Kỷ yếu 15 năm trại hè hùng vương môn lý

Trong quá trình tìm hiểu tôi thấy, đa số các tài liệu khi chứng minh công thức liên hệ giữa năng lượng và khối lượng của một vật thì đã thừa nhận công thức tính khối lượng theo vận tốc..

PHẦN I – CÁC CHUYÊN ĐỀ MÔN VẬT LÝ

Chuyên đề 1 Thuyết tương đối hẹp

Trường THPT Chuyên Chu Văn An, Lạng Sơn

Giáo viên: Trần Công Lãm

Điện thoại: 01236.989.013 Email: Tranlamcva@gmail.com

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong các kỳ thi HSGQG thường có phần kiến thức về Thuyết tương đối hẹp Để có

tài liệu ôn thi cho học sinh, tôi đã tìm hiểu và biên soạn ra chuyên đề này Trong quá trình tìm

hiểu tôi thấy, đa số các tài liệu khi chứng minh công thức liên hệ giữa năng lượng và khối

lượng của một vật thì đã thừa nhận công thức tính khối lượng theo vận tốc Đó là một hạn chế

cho người học Quá trình học tập là một quá trình tích lũy kiến thức, vận dụng và sáng tạo

Xin nhắc lại một chút về lịch sử của Thuyết tương đối hẹp: Năm 1905, khi Albert

Einstein 25 tuổi đã phát minh ra Thuyết tương đối hẹp Bảy năm sau, vào năm 1912, ông phát

minh ra công thức E = m.c2, đây có lẽ là công thức đẹp nhất trong vật lý

Trong chuyên đề này, tôi xin giới thiệu tới bạn đọc một cách chứng minh cho cả hai

công thức trên, và về hiệu ứng Doppler tương đối tính, cùng một số bài tập áp dụng Thuyết

tương đối hẹp Hy vọng đây sẽ là chuyên đề được nhiều bạn quan tâm, và tôi cũng rất mong

nhận được những ý kiến đóng góp và trao đổi của bạn đọc để có thể hiểu thêm về Thuyết

tương đối hẹp

2 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài này là tìm hiểu về Thuyết tương đối hẹp; áp dụng vào các bài toán

có trong các kỳ thi HSGQG Đề tài không chứng minh các các công thức của phép biến đổi

Lorentz vì các công thức này đã có trong nhiều tài liệu tham khảo

B THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP

I Các Tiên Đề Einstein

1 Tiên đề 1 (Nguyên lý tương đối - Galileo Galiei)

2 Tiên đề 2 (Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng)

tính, có giá trị là c = 3.108 (m/s), và là vận tốc cực đại trong tự nhiên

II Phép biến đổi Lorentz

Giả sử có hai hệ quy chiếu (HQC) quán tính K và K’, K’ chuyển động với vận tốc vr

so với K dọc theo trục Ox, O x' ' ≡Ox O y, ' '/ /Oy O z, ' '/ /Oz và tại thời điểm O trùng với O’

thì t0 = =t0' 0

Khi O trùng O’, giả sử có một tín hiệu sáng được phát ra từ O và O’ thì, theo tiên đề 2, tọa độ của tín hiệu trong hai HQC là x c t= , x'=c t.' Vì x x≠ nên ' t t≠ : thời gian trôi đi '

trong hai HQC khác nhau

Với một biến cố bất kỳ, phép biến đổi Lorentz cho mối liên hệ của các tọa độ không gian và thời gian của biến cố trong hai HQC như sau:

Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục O’x’, độ dài của nó trong

hệ K’ bằng l0 = −x2' x1' Trong hệ K, thanh có chiều dài l x= − ; với 2 x1 x x được đo đồng 1; 2thời Theo phép biến đổi Lorentz ta có:

x − =x γ x −x −v t −t =γ x −x ⇒ = ≥ : độ dài của thanh trong HQC gắn l γl l

với thanh có giá trị lớn nhất, và ngắn lại trong HQC chuyển động dọc theo thanh

b Sự giãn thời gian

Giả sử có một quá trình xảy ra tại một điểm trong hệ K’ ( ' '

O O’

( ) ( ( ' ') ( ' ') ) ' ' '

c t c tΔ = −t =γ c t − +t β x −x = Δ ≥ Δ ⇒Δ ≥ Δ : khoảng thời gian trong γc t c t t t

HQC gắn với quá trình có giá trị nhỏ nhất, và dài ra trong HQC chuyển động với quá trình

III CHỨNG MINH CÔNG THỨC

1 Tính tương đối của khối lượng

Theo tiên đề 2, ta thấy khi vật chuyển động càng gần tới vận tốc ánh sáng thì càng khó thay đổi vận tốc, tức là, quán tính của vật càng lớn, hay nói cách khác, vật có khối lượng càng lớn Vậy khối lượng của vật thay đổi khi nó chuyển động

2 Chứng minh công thức E = mc 2

* Xét một chất điểm chuyển động với các thông tin trong hai HQC như hình vẽ Lực

tác dụng, vận tốc tức thời và khối lượng của chất điểm trong các HQC là:

+ HQC K : F u mur r, ,

+ HQC K’ : F u muur ur', ,' '

Khi đó, theo tiên đề 1, phương trình chuyển động tổng quát của chất điểm là d mu( )

F dt

=

rur

( )

d mu F

dt

=

rur

( )' '

'

'

d m u F

dt

=

uruur

(1) Chiếu (1) lên phương chuyển động, ta được:

d mu( )

F dt

= ( )' '

'

'

d m u F

Trong đó, dE dxF= và dE'=dx F' 'là biến thiên năng lượng của chất điểm trong hệ K và K',

có giá trị bằng công của ngoại lực thực hiện lên chất điểm trong hệ K và K' Từ đó suy ra:

+ Cho u u= = thì ' 0 v=0, β = , với mọi chất điểm, theo (*) ta được: 0 A B= =0

Phép biến đổi Lorentz

Phép biến đổi Lorentz

+ Cho u' =0;u v= , HQC quán tính K’ gắn với chất điểm, chất điểm chuyển động với vận tốc

v không đổi so với HQC quán tính K, theo (*), ta được:

2 ' '

2 '

mc E

Ở đây E' là năng lượng của chất điểm trong HQC gắn với chất điểm, và đương nhiên nó sẽ

có giá trị không đổi, ta sẽ gọi nó là năng lượng nghỉ của chất điểm Tiếp theo, ta thấy nếu

0

v= thì HQC quán tính K cũng gắn với chất điểm và khi đó ta suy ra được E' = =E m c0 2,

0

m là khối lượng của chất điểm trong HQC gắn với chính nó, ta sẽ gọi nó là khối lượng nghỉ

của chất điểm Vậy ta có:

2 2 0

+ Khối lượng của vật có tính tương đối, phụ thuộc vào HQC: nhỏ nhất khi vật đứng yên, gọi

là khối lượng nghỉ, và tăng khi vật chuyển động Nếu kí hiệu khối lượng nghỉ của vật là m 0

thì khi vật chuyển động với vận tốc vr

không đổi đối với một HQC quán tính thì khối lượng của nó là:

γ

−+ Nếu kí hiệu năng lượng của vật là E thì khi vật đứng yên nó có năng lượng nghỉ là

* Bây giờ ta sẽ tổng quát hoá công thức khối lượng tăng theo vận tốc, tức là xét khi vật

chuyển động với vận tốc thay đổi, ta cần nghiệm lại tiên đề 1

Giả sử vận tốc thay đổi của vật đối với HQC quán tính K là ur

, lực tác dụng lên vật là

F

ur

, và khối lượng của vật là m=γm0 Trong mọi trường hợp chuyển động của vật, ta luôn

đưa về được hai véctơ Fur

Thay (v) vào (i), ta được:

'2 2

' 2

Vậy từ (vi) và (vii), ta thấy dạng của định luật II Newton tổng quát được giữ nguyên qua phép

biến đổi Lorentz Tiên đề 1 được nghiệm đúng

Những kết quả kỳ lạ của Thuyết tương đối hẹp đều được tìm ra từ hai tiên đề 1 và 2

của Einstein Toàn bộ thuyết tương đối hẹp nằm trong hai tiên đề, mà nếu viết ra chỉ dài có 4

dòng

IV HIỆU ỨNG DOPPLER TƯƠNG ĐỐI TÍNH

Giả sử nguồn N phát ra tín hiệu sóng điện từ có tần số f , chuyển động với vận tốc 0 vr

đối với người quan sát (NQS - máy thu) đứng yên như hình vẽ, θ là góc tạo bởi vr

lại phát ra tín hiệu Σ' tiếp theo Vậy trong HQC gắn với NQS, khoảng cách giữa hai tín hiệu nhận được, gọi là bước sóng, là λ =c Tγ 0−vcosθγT0, dẫn tới tần số nhận được:

2 0

Khi θ =900, ta có hiệu ứng Doppler ngang f =γ f0

Hiệu ứng Doppler tương đối tính được ứng dụng nhiều trong khoa học và kỹ thuật, đặc biệt là trong thiên văn học, các nhà thiên văn đã phát hiện ra sự dịch chuyển về phía đỏ của ánh sáng phát ra từ các ngôi sao, các thiên hà xa xôi trong vũ trụ mà đi đến kết luận rằng

vũ trụ đang giãn nở

C BÀI TẬP VÍ DỤ

I BÀI TẬP VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP

Bài 1 : Một thanh chuyển động theo chiều dọc với vận tốc vr

không đổi đối với HQC quán tính K Hỏi với giá trị v bằng bao nhiêu thì chiều dài của thanh trong HQC đó sẽ ngắn hơn chiều dài riêng của nó là η =0,5% ?

Lời giải: Gọi l là chiều dài riêng của thanh Khi thanh chuyển động với vận tốc 0 vr

5c theo phương song song với cạnh huyền của tam giác

Lời giải:

Gọi vận tốc của hệ K’ so với hệ K là vr

; K’ chuyển động dọc theo trục Ox, theo phương song song với cạnh huyền của tam giác Khi đó, so với K’, K chuyển động với vận tốc

là − v r, và trong K hình tam giác là ABC, trong K’ là A B C ' ' '

γ = = α −β = − = ⇒ ≈γ

Bài 4 : Một thanh chuyển động dọc theo một cái thước với một vận tốc không đổi nào đó

Nếu cố định đồng thời vị trí của cả hai đầu thanh này trong HQC gắn với cái thước, thì hiệu

số các số đọc trên thước là Δ =x1 4,0m Nếu cố định đồng thời vị trí của cả hai đầu thanh trong HQC gắn với thanh, thì hiệu số các số đọc trên thước này là Δ =x2 9,0m Tìm độ dài riêng của thanh và vận tốc của nó đối với cái thước

Bài 5 : Một thanh nhỏ chuyển động từ trái sang phải Khi đầu trái của thanh đi qua trước một

máy ảnh, một bức ảnh của thanh được chụp đồng thời với ảnh của một thước mét mẫu đứng yên Sau khi rửa ảnh người ta thấy đầu trái của thanh trùng với vạch O của thước mẫu, còn đầu phải trùng với vạch 0,9m Biết rằng thanh chuyển động với vận tốc 0,8c đối với máy ảnh, tính độ dài thực của thanh

l0

O

Lời giải:

Khi đầu A của thanh trùng với vạch 0,9m của thước mẫu, tín hiệu sáng từ đầu A truyền tới máy ảnh, máy ảnh vẫn đang đóng Khi đầu B tới vạch O của thước, tín hiệu sáng gửi từ đầu B tới máy ảnh Cả hai tín hiệu trên tới máy ảnh cùng một lúc, máy ảnh mở ra nhận

2 tín hiệu, và khi rửa ảnh thì ảnh thu được cho thấy B ≡ O ; A ≡ 0,9m Vậy ta thấy thời gian

tín hiệu sáng đi được 0,9m bằng thời gian đầu B đi từ x tới O Do đó, ta có :

Vậy chiều dài thực của thanh là l0 =0,9m+0,72m=1,62m

Kết quả này cho thấy, việc chụp ảnh một thanh đang chuyển động không cho ta độ dài thực

của thanh Nếu v= thì ta chụp được chính xác độ dài thực của thanh c

Bài 6 : Một hạt chuyển động với tốc độ 0,8c và tạo với trục x một góc 30 đối với một quan 0

sát viên O Xác định vận tốc của hạt đối với một quan sát viên O chuyển động dọc theo trục '

x

x x

x

y

y y

c sin c

0, 226

0,913

y x

γ = = = ⇒ =γ

Bài 7 : (Đề thi chọn đội tuyển dự thi Ipho năm 2008)

Cho một hạt điện tích q > 0 chuyển động tương đối tính trong một điện trường đều Eur={ }E;0

{ }

=ur

a Thiết lập phương trình chuyển động và vẽ phác dạng quỹ đạo của hạt

b Xác định véctơ vận tốc của hạt tại thời điểm p0

t qE

c u

Lấy tích phân hai vế (**) : 0

2 2

ϕ= = ϕ=

Bài 8 : (Đề thi chọn đội tuyển dự thi Ipho năm 2009)

Trong HQC K’ (O’x’y’z’) chuyển động với vận tốc vr

không đổi dọc theo trục O’x’(O’x’ trùng với trục Ox, O’y’ và O’z’ lần lượt song song với Oy và Oz) đối với HQC K (Oxyz) Tìm gia tốc aur'

tương ứng của một hạt trong hệ K’ tại thời điểm trong hệ K hạt này chuyển động với vận tốc ur

Lời giải: Giả sử trong cả 3 trường hợp véctơ vận tốc ur

của hạt trong hệ K đều thuộc mặt phẳng xOy Ta xét trường hợp tổng quát khi (u O xr; )=α Trong hệ K, ta có :

Các thành phần gia tốc của hạt trong K’ :

+ ' '

'

2 '

2 2

αβ

11

1

;1

x

dt uvcos

c

α βα

1111

x

y

acos a

uvcos c asin a

uvcos c

α βα

α βα

a Khi α = : 00 '

3/2 2 '

2

11

x

a a

c uv

Bài 9 : Áp dụng định luật thứ hai của Newton tìm biểu thức của vân tốc tương đối tính của

một hạt mang điện tích q chuyển động theo một đường tròn bán kính R vuông góc với một

dv v dt

Ta sẽ nhận được biểu thức cổ điển của v bằng cách cho c trong biểu thức trên tiến tới vô

v

m

=

Bài 10 : Một hạt mêzôn π+ năng lượng nghỉ 140MeV được tạo ra trong khí quyển Trái đất ở

độ cao 100km so với mặt biển Năng lượng tổng cộng của hạt mêzôn đó là 1,5.105MeV và hạt chuyển động vuông góc về phía mặt đất Nếu hạt bị phân rã trong HQC gắn với hạt 2.10-8s sau khi hạt tạo thành ; tính độ cao ở đó hạt bị phân rã

Lời giải :

Ở độ cao h0 = 10km, hạt mêzôn π+ được sinh ra có năng lượng toàn phần E, vận tốc

2 0

Bài 11 : Năm 1963, trong các tia vũ trụ, người ta phát hiện được các proton với năng lượng

rất lớn, cỡ 1020eV Giả thiết rằng nó được sinh ra ở biên giới Thiên Hà Của Chúng Ta, cách Trái đất 105 năm ánh sáng và năng lượng toàn phần của nó tăng tuyến tính liên tục theo thời gian bắt đầu từ năng lượng nghỉ 1GeV Hỏi proton đã mất bao nhiêu thời gian theo “đồng hồ riêng” của nó

Lời giải : Gọi L = 105nas ; E0 = 1GeV = 109eV ; Ef = 1020eV

Khi proton có vận tốc tức thời vr

, nó có năng lượng toàn phần:

với t là thời gian từ lúc proton được sinh ra từ bên ngoài của biên giới của Thiên Hà Của

Chúng Ta tới khi tới Trái đất theo đồng hồ trên Trái đất Theo giả thiết, năng lượng toàn phần của proton tăng tuyến tính liên tục theo thời gian, nên ta có:

( ) 1 ( )3

dE const k J s dt

−

Từ (1) và (3), suy ra:

( )

0 3

2 2

41

E vdv dE

v kc

2 0

Bây giờ ta đi tìm hằng số k – tốc độ biến thiên năng lượng toàn phần theo thời gian gắn

vớiTrái đất của proton Độ dịch chuyển vi phân của proton đối với HQC gắn với Trái đất :

2 0 3

c c

2

0 2

1

f f

Thay số vào ta được t' ≈13,3 phút

Bài 12 : Trên máy gia tốc tuyến tính ở Standford (USA), các electron được gia tốc từ năng

lượng nghỉ 0,5MeV đến 40GeV trong một ống thẳng dài l0 = 3km Coi quá trình gia tốc electron diễn ra đều dọc theo ống (tức là năng lượng toàn phần của nó tăng tỷ lệ với chiều dai của ống), hỏi electron “cảm thấy” chiều dài của ống bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi E0 = 0,5MeV ; Ef = 40GeV ; l0 = 3km

Với dịch chuyển vi phân dl0 của electron trong ống, coi vận tốc của electron là không đổi, có giá trị vr

Trong HQC gắn với electron, coi như chiều dài vi phân dl0 dịch chuyển với electron với vận tốc không đổi là − v r, và chiều dài dịch chuyển đối với eletron:

Thay số vào, ta được l≈42,34cm

Bài 13: Một số nhà nghiên cứu mới đây đã ghi nhận được sự bay đến của các hạt trong vũ trụ

tới tư nguồn Thiên nga X -3 nằm cách Mặt trời L = 40 nghìn năm ánh sáng Trong số các hạt trung hòa vẫn giữ được hướng đến nguồn khi bay, người ta nghiên cứu hạt notron (năng lượng nghỉ E0 = 940MeV) Biết rằng notron phân rã với thời gian sống trung bình τ0=940s Xác định năng lượng notron đủ để nó đến được Trái đất

Lời giải:

Notron là hạt trung hòa, trong quá trình đi tới Trái đất, vận tốc coi như không thay đổi, có

là thời gian vi phân trong HQC gắn với notron

2 Dưới tác dụng của từ trường đều Bur

một hạt có điện tích q, khối lượng nghỉ m0

chuyển động tương đối tính theo quỹ đạo tròn bán kính R trong mặt phẳng vuông góc với từ

m

ω = với m là khối lượng của hạt khi chuyển động Bỏ qua tác dụng của trọng lực Hãy:

a chứng minh hạt chuyển động đều với vận tốc góc ω ω= B

b tìm tốc độ u của hạt qua các đại lượng q, m0, B và R

c tìm biểu thức động năng của hạt và tính động năng của hạt trong trường hợp từ trường yếu

2 Giả sử điện tích q> , hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn dưới tác dụng của lực Lorentz 0

2 0

0

1

1

u BqR

đúng theo công thức sau: 2 2 2 2

0

2

B q R c K

m

=

Bài 15 : (Đại học Wisconsin, Mỹ)

Xét thí nghiệm tán xạ ở năng lượng rất cao giữa hai hạt có cùng khối lượng nghỉ m , 0

trong đó một hạt ban đầu đứng yên còn hạt kia tiến tới va chạm với xung lượng p và năng lượng toàn phần E

a Tìm vận tốc khối tâm của hệ v *

0

pc? m c , tìm năng lượng toàn phần E*

của hệ trong HQC khối tâm

a Vận tốc khối tâm của hệ so với HQC phòng TN là :

Ta thấy v 0G = −v mG, tổng động lượng của hệ trong HQC khối tâm bằng 0

Năng lượng toàn phần của hệ trong HQC khối tâm :

0

pc? m c , năng lượng của hạt chuyển động so với HQC phòng TN là :

2 4 2 2 0

E= m c +p c ≈ pc

Bài 16 : (Đại học Wisconsin, Mỹ)

Một hạt có khối lượng nghỉ m và có vận tốc ban đầu 0 vuur0

dọc theo trục x Từ thời điểm t = 0 hạt chịu tác dụng của lực Fur

dọc theo trục y Tìm vận tốc của hạt tại thời điểm t bất kỳ, và chứng tỏ rằng vr →c khi t → ∞

Chiếu phương trình ( )* lên các trục tọa độ :

+ Trục Ox :

0 0

2 2

11

II BÀI TẬP VỀ HIỆU ỨNG DOPPLER TƯƠNG ĐỐI TÍNH

Bài 1: Từ trên một tàu vũ trụ đang bay về Trái đất với vận tốc v = 0,6c người ta thực hiện

chương trình truyền hình trực tiếp cho phép quan sát trên màn hình tivi mặt các đồng hồ của tàu Kim giây trên màn hình quay bao nhiêu vòng trong một phút thời gian của Trái đất?

Lời giải :

Tàu vũ trụ đang bay về Trái đất với tốc độ v=0,6c, dùng sóng điện từ có tần số f 0

gửi về Trái đất để truyền hình trực tiếp hình ảnh trên tàu Theo hiệu ứng Doppler tương đối tính, tín hiệu Trái đất nhận được sẽ có tần số và chu kỳ:

Vậy trong một phút thời gian trên Trái đất thì kim giây trên màn hình thu được sẽ quay được

2 vòng

Bài 2 : Hai tàu vũ trụ đã tắt động cơ chuyển động đến gặp nhau Trên một tàu ở mũi và đuôi

đồng thời bật đèn tín hiệu sau mỗi giây Trên tàu ngược chiều, cứ nửa giây người ta lại quan sát được hai chớp sáng cách nhau τ' =1 sµ Tìm chiều dài tàu thứ nhất và vận tốc xích lại gần nhau của hai con tàu

2 2 1

1

1

11

ττ

Vì hai tín hiệu phát đi đồng thời từ đầu và đuôi tầu 1 nhận được trên tàu 2 cách nhau khoảng thời gian τ' =1 sµ nên so với HQC gắn với tàu 2, tàu 1 có chiều dài l12 =cτ'=300m, và chiều dài riêng của tàu 1 là l10 =γl12 =1, 25.300 375= m

Bài 3 : Hai tàu vũ trụ đã tắt động cơ chuyển động đến gặp nhau Tín hiệu của hệ thống định vị

trên tàu bị phản xạ từ tàu đối diện với tần số k = 9 lần lớn hơn tần số tín hiệu phát đi Biết rằng tàu vũ trụ ngược chiều bay qua hệ thống thu trên tàu đầu hết τ =1 sµ Tìm chiều dài riêng của tàu đi ngược chiều

1

2

1

2

Bài 4 : Một tàu vũ trụ đang bay về hướng Trái đất phát ra hai xung ngắn liên tiếp cách nhau

một khoảng τ1 = phút Sau khi phản xạ từ Trái đất hai tia này trở lại tàu vũ trụ sau thời gian 11,5

T = tháng Khi đó khoảng thời gian nhận hai tia là τ2 =15s Tìm khoảng thời gian T TĐ

trên Trái đất kể từ khi nhận được xung đầu tiên đến khi tàu vũ trụ bay về tới Trái đất Xác định vận tốc của tàu Các khoảng thời gian τ τ1, ,T2 được ghi theo thời gian của tàu

Sau đó Trái đất phản xạ lại xung có tần số f' = , và tàu sẽ nhận được xung có tần số f

2 '

2 1

này trong HQC gắn với tàu là τ γ1 = −1t1 =γ− −1c l10 Lúc này, tàu còn cách Trái đất đoạn

2 0

11

,

c l

c c

γ β

τβ

Bài 5 : Hai tàu vũ trụ 1 và 2 bay hướng về Trái đất dọc theo một đường thẳng với vận tốc

tương đối tính không đổi là vur1

và vuur2

(hình vẽ) Tại một thời điểm nào đó, các tàu và Trái đất gửi cho nhau các xung ánh sáng ngắn (tàu 1 gửi cho tàu 2 và Trái đất, tàu 2 gửi cho tàu 1 và Trái đất, Trái đất gửi cho tàu 1 và tàu 2) Biết rằng các tín hiệu được phát đi đồng thời trong HQC gắn với Trái đất Sau đó thấy rằng thời gian giữa hai lần nhận xung theo đồng hồ trên tàu 1 là τ1 và trên tàu 2 là τ2 Hỏi thời gian τ3 giữa các lần nhận xung trên Trái đất bằng bao nhiêu ?

Gọi vận tốc của tàu 1 so với tàu 2 là v , của tàu 2 so với tàu 1 là 12 v , ta có : 21

Giả sử trong HQC gắn với tàu 2, tín hiệu từ Trái đất tới sớm hơn so với tín hiệu từ tàu 1, khi

đó, theo giả thiết, ta có :

Khoảng thời gian này trong HQC gắn với tàu 1 là:

τ = γ− = − +β − + α +β = −α ++ Trong HQC gắn với tàu 2, với tín hiệu gửi tới tàu 1, gọi thời gian truyền là t , ta có : 21

Bài 6 : Hai tàu vũ trụ 1 và 2 bay hướng về phía Trái đất dọc theo một đường thẳng với vận

tốc như nhau v=0,6c(hình vẽ) Tại một thời điểm nào đó, các tàu và Trái đất gửi cho nhau các xung ánh sáng ngắn (tàu 1 gửi cho tàu 2 và Trái đất, tàu 2 gửi cho tàu 1 và Trái đất, Trái đất gửi cho tàu 1 và tàu 2) Biết rằng các tín hiệu được phát đi đồng thời trong HQC gắn với Trái đất Sau đó thấy rằng thời gian giữa hai lần nhận xung theo đồng hồ trên tàu 1 là τ1 = , 1s

trên tàu 2 là τ2 = Hỏi thời gian 0 τ3 giữa các lần nhận xung trên Trái đất bằng bao nhiêu ?

Lời giải : Áp dụng kết quả thu được của bài toán tổng quát trên, trong bài nay ta có :

D BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Một con tàu vũ trụ rời khỏi Trái đất với vận tốc v=0,8c Khi con tàu ở cách Trái đất

8

6,66.10 km , đo trong HQC gắn với Trái đất, một tín hiệu vô tuyến được gửi đi cho con tàu

vũ trụ từ người quan sát trên Trái đất Hỏi bao lâu tín hiệu sẽ tới được con tàu khi :

a đo trên HQC gắn với con tàu ?

b đo trên HQC gắn với Trái đất ?

c Ngoài ra, cho vị trí của con tàu, khi nó nhận được tín hiệu, trong cả hai HQC

Bài 2 : Một sóng ngang đơn sắc với tần số ν lan truyền theo hướng tạo với trục x một góc

0

60 trong HQC K gắn với nguồn Nguồn chuyển động theo hướngx với vận tốc v=0,8c

theo hướng về phía người quan sát đứng yên trong HQC K'(trong đó trục x của người quan '

sát song song với trục x) Người quan sát đo tần số sóng

a Xác định tần số đo được ν' theo tần số riêng ν của sóng

b Xác định góc quan sát trong HQC K'

Bài 3 : Một con tàu có một máy phát và một máy thu tín hiệu Con tàu, rời khỏi Trái đất với

vận tốc không đổi, gửi trở lại Trái đất một xung tín hiệu và nó bị phản xạ từ Trái đất Bốn mươi giây sau trên đồng hồ con tàu, con tàu nhận được tín hiệu và tần số tín hiệu nhận được bằng một nửa tần số phát ra

a Tại thời điểm xung rađa bị phản xạ khỏi Trái đất, thì Trái đất ở vị trí nào khi đó nó trong HQC con tàu ?

b Vận tốc con tàu bằng bao nhiêu so với Trái đất ?

c Tại thời điểm khi con tàu nhận lại được xung rađa thì con tàu ở đâu khi đo nó trong HQC Trái đất ?

Bài 4 :

a Một hạt có khối lượng m1= chuyển động với vận tốc bằng 0,9 lần vận tốc ánh 1g

sáng va chạm trực diện rồi dính vào một hạt khác đang đứng yên có khối lượng m2 =10g Tìm khối

lượng nghỉ và vận tốc của hạt phức hợp tạo thành ?

b Bây giờ giả sử m đứng yên Hạt 1 m phải chuyển động với vận tốc bằng bao nhiêu 2

để hạt phức hợp tạo thành có khối lượng nghỉ đúng bằng kết quả tìm được ở câu (a) ?

c Vẫn giả sử m đứng yên, 1 m chuyển động với vận tốc bằng bao nhiêu để hạt phức 2

Bài 5 : Hai hạt giống nhau chuyển động lại gần nhau trên một đường thẳng Trong HQC gắn

với khối tâm của chúng, động năng của mỗi hạt là K =αE0 với α là một số dương, E là 0

năng lượng nghỉ của hạt Hỏi trong HQC gắn với mỗi hạt thì hạt kia có động năng bằng bao nhiêu ?

Bài 6 : Tại phòng thí nghiệm Fermi, để tạo ra những chùm nowtrino

năng lượng cao trước tiên người ta tạo ra chùm π+(hoặc K+) đơn

năng lượng và rồi sau đó cho các pion phân rã theo phản ứng

π+ →µ ν++ Cho biết khối lượng của pion và muyon lần lượt là

2

140MeV c và / 106MeV c / 2

a Tìm năng lượng của nowtrino sinh ra trong quá trình phân rã của HQC đứng yên gắn với π+ Trong HQC phòng TN, năng lượng của nowtrino phụ thuộc vào góc phân rã θ(hình vẽ) Giả sử chùm π+ có năng lượng 200GeV

b Tìm năng lượng của nowtrino tạo thành hướng tiến (θ =0)

c Tìm giá trị của góc phân rã θ mà tại đó năng lượng của nowtrino bằng một nửa năng lượng cực đại của nó

Bài 7 : Xem xét khả năng tạo thành một trong những hạt mới được phát hiện, đó là hạt

a Tìm giá trị tối thiểu của năng lượng E của photon để phản ứng trên có thể xảy ra

Có thể tính kết quả theo đơn vị M c p 2(=938MeV)

b Tìm vận tốc, nghĩa là tỷ số v c/ của hạt ψ khi photon có năng lượng ' E vừa đủ vượt quá năng lượng ngưỡng E 0

Bài 8 : Một phản hạt proton có năng lượng E tương tác với một proton ở trạng thái nghỉ để 0

tạo ra hai hạt có cùng khối lượng m Trong HQC phòng TN, người ta phát hiện được một x

trong hai hạt tạo thành ở góc 90 so với chùm tới Tìm năng lượng toàn phần 0 ( )E của hạt đó s

và chứng tỏ rằng nó không phụ thuộc vào m cũng như vào x E 0

Bài 9 : Một chùm electron bị tán xạ bởi một bia tán xạ cố định

như trên hình vẽ Các electron bị tán xạ đàn hồi Mỗi electron

0

53

E = m c và chùm electron có thông lượng là

Q electron/giây

a Tìm vận tốc của chùm electron tới

b Tìm độ lớn và phương của lực mà chùm electron tác dụng lên bia tán xạ ?

Bài 10 : Một meson π có xung lượng 5m cπ va chạm đàn

hồi với một proton (m p =7mπ) ban đầu đứng yên (hình vẽ)

a Tìm vận tốc của HQC khối tâm ?

b Tìm năng lượng toàn phần trong HQC khối tâm ?

c Xác định xung lượng của pion tới trong HQC khối

tâm

E KẾT LUẬN

Trên đây là một phần nội dung cơ bản của Thuyết tương đối hẹp cùng một số bài tập

áp dụng do tôi tìm hiểu, nghiên cứu và giải ra Còn nhiều phần kiến thức và các dạng bài tập cùng các cách giải khác nữa mà chúng ta cần phải tìm hiểu và làm nhiều mới có thể hiểu và nắm vững được Thuyết tương đối hẹp của Albert Einstein Với kiến thức còn hạn chế, chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp và trao đổi của các bạn đồng nghiệp cũng như các em học sinh để có thể hiểu thêm về Thuyết tương đối hẹp, giúp cho quá trình học tập và nghiên cứu ngày càng tốt hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

- Yung-Kuo Lim, Bài tập và lời giải cơ học

- PGS.TS Phan Hồng Liên, Tuyển tập các bài tập vật lý đại cương

- I.E Irôđôp, I.V.Xavaliep, O.I.Damsa, Tuyển tập các bài tập vật lý đại cương

- Vũ Thanh Khiết – Vũ Đình Túy, Các đề thi học sinh giỏi 2001-2010

- Ronald – Gautreau William Savin, Vật lý hiện đại

Chuyên đề 2 Hiệu ứng compton & hiệu ứng doppler

đối với sóng ánh sáng

Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Giáo viên: Nguyễn Văn Quyền

ĐT: 0988.615.618

Email: quyencvp@vinhphuc.edu.vn

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia, những bài toán liên quan đến hiệu ứng Compton

và Hiệu ứng Doppler là những vấn đề có trong chương trình ; do đó việc biên soạn và sưu tầm những bài toán về hiệu ứng Doppler và hiệu ứng Compton để bồi dưỡng cho học sinh là rất cần thiết

Trong chuyên đề này, nội dung chủ yếu tập trung vào hai chuyên đề đó là Hiệu ứng Compton và Hiệu ứng Doppler đối với ánh sáng, đặc biệt trong Hiệu ứng Compton có sử dụng đến các kiến thức của vật lý hiện đại như các công thức tương đối tính

Trong một số tài liệu còn khẳng định cực đoan rằng hiệu ứng Compton chỉ giải thích được

bằng lý thuyết hạt của ánh sáng-điều này là sai lầm, vì hiệu ứng Compton còn có thể giải thích được bằng lý thuyết sóng ánh sáng Trong đề tài này tác giả cũng sẽ đề cập đến vấn đề này khi giải thích hiệu ứng Compton thông qua hiệu ứng Doppler

Đây là một vấn đề khó, tuy nhiên khả năng của người viết còn có nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong được bạn đọc thông cảm

2 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của chuyên đề này là hệ thống các kiến thức về lý thuyết và bài tập để bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi chọn học sinh giỏi quốc gia hằng năm

Nội dung của chuyên đề dựa trên chương trình, nội dung , mức độ của các đề thi chọn đội tuyển học sinh dự thi quốc gia và các đề thi olympic quốc tế đã tổ chức trong các năm qua

3 Đối tượng và phạm vi tác động

Tài liệu này được dùng để bồi dưỡng những học sinh giỏi dự thi chọn học sinh quốc gia

Nội dung gồm hai chuyên đề, chuyên đề thứ nhất về Hiệu ứng Compton, chuyên đề thứ hai

về Hiệu ứng Doppler đối với ánh sáng

B NỘI DUNG Chuyên đề thứ nhất HIỆU ỨNG COMPTON

I Tóm tắt Thuyết photon ánh sáng của Einstein:

- Bức xạ điện từ là dòng các hạt gọi là lượng tử ánh sáng hay photon

λ

= = với c=3.108m s/ là tốc độ ánh sáng trong chân không, h=6,625.10−34J s là hằng số plank

- Vật hấp thụ hay phát xạ sóng điện từ là hấp thụ hay phát xạ photon

m

cλ

= là khối lượng tương đối tính

- Xung lượng hay động lượng của photon

c

hf h mc

λ

II Hiệu ứng Compton:

1 Thí nghiệm

Năm 1923, khi nghiên cứu hiện tượng tán xạ

tia X trên các nguyên tử nhẹ (parafin, grafit…),

Compton đã thu được kết quả rất đặc biệt:

chùm tia X đơn sắc, hẹp, bước sóng λ khi rọi

vào vật tán xạ A (là khối parafin, grafit…), thì

một phần xuyên qua A, phần còn lại bị tán xạ

Phần tia X bị tán xạ được thu bằng một máy quang phổ tia X, quan sát trên kính ảnh ngoài vạch có bước sóng λ của tia X tới, còn có một vạch (có cường độ yếu hơn), ứng với bước sóng λ’>λ Đồng thời thí nghiệm cũng cho thấy độ lệch ∆λ=λ’-λ tăng theo góc tán xạ θ (mà không phụ thuộc bước sóng λ) theo hệ thức

2

2

c e

10.626,6

=

=

= 2,424.10-12 m, gọi là bước sóng Compton

2 Lý thuyết hiệu ứng Compton

a Giải thích hiệu ứng Compton trên cơ sở thuyết lượng tử ánh sáng

Hiện tượng tán xạ tia X trên các nguyên tử nhẹ được giải thích như kết quả của sự va chạm giữa photon tia X và electron của các nguyên tử chất tán xạ Trong quá trình đó các định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng được thỏa mãn

Xét một photon tia X có bước sóng λ tần số f đến va chạm với một electron đứng yên,

trong quá trình va chạm photon nhường một phần năng lượng cho electron và biến thành photon khác có năng lượng nhỏ hơn (tức là có tần số nhỏ hơn, bước sóng dài hơn)

.1

o

m c v c

−

; trong đó mo là

khối lượng nghỉ của electron

Động lượng của photon trước và sau va chạm là

' '

Góc tán xạ θ là góc tạo bởi vec tơ động lượng p!& p!' của photon

Bảo toàn năng lượng:

−Thay (4) vào (3) ta thu được:

h

e

2'−λ=

10.626,6

=

=

= 2,424.10-12 m

Chú ý: Trong các tính toán ở trên ta đã đơn giản hóa coi electron hoàn toàn tự do Thực tế

electron luôn luôn lên kết với nguyên tử Vì vậy ở định luật bảo toàn năng lượng ta còn cần

kể đến công cần thiết để bứt e ra khỏi nguyên tử và công làm nguyên tử dịch chuyển Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy các electron tán xạ thường là các electron liên kết lỏng lẻo với

Phải chăng hiệu ứng Compton chỉ có thể giải thích bằng mô hình hạt ?

Chúng ta vừa chứng kiến, hiệu ứng Compton có thể được giải tích tuyệt với bằng mô hình hạt của ánh sáng và bằng cách đó có thể tính được đọ dịch chuyển bước sóng Tuy nhiên, nói rang mô hình hạt là khả năng duy nhất giải thích đượng hiệu ứng Compton lại là một sự nhầm lẫn thường thấy trong cách tài liệu khoa học đại chúng cũng như trong các sách giáo khoa nơi học đường

Chính bản thân Compton cũng đã nhận ra rằng, bên cạnh cách giải thích hiệu ứng bằng mẫu hạt của ánh sáng, cũng có thể chọn mô hình sóng để đưa ra sự dịch chuyển bước sóng

trong hiệu ứng Trong trường hợp này, có sự dịch chuyển bước sóng trong hiệu ứng Doppler, một hiệu ứng phản ánh tính chất sóng của ánh áng, xảy ra khi có sự chuyển động

tương đối giữa nguồn phát sóng và máy nhận sóng, khiến cho dù chỉ có một nguồn sóng mà tùy theo việc chọn hệ quy chiếu ta lại thu được những bước sóng khác nhau Sự thay đổi bước sóng trong hiệu ứng Compton có thể giải thích theo quan niệm sóng như sau:

Electron ở trạng thái nghỉ được gia tốc đến tốc độ v nhờ bước sóng λ đến đạp vòa nó Vấn đề ở đây là do bước sóng trong hệ quy chiếu nào: trong hệ đứng yên gắn với electron đứng yên hay trong hệ gắn với electron sau khi tán xạ với sóng điền từ hệ sau chuyển động với vạn tốc 𝑣 so với hệ trước Do đó, nếu λ là bước sóng đo được trong hệ gắn với electron chuyển động thì bước sóng đo được tron hệ gắn với electron đứng yên sẽ là λ’ và λ’ > λ Nghĩa là bước sóng của sóng tán xạ sẽ lớn hơn bước sóng của ánh sáng tới một lượng Δλ =

λ’ – λ

Bằng cách mô tả hiệu ứng này theo lý thuyết sóng, ta cũng sẽ có những tiên đoán lý tuyết định lượng về dịch chuyển bước sóng, và những tiên đoán này cũng trùng hợp với những tiên đoán nhận được từ lý thuyết hạt như vậy, mô tả lý thuyết sóng cũng có giá trị tương đồng bên cạnh mô tả bằng lý thuyết hạt mà ta đã khảo sát kỹ ở trên Do đó, xin được nhấn mạnh một lần nữa, trái với sự trình bày sai lầm trong không ít cuốn sách vật lý, không chỉ mô hình hạt của ánh sáng mới cho phép ta hiểu và tính toán hiệu ứng Compton, mà mô hình sóng cũng có giá trí hoàn toàn tương đương

c Giải thích hiệu ứng Compton không xảy ra với ánh sáng nhìn thấy

Vì sao hiệu ứng Compton không xuất hiện ở ánh sang nhìn thấy ?

Đến đây, chúng ta có thể tự đặt câu hỏi: vì sao sự thay đổi tần số của bức xạ điện từ khi tán xạ trên những electron tự do lại không quan sát thấy trên vùng phổ ánh sáng nhìn thấy Chúng ta có thể hình dung, chẳng hạn khi ánh sáng xanh chiếu tới một vật nào đó, sau tán xạ trở nên có màu đỏ, tức là bức xạ nhìn thấy có bước sóng dài hơn, tuy nhiên, trong thực tế điều đó đã không xảy ra

Với ánh sáng nhìn thấy, độ dịch chuyển Compton không quan sát thấy một cách rõ rệt bởi vì trong trong trường hợp này mối tương quan khối lượng giữa electron và photon là hết sức không thuận lợi Khi quan sát và va chạm đàn hồi lý tưởng, người ta nhận thấy phần xung lượng được truyền sang đối tác va chạm là nhiều nhất nếu tỉ lệ khối lượng là 1:1

Ta biết rằng, năng lượng của photon ánh sáng nhìn thấy khoảng 2,5 eV (ở vùng bước sóng cỡ λ = 5.10-7 m) Trái lại, năng lượng của electron tính theo tương đương khối lượng - năng lượng lại có giá trị cỡ 511.103 eV Từ đó suy ra khối lượng photon/electron là:

20000

1m

Điều đó có nghĩa, đẻ phần năng lượng chuyển gia đáng kể đến mức sự thay đổi bước sóng của photon tán xạ là quan sát được, thì tỉ lệ khối lượng photon/electron không được quá nhỏ Đấy chính là lý do vì sao trong thí nghiệm của mình Compton đã sử dụng photon tới của bức xạ Rơnghen có năng lượng tương đương năng lượng của electron nghỉ, điều kiện để

có thể đo được phần năng lượng chuyển từ photon sang electron, và đó chính là điều không thể có ánh sáng nhìn thấy

III BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1:

Chứng minh rằng một electron tự do không thể hấp thụ hoàn toàn một photon

Lời giải

Giả sử electron tự do hấp thụ hoàn toàn một photon

Chọn hệ qui chiếu gắn với electron trước khi hấp thu photon

2 2 2

1

c v

m hf mc

−

là khối lượng nghỉ của electron

Động lượng của hệ trước và sau hấp thụ photon lần lượt

2 2 2

1

c

c v

m hf

mcv =

− 221

f v

v

c v c v

c

v c

v

c v mc

c v

v mc

c

v

mc

00

0

11

11

111

1

11

.1

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

f c

c

v f

trong hai hệ qui chiếu là ( )

c

v f

f hf

hf hf hf

hf f

f p

1) Chứng minh rằng trong quá trình va chạm này, năng lượng và xung lượng không

bảo toàn cho electron

2) Sau va chạm electron sẽ nhận được một phần năng lượng của photon và chuyển

động giật lùi, còn photon bị tán xạ Tính độ dịch chuyển của bước sóng trước và sau

hf mv

hf

2

1

;2

và xung lượng của electron không bảo toàn

2) Trường hợp tương tác giữa electron và photon tự do, do không bị hấp thụ hoàn toàn,

nên photon sau phản ứng bị giảm năng lượng va xung lượng bị thay đổi do tán xạ

Compton Để tính độ dịch chuyển của bước sóng ta sử dụng định luật bảo toàn năng

lượng và xung lượng:

=

+

=+

)2(

)1(

' '

2 ' 2 0

v m p p p

p

mc hf c

hf

p

' '

)1

0 ' 4

0 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 4 2 2

0 '

2 2

' '

2 0

c m

h c

m

h f

c f

c f

f h

c m