BÁO CÁO LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH PP DẠY HỌC TOÁN

Trong lịch sử toán học, có thể thấy có bốn giai đoạn khác nhau rõ ràng về chất. Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học độc lập. Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 65 trước CN.Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi, kéo dài đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã phát triển khá sâu.Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của giải tích toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng.Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có ý thức và có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không gian. Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể không gian tương tự. Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không chỉ một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm “ phiếm hàm” và “ toán tử”. “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng. Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19.

Trang 2

MỞ ĐẦU

Trong lịch sử toán học, có thể thấy có bốn giai đoạn khác nhau rõ ràng về chất

Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học độc lập

Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 6-5 trước CN

Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi, kéo dài

đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã phát triển khá sâu

Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của giải tích

toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng

Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có ý thức và

có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không gian Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể

không gian tương tự Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không chỉ một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm

“ phiếm hàm” và “ toán tử” “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19

Trang 3

LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN

GIẢI TÍCH

Trang 4

I.Lịch sử phát triển của giải tích

Bắt đầu ở thế kỉ 17 lúc mà ý tưởng chuyển động và biến thiên thâm nhập rõ ràng vào toán học Việc khảo sát các đại lượng biến thiên và mối liên hệ giữa chúng đã dẫn đến các khái niệm

hàm, đạo hàm và tích phân, đưa tới sự ra đời của một bộ môn toán học mới – giải tích toán

học

Giải tích toán học ( Mathematical Analysis) còn có tên là phép tính các đại lượng vô cùng bé

và vô cùng lớn ( calculus of Infinitely Small and Large Quantities) hoặc phép tính vi tích phân (calculus of Differentiation and Integration)hoặc gọi tắt là Calculus,ra đời vào cuối thế kỉ thứ 17

Trong lịch sử, hai phép tính vi phân và tích phân được phát hiện độc lập với nhau Mầm mống của phép tính tích phân đã có từ thời kì Hy Lạp cổ đại, trong công trình của Archimede, liên

quan đến vấn đề cầu phương, cầu tích, cầu trường

Vào thế kỷ XVII, hoàn toàn độc lập với phép tính tích phân, những tư tưởng của phép tính vi

phân mới được hình thành qua nghiên cứu của Fermat trên việc giải các bài toán, tìm tiếp

tuyến, cực đại, cực tiểu của hàm số và việc nghiên cứu các chuyển động

Chính từ việc xác định đường cong khi biết tiếp tuyến của nó mà Barrow đã thiết lập cầu nối giữa bài toán cầu phương và bài toán dựng tiếp tuyến Quan hệ thuận nghịch giữa hai phép tính vi phân và tích phân thể hiện rất rõ qua các công thức do Newton, Leibniz,

Cauchy chứng minh, mà ngày nay ta gọi đó là định lí cơ bản của hai phép tính này.

Trang 5

Vào thời cổ đại, bài toán xác định diện tích các hình và thể tích các vật thể được đặt ra Người

Ai Cập và Babylone cổ đã có thể tính diện tích và thể tích của một số hình đơn giản theo đúng những công thức chúng ta dùng ngày nay

Nhà bác học cổ Hy Lạp Democritus, vào thế kỉ thứ 5 trước CN đã đưa ra thuyết nguyên tử, cho rằng mọi vật thể đều cấu thành bởi một tập hợp vô hạn các nguyên tử nhỏ bé mà ông gọi

đó là “ đại lượng cơ sở” Áp dụng thuyết nguyên tử vào toán học, Democritus tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng Quan niệm của ông được xem là nguồn gốc của khái niệm vô cùng bé

Điều đó đặt ra yêu cầu “ cần phải nghiên cứu và sử dụng những phương pháp mà bên cạnh các hình thức suy luận khác nhau về đại lượng vô cùng bé còn có các yếu tố của sự chuyển qua giới hạn” ( K.A Rư-ni-côp, 1967, trang70)

Người đầu tiên xây dựng một phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn là Eudoxe

(410-356 trước CN) Phương pháp của ông gọi là phương pháp “ vét kiệt”

Và phương pháp này đã được Archimedes (287-212 trước CN) sử dụng thành thạo để cầu phương các hình, cầu tích các thể, cầu trường các cung và xác định trọng tâm của vật thể

