Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông tỉnh sơn la

Do đó, đòi hỏi phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi dạy Toán để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, p

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS.Hoàng Ngọc Anh, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hình thành, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: Phòng Sau Đại học Trường Đại học Tây Bắc, Khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại học Tây Bắc, các thầy (cô) giáo ở Trường Đại học Tây Bắc, trường ĐHSP Hà Nội đã giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin trân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ Toán trường THPT Gia Phù - Phù Yên - Sơn La đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, cổ vũ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Lê Quang Đạt

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan……….….…

Lời cảm ơn……… …

Mục lục……… ……

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ……… i

Danh mục các bảng biểu ……… ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 5

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

5 Phương pháp nghiên cứu 5

6 Giả thuyết khoa học 6

7 Bố cục luận văn 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Tư duy 7

1.1.1 Tư duy, các hình thức tư duy toán học, các thao tác tư duy 7

1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo 13

1.2.1 Sáng tạo 13

1.2.2 Quá trình sáng tạo 14

1.3 Tư duy sáng tạo 15

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo 15

1.3.2 Các thành phần của tư duy sáng tạo 16

1.3.3 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 20

1.3.4 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông 21

1.4 Dạy học bài tập toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 23

1.4.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 23

1.4.2 Phương pháp giải bài tập toán 24

1.4.3 Các dạng bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố tư duy sáng tạo 29

1.5 Một số thực trạng của việc dạy và học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh vào dạy phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Sơn La 36

1.5.1 Đặc điểm về nhận thức của học sinh, thực trạng của việc dạy và học nhằm phát huy tư duy sáng tạo trong dạy môn toán đối với học sinh lớp 12

tỉnh Sơn La 36

1.5.2 Thực trạng việc vận dụng phương pháp dạy học nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh vào quá trình dạy của giáo viên tỉnh Sơn La…………39

Tiểu kết chương 1 41

Chương 2: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN NHẰM PHÁT HUY TÍNH SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT TỈNH SƠN LA 43

2.1 Chương trình hình học lớp 12 phần phương pháp tọa độ trong không gian……… 43

2.1.1 Nội dung………43

2.1.2 Mục tiêu của chương……….43

2.2 Xây dựng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo ……… 44

2.2.1 Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập phương pháp toạ độ trong không gian dành cho học sinh ở bậc THPT……….……….…… 44

2.2.2 Hệ thống bài tập……….……… …… 45

2.2.3 Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian……….……… ……… 47

2.2.4 Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình mặt phẳng trong không gian……….……… …… 65

2.2.5 Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến điểm, đường thẳng và mặt phẳng ……….……… …… 73

2.2.6 Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến mặt cầu 80

2.2.7 Bài tập hình học không gian áp dụng phương pháp tọa độ 92

Tiểu kết chương 2 93

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 94

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 94

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm 94

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 94

3.2 Nội dung thực nghiệm 94

3.3 Tổ chức thực nghiệm 95

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 95

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 96

3.3.3 Phương pháp thực nghiệm 97

3.4 Phân tích và đánh giá kết quả dạy thực nghiệm 97

3.4.1 Phân tích định tính 97

3.4.2 Phân tích định lượng 98

3.5 Một số vấn đề nảy sinh từ thực nghiệm sư phạm 101

Tiểu kết chương 3 101

KẾT LUẬN 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 PHỤ LỤC

i

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ii

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1: Kết quả báo cáo cuối năm các trường THPT năm học 2013-2014 và

năm học 2014-2015 38

Bảng 1.2: Kết quả dự giờ thăm lớp (môn Toán) của một số trường trong tỉnh Sơn La năm học 2014 – 2015 40

Bảng 3.1 Danh sách lớp thực nghiệm, đối chứng và giáo viên giảng dạy thực nghiệm sư phạm 95

Bảng 3.2: Thống kê chất lượng môn toán ở các lớp trong năm học 2013 – 2014 96

Bảng 3.3 Thống kê chất lượng khảo sát môn toán đầu năm học 2014 – 2015 96

Bảng 3.4: Thống kê các điểm số của bài kiểm tra 15 phút 98

Bảng 3.5: Thống kê các điểm số của bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) 98

Bảng 3.6a: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 15 phút 99

Bảng 3.6b: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 15 phút 99

Bảng 3.7a: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) 99

Bảng 3.7b: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) 100

Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã

đề ra mục tiêu của Giáo dục phổ thông như sau: “Mục tiêu của Giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm

mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.(Điều 27: Mục tiêu Giáo dục phổ thông, tr.75)

