KHẢO sát KHẢ NĂNG GIÃN nở TĂNG tốc của vũ TRỤ TRONG một số mô HÌNH BRANEWORLD

trung khảo sát sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworldđang được quan tâm nhất hiện nay: Mô hình Randall-Sundrum và mô hình DGP.Chúng tôi khảo sát metric Friedmann

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA VẬT LÝ

ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG

KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD

TP HỒ CHÍ MINH-2011

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Vật Lý LýThuyết đã tận tình chỉ dạy, giúp tôi có cơ hội tiếp thu những kiến thức mới trongquá trình học tập cũng như tìm hiểu sâu hơn về Vật lý

Tôi xin chân thành biết ơn sâu sắc TS Võ Thành Văn, cảm ơn thầy đã tin tưởng,hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn con gửi tới bố mẹ và gia đình, những người đã đặt trọn niềm tin nơicon và luôn là chỗ dựa vững chắc cho con trong cuộc sống, đã tạo mọi điều kiện vềvật chất và tinh thần để con có thể theo đuổi con đường học vấn của mình

Tôi gửi lời cảm ơn đến những người bạn thân thiết đã hết lòng giúp đỡ, chia sẻcùng tôi những lúc khó khăn, mệt mỏi

Đỗ Thị Ngọc Dương

Mục lục

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Những kí hiệu iii

Hình vẽ trong luận văn iv

Phần mở đầu v

Chương 1 Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum 1 1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian 2

1.1.1 Các phương trình cơ bản 2

1.1.2 Hệ số Hubble trên hai brane 3

1.1.3 Sự giãn nở tăng tốc trên brane 19

1.2 Khảo sát trường vô hướngχtrong mô hình Randall-Sundrum như một trường Quintessence 24

1.2.1 Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng 25

1.2.2 Tensor năng-xung lượng 27

1.2.3 Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D 31

1.2.4 Sự giãn nở tăng tốc 39

1.2.5 Mô hình với thế Quintessence 42

1.3 Kết luận 44

Chương 2 Giãn nở tăng tốc trong mô hình DGP 46 2.1 Giới thiệu 46

2.2 Hệ số metric 5D 47

2.3 Phương trình gia tốc 51

2.3.1 Vũ trụ với không gian phẳng ở thời kỳ bức xạ vượt trội 51

2.3.2 Brane vượt trội bởi hằng số vũ trụ Λ 53

2.4 Phương trình trạng thái 54

2.5 So sánh mô hình RS và mô hình DGP 58

2.6 Kết luận 60

Chương 3 Mô hình kết hợp DGP và RS 62 3.1 Giới thiệu 62

3.2 Phương trình Friedmann 63

3.3 Sự khôi phục lại vũ trụ chuẩn 67

3.4 Phương trình gia tốc 70

3.5 Kết luận 78

Phần kết luận, và hướng phát triển 80

Tài liệu 83

Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng 85

Phụ lục: Tensor Einstein trong metric FRW mở rộng đối với không-thời gian 5D 90

Những kí hiệu

DGP Dvali, Gapadadze, Porrati

RS Lisa Randall, Raman Sundrum

ΛCDM Lambda Cold Dark Matter

FRW Friedmann - Robertson - Walker

y Chiều thứ 5 thêm vào

Λb Hằng số vũ trụ trong bulk

Λ,Λ0,Λc Hằng số vũ trụ trong brane

ω Phương trình trạng thái trong bulk

ω c Phương trình trạng thái trên brane

a(t) Hệ số kích thước vũ trụ (the scale factor)

ρb, pb Mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên brane

ρB, PB Mật độ năng lượng và mật độ áp suất trong bulk

H Tham số Hubble

Mpl Thang khối lượng Planck trong không-thời gian 4D

M Thang khối lượng Planck trong không-thời gian 5D.[A] Bước nhảy của A

Hình vẽ trong luận văn

Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn sự phát triển của hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian

trong mô hình RS

Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn sự phát triển của hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian

trong mô hình khảo sát trường vô hướng χ trong RS như một trườngQuintessence

Hình 2.1 Gia tốc giãn nở của vũ trụ theo thời gian trong mô hình DGP và RS

với ωc = 1

3.Hình 2.2 Gia tốc giãn nở của vũ trụ theo thời gian trong mô hình DGP và RS

với ω c =−1

Phần mở đầu

Các quan sát thiên văn gần đây cung cấp bằng chứng mạnh mẽ rằng chúng tađang sống trong vũ trụ giãn nở tăng tốc [1] Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn về vũtrụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề[2, 3]:

• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toáncủa vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn)

• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Trong vũ trụ sớm, mật độ năng lượng chân khôngkhông đáng kể so với mật độ vật chất và bức xạ Nhưng trong thời điểm hiệntại, mật độ năng lượng chân không (ρΛ) cùng bậc với mật độ vật chất (ρm) và

sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai

• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Sự khác nhau nhiều về độ lớn giữa thang điện yếu

mEW = 103 GeV và thang Planck Mpl = 1018 GeV - Tỉ số giữa thang điện yếu vàkhối lượng Planck quá nhỏ mEW/M pl∼ 10−16

Để giải quyết các vấn đề trên, nhiều mô hình vũ trụ học đã được đề nghị như môhình hằng số vũ trụ ΛCDM, mô hình năng lượng tối động lực học "Quintessence".Tuy nhiên, cho tới nay vẫn chưa có mô hình nào thực sự thành công, có thể đưa ragiải thích bản chất cho các vấn đề này

Bắt nguồn từ lý thuyết dây, các mô hình braneworld, trong đó không-thời gian

có thể lớn hơn (3 + 1) chiều, đưa ra một cách tiếp cận mới để tìm hiểu về sự pháttriển của vũ trụ và đã nhận được nhiều sự quan tâm Mô hình braneworld được đặctrưng bởi hai ý tưởng cơ bản:

• Giả thiết sự tồn tại của những chiều không gian thêm vào ngoài 4 chiều thời gian mà chúng ta đang sống Không-thời gian nhiều chiều thường được gọi

không-là không-thời gian bulk

• Vũ trụ của chúng ta được gọi là brane gắn trong không-thời gian bulk Các hạt

"thông thường" như các hạt trong mô hình Weiberg-Salam được giả thiết là bịgiới hạn trên brane trong khi trường hấp dẫn có thể truyền được trong bulk[4]

Ngày nay, hiện tượng giãn nở tăng tốc của vũ trụ đã được thừa nhận bởi thựcnghiệm nhưng chưa giải thích được thỏa đáng bằng lý thuyết Theo lý thuyết tươngđối rộng, sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ là bằng chứng đầu tiên cho sự tồn tại củamột loại tương tác mới đẩy các thiên hà cách xa lẫn nhau và năng lượng của loạitương tác này được đặt tên là năng lượng tối Hằng số vũ trụ Λ, được đưa vào phươngtrình trường hấp dẫn bởi Einstein vào năm 1917 nhằm mô tả vũ trụ tĩnh với phươngtrình trạng thái hằng ω =−1, được xem là ứng viên đầu tiên và đơn giản nhất chonăng lượng tối.

Từ mô hình chuẩn 4D, hằng số vũ trụ được đưa vào các mô hình braneworld,

cụ thể là mô hình braneworld Randall-Sundrum với mong muốn tìm được lời giảithích tốt hơn cho vấn đề giãn nở tăng tốc của vũ trụ Mô hình braneworld Randall-Sundrum (RS)[5, 6] khảo sát không-thời gian 5 chiều được lấp đầy bởi hằng số vũtrụ âm Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay vô hạn mà mô hình này đượcchia thành hai loại: Mô hình RS1 và mô hình RS2

Mô hình RS1[5] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc Mô hình nàybao gồm bulk 5 chiều với chiều thứ năm y thêm vào compact và có hai brane Haibrane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định y= 0 và y =yc Brane ở y= 0 là brane

ẩn hay brane Planck năng lượng cao Brane ở y = yc là brane quan sát được haybrane TeV năng lượng thấp Ứng suất trên hai brane lần lượt là σ và −σ với σ làmột hằng số dương Mô hình RS2[6] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4D trênbrane gắn trong không-thời gian bulk 5D Trong mô hình này, chiều thêm vào được

mở rộng tới vô hạn, tức là brane có ứng suất âm trong RS1 bị dịch chuyển ra vô hạn.Còn lại một brane, vì vậy, mô hình RS2 được gọi là mô hình RS một brane, trongkhi mô hình RS1 được gọi là mô hình RS hai brane

Các lý thuyết cơ bản với sự có mặt của hằng số vũ trụ Λ đang phải đương đầuvới vấn đề về hằng số vũ trụ vì giá trị quan sát hiện tại của hằng số vũ trụ rất nhỏ

so với thang Planck ( ρΛ/MP l4 ∼10−123 ) hay thang điện yếu ( ρΛ/MEW4 ∼10−55 ) Vìvậy, mô hình Randall-Sundrum với giả thiết không-thời gian bulk 5D được lấp đầybởi hằng số vũ trụ Λb âm không thể tránh khỏi vấn đề về hằng số vũ trụ

