từ 1 đến 4 que diêm có thể ghi được bao nhiêu số trong hệ La Mã ?

21 Với 9 que diêm hãy sắp xếp thành một số La Mã :

a) Có giá trị lớn nhất

b) Có giá trị nhỏ nhất

22 Có 13 que diêm sắp xếp như sau :

XII - V = VIL

a) Đẳng thức trên đúng hay sai ?

b) Hãy đổi chỗ chỉ một que diêm để được 1 đẳng thức đúng khác

Nhân với số l : a.l=l.a=a

4 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng :

Thí dụ 4 : Cho a, b e N Biết a b = 0 và a + 4b = 41, tìm a, b

Giải :

Vì a b=0 nên hoặc a = 0 hoặc b = 0

Nếu a = 0 thì 4 b = 4l, không có số tự nhiên b nào như thế, vậy a # 0 và b = 9, suy ra a =4]

Thí dụ 5 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng

hàng như trong phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng Tìm tích đúng

Nhận xét : a) Khi viết 30a - 3a = 27a là ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ Thực vậy, 30a - 3a = (30 - 3) a = 27a

b) Tích I a được viết gọn thành a

BÀI TẬP

23 Tìm hai số biết tổng của chúng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và

số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại

24 Cho a + c = 9 Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abe + cba là một số

b) Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho

27 Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng có tận cùng bằng

33*, Choa,b e N* ;a>2 ;b>2

Chứng tỏ rằng a + b<a.b

§4 Phép trừ và phép chia

Kiến thức cơ bản :

1 Điều kiện để phép trừ a - b thực hiện được là a > b

2 Điều kiện để phép chia a : b không còn dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu

a:b) là a =b.q (với a,b,q eN;b+0)

3 Trong phép chia có dư :

Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư

a=b.q+r(b#0;0<r<b)

Nâng cao :

1 Vì số dư r phải nhỏ hơn số chia b nên số dư chỉ có thể lấy một trong b

giá trị khác nhau là 0; 1 ; 2; ; (bồ — 1)

2 Hiệu giữa số bị chia a và số dư r bao giờ cũng chia hết cho số chia b

3 Biểu diễn một số tự nhiên

a) Biểu diễn qua phép chia một số cho 2

a las6 chin <> a=2q(q € N)

a las6lé<>a=2q+1(qeN)

b) Biéu dién qua phép chia mot s6 cho 3

a chia hét cho 3 <> a = 3q (q € N)

a chiacho 3 dư l ©a=3q+l(qeN)

a chia cho 3 dư2 €<>a=3q + 2 (q eN)

c) Biểu diễn qua phép chia một số cho 4

a chia hết cho 4 <>a = 4q (q eN)

a chia cho 4 du 1 ©a=4q+l(qeN)

a chia cho4 dư2€>a=4q +2(qeNÑ)

a chia cho 4 dư 3 <>a=4q + 3 (q e N)

Kí hiệu © là kí hiệu "tương đương", đọc là "khi và chỉ khi" có nghĩa là mệnh

đề trước suy ra được mệnh đề sau và ngược lại, mệnh dé sau suy ra được mệnh

đề trước

4 Nếu phép chia không còn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối

với phép cộng và trừ

5 Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu nghĩalà a:b;b:c=>a:c

Thí dụ 6 : Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ bao nhiêu ?

35

Tìm x biết :

37

Gidi :

Gọi số có 3 chữ số đó là abe trong đó a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp Vậy

ca =2 Số viết theo thứ tự ngược lại là cba Ta có :

cba - abc =(100c + 10b +a) - (100a + 10b +c)

= 100c + 10b + a- 100a- 10b-c

= 90c - 99a = 99 (c - a) = 99 2 = 198

Thí dụ 7 : Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác

nhau Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3

~ Số dư trong phép chia cho 3 phải nhỏ hơn 3

— Để chứng tỏ a + b : 3 ta biến đổi a + b = 3.q (ở đây q = qị + qạ + l)

._ 40 Trong một phép chia có số bị chia là 155 ; s6 dư là 12 Tìm số chia và thương

41 Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương

bằng số dư

42 Chia 129 cho một số ta được số dư là 10 Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư

là 10 Tìm số chia

43 Để đánh số các trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số

Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang ?

44* Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2, 3, 4, 5 Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ?

a” là một luỹ thừa; alàcơsố; n là số mũ

Quy uéc: a! =a ; a0=1 (a#0)

2 Nhân chia hai luỹ thừa cùng cơ số :

1 Luỹ thừa của mộttích (a.b)"=a”.b°

2 Luỹ thừa của một luỹ thừa (a”)"= an

3 Luỹ thừa tầng aT"” - am”)

Trong cách giải trên ta đã dùng tính chất : Trong hai luỹ thừa bằng nhau, nếu

cơ số bằng nhau thì số mũ bằng nhau ; ngược lại nếu số mũ bằng nhau thì cơ

số bằng nhau

BÀI TẬP

Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số

48 Trong các số sau, những số nào bằng nhau ? Số nào nhỏ nhất ? Số nào lớn nhất ?

52 Viết số 729 dưới dạng một luỹ thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn l

53 Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng luỹ thừa của một số

§6 Chuyên đề 1

So sánh hai luỹ thừa

1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ

~ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn I) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn

2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu,

tính chất đơn điệu của phép nhân ( a < b thì a.c < b.c với c > 0)

Thí dụ 9 :

So sánh số 16! và 82Ÿ, số nào lớn hơn ?

Giải :

Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta

tìm cách đưa 16!' và 82Ÿ về luỹ thừa cùng cơ số 2

1 Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng

những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng Trong toán học, khi

xét một số có chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ

cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem §10)

2 Tìm chữ số tận cùng của tích

~ Tích các số lẻ là một số lẻ

Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ

số tận cùng là 5

~ Tích của một số chẩn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chắn

Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng

có chữ số tận cùng là 0

3 Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa

~ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó

~ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n

vậy A= l+ 9= 0; A:I0

Thí dụ II : Ta da biết ngoài Dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ

đếm CAN CHI, chang han Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, Chữ thứ nhất chi

hàng CAN của năm Có 10 can là :

Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu kết quả với bảng trên :

Hàng CAN = Chữ số tận cùng của năm dương lịch -3 | (*)

(Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10)

Bây giờ bạn hãy tìm hàng CAN của các năm Ngo quan trọng trong lịch sử giành độc lập của nhân dân ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CSVN ra đời và năm 1954 chiến thắng Điện Biên Phủ 2

Gidi :10-3=7=>CANH ; 1930 1A nam CANH NGỌ

4-3=1=GIAP; 1954 là năm GIÁP NGỌ

BÀI TẬP

66 Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945,

đó là một năm Dậu Hãy tìm hàng Can của năm Dậu đó

67 Em tuổi gì ? Tìm hàng Can của tuổi đó

Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương

(*) Vì năm dương lịch không tràng hoàn toàn với năm âm lịch nên đối với hai tháng đầu của

năm dương lịch thì phải điểu chính công thức trên một Ít

§8 Thứ tự thực hiện các phép tính

Kiến thức cơ bản :

1 Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức không có dấu ngoặc :

Luỹ thừa —> Nhân chia —> Cộng trừ

2 Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có các loại dấu ngoặc :

( >[I 1>{ '

Nâng cao :

Nếu trong biểu thức có n ! thì phải coi như có phép nhân 1.2.3 n, ta thực

hiện các phép tính theo quy ước

Với 6 chữ số 3 và dấu của các phép tính kể cả dấu ngoặc hãy viết thành một

78 Một xà lan chở hàng từ bến A đến bến B cách nhau 60km rồi lại trở về bến cũ

với vận tốc riêng không đổi là 25km/h Vận tốc dòng nước là 5km/h Tính vận

tốc trung bình của xà lan trong cả thời gian đi và vẻ

79 Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ và con là 66 Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi

của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con Tính số tuổi của mỗi người hiện nay

80 Có một bình 4 lít và một bình 5 lít Làm thế nào để lấy được đúng 3 lít nước từ

81 Một thùng có I6 lít nước Hãy dùng một bình 7 lít và một bình 3 lit dé chia 16

lít làm hai phần bằng nhau

82 Người bán hàng chiều khách

Ba người vào cửa hàng sách, tình cờ mua cùng một quyển sách giá là 7.900

đồng Mỗi người đều đưa một tờ 100 nghìn đồng và yêu cầu được trả lại tiền

thừa như sau :

Người thứ nhất : Có số tờ trả lại ít nhất

Người thứ hai : Có số tờ trả lại ít nhất nhưng có đủ các loại tiền nhỏ hơn

Người thứ ba : Có số tờ trả lại là trung bình cộng số tờ của hai người kia nhưng không có các tờ loại 100 đồng, 1000 đồng, 10.000đồng

Người bán hàng đã trả lại tiền thừa đúng yêu cầu của mỗi người Hỏi người

bán đã trả lại như thế nào ?

§9 Tính chất chia hết của tổng, của hiệu, của tích

a) Nếu a:m ;b:m vàa+b+c :m thì c:m

b) Nếu a:m ;b:m vàa+b + cm thì c?m

Giải :

a) Giả sử cm Ta có a :m;b?m nên a + b + c¿m (tính chất 2) Điều này

trái với dé bài a + b +c :m Vậy điều giả sử là sai, suy ra c m

b) Giả sử c : m Ta cóa:m ;b:m nên a+b+c:m (tính chất 1) Điều

này trái với đề bài a + b + cm Vậy điều giả sử là sai, suy ra c7 m

Nhận xét : ø

Phương pháp giải thí dụ 14 là phương pháp phản chứng Nó có ba bước :

~ Giả sử có điều trái với điều phải chứng minh

~ Từ đó suy ra (nhờ các tính chất đã biết) một kết quả mâu thuẫn với điều đã

cho, đã biết

~ Kết luận : Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng.

86 Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng

của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

87 Chứng minh rằng tổng của 5 số chẩn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của

Š số lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5

88 Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác

nhau Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5

89 Cho C = 1 + 3 + 32 + 3Ÿ + + 3ÌÏ, Chứng minh rằng :

a)C: 13

b)C:40

90 Chứng minh rằng

a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thi chia hết cho 2

b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

91 Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia cho

96 Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho :

a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25 ; cho 125

b) Số 9xy4 chia hết cho 2 ; cho 4 ; cho 8

97 Với cùng cả 4 chữ số 2 ; 5 ; 6 ; 7, viết tất cả các số :

a) Chia hết cho 4 b) Chia hếtcho§ ;

c) Chia hét cho 25 : d) Chia hết cho 125

98 Chứng minh rằng :

a) 94260 ~ 351” chia hết cho 5

b) 99Ÿ - 98' + 97Ÿ ~ 96” chia hết cho 2 và 5

99 Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không ?

100 Cho a, b e N Hỏi số ab (a + b) có tận cùng bằng 9 không ?

1 Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

a: 3 (hoặc 9) ©> Tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9)

2 Số dư trong phép chia số a cho 3 (hoặc 9) bằng số dư trong phép chia tổng

các chữ số của a cho 3 (hoặc 9) ‘

Nang cao :

Dau hiéu chia hét cho 11

a ¡ I1 € Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chắn (hoặc

ngược lại) chia hết cho II

Thi du 16 : Cho số 76a23

a) Tìm chữ xố a để cho số 76a23: 9

b) Trong các giá trị vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số 76a23 : II

BÀI TẬP

103 Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để :

a) Số 35* 8 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

b) Số 468* chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 5

105 Tìm các chữ số a, b sao cho số b85la chia hết cho 3 và 4 -

106 Một số tự nhiên có chữ số đầu tiên lớn hơn chữ số hàng đơn vị Khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới kém số cũ là một trong ba số 2002,

2003, 2004 Hiệu của chúng là số nào trong ba số đó ?