Để thực hiện mục tiêu trên, Luật giáo dục đã qui định rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh” (Luật giáo dục, Chương 2- mục 2, điều 28)

Nghị quyết trung ương Đảng khoá IV về định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là: dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”

Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII, 1997 khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương

pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa

XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo [22] đã chỉ rõ về mục tiêu cụ thể: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”

Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ Do đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống … Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà trường phổ thông

1.2 Trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, môn Toán đóng vai trò quan trọng

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật và đời sống con người

Môn toán có hệ thống bài tập đa dạng phong phú, sự khái quát và trừu tượng cao, sự liên kết liên tục các kiến thức toán học theo từng năm học, từng cấp học, mà một trong các chức năng quan trọng của nó là phát triển tư duy

cho học sinh, trong đó đỉnh cao là tư duy sáng tạo

Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên, dạy học hiện nay còn chịu tác động nặng nề bởi mục tiêu thi

cử, mục tiêu thành tích Vì thế, giáo viên chủ yếu là truyền thụ kiến thức, tập trung rèn luyện kĩ năng giải Toán, nặng về cường độ lao động, mà nhẹ về rèn luyện tư duy, nhất là tư duy sáng tạo cho học sinh Học sinh luôn ở trạng thái quá tải, làm các bài tập theo khuôn mẫu có sẵn, mà ít có điều kiện suy nghĩ, tìm tòi, khám phá, phát triển bài toán theo nhiều cách, nhiều tình huống

Do đó, đòi hỏi phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi dạy Toán để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về nguồn nhân lực của xã hội

1.3 Thực tiễn giáo dục của tỉnh Sơn La

Sơn La là một trong những tỉnh miền núi phía Tây bắc của Tổ quốc Điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn, trong khi đó sự quan tâm, đầu tư về công tác giáo dục còn tồn tại một số hạn chế và bất cập Đội ngũ giáo viên chưa đồng bộ, có nhiều bộ môn còn thiếu giáo viên, giáo viên trình độ sau đại học rất ít, cơ sở vật chất đến trang thiết bị dạy học còn nhiều thiếu thốn Đối tượng học sinh đến trường bao gồm chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu

số, sự nhận thức của các em còn nhiều hạn chế do điều kiện kinh tế gia đình khó khăn, do thiếu thốn về cơ sở vật chất trường, giao thông đi lại khó khăn

và các thông tin phục vụ cho học tập Bên cạnh đó việc tìm ra biện pháp để áp dụng phù hợp với từng đối tượng và điều kiện cụ thể ở từng địa phương là khó khăn đối với ngành giáo dục nói chung và tỉnh Sơn La nói riêng

Ở Việt Nam, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh và Tôn Thân, Trần Bá Hoành cũng có nhiều công trình nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Gần đây

có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu nghiên cứu, xây dựng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán học THPT Việc xây dựng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian sẽ giúp học sinh tiếp nhận được tri thức, có phương pháp chiếm lĩnh tri thức, từ đó phát triển tư duy tích cực sáng tạo, nhằm chuẩn bị năng lực thích ứng với đời sống xã hội, phát hiện kịp thời

và giải quyết hợp lý các vấn đề nảy sinh

Xuất phát từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Xây dựng và

sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông tỉnh Sơn La”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc vận dụng lí luận dạy học giải bài tập toán để xây dựng

và sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm góp phần phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT tỉnh Sơn La, qua đó nâng

cao chất lượng dạy và học môn toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Là quá trình dạy học nội dung phương pháp tọa

độ trong không gian lớp 12 trung học phổ thông

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập về phương

pháp tọa độ trong không gian lớp 12 góp phần phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT tỉnh Sơn La

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo;

- Nghiên cứu lí luận về phương pháp giải bài tập toán, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải bài tập toán;

- Nghiên cứu thực trạng dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 ở một số trường THPT tỉnh Sơn La;

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh;

- Đề xuất các biện pháp phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh qua chủ đề dạy

học “Phương pháp tọa độ trong không gian”;

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu sách giáo khoa hình học 12 hiện hành, và sách toán tham khảo liên quan đến phần hình học tọa độ không gian lớp 12;

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học dạy học, lí luận dạy học môn Toán;

- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu sách báo, các công trình

khoa học có liên quan đến đề tài

5.2 Phương pháp điều tra xã hội học

- Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của các em học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm

- Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên toán và học sinh lớp 12 về thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và những khó khăn trong khi dạy và học phần hình học tọa độ không gian lớp 12

- Mẫu khảo sát : Các lớp 12A1, 12A2, 12A3, 12B1, 12B2 trường THPT Gia Phù, giáo viên tổ toán trường THPT Gia Phù huyện Phù Yên tỉnh Sơn La

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

- Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu được từ các bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng được được hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian có thể khai thác được từ các tình huống dạy học chủ đề thì có thể phát huy tính sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản, có khả năng vận dụng vào thực tiễn, từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh và góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung này ở các trường THPT trên địa bàn tỉnh Sơn La

7 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn dự kiến gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ

thông tỉnh Sơn La

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Trong cuốn "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán", PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: "Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng

mà trước đó chủ thể chưa biết" [26]

Theo Pap-lôp: Tư duy là "sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một

hình thức nhất định của sự vận động của vật chất với sự hoạt động của óc Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất" Pap-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lý Ông viết: " Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc "

Một đặc điểm nổi bật của tư duy là tính ‘’có vấn đề ‘’ Ở hoàn cảnh, tình huống có vấn đề mà sự giải quyết vấn đề đó gợi lên nhu cầu và nằm trong khả năng hiểu biết tri thức của chủ thể nhận thức thì tư duy được hình thành

và phát triển

Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là:

1 Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế

2 Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích

3 Phân chia rành mạch các bước suy luận

4 Sử dụng chính xác các kí hiệu

5 Lập luận có căn cứ đầy đủ

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

1.1.1.2 Các hình thức tư duy toán học

+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diện và nội hàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diện, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó Giữa nội hàm và ngoại diện có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diện càng bị thu hẹp và ngược lại Nếu ngoại diện của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B, thì

bổ xung tính chất ‘’ đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của mặt đáy’’ thì được lớp các hình chóp đều là một bộ phận thực sự của lớp các hình chóp, và hình chóp đều là một loại hình chóp đặc biệt

+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: Trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trường hợp thứ hai phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

Ví dụ: Xét mệnh đề : "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường

thẳng song song" là một phán đoán và là phán đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi hai

đường thẳng đó cùng thuộc một mặt phẳng

+ Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quy

S’ = S.cos

Chứng minh: Gọi S là diện tích tam giác ABC, S’ là diện tích của tam

giác A’B’C’, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P), và gọi  là góc giữa (P) với (ABC)

- Nếu  900thì công thức hiển nhiên đúng Sau đây ta giả sử  900

Ta có thể giả sử (P) đi qua đỉnh A sao cho các đỉnh B và C ở cùng một

phía đối với mp(P)

Gọi D là giao điểm cuả BC với (P) và B’, C’ là hình chiếu của B,C trên

(P), thế thì D thuộc B’C’ Theo trường hợp 1 ta có :

- Nếu S là diện tích của một đa giác phẳng, S’ là diện tích của đa giác

chiếu và  là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu thì ta có:

S’ = S.cos

+ Trong ví dụ trên từ một trường hợp riêng đối với tam giác ABC ta đã

đưa đến kết luận cho trường hợp chung là đa giác phẳng, phép suy luận như

vậy chính là phép suy luận quy nạp

1.1.1.3 Các thao tác tư duy

+ Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng

rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

+ So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối với hình thức tư duy đó có thể ở mức đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra dự đoán hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

+ Khái quát hóa-đặc biệt hóa: Khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [14]

Như vậy có thể nói, khái quát hóa là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố

của khái niệm, định lý, bài toán… thành những dự đoán mang tính tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Theo G Pôlya [20]: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo

1.2.1 Sáng tạo

Theo từ điển tiếng Việt thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, không phụ thuộc vào cái đã có Cái mới đó có thể là tính chất mới của sự vật, một đối tượng, có thể là một quan hệ mới, một phương pháp mới

Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt"

Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống"

GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người

có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra" [24]

Có hai mức độ sáng tạo:

- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng Như sự phát hiện ra hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa

- Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng Như sự phát triển của máy tính, của lazer

Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu

họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là người giải chưa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi chưa biết trước

+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được tham gia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được khẳng định

Đặc điểm của quá trình sáng tạo:

+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc

+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi" cao độ, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những kết quả mới

1.3 Tư duy sáng tạo

1.3.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh - Tôn Thân, các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất" [15]

