Một số bài toán đặc biệt là các bài logarrit ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành
Trang 1Ebook4Me.Net
1 Phương trình mũlogarit
a Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a1: a f(x) =a g(x) (1) f(x)=g(x)
+ 0<a1: a f(x) =b
b x
f
b
a
log
0
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3), (7 4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x
Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1
b Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:
+log a f(x)=g(x)
x g
a x f
0
+log a f(x)= log a g(x)
x g x f
x g x
f
a
0 0
1 0
Đặt ẩn phụ
2 Bất phương trình mũlogarit
a Bất phương trình mũ:
a f(x) >a g(x)
0 1
0
x g x f a
a
;
a f(x)a g(x)
0 1
0
x g x f a
a
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) f(x)>g(x);
a f(x)a g(x) f(x)g(x)
* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) f(x)g(x);
a f(x)a g(x) f(x)g(x)
b Bất phương trình logarit:
log a f(x)>log a g(x)
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
;
log a f(x)log a g(x)
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
Đặt biệt:
Trang 2Ebook4Me.Net
+ Nếu a>1 thì:log a f(x)>log a g(x)
0
x g
x g x f
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x)
0
x f
x g x f
=MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I Biến đổi thành tích
2x x 4.2x x 2 x 4 0 2x x 1 2 x 4 0 Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: 2
2
2x x 1 2 x 4 0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2
2 log x log x.log 2x 1 1 Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để
đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x 2(x 2)3x 2x 5 0 Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có: t2 2x 2t 2x 5 0 t 1,t 5 2x Thay vào (*) ta tìm được x
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi là số chính phương
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2
log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0 Đặt t = log 3 (x+1), ta có: 2
t x t x t t x x = 8 và x = 2
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình
f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b)
ta có f u( ) f v uv
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng
(a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x)
trên khoảng (a;b) thì ca;b:
a b
a F b F c F
' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì c a b; :F c' 0 F' x 0 có nghiệm
thuộc (a;b)
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình
f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D
Ví dụ 1: Giải phương trình: log 2
Trang 3Ebook4Me.Net
Hướng dẫn: log 2 log 2
x x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log7 x log (3 x 2) Đặt t = log7x x 7t Khi đó phương trình trở thành: log ( 73 2) 3 7 2 1 7 2. 1
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
5 6
log (x 2x 2) 2 log x 2x 3 Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có log 6t 1 log 5t
Ví dụ 2: Giải phương trình log 6
log x 3 x log x Đặt t log6x ,
phương trình tương đương 6 3 2 3 3 1
2
t
3 Dạng 3: logbx c
a x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình log 7 3
4 x x Đặt t log 7x 3 7t x 3, phương trình tương đương 4 7 3 4 3. 1 1
Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3x5 x 4 Đặt t = x+4 phương trình tương đương
t
t
1 log3 2
Ví dụ 3: Giải phương trình log 3 1 log 3 1
4 Dạng 4: s ax b clogsdx e x
, với d ac ,ebc
Phương pháp: Đặt ayb log (s dxe)rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b acxs ay b acy Xét
at b
f t s act
Ví dụ: Giải phương trình 1
7
7x 6 log (6x 5) 1 Đặt y 1 log 76x 5 Khi đó chuyển thành hệ
1 7
y
Xét hàm
số 1
f t t suy ra x=y, Khi đó: 1
7x 6x 5 0 Xét hàm
số g x 7x1 6x 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2
5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình
Ví dụ: Giải phương trình 18 2 1 181
x
x x x x
Trang 4Ebook4Me.Net
HD: Viết phương trỡnh dưới dạng 81 1 1 1 181
2x 12x 2 2x 2x 2, đặt
Nhận xột: u.v = u + v Từ đú ta cú hệ:
.
Bài tập
I Giải các phương trình mũ
1) 3x2 x6 8 1 x =2 và x=4
2) x ) x
2
25 , 0 ( 4
.
125
,
0 2 8 x =
3
38
3) 5 2x-1 +5 x+1 - 250 = 0 x =2
4) 9 x + 6 x = 2.4 x x =0
5) 4 6 3 4
25
5 x x x =7/5
6) 3 4 2 2
9
3 x x x = ?