Trang 6

Phép tính vi phân và tích phân được sáng tạo ra nhằm giải quyết bốn vấn đề khoa học của thế

kỉ 17:

1)Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể chuyển động theo thời gian khi biết phương trình giờ của vật thể ấy

2)Tìm tiếp tuyến của đường cong

3)Tìm cực đại và cực tiểu của một hàm số

4)Tìm độ dài của đường cong

Các nhà toán học cổ Hy Lạp đã dùng phương pháp “vét kiệt” một cách khéo léo, các nhà toán học ở thế kỉ 17 đã dần cải tiến, và họ nhanh chóng phát minh ra phép tính vi-tích phân

để giải quyết các vấn đề khoa học trên

Trang 7

Có nhiều nhà toán học đã kế thừa và cải tiến dần phương pháp "vét kiệt" và dần tiếp cận tới phép tính vi tích phân như : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens,

Kepler đã tính xấp xỉ được diện tích của các vật thể tròn xoay; Galileo đã nhận biết rằng diện tích phần giới hạn bởi thời gian và đường cong vận tốc biểu diễn quãng đường đi được

Fermat, Roberval, Torircelli và Cavalieri đã đạt được một cách độc lập về việc cho diện tích phần dưới đường cong ‘‘luỹ thừa bậc n’’

Tuy nhiên họ chưa biết dùng nguyên hàm để tính những diện tích như vậy,

Trang 8

Tất cả những cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Newton và Leibniz hoàn thiện phép tính vi - tích phân

Hai ông đã tạo ra một hệ thống tập hợp kí hiệu tổng quát và một hệ thống các quy

tắc giải tích hình thức cho phép tính vi - tích phân

 Theo Frederick – một nhà lịch sử giải tích ở Bowling Green University, nguyên nhân có thể

hoàn thiện phép tính vi-tích phân của Newton và Leibniz trên nền móng phương pháp vét kiệt của Eudoxus:

1) Những công trình sớm hơn gần như là một tập hợp các công cụ thông minh áp dụng vào đa

thức, có tính tổng quát và có thể áp dụng cho nhiều loại toán khác nhau

2) Sự phát triển của thuật toán và ký hiệu Newton và Leibniz đã phát triển những giải thuật tổng quát, nhờ vậy mà các phương pháp trước đó có thể áp dụng Các kí hiệu

dy

dx cho đạo hàm và ∫ Cho tích phân đều là của Leibniz

Trang 9

Về sau, Cauchy và những người tiếp sau trong thế kỷ XIX đã phát triển các khái niệm

cơ bản của giải tích trên cơ sở chặt chẽ

Tuy nhiên, để đạt được sự chặt chẽ như ngày nay, các nhà nghiên cứu phép tính vi phân và tích

phân đã đối mặt các vấn đề về mối quan hệ giữa liên tục và rời rạc, giữa hữu hạn và vô hạn, giữa chuyển động và đứng yên

4) Newton và Leibniz ý thức được việc sáng tạo ra một ngành toán học mới hết sức quan trọng Cả hai người được hiểu rằng họ đang phát triển một phương pháp tổng quát hết sức quan trọng

3) Sự thấu hiểu phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai quá trình ngược nhau và khai thác dữ kiện này là vấn đề chính yếu đối với môn phép tính vi – tích phân

Trang 10

MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU

Trang 11

II Một số nhà toán học tiêu biểu

I ISAAC NEWTON (1642-1727)

Trang 12

Isaac Newton là một trong những thiên tài lớn nhất thế giới, Newton là nhà toán học và thiên

văn học, ông cũng là nhà vật lý và cơ học, hóa học, về lý thuyết lẫn thực nghiệm Chế ra kính thiên văn, phát minh Toán vi phân và nhất là khám phá lực hấp dẫn.