+ Theo nghĩa khách quan: Mới mẻ vì từ trước chưa hề có, chưa có người nào khác sáng tạo ra, sản phẩm có ý nghĩa thực tiễn với loài người

+ Theo chủ quan: Sản phẩm không mới mẻ với người khác nhưng mới

mẻ với người “đẻ” ra nó, người đã “thai nghén” ra nó mà không theo một khuôn mẫu nào Tuy sản phẩm không có ý nghĩa với hoạt động thực tiễn của loài người, nhưng có ý nghĩa đối với sự phát triển nhân cách của người sáng tạo ra nó

1.3.2 Các thành phần của tư duy sáng tạo

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân thì tư duy sáng tạo có các thành phần cơ bản sau đây, [15]:

+ Tính mềm dẻo: Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

+ Tính nhuần nhuyễn: Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự

tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

+ Tính độc đáo: Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau: 1) Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

2) Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Ba yếu tố nêu trên là ba yếu tố cơ bản của sáng tạo, là thành phần cốt lõi của tư duy sáng tạo Tuy nhiên tư duy sáng tạo còn có các yếu tố khác như:

+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển các ý tưởng, kiểm tra và chứng minh các ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề,

sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,… và từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái mới

Ngoài ra có thể kể đến: Tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tĩnh nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, độc đáo (đặc sắc) Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện,

tính nhạy cảm vấn đề,… Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong những hoạt động của con người Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo:

Ví dụ: Lập phương trình của mp(P) đi qua đường thẳng d:

Cách 2: Ta có thể khai thác tính chất d nằm trong mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S)  véc tơ chỉ phương của đường thẳng d vuông góc với véc tơ pháp tuyến của mp(P) Ta có cách giải sau:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 9

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u

= (–1; 1; 4), và đi qua điểm M(13; –1; 0) Do mp(P) chứa điểm M nên mp(P) có phương trình dạng:

Thay vào phương trình mp(P) ta thu được kết quả như trên

Lời giải trên rất hay, rõ ràng và ngắn gọn, nó cho thấy kết quả của lối tư duy linh hoạt thể hiện tính độc đáo của tư duy sáng tạo

Cách 3: Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 9 Nếu coi đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q): x + y  12 = 0 và (R): 4x + z

 52 = 0 thì ta có mp(P) đi qua đường thẳng d nên mp(P) thuộc chùm mặt phẳng đi qua d Suy ra phương trình mp(P) chứa đường thẳng d có dạng:

14

Vậy ta có hai phương trình tiếp

diện với mặt cầu (S) đi qua đường thẳng d là:

mp(P1) :  2x + 2y  z + 28 = 0 và mp(P2) : 8x + 4y + z  100 = 0

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:

1.3.3 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Năng lực tư duy biện chứng là một bộ phận cấu thành năng lực tư duy,

nó có vai trò đặc biệt quan trọng đối với chủ thể nhận thức và hoạt động Năng lực tư duy biện chứng đòi hỏi chủ thể nhận thức không chỉ có tri thức khoa học sâu rộng mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, mềm dẻo những tri thức đó vào giải quyết những vấn đề cụ thể trong cuộc sống Nhưng để có khả năng vận dụng những tri thức chung nhất của phép biện chứng duy vật vào giải quyết những vấn đề cụ thể, đòi hỏi chủ thể nhận thức phải hiểu biết sâu sắc và nắm vững được phép biện chứng duy vật Có như vậy mới hình thành

được năng lực tư duy biện chứng

“Nhà sư phạm Xô Viết A X Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy

học và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ

đề ra cho con người trong một tương lai không xa Để giáo dục được con người lao động sáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển những năng lực tư duy một cách biện chứng năng lực xem xét các đối tượng và hiện tượng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình vận động biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng.”