7) 2 2x-3 - 3.2 x-2 + 1 = 0 x =1 và x=2
8) 2 4 4 2
) 2
5 ( )
5
2
( x x x =1
9) 34 x 4 32 x 3 0 x =0 và x=
4
1
10) 5 2x - 7 x - 5 2x 35 + 7 x 35 = 0 x =
2
1
11)
4
4 10 2
2
x x
x =3
12) 2 0 , 3 3
100
32
x
x
x =
1 3 lg
3 lg
13) 1000 x 0 , 1 100x x =1 và x=
2
1
14) x 1 3 2 3x 1 3x 7 8x 3 x
15) 2 x 5 x =0,1(10 x-1 ) 5 x =
2
3
16) 2x 3x 36 x =4
1 )
1
(
3
9x x x =
2
3
và x=
2
1
) 3
4 ( 2
1 3
4
)
4
3
( x x x =2
19) 3 x +3 x+1 +3 x+2 =5 x +5 x+1 +5 x+2 x =
43 31 log3
Trang 5Ebook4Me.Net
20) 2 x +2 x-1 +2 x-2 =7 x +7 x-1 +7 x-2 x =
343
228 log 7
2 21) 4 x x x4x x =1 vµ x=3 256
4 2
2 x x x =
2 1
23) ( 2 3 )x ( 2 3 )x 4 x =?
24) ( 5 2 6 )x ( 5 2 6 )x 10 x =2 vµ x=-2
) 2 2 ( ) 15 4 ( ) 15 4
24) ( 3 2 )x ( 3 2 )x ( 5 )x x =?
2 ) 1 5 ( 7 ) 21 5
( x x x x =0 vµ x=log 7
2 21 5 26) ( 5 2 6 )sinx ( 5 2 6 )sinx 2 x= k víi: k Z 27) 3x 5x 6x 2 x=0 vµ x=1
) 1 ( 2
2x x2x x x=1 29) 5 32x1 7 3x1 1 6 3x 9x1 0 x=
5
3 log3 ;x= log35 30) 2 1 1
3 2
3 x x x =?
31) 1 4 3 1
2
x x
x x=0;x=2;x=3 32) 8 3x 3 2x 24 6x x=1 vµ x=3
33) x
x
2 3
1 2 x=2 34) 22x21 9 2x2x 22x2 0 x=-1;x=2
35) 2 ( 2 4 2 ) 4 2 4 4 8
1
x
36) 4x 2 + x.3 x + 3 x+1 =2x 2 3 x + 2x + 6 x=-1;x=3/2; 1; ; log 23 3
2
37) 4 sinx -2 1+sinx cosxy+ y
2 =0 x=k;y=o vµ kZ 38)
1 1
2
1 9
x x x
x= log32
2
12 3 3
1 2
6
x
x x=1 40) 2x2 2x1 1 2x1 1 x 3 1 ;
41) (x 1 )x2 x4 3 1 x0 ; 1 ; 3
42) (x 4 ) 31x1 x (x 1 ) 3x 1 3x1 1 x 1 0 ; 1
43) x x
x
x x=1 vµ x=4
44) 2 1x3y 3 2x4y1 2 x=0,5 vµ y=0,5
3 x 3x 6x 7 1 2.3x x=-1
Trang 6Ebook4Me.Net
46)
) 3 2 ( 10
101 )
3 2 ( )
3
2
) 3 2 lg(
) 3 2 ( 10 lg 1
Bài 2: Giải và biện luận phương trình:
a m 2 2 x m.2x m 0 b m.3x m.3x 8
Bài 3: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm:
(m 4).9x 2(m 2).3x m 1 0
II: Giải các phương trình logarit
1) log29 2 log2 log23
3
x
x x x=2
2) log2( 1 x) log3 x x=9
3) lg(x 2 -x-6) + x =lg(x+2) + 4 x=4
4) log ( 1 ) log 5 log ( 2 ) 2 log ( 2 )
25 1 5
5 1 2
5 x x x x= 21/2
5) ( 2 ) log 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) log3( 1 ) 16 0
81
80
6) logx(x 1 ) lg 1 , 5 x
7)
2
1 ) 2
1 3
(
logx3 xx2 x
2
5
3
vµ x =
2
29
9
8) log2( 9 2x) 3 x x=0 vµ x =3
3 3 2
2
1 3 log log
3
log x=1 vµ x =
8 3
10) log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 xlog 7 x x=7 vµ x = 4
11) log 2 ( 2 x) log 2 x 2
x
x x=2 12) log ( 4 4 ) log ( 2 1 3 )
2 1
2 x x x x=2 13) log3x7( 9 12x 4x2) log2x3( 6x2 23x 21 ) 4 x= -1/4
2 log
1 )
1 3
(
3
x x
x
x=1 15) logxlog3( 9x 6 ) 1 x
40) log3( 9x1 4 3x 2 ) 3x 1 x=0 vµ x=log3( 3 15 ) 1
41) log 2 6 log 2 4 2
2 2 2 3
log
4 xx x x= 1/4
9 3
3 2
2
1 log
2
1 ) 6 5 (
log x x x x x=5/3
8 2
2
4 ( 1 ) 2 log 4 log ( 4 )
log x x x x=2 vµ x=2 24
18) log7 x log3( x 2 ) x=49
3 2
3 ( 1 ) log 2
log x x x xx x=1
20) log 2 (x 2 +x+1)+log 2 (x 2 -x+1)=log 2 (x 4 +x 2 +1)+log 2 (x 4 -x 2 +1) x=0 x=1 21) x log ( 9 2x) 3 x=0 vµ x=3
Trang 7Ebook4Me.Net
22) (x 1 ) log53 log5( 3x1 3 ) log5( 11 3x 9 ) x=0 vµ x=2
2
1 log
2
1 ) 6 5 (
3 2
2
9 x x x x x=5/3
III Giải c¸c hÖ phương trinh mò Bài 1: Giải c¸c hÖ phương trình sau:
a
3 2 3
x y
x y
( ) 1
x y
x y
b.
2
x y
d. 2 2 12
5
e.
2
2
x y x y
x y x y
với m, n > 1
Bài 2: Giải c¸c hÖ phương trình sau:
a
lg x lg y 1
log x log y 0
e.
x y
y x
f.
y
2
2 log x
log xy log x
IV: Giải các hÖ phương trình logarit
1)
3
2 ) (
log
2 log 2 log log
27
3 3
3
y x
y x
(3;6) & (6;3)
2)
16
3 log 2 log
4 4
2 2
y
x
y x
(2 2;4 8)
3)
x y
y x
2 2
2
3 2 2
log 8 log
2 log log
log
5
(23
2;
3 2
32
)
4)
3
3 ) ( log ) (
xy
y x y
x
(3;1) & (
7
3 3
;
3
7
)
5)
2 2 2
2
2
) (lg 2
5 lg
a
xy
(a 3 ;
a
1
) & (
a
1
,a 3 )
Trang 8Ebook4Me.Net
6)
2 lg lg lg
1 ) (
x y
y x
(-10;20) & (
3
10
;
3
20
)
7)
2 ) 2 3 (
log
2 ) 2 3
(
log
x y
y x
y
x
(5;5)
8)
1 log log
27 2
3 3
log log3 3
x y
y
(3;9) & (
9
1
;
3
1
)
9)
3
2 log log
12 log
2
3 log log
3 log
3 3
3
2 2
2
y y
x x
x y
y x
(1;2)
10)
1 log log
4 4 4
log log8 8
y x
y
(8;2) & (
2
1
;
8
1
)
11)
8
5 ) log (log
2
xy
y
y
(4;2) & (2;4)
12)
1 log ) 4 2 2 4 ( log ) 1 ( log
) 3 ( log 1 2 log ) (
log
4 2
4 4
4 4
2 2 4
y
x x
y y xy
y x x
y x
(2;1) vµ (a;a) víi
R
13)
1
) 1 )(
log (log
2 2
2 2
y x
xy x y
e
e x y
(
2
2
;
2
2
)
14)
0 4 5
0 log log
2 2
2 4
y x
y x
(1;1) vµ (4;2)
15)
6
7 log
log
2 ) ( log
y x x
x
(5;2)
16)
5 , 0 ) 2
1 3 ( log
7 , 1 lg ) 1 ( log
2
x x
(
2
5
3
;
2
29
9
)
17)
1 lg 3
3 lg 2 2
x y
x y
( 10;4)
18)
1
9 log
0 log log
y
x
x=?
19)
( 23 ) 3 log
2 log
1 y
y
x x
(2;4)
Trang 9Ebook4Me.Net
20)
1 ) ( log ) ( log
2 3 2
2 2
y x y
x
y x
x=?
21)
1 ) 3 ( log ) 3 ( log
3 9
3 3
2 2
y x y
x
y x
V Giải bất phương trỡnh mũ
Bài 1: Giải các bấtphương trình sau
1) 4x 15x 13 4 3x
) 2
1 ( )
2
1
( 2 x =?
2) 2 2x-1 + 2 2x-3 - 2 2x-5 >2 7-x + 2 5-x - 2 3-x x>8/3 3) 3 3 84
1 3
1
x
x 0<x<1
4) 4x2 3 x.x 31 x 2 3 x.x2 2x 6 x =?
1
1 ( 5 2 ) )
2
5
x
x x 1
1 2
1 2
21
x
x
x
7) 7 x +7 x+1 +7 x+2 =5 x +5 x+1 +5 x+2
8) (x2 x 1 )x2 x2 1
9) x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x
15 34 9
25
10) 2 1
2
x
x
x
1
1 ( 5 2 ) )
2 5
x x
12) 4x2 x 3 x 31 x 2 x2 3 x 2x 6
13) 2 5x 3x2 2x 2x 3x 2 5x 3x2 4x2 3x
3
1 ( 3 )
3
1
(
1 1 2
x
15) x xx x
3 2 41
4
4 3
3 5
4 0,5 2 1 0,5
17) (x 2 +x+1) x <1
Bài 2: Giải bất phương trỡnh sau:
1
0
x
Bài 3: Cho bất phương trỡnh 1
4x m 2x 1 0
a Giải bất phương trỡnh khi m=16
9
b Định m để bất phương trỡnh thỏa x R
Trang 10Ebook4Me.Net Bài 4: a Giải bất phương trình :
2
(*)
b Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: 2x2 m 2x 2 3m 0
VI Giải bất phương trình logarit Bài 1: Giải bất phương trình:
8
3
log log x 5 0
5
log x 6x 8 2 log x 4 0
e 1
3
5
3
x
i log 2x 3 1 log 2x 1 j
8
2
3
k 3 1
2
m
2
5
2
log x log x 1
2
q
2
2
3
1
5
2
x
x
3
1
2
x
x x
Bài 2) log 6 log 3 log ( 2 )
3 1 3
1 2
3 x x x x x =?
Bài 3) log ( 2 1 ) log ( 2 1 2 ) 2
2 1
2 x x x 2 log25 ; log23
Bài 4 ) log log 2 3 5 (log4 2 3 )
2 1 2
2 x x x x 8 ; 16
2
1
;
0
2 log 2
logx x x x x
2
1
; 0 3
) 5 ( log
) 35 (
x x
a víi: 0<a 1 x 2 ; 3
Trang 11Ebook4Me.Net
Bài 7) log log ( 1 ) log log ( 2 1 )
5 1 3 2
5 2
1 x x x x
5
12
;
Bài 8) log 2 xlog 3 2x + log 3 xlog 2 3x o x
6
6
; 0
Bài 9)
x
x x
x
3
3 5
5
log
) log 2 ( log 3 log log x 1 ; 3
5
5
;
0
2 2
2 4 3 2
6 5 5 log ) (
log 6
5x x x x x x x x xx
x
; 3
2
5
3 5 2
) 11 4 ( log ) 11 4 (
log
2
3 2
11 2
2
x x
x x x
x
x 2 ; 2 15
Bài 12) 2 log92 x log3 xlog3( 2x 1 1 ) x
1 ; 4
Bài 13) 0
1 3 2
5
5 lg
x x x
x x 5 ; 0 1 ; 3
Bài 14: Cho bất phương trỡnh: 2 2
loga x x 2 loga x 2x 3 thỏa món với:
9
4
x Giải bất phương trỡnh
Bài 15: Tỡm m để hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm: lg2 lg 3 0
1
x
Bài 16: Cho bất phương trỡnh: 2
1 2
a Giải bất phương trỡnh khi m = 2
b Giải và biện luõn bất phương trỡnh
Bài 17: Giải và biện luõn bất phương trỡnh: loga1 8 ax 2 1 x
VII Giải hệ bất phương trình mũ
Giải các hệ bất phương trình sau :
1
2
ĐS x=2 ; 2)
2
4
35 12 1
x x x
ĐS 5 2
3x