Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8

SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán là một môn học khó với nhiều học sinh đặc biệt là hình học, thực tế ở trường THCS Vĩnh Tân cho thấy là học sinh thích học số học và đại số hơn. Vậy nguyên nhân do đâu? Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra một số nguyên nhân như sau: Học sinh thường hay quên kiến thức cũ, chỉ học “vẹt” các định lí và quy tắc. Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán hình học, việc vẽ thêm đường phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các đường phụ. Tùy từng định lí hay bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để có thể đưa đến nhiều cách giải hay và độc đáo.Song công việc sáng tạo này không thể tùy tiện. Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết. Do vậy tôi chọn đề tài này nhằm giúp học sinh biết một số cách vẽ đường phụ thường gặp để giải toán, giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán từ đó thích học hình học hơn. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận • Khi làm các bài tập hình học, hay học các định lí hình học ta hay bắt gặp các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ. • Trước khi thực hiện đề tài thì học sinh gặp khó khăn khi gặp các bài toán hình học có vẽ đường phụ. • Trên thực tế học sinh thường gặp khó khăn khi vẽ đường phụ do đó đa số các em đều thấy hình học rất khó không thích học kể cả các em học sinh giỏi cũng ngại hình học. • Vẽ đường phụ cần có sự sáng tạo cao, khi vẽ thêm đường phụ thì phải có mục đích, không vẽ tùy tiện mà phải dựa vào đề bài phân tích, tổng hợp để có cách vẽ hợp lí phục vụ cho mục đích chứng minh của mình (trích dẫn từ lời mở đầu của sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8 – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn). 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài. Tôi đã áp dụng thực tế giảng dạy và nghiên cứu nội dung chương trình hình học 8 tôi thấy việc vẽ thêm đường phụ được sử dụng như sau: 2.1. Sử dụng đường phụ để chứng minh định lí hình học 8. Khi dạy học chứng minh các định lí hình học, trừ một số định lí dễ ta có thể chứng minh trực tiếp được mà không cần vẽ thêm đường phụ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Trong khi dạy hình học 8 tôi thấy các định lí sau cần vẽ đường phụ để chứng minh. Ví dụ1: Để chứng minh định lí 1: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba” trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Phân tích: Để chứng minh AE = EC, ta cần chứng minh đây là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta thấy ở hình vẽ đã có chứa cạnh AE nên ta cần tạo ra tam giác chứa cạnh EC và bằng , điều này giúp ta nghĩ đến vẽ đường phụ như sau: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F nhằm tạo ra đoạn thẳng bằng nhau: EF = DB (vì DEFB là hình thang có hai cạnh bên EF, BD mà EF BD) và tạo ra góc bằng nhau: (cùng bằng ), (đồng vị, EF AB). Do đó , suy ra AE = EC. Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau. Phân tích: Từ kết luận là DE BC, nên ta có giúp ta có ý tưởng là phải gấp đôi đoạn thẳng DE để có đoạn thẳng bằng đoạn thẳng BC, do đó ta vẽ yếu tố phụ như sau: Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF nhằm tạo ra hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau:CF = AD và (vì ). Từ CF = AD và AD = DB (gt) ta suy ra: CF = DB, từ suy ra CFAD tức là CFDB. Do đó BDFC là hình thang có hai cạnh đáy là CF, DB mà CF = DB (chứng minh trên) nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau. Do đó DE BC, . Ví dụ 3: Để chứng minh định lí: “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy” trong bài: “Tính chất đường phân giác của tam giác” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ. Phân tích: Kết luận của định lí là đây là hệ thức hai đoạn thẳng tỉ lệ nên ta nghĩ đến định lí Talét và hệ quả của định lí Talét (phải có đường thẳng song song) nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E, mục đích nhằm tạo ra hai góc bằng nhau: (so le trong) mà , suy ra do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra: BE = AB (1). Áp dụng hệ quả của định lí Talét đối với tam giác DAC, ta có: (2). Từ (1) và (2) suy ra . Ví dụ4: Để chứng minh định lí: “Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng” trong bài 5: “Trường hợp đồng dạng thứ nhất”, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ. Phân tích: Vì hai tam giác ; chưa có

SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán là một môn học khó với nhiều học sinh đặc biệt là hình học, thực tế ởtrường THCS Vĩnh Tân cho thấy là học sinh thích học số học và đại số hơn Vậynguyên nhân do đâu?

Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra một số nguyên nhân như sau: Học sinhthường hay quên kiến thức cũ, chỉ học “vẹt” các định lí và quy tắc

Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán hình học, việc vẽthêm đường phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn

Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắngọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy rằngkhông có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các đường phụ Tùy từng định líhay bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để cóthể đưa đến nhiều cách giải hay và độc đáo.Song công việc sáng tạo này không thểtùy tiện Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựnghình cơ bản mà chúng ta đã biết

Do vậy tôi chọn đề tài này nhằm giúp học sinh biết một số cách vẽ đườngphụ thường gặp để giải toán, giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán từ đóthích học hình học hơn

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

 Trên thực tế học sinh thường gặp khó khăn khi vẽ đường phụ do đó đa

số các em đều thấy hình học rất khó không thích học kể cả các em học sinhgiỏi cũng ngại hình học

 Vẽ đường phụ cần có sự sáng tạo cao, khi vẽ thêm đường phụ thì phải

có mục đích, không vẽ tùy tiện mà phải dựa vào đề bài phân tích, tổng hợp để

có cách vẽ hợp lí phục vụ cho mục đích chứng minh của mình (trích dẫn từlời mở đầu của sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8 –Tác giả: Nguyễn Đức Tấn)

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

Tôi đã áp dụng thực tế giảng dạy và nghiên cứu nội dung chương trình hìnhhọc 8 tôi thấy việc vẽ thêm đường phụ được sử dụng như sau:

2.1 Sử dụng đường phụ để chứng minh định lí hình học 8.

- Khi dạy học chứng minh các định lí hình học, trừ một số định lí dễ ta có thểchứng minh trực tiếp được mà không cần vẽ thêm đường phụ, phần nhiều phải vẽthêm đường phụ mới chứng minh được Trong khi dạy hình học 8 tôi thấy các định

lí sau cần vẽ đường phụ để chứng minh

Ví dụ1: Để chứng minh định lí 1: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh

của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba”trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đườngphụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

F

E D

DAE FEC (đồng vị, EF// AB) Do đó ADEEFC g c g( ), suy ra AE = EC

Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình của tam giác thì song

song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” trong bài: “Đường trung bình của tamgiác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằngnhau

F E

D A

Phân tích: Từ kết luận là DE // BC, 1

2

DE BCnên ta cóBC 2.DEgiúp ta có ý tưởng

là phải gấp đôi đoạn thẳng DE để có đoạn thẳng bằng đoạn thẳng BC, do đó ta vẽyếu tố phụ như sau: Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF nhằm tạo ra haiđoạn thẳng, hai góc bằng nhau:CF = AD và DAE=FCE   (vì AEDCEF c g c( ))

Từ CF = AD và AD = DB (gt) ta suy ra: CF = DB, từ DAE FCE  suy ra CF//

Ví dụ 3: Để chứng minh định lí: “Trong tam giác, đường phân giác của một

góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy”trong bài: “Tính chất đường phân giác của tam giác” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ

D E

1/ / ,

Phân tích: Kết luận của định lí là DB AB

DC AC đây là hệ thức hai đoạn thẳng tỉ lệnên ta nghĩ đến định lí Ta-lét và hệ quả của định lí Ta-lét (phải có đường thẳngsong song) nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song songvới AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E, mục đích nhằm tạo ra hai góc bằng nhau:

BEA CAE(so le trong) mà BAE CAE gt ( ), suy ra BEA BAE do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra: BE = AB (1) Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét đốivới tam giác DAC, ta có: DB BE