107 Cho số abc ? 3 Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để được một số

110 Tìm điều kiện của n e N để cho số 10” - I chia hết cho 9 va 11

111 Chứng minh ràng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

112* Cho A = 8n + III I (neN*)

a:b©©a là bội của b © b là ước của a

2 Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là I và chính nó

3 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước

Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chi ra một ước khác I và a

4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố

Đặc biệt : 100 0 = 2" 5", chẳng hạn 1000 = 2° 5°

——

n chữ số 0

Nâng cao :

1 Cách xác định số lượng các ước của một số :

Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = aŸ bỲ c” thì số lượng

các ước của Mlà (x + 1) (y + 1) (2+ 1D)

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số

nguyên tố với số mũ chẵn Từ đó suy ra

~ Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho Đế

~ Số chính phương chia hết cho 2Ÿ thì phải chia hết cho 2'

~ Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 33,

~ Số chính phương chia hết cho 3Ÿ thì phải chia hết cho 3,

~ Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 3,

3 Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố :

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a : p hoặc b : p

Đặc biệt nếu a” : p thì a : p

Thí dụ 17 :

Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601

Giải :

Tổng của hai số nguyên tố là 601, là một số lẻ nên một trong hai số phải là số

nguyên tố chẩn, đó là số 2 Số thứ hai là 601 - 2 = 599 (Tra bảng ta thấy 599

Nhưng 5? 25 nên A225

Số A : 5 nhưng A225 nên A không phải là số chính phương

Thí dụ 19 :

Số 54 có bao nhiêu ước ? Viết tất cả các ước của nó

Giải : 54 = 2.3

Để liệt kê tất cả các ước của 54 ta viết như sau :

~ Trong cách giải trên, để viết tất cả các ước của 54 ta đã dùng phương pháp

phân tích số 54 ra thừa số nguyên tố Mỗi một thừa số nguyên tố là một ước

nguyên tố Ngoài I ra còn có các ước khác gọi là ước hợp Cách trình bày như

trên giúp ta không bỏ sót một ước nào

~ Còn một phương pháp khác là đem 54 chia lần lượt cho I, 2, 3 54 ; mỗi

lần chia hết thì số chia chính là một ước của 54

BÀI TẬP

Số nguyên tố Hợp số :

114 Tìm số nguyên tố a để 4a + I1 là sốnguyên tố nhỏ hơn 30

115 Các số sau là số nguyên tố hay hợp SỐ :

a=I.3.5.7 13+20

b= 147 247 347-13

116 Chon e.N* Chứng minh rằng số “+ III I 2111 1 “cv làhợp số :

n chữ số I nchirsé |

117 Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau :

9* * ; 7= **, biết rằng thương là một số nguyên tố

118 Cho ả, n e N*, biết a” : 5 Chứng minh rằng aˆ + 150 : 25

119*, a) Cho n là một số không chia hết cho 3 Chứng minh rang nỶ chia cho 3 dư 1

b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi Pp + 2003 là số nguyên tố hay

hợp số ?

120 Cho n > 2 và không chia hết cho 3 Chứng minh rằng hai số nể ~ 1 vàn? +]

không thể đồng thời là số nguyên tố

121* Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5

b) Biết 8p + I cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + I là hợp số

122 Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) Hỏi p +100 là số nguyên tố hay hợp số

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

123 Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lí nhất :

127 Tính cạnh của một hình lập phương biết thể tích của nó là 1728cmẺ

128 Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước là một số lẻ thì

1 Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp tạo thành bởi các phần tử chung của hai tập hợp đó, ký hiệu A ¬ B xeAnB€©xeAvàxeB

2 Ước chung và ước chung lớn nhất

a) UC (a, b) = Ư(a) ¬ Ư(b)

b) Ước chung lớn nhất của a và b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung

của a và b, kí hiệu ƯCLN (a, b) hoặc gọn hơn (a, b)

3 Cách tìm ước chung lớn nhất của một nhóm số

Bước I : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của

nó Tích đó là ƯCLN phải tìm

4 Chú ý

a) Nếu a : b thì (a,b) =b

b) a và b nguyên tố cùng nhau <> (a, b) = 1

©) Muốn tìm ước chung của các số đã cho, ta tìm các ước của ƯCLN của các

số đó

Nâng cao :

1 Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a, b) = I ; (b, c) = 1; (c, a) = I

2 Tinh chất chia hết liên quan đến ƯCLN :

a) Cho (a, b) = d Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau

553 chia cho b dư 13 = 553 - 13 = 540 : b; b> 13

Vậy b là ƯC (315, 540) với b > 13

Muốn tìm ƯC (315, 540) trước tiên tìm ƯCLN (315, 540)

315=3Ÿ.5.7

540 =2? 3Ÿ 5

ƯCLN (315, 540) = 3Ÿ 5 = 45

ƯC (15, 540) = Ư (45)= {1;3 ;5 ;9 ; 15 ;45)

Vì b > 13 nên bài toán có hai đáp số b = 15 và b = 45

Thí dụ 21 : Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố

Vậy n và n + I là hai số nguyên tố cùng nhau

Nhận xét : Phương pháp chung để giải loại toán chứng minh hai số nguyên tố

cùng nhau là đặt ƯCLN của chúng là d, thế thì mỗi số đều chia hết cho d, sau

132 Tim ƯCLN và các ƯC của ba số 432 ; 504 và 720

133 Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480(cm) được lát loại gạch

hình vuông Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu ? Để lát

134 Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau :

a) Hai số lẻ liên tiếp

137 ƯCLN của hai số là 45 Số lớn là 270, tìm số nhỏ

138 Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18

139 Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của

chúng là 15

140 Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27

141* Cho a + 5b : 7 (a, b N) Chứng minh rằng 10a + b : 7 Mệnh đề đảo lại có đúng không ?

142 Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau Chứng minh

rằng a : 9 l

143* Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe : Loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ

ngồi Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe ?

§14 Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Kiến thức cơ bản :

1 Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a) BC(a, b) = B(a) ¬ Bib)

b) Bội chung nhỏ nhất của a và b là sở nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a và b, kí hiệu BƠNN (a, b) hoặc gọn hơn [a, b]

2 Cách tìm bội chung nhỏ nhất của một nhóm số

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của

2 Nếu lấy BCNN (a,b) chia cho từng số a và b thì các thương là những số nguyên tố cùng nhau

3 Nếu a : m và a: n thì a chia hết cho BCNN (m, n) Từ đó suy ra :

~ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng

~ Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết

Trong cách giải của thí dụ này, ta thấy a + 10 là bội chung của ba số 18 , 30,

45 Muốn tìm các bội chung của chúng, trước tiên ta tìm BCNN của ba số đó

rồi nhân kết quả với một số tự nhiên k Lần lượt cho k = 1, 2, 3 ta được các

bội chung từ nhỏ đến lớn Ta lấy giá trị nhỏ nhất có 3 chữ số của a

BÀI TẬP

Một xe lăn dành cho người tàn tật có chu vi bánh trước là 63cm, chu vi bánh

sau là 186cm Người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất của hai bánh xe này Hỏi

bánh trước và bánh sau phải lăn ít nhất bao nhiêu vòng thì hai điểm được

đánh dấu lại cùng tiếp đất một lúc

Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút Giá ba loại lần lượt là 1200đồng,

1500 đồng, 2 000 đồng Biết số tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút ?

Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số 126 ;

Tìm hai số tự nhiên a và b biết :

BCNN (a, b) = 300 ; UCLN (a, b) = 15

150 Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng

là 210

151* Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15

152 *, Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8

153 Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a?—1?6

154 Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

§15 Chuyên đề 3 Nguyên lí Điriclê và bài toán chia hết

1 Có một số thìa để trong một số cốc Nếu số thìa nhiều hơn số cốc thì ít nhất

cũng có một cốc chứa không ít hơn hai thìa

Như vậy, nếu có n + I thìa để trong n cốc thì ít nhất cũng có một cốc đựng

không ít hơn hai thìa Từ đẳng thức 7 = 3 2 + I ta thấy nếu nhốt 7 con thỏ vào 3

chiếc lồng thì ít nhất cũng có một lồng nhốt nhiều hơn 2 con thỏ Đó chính là nguyên lí Điriclê được phát biểu dưới dạng đơn giản

Tổng quát : Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = bq + r ( 0 < r< b) thì ít

nhất cũng có một lồng nhốt từ q + I con thỏ trở lên

2 Chú ý : Khi giải các bài toán vận dụng nguyên lí Điriclê ta cần suy nghĩ để

làm xuất hiện khái niệm "thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng” nhưng khi trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường

Thí dụ 23 : Cho 7 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể

chọn.-ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6

Phân tích : Coi ? số là 7 con thỏ Bảy con thỏ này được nhốt trong mấy lồng ?

Ta biết rằng khi chia một số cho 6 thì số dư chỉ có thể là một trong 6 số : 0, 1, 2, 3,

4, 5 Có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 số dư nên theo nguyên lí Điriclê thì ít

nhất cũng có 2 số chia cho 6 có cùng số dư Hiệu hai số này chia hết cho 6 (xem

bài 39)

Trình bày lời giải :

Khi chia một số cho 6 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 6 gid tri 14 0, 1, 2, 3,

4, 5 Có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 số dư nên theo nguyên If Diriclé thi ít

nhất cũng có 2 số chia cho 6 có cùng số dư Hiệu hai số này chia hết cho 6 (xem

157 Cho dãy số : 10, 102, 10°, 107°

Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư I

158* Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19 _

159 Cho ba số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8

160 Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc

hiệu chia hết cho 12

161 Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn được hai số có tổng

165* Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta

gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm

được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5

Năm 2010 kỉ niệm 1000 năm Thăng Long - Hà Nội, năm đó là năm nào theo

hệ đếm CAN CHI ?

CAN,am = 10 — 3 = 7 —> Canh (Xem thí dụ 11)

2010-4

Clin = Duc ( Jet=241=3 => Dần

Vậy năm 2010 là năm Canh Dần

Thí dụ 25 : Chứng minh ràng tích các ước của 50 là 50°,

a) Tính giá trị của biểu thức đó

'_ b) Nếu dùng thêm dấu ngoặc thì có thể được những giá trị nào khác ?

©) ,555 5 chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 125

171 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5 ; chia nó cho 19 thì

dư 12

172 Ngày I tháng 2 năm 2003 là ngày thứ Bảy

l a) Hỏi ngày I tháng 3 ; ngày I tháng 4 ; của năm này là ngày thứ mấy ?

b) Ngày | thang 2 nam 2004 là ngày thứ mấy ?

176* Cho a là một hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số

nguyên tố khác nhau là Pạ và P; Biết a? có tất cả 40 ước hỏi a” có bao nhiêu ước ?

177 Tìm a e N biết 355 chia cho a dư 13 và 836 chia cho a thì dư 8

178* Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4 Nếu đem số đó

chia cho 91 thi du bao nhiêu ?

179 Cho các số 12; 18 ; 27

a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó

b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1

c) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 dư 10 ; chia cho 18 dư 16 ; chia

cho 27 dư 25