Một cách tiếp cận khác không cần đến năng lượng tối để giải thích cho sự giãn

nở tăng tốc của vũ trụ được bắt nguồn từ lý thuyết dây thông qua các kịch bảnbraneworld Một trong những mô hình braneworld đơn giản nhất mô tả sự pháttriển của vũ trụ theo chiều hướng này là mô hình DGP[7] Trong mô hình này, hấpdẫn trên brane yếu đi do bị rò rỉ từ brane 4D vào bulk 5D ở các thang đo lớn Dobởi sự yếu của hấp dẫn trên brane nên dẫn đến sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ Tuynhiên, không phải lúc nào chúng ta cũng thu được sự giãn nở tăng tốc Chiều thêmvào vừa có khả năng tăng cường gia tốc giãn nở nhưng cũng có thể làm chậm quátrình giãn nở tăng tốc thậm chí gây ra sự giãn nở giảm tốc

Nhằm mục đích phân tích bài toán giãn nở tăng tốc của vũ trụ, luận văn “Khảosát khả năng giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworld ” tập

trung khảo sát sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworldđang được quan tâm nhất hiện nay: Mô hình Randall-Sundrum và mô hình DGP.Chúng tôi khảo sát metric Friedmann - Robertson - Walker ( FRW) mở rộng đối vớikhông thời gian 5D Giải phương trình Einstein trực tiếp, chúng tôi thu được cácphương trình vũ trụ học cơ bản trong không-thời gian 5D Các tính chất vũ trụ học

sẽ được giải thích thông qua các phương trình vũ trụ học cơ bản Với mong muốn cóthể khắc phục các hạn chế của mô hình Randall-Sundrum và mô hình DGP, chúngtôi xây dựng mô hình mới kết hợp giữa hai mô hình braneworld Randall-Sundrum

và DGP và khảo sát sự giãn nở tăng tốc trong mô hình này Các mô hình trường vôhướng như mô hình Quintessence cũng được xem là ứng viên khác cho năng lượngtối Chúng tôi khảo sát trường vô hướng χtrong mô hình Randall-Sundrum như mộttrường Quintessence

Để thể hiện nội dung này, luận văn gồm 3 chương:

+ Chương một Chúng tôi dựa trên mô hình hai brane Randall-Sundrum gắntrong bulk 5D lấp đầy bởi hằng số vũ trụ âm để khảo sát sự giãn nở tăng tốc của

vũ trụ Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể của hệ số Hubble, tìm phương trình cho hệ

số kích thước vũ trụ, phương trình gia tốc và tìm các điều kiện để xuất hiện sự giãn

nở tăng tốc của vũ trụ Tiếp theo, chúng tôi đưa trường vô hướng Quintessence vàotrong mô hình Randall-Sundrum bằng cách giả thiết rằng hai brane bị vượt trội bởitrường vô hướng Quintessence Chúng tôi xác định mật độ năng lượng, mật độ ápsuất, tìm các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong không-thời gian 5D và khảosát sự giãn nở tăng tốc với thế Quintessence cụ thể

+ Chương hai Chúng tôi hướng đến một cách tiếp cận khác, không cần đếnnăng lượng tối, để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ - mô hình DGP.Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể của các hệ số metric 5D n(t, y), a(t, y) biểu diễn theocác số hạng của metric 4D Sau đó, chúng tôi khảo sát các đại lượng này đối vớicác trường hợp khi brane được lấp đầy bởi các vật chất khác nhau, từ đó chúng tôitìm gia tốc giãn nở của vũ trụ Cuối cùng, chúng tôi khảo sát phương trình trạngthái của thành phần "năng lượng tối hiệu dụng" do bởi đóng góp của chiều thêm vào.+ Chương ba Chúng tôi xây dựng mô hình kết hợp giữa mô hình có mặt củahằng số vũ trụ Λb và mô hình về sự rò rỉ hấp dẫn theo các kịch bản braneworld

Cụ thể, chúng tôi kết hợp mô hình braneworld Randall-Sundrum và mô hình DGPthành một mô hình thống nhất Chúng tôi sẽ tìm phương trình Friedmann, khảo sátcác điều kiện để có thể khôi phục lại vũ trụ chuẩn 4D Cuối cùng, chúng tôi tìmphương trình gia tốc và các điều kiện để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc

Giãn nở tăng tốc trong mô

hình Randall-Sundrum

Mục lục

1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian 2

1.1.1 Các phương trình cơ bản 2

1.1.2 Hệ số Hubble trên hai brane 3

1.1.3 Sự giãn nở tăng tốc trên brane 19

1.2 Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một trường Quintessence 24

1.2.1 Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng 25

1.2.2 Tensor năng-xung lượng 27

1.2.3 Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D 31

1.2.4 Sự giãn nở tăng tốc 39

1.2.5 Mô hình với thế Quintessence 42

1.3 Kết luận 44

Nội dung chính:

Trong chương này, chúng tôi khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum, thực hiện tính toán lại các kết quả đã đạt được trong [8] Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể của hệ số Hubble, mối liên hệ giữa hệ số Hubble với mật độ năng lượng và mật độ

áp suất trên hai brane Từ đó, chúng tôi tìm phương trình cho hệ số kích thước vũ trụ, phương trình gia tốc và khảo sát sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ

Các mô hình trường vô hướng được xem là ứng viên khác cho năng lượng tối Những mô hình này mô tả năng lượng tối biến đổi theo thời gian và không gian [10] Chúng tôi đưa trường vô hướng vào trong kịch bản braneworld Cụ thể, chúng tôi khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một trường Quintessence, tức là chúng tôi khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum trong

đó hai brane được lấp đầy bởi trường vô hướng Quintessence và được gắn trong bulk với hằng số vũ trụ âm

1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian

1.1.1 Các phương trình cơ bản

Khảo sát hai brane 3 chiều trong bulk Anti de Sitter 5 chiều Giả thiết 2 braneđồng nhất và đẳng hướng Chiều thứ 5 tuần hoàn và có tính đối xứng phản chiếu(reflection symmetry) Không-thời gian 3 chiều được mô tả bởi metric [10]

dΣ2k =γµνdxµdxν = dr

2

1− kr 2 +r2(dθ2+ sin2θdφ2) (1.1)với µ, ν = 0,1,2,3 Hằng số k biểu diễn độ cong không gian

y=0 + = 2∂F(t, y)

∂y

y=y c−

=−2∂F(t, y)

∂y

ở đây κ25 = 8πG5 với G5 là hằng số hấp dẫn Newton trong không-thời gian 5D, GAB

là tensor metric 5D và

g(0)µν(t) ≡ Gµν(t,0), gµν(c)(t) =Gµν(t, yc) (1.9)Hằng số Λb,Λ0 ,Λc là hằng số vũ trụ trong bulk và hai brane Xét ở khoảng cách lớn,mỗi thiên hà là một hạt, có thể xem các hạt này tạo nên chất lỏng vũ trụ là mộtmôi trường liên tục gọi là chất lỏng lý tưởng Đối với môi trường liên tục, tensornăng-xung lượng có liên quan mật thiết với mật độ năng lượng qua biểu thức [8, 9]

1.1.2 Hệ số Hubble trên hai brane

Trong phần này, chúng tôi sẽ thực hiện tìm phương trình cụ thể đối với hệ sốHubble trên hai brane Trước tiên chúng tôi khảo sát mô hình Randall và Sundrum[5, 6] Metric trong mô hình có dạng:

dS52 =e−2l|y|ηµνdxµdxν − dy2 (1.13)Với l= (−Λb/6)1/2 là kích thước của chiều thứ 5 thêm vào, ηµν là metric Minkowski4D Trong tọa độ cầu, metric (1.13) trở thành

dS52=e−2l|y|dt2− e−2l|y|(dr2+r2dΩ2)− dy2 (1.14)

với dΩ2 = dθ2+ sin2θdφ2 Từ phương trình (1.4), thế dΣ2

k bởi (1.1), chúng tôi thuđược

dS52=N2(t, |y|)dt2− A2(t, |y|)dΣ2k− B2(t, |y|)dy2

Như vậy, không có những trường vật chất xuất hiện trên hai brane.

Để tìm ra những nghiệm mới, metric 5D được viết lại dưới dạng như sau [8]

1

F00G00

0 0

p

F00G00

0 0

y=0

=−1l

y=0

=−1l

Ở đây,  0 =±1 Giá trị của hai hàm F00 và G00 phụ thuộc vào  Chúng tôi sẽ làm rõđiều này Thế (1.34) trở lại phương trình (1.32)

F00

p

F00G00

y=0

=−1l

y=0

<0

⇒ F00 <0, G00<0Thế (1.34) trở lại phương trình (1.33)

G00

p

F00G00