DC AC (2) Từ (1) và (2) suy ra DB AB

DC AC

Ví dụ4: Để chứng minh định lí: “Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba

cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng” trong bài 5: “Trường hợpđồng dạng thứ nhất”, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ

Phân tích: Vì hai tam giác ABC;A B C' ' 'chưa có yếu tố chung mà theo bài 4

ta có định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song vớicạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho” nên

ta cần tạo ra AMN trên ABCsao cho AMN A B C' ' ' và MN // BC

Do đó ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽđường thẳng MN // BC (NAC) nhằm mục đích tạo ra tam giác mới AMN bằngvới tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tam giác ABC

Ví dụ5: Để chứng minh định lí: “Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai

cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tamgiác đồng dạng” trong bài 6: “Trường hợp đồng dạng thứ hai” ta phải vẽ thêm yếu

ABC A B C

A' N

Phân tích: Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia

AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽ đường thẳng MN // BC (NAC) nhằm mụcđích tạo ra tam giác mới AMN bằng với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tamgiác ABC

Ví dụ6: Để chứng minh định lí: “Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng

hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau” trong bài 7:

“Trường hợp đồng dạng thứ ba” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ

C'

A' N

Phân tích: Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia

AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’ Vẽ đường thẳng MN // BC(NAC ) nhằm mục



ΔABC,ΔA'B'C'ABC,ΔABC,ΔA'B'C'A'B'C' A'B' A'C' ˆ = ,A=A'

GT AB AC KL

ΔABC,ΔA'B'C'ABC ΔABC,ΔA'B'C'A'B'C'

A = A', B =B' ' ' '

ABC A B C GT

KL A B C ABC

đích tạo ra tam giác mới AMN bằng với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tamgiác ABC.

2.2 Sử dụng đường phụ để giải các bài toán.

Việc vẽ đường phụ để giải bài toán hình học rất phong phú và đa dạng, quatìm tòi tôi thấy sau đây là một số cách thường dùng

2.2.1 Vẽ thêm đường song song.

Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi I là trung điểm

của AM Điểm I di chuyển trên đường nào ? (bài 126/tr 73 sách bài tập Toán 8 tập 1)

-I Q P

 có AI = IM, IP // BM nên P là trung điểm của AB Chứng minh tương

tự, Q là trung điểm của AC

Các điểm P và Q cố định Vậy điểm I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ

tự là trung điểm của AB, AC)

Ví dụ 2: Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy Tính góc tạo bởi

hai đường chéo của hình thang (ví dụ 3/tr 77- sách nâng cao và phát triển Toán 8tập 1)

E H

B

A

Phân tích: Theo đề bài ta có:

BD nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt

DC ở E Khi đó ta có: BE = AC mà AC = BD nên BE = BD Tam giác BDE cân tại

B, đường cao BH nên

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E

trên cạnh AC sao cho AD = CE Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI

và BC Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành (bài 48/tr 88- sách nâng cao vàphát triển Toán 8 tập 1)

M N I

E

K

A D

Phân tích: Để chứng minh ADKE là hình bình hành mà đã có I là trung điểmcủa đường chéo DE nên ta cần phải chứng minh I là trung điểm của AK Từ đó ta

vẽ yếu tố phụ như sau: Kẻ IN // BC , DM // BC (NAC M; AC) mục đích để tạo

ra điểm N là trung điểm của AC từ đó có được I là trung điểm của AK

Để chứng minh N là trung điểm của AC ta chứng minh AM = CE, MN = NE

Suy ra I là trung điểm của AK

* Đặc biệt việc vẽ thêm đường phụ là đường thẳng song song để tạo thành

các cặp đoạn thẳng tỉ lệ thường được sử dụng ở lớp 8 nhằm sử dụng định lí Ta-lét

và hệ quả của nó, sau đây là một số ví dụ

Ví dụ 4: Trong hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 28 cm, CD = 70cm,

AD = 35cm, vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD, BC theo thứ tự ở

E và F Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10cm (bài 171/tr 81- sách nâng cao và pháttriển Toán 8 tập 2).

