ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO PP DẠY HỌC TOÁN CHƯƠNG 3 BÀI 15, CHƯƠNG 4 BÀI 13, CHƯƠNG 5 BÀI 9

CHƯƠNG III Bài 15: Toán tử tuyến tính sau có chéo hóa được trên R không? Trong trường hợp chéo hóa được hãy tìm một cơ sở mà trong đó toán tử có dạng chéo. với CHƯƠNG IV Bài 13: (a) Cho và . Chứng minh A và B đồng dạng nếu và chỉ nếu và . (b) Cho , và . Chứng minh , , A và B không đồng dạng. CHƯƠNG V Bài 9: Xét tích vô hướng Euclide trong . Hãy bổ sung chúng để được một cơ sở trực giao của (a) (b)

Bài 15: Toán tử tuyến tính sau có chéo hóa được trên R không? Trong trường hợp chéo hóa được

hãy tìm một cơ sở mà trong đó toán tử có dạng chéo

:

CHƯƠNG IV

Bài 13: (a) Cho n 1, 2,3 và A,B M n  Chứng minh A và B đồng dạng nếu và chỉ nếu

A B

P P và m A m B

(b) Cho 2 

0 1

0 0

N  M K

0 0

N A

N

 

0

0 0

N

B M K

  Chứng minh

A B

P P , m A m B, A và B không đồng dạng

CHƯƠNG V

Bài 9: Xét tích vô hướng Euclide trong 4 Hãy bổ sung chúng để được một cơ sở trực giao của 4



(a) u11,1,1,1 , u2 1, 0, 1,0 

(b) u10,0,1,1 , u2 1,1,1, 1 

Giải 15

* Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc S của 0 R3 là:

A

* Đa thức đặc trưng của f là:

f

λ

λ



* Toán tử f có các trị riêng là λ 1 (nghiệm kép) và λ 3 (nghiệm đơn) Hay f phân rã trên R

* Với λ 1, ta có:

3

A I

Do đó dimE   1 2, mặt khác dimE 3  Vậy f chéo hoá được trên R1

* Tìm cơ sở:

+ Xét λ 1, ta có phương trình :

1

3

2

 





 Khi đó các vectơ cơ sở của E  ( 1) là u1  ( 1,1,0),u2 ( 2,0,1)

+ Xét λ 3, ta có:

3

1

1 2 3

2

2 3

3

2 0

0





 Khi đó vectơ cơ sở của E (3) là u  3 ( 2,1,1)

* Đặt , khi đó S là một cơ sở của mà trong đó ma trận của f có dạng chéo.

(Ma trận chéo

1



P

  là ma trận khả nghịch.)

Giải 13 (a)

 

Giả sử A là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính f đối với cơ sở S

Ta có: A và B đồng dạng hay tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A P BP1



Khi đó tồn tại co sở S' sao cho B là ma trận biểu diễn của f

Do đó A và B là ma trận biểu diễn của cùng một toán tử tuyến tính f

Mà đa thức tối tiểu của toán tử tuyến tính f là duy nhất nên m A m B

Mặt khác, ta lại có:

P A I P BP I P B I P B I P

Vậy A và B đồng dạng thì P A P B và m A m B



 

n

A M  nên A tam giác hoá được trên C

Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho

1 1

2 3

0

λ



  là ma trận tam giác với    là các trị riêng của A1, ,2 3 Mặt khác P A P B , m A m B hay các trị riêng của A và B giống nhau

Do đó B đồng dạng với T (vì trên đường chéo chính của T toàn là trị riêng của B) Suy ra A và B đồng dạng

Vậy P A P B và m A m B thì A và B đồng dạng

Ta có:

      4

P  P  P  

      4

0

P  P  P  

Do đó:     4

P t P t  hay t P A P B

Suy ra

2 3 4

,

A B

t t

m m

t t















Ta có

 

2

2

0

N

N

 

2

N

B B    m t t

Suy ra: m A m B

Giải 9

(a) Ta có: u11,1,1,1 , u2 1,0, 1,0 

1, 2 1.1 1.0 1.( 1) 1.0 0

u u

        u2 u1

Bổ sung u u để được một cơ sở trực giao của3, 4 4



* Tìm u3 x y z, , ,w

3 1

3 1

0

u u

Chọn x z 0,y 1 w1 Khi đó: u 3 0,1,0, 1 

* Tìm u4 x y z, , ,w

4 1

4 1

0

u u



Chọn w 1 y1,x z 1 Khi đó: u  4  1,1, 1,1 

Vậy: u11,1,1,1 , u2 1,0, 1,0 

,u 3 0,1,0, 1 

,u  4  1,1, 1,1 

là một cơ sở trực giao của 4



 

1, 2 0.1 1.0 1.1 1 1 0

u u

        u2 u1

Bổ sung u u để được một cơ sở trực giao của3, 4 4



* Tìm u3 x y z, , ,w

3 1

3 1

u u

Chọn z0,x 1 w0,y1 Khi đó: u  3 1, 1, 0,0

* Tìm u4 x y z, , ,w

4 1

4 1

0

u u



Chọn z 1 x y 1,w1 Khi đó: u 4 1,1, 1,1 

Vậy: u10,0,1,1 , u2 1,1,1, 1 

, u  3 1, 1, 0,0

, u 4 1,1, 1,1 

là một cơ sở trực giao của 4