Newton sinh ra trong một gia đình nông dân May mắn cho nhân loại, Newton không làm ruộng giỏi nên được đưa đến đại học Cambridge để trở thành luật sư Tại đây Newton bị ấn tượng mạnh từ Euclid Một đợt dịch bệnh đã khiến trường Cambridge đã đóng cửa và trong thời gian ở nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng; trong đó phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới đã thống nhất và đơn giản hóa nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để giải những bài toán có vẽ không liên quan trực tiếp

Cũng trong lúc đó, Gottfried Leibniz (1646-1716), nhà bác học Đức cũng tìm ra cách tính này

Do đó sinh ra một cuộc bút chiến giành quyền tác giả ưu tiên, một cuộc bút chiến dữ dội và lâu dài vì Newton xây dựng khái niệm về toán vi phân trước Leibniz rất lâu, nhưng Leibniz lại in

đề tài này ra trước

1. TIỂU SỬ ISAAC NEWTON:

Trang 13

Mùa hè năm 1666 tại Woolsthorpe, Isaac Newton sửa soạn trình bày một thí nghiệm sẽ là nguồn

gốc của tất cả những lý thuyết hiện đại về ánh sáng và màu sắc

Năm 1670, ông được nhận làm giảng viên của trường Đại học Cambridge

Năm 1672 Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh

Năm 1684, Newton xuất bản quyển Philosoph iae Naturalis Principia Mathematica (Các

Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên)

Năm 1693, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn

Năm1703, Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh

Năm 1705, ông được Nữ hoàng phong bá tước

Trang 14

2 NHỮNG THÀNH TỰU KHOA HỌC CỦA ISAAC NEWTON

2.1 Thành tựu trong vật lý và thiên văn học:

-Phát minh ra đồng hồ mặt trời

- Đã tìm ra ”Định luật vạn vật hấp dẫn”

- Một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại

của Newton là cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý

Toán học của Triết lý về Tự nhiên), hoàn thành năm 1688, viết bằng tiếng Latin, gồm 3 tập

- Vào năm 1668, Newton chế tạo được mô hình một kiểu kính viễn vọng mới

Trang 15

2.2 Thành tựu trong Toán học

a Phép tính vi - tích phân

b Nhị thức Newton

c Một số thành tựu toán học khác:

 Công trình toán học: Các đường bậc ba (1704): Phân loại và nghiên cứu tính

chất các đường cong bậc ba bằng hình học giải tích

 Công trình toán học: Về phép cấu phương các đường cong (1704)

 Công trình toán học: Arithmetica universalis ( 1707 ) đạt được nhiều kết quả quan

trọng trong lý thuyết các phương như:

+ Nghiệm ảo của một đa thức thực phải có từng cặp một

+ Quy tắc tìm cận trên của các nghiệm của một đa thức

+ Công thức biểu thị ổng các luỹ thừa thứ n của các nghiệm của một đa thức theo hệ số của đa thức ấy

 Newton là người giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên trên thế giới

Được xem là công lao sáng tạo của Newton, công trình này được hoàn thành năm

1671 Nhưng đến năm 1736, mới được công bố Đây cũng là nguyên nhân gây ra

cuộc tranh luận kéo dài giữa Newton và Leibniz

Trang 16

II GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716)

Trang 17

Leibniz nhà bác học, triết học lỗi lạc của nước Đức

Ông là con của một giáo sư triết học Từ nhỏ ông đã được cha quan tâm bồi dưỡng những năng khiếu tự nhiên Mẹ là một phụ nữ thông minh biết nhiều ngoại ngữ có ảnh hưởng sâu sắc tới tài năng và đức tính của ông sau này

Năm 14 tuổi, ông được nhận vào trường đại học Laixich Ông tỏ ra thông minh đặc biệt

và có nhiều công trình nghiên cứu về toán

Năm 20 tuổi, ông đã cho xuất bản cuốn “ Lược khảo về sự phân tích tổ hợp”

Những phát minh của ông cùng thời với các nhà bác học lớn trên thế giới như: phép

tính vi phân tương đương của Newton, lý thuyết bảo tồn năng lượng với Descartes

Leibniz là một nhà bác học về nhiều ngành khoa học tự nhiên như: Toán học, Sử học,

nhà nghiên cứu pháp lý mới, nhà cải cách ngôn ngữ và triết gia

1 Tiểu sử của Leibniz

Trang 18

2 NHỮNG THÀNH TỰU KHOA HỌC CỦA GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

2.1 Toán học:

a Phép tính vi tích phân

Leibniz đã phát minh phép vi tích phân từ năm 1673 đến 1676 Nhiều quy tắc

sơ cấp về lấy vi phân thường được trình bày trong các giáo trình đại học là của

Leibniz

Quy tắc tìm đạo hàm bậc n của tích 2 hàm số vẫn được coi là quy tắc Leibniz

Mùa thu 1676 Leibniz đã phát minh ra mối quan hệ d(xn)=n.xn-1.dx

Năm 1686, Leibniz cho xuất bản tác phẩm “Về hình học sâu sắc” Leibniz đã trình bày các quy tắc tính tích phân của hình học sơ cấp

Năm 1692, Leibniz đặt nền móng cho lý thuyết về hình bao, vào năm 1694, ông giới thiệu

về giới hạn tọa độ, trục tọa độ

Năm 1693, Leibniz đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt

Năm 1695, Leibniz đã xuất bản qui tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công thức

vi phân của tích

dm(xy)=dm(x)d0y + d(m-1)(x)dy + d(m-2)(x)d2(y) + …

Năm 1702, Leibniz đã tìm thấy cách lấy vi phân của phân số hữu tỉ

Năm 1714, Leibniz viết “ Lịch sử và nguồn gốc của phép tính vi phân”

Trang 19

b Máy tính của Leibniz:

Máy tính nhân của ông, thực hiện năm 1671, đã đưa ra một ý tưởng mới: việc quay đồng thời những bánh răng khác nhau tương ứng với các hàng lẻ của những số máy đang tính

Trang 20

c Tổng của các hiệu của các số hạng liên tiếp trong dãy số:

Cho một dãy số a0, a1, a2,…, anXét dãy số d1, d2,…,dn với di = ai – ai-1 Lúc này ta có:

d1 + d2 + d3 +…+ dn = (a1 – a0) + (a2 –a1) + ….+ (an – an-1)

= an – a0 (*)

Do đó, tổng của các hiệu số liên tiếp bằng hiệu của số hạng đầu và số hạng cuối của dãy

d Tam giác điều hòa: 1

1 1

2

1 2 1

3

1 6

1 3 1

4

1 12

1 4 1

30

1 20

1 5

+

Trang 21

2.2 Vật lý:

- Leibniz đã có ý tưởng sử dụng năng lượng gió và nước để điều khiển máy bơm

- Năm 1671, Leibniz công bố giả thuyết Vật lý về thiên văn học

- Từ năm 1678-1679, ông đã xúc tiến một bộ sưu tập trọn vẹn những công trình chuyên môn về địa chất

- Năm 1685, ông viết luận văn để tìm áp xuất sử dụng bởi năng lượng (w) giữa hai mặt phẳng nghiêng đã bổ sung độ nghiêng

- Năm 1689, Leibniz viết bài về sự chuyển động của hành tinh “làm cân bằng sự chuyển động”

2.3 Triết học:

- Leibniz là một triết gia duy tâm, khách quan có nhiều yếu tố biện chứng

- Leibniz là người mở đường cho phái triết học duy tâm cổ điển và phái triết học duy tâm biện chứng ở Đức

Trang 22

3 ARCHIMEDES (284-212)

Trang 23

3.1 Tiểu sử

Acsimet sinh năm 284 và mất năm 212 trước Công nguyên Ông sống ở thành phố Syracuse, trên đảo Sicile, con một một nhà thiên văn và toán học nổi tiếng Phidias Người cha đích thân dạy dỗ và hướng ông đi vào con đường khoa học tự nhiên

Acsimet được cha cho đi du học ở thành phố Alexandrie, Ai Cập, trở thành học sinh của nhà toán học nổi tiếng Ơclit; rồi sang Tây Ban Nha và cuối cùng về định cư vĩnh viễn tại thành phố quê nhà xứ Sicile Ðược hoàng gia tài trợ về tài chính, ông cống hiến cả cuộc đời mình cho nghiên cứu khoa học và đạt được những thành tựu đồ sộ

3.2 Thành tựu

a Các công trình của Acsimet

1 Công thức tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ, hình cầu

2 Số thập phân của số Pi (nằm giữa 223/7 và 22/7)

3 Phương pháp tính gần đúng chu vi vòng tròn từ những hình lục giác đều nội tiếp trong vòng tròn

4 Những tính chất của tiêu cự của Parabole

5 Phát minh đòn bẩy, bánh xe răng cưa…

6 Chế tạo vũ khí mới đánh quân La Mã

Trang 24

7 Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng …

8 Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận

9 Nguyên lý thủy tĩnh, sức đẩy Acsimet, trọng tâm Barycentre

10 Những khối Acsimet (Solides Acsimet)

11 Những dạng đầu tiên của tích phân

b Tác phẩm Acsimet đã viết:

- Sự cân bằng các vật nổi

- Sự cân bằng của các mặt phẳng dựa trên lý thuyết cơ học

- Phép cầu phương của hình Parabole

- Hình cầu và khối cầu cho Toán Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu theo bán kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó

Ông còn viết những sách khác như:

- Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)

- Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng quanh một trục (surface de révolution), những parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole

Trang 25

4 AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1857)

Trang 26

4.1 Tiểu sử

Cauchy là nhà Toán học đầy óc sáng tạo, ông có rất nhiều công trình toán học, chỉ thua

Euler mà thôi Những nhà toán học hiện đại tiếp thu được từ Cauchy hai điều nổi bật trên con đường nghiên cứu toán ở thế kỷ 18

Cuộc đời và tính tình Cauchy giống như của chàng “Đông Ki-sốt” đáng thương, không biết nên khóc hay nên cười

Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Păngtêông

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa

Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu cống và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi

Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học

Tên của Cauchy được đặt cho 1 miệng núi lửa trên Mặt trăng

Lúc đó ông 24 tuổi Công trình toán học của ông bấy giờ là lý thuyết khối đa diện và hàm

đối xứng đã làm cho các nhà toán học lớn của nước Pháp chú ý

Trang 27

Vào những năm 1840, Cauchy đã đưa ra “Lí thuyết về các phép chế”, sau này ông phát triển thành “Lí thuyết các nhóm hữu hạn”

Năm 1814 Cauchy đã viết công trình về tích phân xác định và không ai vượt được ông về lí thuyết hàm số một biến phức mà Gauss đã đưa ra định lí cơ bản năm 1811 trước Cauchy 3 năm Công trình Cauchy chi tiết hơn nhiều, chỉ được công bố năm 1827 Sự chậm trễ này là

do khối lượng nội dung của công trình (dày khoảng 180 trang)

Năm sau(1815) Cauchy lại gây một chấn động trong giới Toán học bằng cách chứng minh một trong những định lí lớn của Fermat để lại: mọi số nguyên dương là tổng của ba “tam giác” của bốn “tứ giác”, của năm “ngũ giác” của sáu “lục giác”…v… Số 0 trong mỗi trường hợp được coi

là một số trong đó Một “tam giác” là một trong những số 0,1,3,6,10,15,21,… có được bằng cách dựng những tam giác đều bằng các điểm (hình 1)

Trang 28

Trong 19 năm cuối đời mình, Cauchy đã có trên 500 công trình trên tất cả lĩnh vực của toán học kể cả cơ học, vật lí học, thiên văn học

Những “hình vuông” 0,4,9,16 cũng được xây dựng tương tự vậy

Trang 29

4.2 Thành tựu

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1) Điều kiện biên Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân thường và phương

trình vi phân đạo hàm riêng

2) Phương trình Cauchy-Euler là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

thông thường với hệ số biến

3) Định lý Cauchy–Kowalevski trong lý thuyết phương trình vi phân từng phần

4) Định lý Cauchy-Peano trong lý thuyết phương trình vi phân

5) Bài toán Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân

Trang 30

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT CHUỖI

6) Dấu hiệu hội tụ Cauchy

7) Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho chuỗi số

8)Tiêu chuẩn hội tụ Maclaurin-Cauchy

Trang 31

CÁC ĐÓNG GÓP KHÁC CỦA CAUCHY

14) Định lý Cauchy – Hadamard trong giải tích phức

15) Phương trình vi phân Cauchy–Riemann trong giải tích phức,

Trang 32

5 GALILEO (1564-1642)

Trang 33

Galileo sinh ra ở Pisa nước Ý Ông là sinh viên ngành thuốc và ông được cha

mẹ cho phép học về khoa học và toán học là những lĩnh vực mà ông có nhiều tài năng bẩm sinh

5.1 Tiểu sử

Galileo đã dùng phép thực nghiệm để xác nhận rằng: các vật thể rơi không phụ thuộc vào trọng lượng của chúng, điều này lại trái với phát biểu của Aristotle, và ông đưa ra công thức của sự rơi là:

2

1 2

s = gt

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	1,48 MB