F I

K

E

Phân tích: Để tính EF với giả thiết đề bài ta cần nghĩ cách chia đoạn thẳng

EF sao cho việc sử dụng các giả thiết trở nên đơn giản, cụ thể ta đã biết AB=28cm,CD = 70cm nên ta tạo ra trên đoạn EF một đoạn bằng 28cm bằng cách kẻ

AK // BC (K CD ) Khi đó ta tính được

IF = AB = KC = 28cm, từ đó tính được DK = 42cm,từ đó tính được EI bằngcách sử dụng định lí Ta-lét

x

x

E D

A

Phân tích: ở câu a) để tính được AD ta phải tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ vớinhau bằng cách qua D kẻ DE //AB khi đó ta có được ADE là tam giác đều, từ đótính được AD

Ở câu b) tương tự ta kẻ DE // AB nhằm tạo ra ADE cân tại E

Nên ta đặt DE = EA = x, kết hợp với giả thiết 1 1 1

AD AB AC

Ta tìm được AD = x, nên ADE đều suy ra BAC 120   0

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt

cạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở K, và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho BD = CE thì

Phân tích: Để xuất hiện tỉ số KE

KD ta kẻ DG // BC, khi đó theo định lí Ta-lét ta

có hệ thức:

KE CE

KD CG , kết hợp với giả thiết BD = CE ta được KE BD

KD CG , tiếp tục sử dụngđịnh lí Ta-lét ta có: BD AB

CG AC , mà AB

AC là không đổi

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC ( AC>AB) Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự

nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đườngthẳng DE, BC Chứng minh rằng: KE AB=

KD AC (bài 5/tr 121- sách vẽ thêm yếu tố phụ

để giải một số bài toán hình học 8)

Phân tích: Việc chứng minh trực tiếp KE AB

KD AC không dễ dàng Để tìm tỉ sốtrung gian, ta vẽ đường phụ EF // AB, FBC

Khai thác bài toán: Tỉ số KE AB

KD AC không phụ thuộc vào cách chọn cácđiểm D và E nên ta có bài toán sau:

Cho tam giác ABC (AC>AB) Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trêncác cạnh AB, AC sao cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE,

KD không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E

Ví dụ 8: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng d quay quanh A cắt

BC, CD lần lượt tại E, F Chứng minh rằng tích BE.DF không đổi (bài 6/tr sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8)

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm Một đường thẳng bất kì qua

G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng AB+AC=3

AM AN (bài 12/tr129- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8)

E

D

N G

IBD ICE

  , sau đó để xuất hiện tỉ số ta áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào cáctam giác AMG và ANG ta có điều phải chứng minh

2.2.2 Vẽ thêm đường vuông góc

Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8,đây là cách vẽ thường gặp trong bài toán về các tứ giác đặc biệt như hình thangvuông, hình chữ nhật, hình vuông

Ví dụ 1: Tìm x trên hình 90 (bài 63 sgk Toán 8 – Tập 1/ tr 100).

x

15

13 10

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ( 0

A=90 ), điểm M thuộc cạnh BC Gọi D, E theothứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC

a) So sánh các độ dài AM, DE

b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất (bài 127/tr73- sách bài tập toán 8 – tập 1).

H

C B

A

M

Phân tích : Dễ thấy, tứ giác DAEM là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) Nên DE = AM Do đó DE nhỏ nhất tức là AM nhỏ nhất, mà A cố định, M diđộng trên cạnh BC, do đó: AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên đườngthẳng BC nên ta vẽ thêm AH là đường cao của tam giác ABC, ta sẽ tìm ra lời giảibài toán

Ví dụ 3: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox sao cho OA = 3cm Lấy

B là một điểm bất kì thuộc tia Oy Gọi C là điểm đối xứng với A qua B Khi B dichuyển trên tia Oy thì điểm C di chuyển trên đường nào? (bài 125/tr 73- sách bàitập toán 8 – tập 1)

x

y

z C'

D

C O

A

B

Phân tích: Ta thấy độ dài OA không đổi, AO Oy và BA = BC nên ta vẽthêm CD Oy D Oy (  )để tạo ra BDCBOA, suy ra CD = AO =3cm nên CD có độdài không đổi Do đó điểm C di chuyển trên tia C’z

Khai thác bài toán: Nếu ta thay giả thiết: C là điểm đối xứng với A qua Bbằng giả thiết: C là điểm trên tia đối của tia BA sao cho BC = 2.AB thì ta được bàitoán tổng quát hơn như sau: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox sao cho OA

= 3cm Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Oy Gọi C là điểm trên tia đối của tia

BA sao cho BC = 2.BA Khi B di chuyển trên tia Oy thì điểm C di chuyển trênđường nào?

Phân tích: Ta thấy độ dài OA không đổi, AO Oy và BC = 2.BA nên ta vẽthêm CD Oy D Oy (  ) và lấy M là trung điểm BC để tạo ra BEM BOA

suy ra ME = AO =3cm nên CD = 2.ME = 6 cm có độ dài không đổi Do đóđiểm C di chuyển trên tia C’z

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) và B=C=90   0

Chứng minh rằng: BC < AD (bài 7/tr 11- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giảimột số bài toán hình học 8)

Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC (HAC).Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC Chứng minh rằng : ADE=45  0

(bài 55/tr 56- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8)

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc các

đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho MPNQ Chứng minh rằng: MP = NQ(bài 69/tr 68- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8)

H

K Q

B A

M

K

I

H D

E

F G

A

Phân tích : Để chứng minh ME = MG ta cần tạo ra một hình bình hành có

EG là đường chéo nên ta vẽ hai đường phụ EI, GK (

EI AH GK AH IAH KAH ) Chứng minh tứ giác EKGI là hình bình hành ta

sẽ có điều phải chứng minh

Vẽ EI AH GK, AH I; AH K, AH Ta chứng minh AKGCHA(cạnhhuyền – góc nhọn), suy ra KG = HA (1)

Tương tự, ta chứng minh AEI BAH (cạnh huyền – góc nhọn),

Suy ra EI = HA (2)

Từ (1), (2) suy ra KG = EI

Mặt khác EI AH GK, AH nên KG // EI

Vậy tứ giác EKGI là hình bình hành

* Đặc biệt vẽ thêm đường phụ là đường vuông góc để sử dụng công thức

tính diện tích ta hay gặp trong các bài toán về diện tích

Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD Chứng minh rằng: AC BD  2.AB2 (bài 20/tr103- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8)

Từ hai cách tính diện tích hình thoi như trên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: 1 .

Phân tích : Kết luận bài toán có S ABCD mà S ABCD S ABC S DAC Để tính S BAC,

2.2.3 Vẽ thêm đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8nhằm mục đích tạo ra các tam giác bằng nhau, tam giác đặc biệt, tứ giác đặc biệt

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác của

góc ABE cắt AD ở K Chứng minh rằng AK + CE = BE (bài tập 154/tr 76- sáchbài tập Toán 8 - tập 1)

1

4 3 2 1

K

B A

Phân tích: Để làm xuất hiện tổng AK + CE, ta lấy điểm M trên tia đối của tia

CD sao cho CM = AK Ta có AK + CE = CM + CE = EM

Ta cần chứng minh EM = BE Ta sẽ chứng minh EBM có M=EBM  

Thật vậy, BAK BCM c g c( )suy ra:  

1

K =M, 

1 4

B =B Mặt khác:  

A B

C

Phân tích: Ta cần chứng minh BAC CAD   mà BAClà góc của ABC nên tacần tạo ra tam giác mới bằng ABC bằng cách lấy điểm E trên tia đối của tia DAsao cho DE = AB

Từ ABCEDC c g c( )  BAC E   (1)

CAE có AC = EC nên là tam giác cân, do đó CAD E   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của góc A

Ví dụ 3: Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=180ˆ ˆ 0, AB < AD, AC là tia phângiác của BAD

Chứng minh rằng: BC = DC (bài 1/tr 5- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một