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh Tư duy biện chứng đóng vai trò quan trọng, giúp ta phát hiện vấn đề và định hướng tìm cách giải quyết vấn đề

Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức Tư duy biện chứng giúp ta xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó tức là xem xét sự vật ở tất cả các mặt, trong tổng hoà các mối quan hệ Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó và đưa ra nhiều lời giải khác nhau Tóm lại, giáo viên cần rèn tư duy biện chứng cho học sinh, từ đó có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo

1.3.4 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông

Theo Eric Jensen, trường học muốn đào tạo nên những học sinh có tư duy sắc bén, cần phải tạo ra nhiều tương tác tư duy hơn nữa trong lớp học, từ hình thức thảo luận nhóm lớn về các vấn đề gây tranh cãi đến hình thức giải quyết vấn đề theo cặp hay nhóm nhỏ

Toán học có thể xem xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn

có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh

mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần được bồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng

Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận, trong học tập và giải quyết các vấn đề: Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo Phát triển tư duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức,

có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên, trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá

- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo trong tư duy

Ngoài ra, giáo viên cũng có thể trau dồi tư duy cho học sinh bằng nhiều cách khác Giáo viên muốn học sinh tư duy sáng tạo thì giáo viên cần phải thể

hiện điều đó ở chính bản thân mình

1.4 Dạy học bài tập toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống

Theo GS TSKH Nguyễn Bá Kim viết trong cuốn “phương pháp dạy học môn toán” [16]

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, phương pháp, quy tắc, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Vai trò của bài tập thể hiệ trên 3 bình diện:

Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức

độ đạt mục đích Bài tập toán góp phần:

+ Hình thành, củng cố kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập đó sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau

về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp GV nắm bắt được thông tin trong quá trình dạy và học

Đặc biệt chủ đề hình học không gian chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên

cơ sở hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo

1.4.2 Phương pháp giải bài tập toán

Theo G.Pôlya [20], phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải Cụ thể:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Đâu là ẩn ? Đâu là dữ kiện ? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn ?

+ Bước 2: Xây dựng chương trình giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không ? Một định lý có thể dùng được không ?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn tương tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng

nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hãy sử dụng phương pháp ?

Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa ? Quay về định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Bạn có thể giải được một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó,

nó biến đổi như thế nào ? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không ? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho

ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không ?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?

Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không ?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã được thể hiện đầy đủ

+ Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)

- Bạn có kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không ?

- Có tìm ra được kết quả một cách khác không ? Có thể thấy ngay trực tiếp kết quả không ?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào khác không ?

Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của lôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có phần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải Dần dần những hiểu biết về lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh

Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3;  1; 3) và cắt

1 Tìm hiểu nội dung bài tập:

Đây là một bài toán viết phương trình đường thẳng, với giả thiết đường thẳng đi qua điểm A cho trước, đồng thời cắt cả hai đường thẳng Đó là một

số chú ý trong đề bài toán

Đường thẳng (d) đi qua A và cắt (d1) suy ra (d) và (d1) cùng thuộc mp(P) đi qua A và chứa (d1) Đường thẳng (d) đi qua A và cắt (d2) tại điểm N suy ra điều gì? (N phải thuộc mp(P)) Khi đó đường thẳng (d) nếu có là đường thẳng đi qua 2 điểm A, N

3 Thực hiện chương trình giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua A và chứa (d1), ta có: (P) nAM, u1 , AM (3; 3; 3); u 1 (2; 1; 5)

+ Giao điểm của đường thẳng d2 với mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

4 Kiểm tra tính đúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:

+ Kiểm tra: Ta có thể kiểm tra tính đúng đắn của lời giải thông qua các thao tác sau: xét xem đường thẳng (d) có song song với đường thẳng (d1) hay không ? Nếu song song suy ra không tồn tại

+ Nghiên cứu sâu lời giải:

Cách giải được tổng quát như sau: Ta thấy mp(P) là duy nhất và không đổi, đường thẳng (d) nằm trong mp(P)  Nếu (d) cắt (d2) tại B thì giao điểm

B phải thuộc mp(P) Do vậy ta có thể giải bài tập trên như sau:

+ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P)

+ Bước 2: Tìm giao điểm B nếu có của đường thẳng (d2) với mp(P) Nếu không có giao điểm không có đường thẳng (d), nếu có vô số giao điểm có vô số đường thẳng (d) là chùm đường thẳng đi qua A và nằm trong (P), nếu có duy nhất thì chuyển sang b3)

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB, kiểm tra nếu AB không song song với (d1)  AB chính là đường thẳng (d)

 Sử dụng các thao tác tư duy:

a) Bài toán tương tự:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 1; 1) và vuông góc

với hai đường thẳng (d1):x 1 y 2 z

b) Đặc biệt hoá bài toán:

Ta có thể đặc biệt hóa bài toán bằng cách cho (d1) cắt (d2) tại một điểm và ta

có bài tập như sau: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm

A(0;1;1), cắt cả hai đường thẳng (d1):x 1 y 2 z

c) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã có thể giải quyết được bài

toán tổng quát viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2) Có thể thay đổi một số giả thiết thích hợp, ta sẽ có nhiều bài toán khác khá hay

a) Dạng bài tập có nhiều cách giải

+ Cấu tạo: Bài tập có những đối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; rèn luyện khả năng nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

b) Dạng bài tập có nội dung biến đổi

+ Cấu tạo: Bài tập gồm hai phần thứ nhất là bài toán a Phần thứ hai là bài toán a nhưng có biến đổi một vài yếu tố của nó (nhìn bề ngoài ít quan trọng) do đó nội dung và cách giải bài toán biến đổi hẳn đi (gọi là bài toán b) + Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chống tính ỳ của tư duy

+ Tác dụng: Bài tập “mở” kích thích óc tò mò khoa học, đặt HS trước một tình huống có vấn đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho HS thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tòi, phát hiện các kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán

Bài tập “mở” góp phần rèn luyện khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động rõ rệt trong việc bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy

Nếu theo suy nghĩ thông thường, ta sẽ lấy hai điểm thuộc đường thẳng

d sau đó xác định hình chiếu vuông góc của hai điểm đó trên mặt phẳng (P) rồi suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Cách làm đối với bài toán này sẽ dẫn đến sự dài dòng Học sinh có thể nhìn nhận vấn đề một cách mềm dẻo hơn như sau:

Ta nhận thấy đường thẳng d giao với mp(P) tại điểm M(1; 1;  1), do

đó ta chỉ việc xác định hình chiếu vuông góc của điểm N(4; 3; 0) xuống (P) Đường thẳng qua N và vuông góc với (P) có phương trình:

H(2; 1;  2) là hình chiếu của N trên (P)

Vậy phương trình hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và H:

1.4.3.2 Các dạng bài tập rèn luyện tính nhuần nhuyễn

a) Bài tập có nhiều kết quả

+ Cấu tạo: Bài tập này thiếu yếu tố xác định, do đó có thể hiểu theo nhiều cách khác nhau nên có nhiều kết quả khác nhau

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc

độ và hoàn cảnh khác nhau; khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau

b) Bài tập “câm”

+ Cấu tạo: Bài tập “câm” là loại bài tập chủ yếu sử dụng sơ đồ, hình vẽ,

kí hiệu … Trong bài tập “câm” lời nói chỉ là thứ yếu, thường là một câu ngắn gọn hoặc hoàn toàn không có lời văn Bài tập là sự kết hợp chặt chẽ của trừu

tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa Nó gạt bỏ các nội dung cụ thể, tách ra những dấu hiệu, quan hệ cơ bản nhất đồng thời lại được biểu hiện bằng những phương tiện cụ thể: sơ đồ, hình vẽ, dãy tính …

Bài tập “câm” có thể có các loại sau:

Lập đề toán trên cơ sở cho trước sơ đồ, hình vẽ, dãy tính, phương trình,

…

Củng cố các khái niệm, quy tắc, định lý, … trên cơ sở khái quát hóa những sự kiện cụ thể

Tìm tòi phát hiện kiến thức mới

+ Tác dụng: Bài tập “câm” có tác dụng rèn luyện khả năng xem xét đối tượng những khía cạnh khác nhau, rèn luyện khả năng trừu tượng hóa, tạo điều kiện cho HS tiến hành các hoạt động ngôn ngữ khi phải phát biểu các đề toán dưới những hình thức khác nhau

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho mặt

phẳng (P) : xy2z 1 0  và hai điểm A(2 ;1; 3), B(1; 1;  2) Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho MAMBcó giá trị lớn nhất

Bài toán này nếu suy nghĩ theo hướng sử dụng công thức độ dài và đưa

về bài toán tìm GTLN của hàm số, thì bài toán đã cho sẽ có lời giải dài dòng

và phức tạp Khai thác ý nghĩa hình học thuần túy của bài toán ta có : Nếu MAB là một tam giác thì MAMB AB.Dấu ‘’=’’ sảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn AB

Biết (P) là mặt phẳng trung trực của AA’(A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P))  A’(4;  1 ;  1) Ta có với mọi Mmp(P), MA = MA’ Vậy suy ra có MAMB= MA ' MB AB Dấu ‘’=’’ sảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A’B và mặt phẳng (P) (Mnằm trên đường thẳng A’B

và ở ngoài A’B) Phương trình đường thẳng A’B là: