Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH.. Trong chương trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng giữ vai trò chủ

MỤC LỤC Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các cụm từ viết tắt 3

MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài 4

II Mục tiêu nghiên cứu 5

III Nhiệm vụ nghiên cứu 5

IV Đóng góp của luận văn 5

Chương I KIẾN THỨC CHUNG 1 Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm 6

1.1 Định nghĩa 6

1.2 Ý nghĩa 7

1.3 Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông 9

1.4 Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống 9

2 Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức 10

2.1 Khái niệm năng lực 10

2.2 Các cấp độ nhận thức 11

3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT 3.1 Về việc học của học sinh 12

3.2 Về giảng dạy của giáo viên 13

3.3 Biện pháp 13

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

1 Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm 14

2 Bài tập ứng dụng đạo hàm 23

2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 23

2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị 32

2.3 Ứng dụng đạo hàm chứng minh phương trình có nghiệm 39

2.4 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 43

2.5 Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình 49

2.6 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình 54

2.7 Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 62

2.8 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 80

2.9 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 99

2.10 Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập có liên quan đến thực tiễn 113

KẾT LUẬN 118

TÀI LIỆU THAM KHẢO 119

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển năng lực

và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tư duy trừu tượng, chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo

Trong chương trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng kiến thức và thời gian của chương trình môn Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc gia và

đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung cấp chuyên nghiệp Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu ích đối với các em HS lớp 12

Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chương trình toán phổ thông, là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích Đạo hàm là công cụ giúp chúng ta nghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn của hàm số Vận dụng tính chất của đạo hàm còn giúp HS giải được các bài toán Đại số như: giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức…

Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác như: bài toán tính vận tốc, gia tốc của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động…

Thực tế dạy học Toán ở trường THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là

do các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứng dụng của kiến thức này

Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài để nghiên cứu:

“Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh”

II Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực trong học Toán

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:

+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm

+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS

IV Đóng góp của luận văn

Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chương trình phổ thông

Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy

và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng

Chương I KIẾN THỨC CHUNG

1 Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm

1.1 Định nghĩa

1.1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm sốy f x( )xác định trên khoảng( , )a b vàx0( , ).a b

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

[9]

1.1.2 Định nghĩa đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y f x có đạo hàm tại mỗi điểmx a b; Khi đó, hệ thức

 

'y  f ' x xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b) Nếu hàm 'y  f ' x lại có đạo

hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của ' y là đạo hàm cấp hai của hàm số y f x  tại x và kí

f  x có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f x , kí ( )hiệu là  n

1.2.1.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm sốy f x( )xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x0( , ).a b Gọi là đồ thị của hàm số đó

Đạo hàm của hàm số tại điểmx là hệ số góc của tiếp tuyến0 M T của 0

tại điểmM0x f x0;  0  [9]

( )C

( )

1.2.1.2 Bài tập liên quan:

Loại 1: Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmM x y 0; 0

Loại 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

1.2.2 Ý nghĩa vật lý

1.2.2.1.Vận tốc tức thời

Vận tốc tức thời là đạo hàm của vị trí theo thời gian.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình ss t( ), vớiss t( ) là một hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số( )

t là đạo hàm của hàm số QQ t tạit0:I t 0 Q t' 0

1.2.3 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f ''( )t là gia tốc tức thời của chuyển độngs f t( )tại thời điểm t

Xét chuyển động xác định bởi phương trìnhs f t( ), trong đóss t( )là một hàm số có

đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v t  f ' t Lấy số gia

t

 tại t thì v t( ) có số gia tương ứng làv Tỷ số v

t



 được gọi là gia tốc trung bình của

chuyển động trong khoảng thời giant Nếu tồn tại

1.3 Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông

Trong chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn…

Phương pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số như: giải phương trình,

bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1.4 Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống

Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng, Vì thế, đạo hàm là một công

cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực Do vậy đạo hàm có nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống Chẳng hạn:

+ Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định

+ Vật tốc của một vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định

+ Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định

+ Sự biến thiên của thị trường chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định

+ Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định

+ Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas

Khi đó, cường độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời gian) trong khoảng thời gian này được định nghĩa như sau: 2 1

2 1

( ) (t )

tb

Q t Q I

 Các bài toán kinh tế :

Qua số liệu thông kê, người ta nhận định rằng, doanh thu của công ty FPT sau t năm tính từ đầu năm 2010 là: 2

( ) 5 7 90

R t  t  t tỷ đồng Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm doanh thu của công ty vào đầu năm 2016 ?

 Trong xây dựng:

Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu)

Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ thể tích 3

160 m Đáy bằng bê tông giá 2

Như vậy: Đạo hàm cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn

đề trong thực tế Do vậy, trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này

2 Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức

2.1 Khái niệm năng lực

Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Người ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn, trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên môn Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng ở một lĩnh vực nhất định, ví dụ như năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1]

Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan

Từ khóa đánh giá: Trình bày, nhắc lại, mô tả, liệt kê…

Người học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới

Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng…

Người học có khả năng chia các nội dung, các thông tin thành những phần nhỏ

để có thể chỉ ra các yếu tố, các mối liên hệ, các nguyên tắc cấu trúc của chúng

Từ khóa: Phân tích, lý giải, so sánh, lập biểu đồ, phân biệt, hệ thống hóa…

2.2.3.2 Mức độ cao

Người học có khả năng đưa ra nhận định, phán quyết của bản thân đối với một vấn đề dựa trên các chuẩn mực, các tiêu chí đã có

Từ khóa: Đánh giá, cho ý kiến, bình luận, tổng hợp, so sánh…

Đạt được cấp độ nhận thức cao nhất này người học có khả năng tạo ra cái mới, xác lập thông tin, sự vật mới trên cơ sở những thông tin, sự vật đã có

Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất…

Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2]

3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT

3.1 Về việc học của học sinh:

Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, vẫn chưa đồng đều Chất lượng chỉ tương đối ổn định ở lớp chọn và lớp nâng cao Còn đa số các lớp thuộc chương trình chuẩn chất lượng thường rất thấp Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau: + Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên lớp và trong sách giáo khoa chưa thực sự phù hợp với các đối tượng học sinh

+ HS thường mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phương trình, bất phương trình cơ bản… + Có nhiều lỗ hỏng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế

+ Đa phần HS chưa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên

+ Chưa thấy được ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế, đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chưa biết được đạo hàm được ứng dụng vào việc gì [2]

3.2 Về giảng dạy của giáo viên:

+ GV chưa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm được

học Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ

minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà

+ GV thường đưa ra câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát tình huống thực tế

+ Trong quá trình giảng dạy GV chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức

và ít chú trọng đến cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức

+ Trong quá trình giảng dạy thực tập tại các trường THPT chúng tôi nhận thấy nhiều

GV chuẩn bị bài rất công phu, bên cạnh đó vẫn còn một số GV chuẩn bị nội dung và

bài giảng chưa đúng với trọng tâm, chưa thật chu đáo Trong qua trình giảng dạy chưa

khơi dậy được niềm say mê và hứng thú học tập Chưa góp phần tích cực vào việc xác

lập động cơ học tập đúng đắn cho HS [2]

3.3 Biện pháp:

Nhằm khắc phục được hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên

thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận

biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này

giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái

niệm căn bản và tất cả đối tượng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

1 Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm

1.1 Bài tập nhận biết

Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )x23x Giá trị của hàm số tạix0 3 là?

Câu 4: Cho hàm sốy f x( )xác định tạix0 Đạo hàm của hàm sốy f x( )tạix0là?

( ) ( ) lim

1.2 Bài tập thông hiểu

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )x23x Số gia của đối số tạix0 3 là ………? Đáp án:   x x 3

Câu 2: Cho hàm sốy f x( )x23x Số gia của hàm số tạix0 3 là ………?

1

x

f x f

f x

 

 



Vậy f '(0)   1.

( ) ( ) '( ) lim

Giả sửxlà số gia của đối số tạix0 1 Ta có:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0

Bước 2: Tính đạo hàm bên trái:

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

0

( ) ( ) '( ) lim

Bước 4: Nhận xét hoặc giải f x'( 0)  f x'( 0), từ đó đưa ra kết luận

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số   2 3 1

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số  

sin 0

0 0tan 0

2

x x

Bài tập 4: Cho hàm số

2 ; 1

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số 3

A Đồng biến trên khoảng K

B Nghịch biến trên khoảng K

C Không đổi trên khoảng K

D Vừa nghịch biến, vừa đồng biến trên khoảng K

Đáp án: C

Câu 4: Hàm số đồng biến được biểu thị bằng mũi tên theo hướng:

A Đi lên từ trái sang phải

B Đi lên từ phải sang trái

C Đi xuống từ trái sang phải

D Đi xuống từ phải sang trái

Đáp án: A

Câu 5: Hàm số nghịch biến được biểu thị bằng mũi tên theo hướng:

A Đi lên từ trái sang phải

B Đi lên từ phải sang trái

C Đi xuống từ trái sang phải

D Đi xuống từ phải sang trái

Đáp án: C

2.1.2 Bài tập thông hiểu

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

y f x x  x  Tập xác định của hàm số đã cho là ……… Đáp án: D

Câu 5: Điền vào chỗ còn thiếu để đƣợc bài toán hoàn chỉnh

Xét sự biến thiên của hàm số 3

Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số

2 10

x y

Vậy hàm số đồng biến trên D

Bài tập 3: Xét sự biến thiên của hàm số cos 1cos 2

' cos cos 2 sin sin 2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 2 2 ; 2

Để giải quyết bài toán (*) ta thường đi theo hai hướng:

Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận

Hướng 2: Đưa f x'( )về dạng tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu

Bài tập 1: Tìm mđể hàm số 1 3 2 3

23

y x mx  x m a) Đồng biến trên

b) Đồng biến trên khoảng0,

HD:

y x  mx , y'  0 có tối đa 2 nghiệm

y x  mx   x   m      m Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khi m  1,1

b) y'  0 có tối đa 2 nghiệm nên hàm số đồng biến trên khoảng0,

Trong bài toán này không thể cô lập đƣợcmnên ta dùng cách 2

Hàm số đồng biến trên khi

2

23

y  m x  m x m ; y'  0 có tối đa 2 nghiệm

Hàm số nghịch biến trên nên y'    0, x

Nhận thấyy'chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:

+ TH1: m 1 khi đóy'    3 0, x nên hàm số nghịch biến trên

+ TH2: m 1 khi đóy'là tam thức bậc 2 nên hàm số nghịch biến trên

+ Nếu trongy'chỉ chứa tham sốmbậc nhất, ta s cô lập đượcmnên có thể dùng cách 1

để giải quyết bài toán

+ Nếu không cô lập đượcmvà dấu củay' là dấu của một tam thức bậc hai có chứa

Ta xét hàm sốh x( ), lập bảng biến thiên, từ đó kết luận

Bài tập 1 : Chứng minh rằng:sin tan 2 , 0,

2

x x x  x   



2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị

2.2.1 Bài tập nhận biết

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị qua các câu hỏi sau:

Câu 1: Nếu hàm số f x( )đạt cực đại tại điểm x0thì x0,f x( )0 lần lƣợt đƣợc gọi là?

A Giá trị cực đại – Cực đại

B Cực đại – Giá trị cực đại

C Điểm cực đại – Giá trị cực đại

D Giá trị cực đại – Điểm cực đại

Câu 3: Hàm số f x( )đạt cực đại tại điểmx0thì điểmx0đƣợc gọi là?

A Điểm cực đại của hàm số

B Điểm cực tiểu của hàm số

C Cực đại của hàm số

D Cực tiểu của hàm số

Đáp án: A

2.2.2 Bài tập thông hiểu

Câu 1: Hòa thành bảng biến thiên sau:

…(1)…



f x – 0 + 0 – 0 +

( )

f x

 6 

…(6)… 

Nhận xét:

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận

+ Nếu f x'( )đổi dấu từ – sang + khi qua điểmx0(từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tạix0

+ Nếu f x'( )đổi dấu từ + sang – khi qua điểmx0(từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tạix0

+ Nếu f x'( )không đổi dấu khi qua điểmx0(từ trái sang phải) thì hàm số không đạt cực trị tạix0

f x – 0 – 0 +

( )

f x

 

Hàm số đạt cực đại tạix  2và giá trị cực đạiy CD  f( 2)  9

Hàm số đạt cực tiểu tạix 0và giá trị cực đạiy CT  f(0) 1

+ Nếu f ''( )x i 0thì hàm số đạt cực đại tạix i

+ Nếu f ''( )x i 0thì hàm số đạt cực tiểu tạix i

f    nên hàm số đạt cực đại tạix 2 và giá trị cực đại lày CD  f(2)6

Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số ( ) cos 1cos 2 1

3 2

x k x

Câu 2: Nếu f x'( )0có đúng 2 nghiệm trên D thì số nghiệm của f x( )0trên D là:

Câu 4: Nếu f x'( )0vô nghiệm trên D thì số nghiệm của f x( )0trên D là:

A 0 (Vô nghiệm)

B Tối đa 1 nghiệm

C Nhiều hơn 2 nghiệm

D Bằng 2 nghiệm

Đáp án: B

2.3.2 Bài tập thông hiểu

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm số f x có đạo hàm trên a b; và f x có n nghiệm (n là số nguyên

dương lớn hơn 1) trên a b; thì ……

Đáp án: f ' x có ít nhấtn1nghiệm trên a b;

Câu 2: Nếu hàm số f x có đạo hàm trên a b; và …… thì f x có nhiều nhất một nghiệm trên a b;

Đáp án: f ' x vô nghiệm trên a b;

Câu 3: Nếu f x có đạo hàm trên a b; và f ' x có nhiều nhất n nghiệm (n là …(1)… )

trên a b; thì f x có nhiều nhất …(2)… nghiệm trên a b;

Hệ quả 1: Nếu hàm số f x có đạo hàm trên a b; và f x có n nghiệm (n là số

nguyên dương lớn hơn 1) trên a b; thìf ' x có ít nhấtn 1nghiệm trên a b;