Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình học ở lớp 8 phần đa thức Sách giáo khoa đưa ra rất ít bài tập, dạng toán việc học sinh tiếp cận kiến thức về đa thức còn ít, các đề thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh gần đây lại thường có bài toán xác định đa thức, tìm đa thức dư hoặc tính các giá trị của đa thức...Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức thường gây lung túng cho học sinh. Nguyên nhân chính là học sinh chưa được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết, các dạng bài tập chưa nhiều. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải Toán trên máy tính cầm tay, tôi rất băn khoăn về vấn đề này. Vì vậy nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 8 đến lớp 9 và rèn kỹ năng giải một số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, để cho học sinh đại trà và đội tuyển học sinh giỏi năm sau đạt kết quả tốt hơn năm trước mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS. Tôi đã thực hiện nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này: “NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT”

Trang 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình học ở lớp 8 phần đa thức Sách giáo khoa đưa ra rất ít bài tập, dạng toán việc học sinh tiếp cận kiến thức về đa thức còn ít, các đề thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh gần đây lại thường có bài toán xác định đa thức, tìm đa thức dư hoặc tính các giá trị của đa thức Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức thường gây lung túng cho học sinh Nguyên nhân chính là học sinh chưa được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết, các dạng bài tập chưa nhiều

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải Toán trên máy tính cầm tay, tôi rất băn khoăn về vấn đề này Vì vậy nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 8 đến lớp 9 và rèn kỹ năng giải một số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, để cho học sinh đại trà và đội tuyển học sinh giỏi năm sau đạt kết quả tốt hơn năm trước mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS

Tôi đã thực hiện nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này:

“NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC TRONG BỒI

DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT”

Trang 2

II.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong sách giáo khoa 8 (tập 1) tác giả đưa ra kiến thức cho học sinh biết cách chia đa thức cho đa thức, chia đa thức cho đơn thức và rất ít bài tìm điều kiện của hệ số

để có phép chia hết đa thức cho đa thức

Trong cuốn sách “Nâng cao và phát triển Toán 8” dành cho học sinh khá giỏi của tác giả Vũ Hữu Bình, Tôn Thân thì tác giả đề cập đến vấn đề này một cách khái quát nên học sinh mới chỉ hiểu mà chưa biết vận dụng được nhiều

II.2 CƠ SỞ LÝ THỰC TIỄN

Lên lớp 9 các em không được học thêm kiến thức phần đa thức này mà chỉ học cách giải hệ phương trình, giải phương trình Vì thế để giải được dạng toán này cần kết hợp cả hai khối lớp

Để giải được các dạng bài tập đa thức trong các kì thi học sinh giỏi “Giải Toán

trên Máy tính cầm tay” trước hết học sinh phải nắm bắt được dạng toán và qui trình thực hiện, qua các năm bồi dưỡng và rèn luyện bản thân cũng như học sinh, tôi đã cải tiến phương pháp và đưa ra một số biện pháp thực hiện của phần đa thức như sau:

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

1 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

1.1 Một số kiến thức cơ bản:

a Phương pháp dùng hệ quả Định lý Bê-du:

Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x – a) hay f(a) =0

b Phương pháp đồng nhất hệ số:

Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x+ b0

Nếu f(x) = g(x) thì: a3 = b3 ; a2 = b2; a1 = b1 ; a0 = b0

c Phương pháp dùng đa thức phụ để giải bài toán tìm đa thức hoặc tính giá trị của

đa thức.

Tìm qui luật của bài toán đã cho rồi suy ra đa thức dư

d Phương pháp giải hệ phương trình.

Từ bài toán đã cho thiết lập hệ pt ( gồm 2,3 hoặc 4….phương trình ) rồi tìm hệ số của

đa thức

e Phương pháp chia đa thức cho đa thức

Dùng phép chia đa thức cho đa thức

f Dùng sơ đồ hoocner để tìm đa thức thương và đa thức dư

Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa

thức x−α, khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức f(x)=a 0 x n +a 1 x n−1 +a 2 x n−2 + +a n−1 x 1 +a n Khi đó đa thức

thương g(x)=b 0 x n−1 +b 1 x n−2 + b n−1 và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Trang 3

1.2 Quy trình giải bài toán đa thức:

Bước 1: Xác định dạng toán đa thức

Để giải được bài toán đa thức điều quan trọng nhất là học sinh cần xác định được dạng

toán để sử dụng phương pháp phù hợp nhằm giải bài toán nhanh và chính xác Sau đây

tôi xin đưa ra một số dấu hiệu nhận dạng bài toán

Học sinh dùng phương pháp giải hệ phương trình đối với những bài toán:

- Cho giá trị đa thức tại x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức khi đã biết bậc đa thức

- Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)

- Xác định các hệ số của đa thức

Nhược điểm: Chỉ sử dụng phương pháp này khi giải hệ gồm từ 3 đến 4 phương trình

Khi hệ phương trình có từ 5 hoặc 6 phương trình trở lên thì việc giải sẽ gặp khó khăn,

phức tạp  ta nên dùng Phương pháp đa thức phụ

Học sinh dùng phương pháp dùng đa thức phụ để giải bài toán đối với những dạng toán:

- Cho giá trị đa thức tại x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức khi đã biết bậc đa thức

- Xác định các hệ số của đa thức

- Tính giá trị của đa thức thỏa hệ thức

Nhược điểm: Học sinh khó khăn khi tư duy để tìm quy luật giải bài toán Do đó học

sinh cần rèn luyện nhiều

Học sinh dùng phương pháp đồng nhất hệ số khi gặp các dạng toán: Xác định đa

thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)

Nhược điểm: Việc biến đổi dùng hằng đẳng thức để khai triển dài, mất thời gian.

Học sinh dùng sơ đồ hoocner đối với những bài toán:

- Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia

- Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức này chia hết cho đa thức kia

Tuy nhiên phương pháp này có nhược điểm: Chỉ sử dụng cho đa thức chia có bậc là 1.

Còn đối với những đa thức có bậc cao hơn thì không áp dụng được

Học sinh dùng phương pháp chia đa thức cho đa thức đối với những bài toán:

- Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia

- Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức này chia hết cho đa thức kia

Ưu điểm: Sử dụng cho tất cả các đa thức với các bậc khác nhau.

Nhược điểm: Phép chia dài, mất thời gian.

Học sinh dùng phương pháp sử dụng hệ quả Định lý Bê-du khi gặp những dạng toán:Tính giá trị đa thức

Tuy nhiên phương pháp này khi sử dụng thường kết hợp với phương pháp giải hệ

phương trình

Bước 2: Xác định bậc của đa thức hoặc phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa

thức…

Dựa vào dữ kiện bài toán học sinh phân tích đề bài , điều kiện đã cho

Việc xác định bậc đa thức giúp ta biết được đa thức đó gồm bao nhiêu hệ số Ví dụ đa thức bậc 4 thì gồm 5 hệ số đặt tên lần lượt là: a, b, c, d,e Hay đa thức bậc 5 thì gồm 6

Trang 4

hệ số với tên lần lượt là: a, b, c, d, e, f Sau đó chúng ta có thể dựa vào đó để thiết lập phương trình, hệ phương trình hay biểu thức

Đối với những bài toán đã cho bậc đa thức thì ta cần phân tích tìm đa thức phụ hoặc tìm

đa thức thương, đa thức dư, nghiệm của đa thức

Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị…

Đây là bước cuối cùng cũng là bước giúp học sinh tìm ra kết quả của bài toán Với mỗi dạng toán khác nhau học sinh cần sử dụng những phương pháp giải phù hợp

Như vậy, ta có thể khái quát quy trình thông qua sơ đồ sau:

2 Vận dụng quy trình để giải bài toán đa thức

 Dạng 1:Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,4 )

Bài toán 1: Xác định đa thức bậc 3 biết

f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22

Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:

Đối với bài toán này cho từ 4 giá trị của đa thức trở xuống, ta đi tìm đa thức ta sử dụng

phương pháp giải hệ phương trình.

Bước 2: Xác định bậc của đa thức, phân tích dạng tổng quát của đa thức bậc 3

Bước 3: Tìm hệ số đa thức bằng cách giải hệ phương trình

Giải

Gọi đa thức cần tìm là:

f(x) = ax3 + bx2 + cx +d

Theo bài ra ta có:

f(0) = 1  d = 1

f(1) = 0  a + b + c = -1 (1)

f(2) = 5  4a + 2b + c = 2 (2)

f(3) = 22  9a + 3b + c = 7 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:



















7 3

9

2 2

4

1

c b a

Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 - 2x + 1

Lưu ý: nếu bài toán đặt ra giải hệ nhiều phương trình quá thì việc giải hệ pt trở nên khó

khăn, cho nên dùng Phương pháp đa thức phụ để tìm qui luật của bài toán đã cho rồi suy

ra đa thức

Bước 2: Xác định bậc của đa thức hoặc phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa thức…

Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị

Trang 5

Bài toán 2: Đa thức P(x) = x6 +ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f có giá trị là 3;0;3;12;27;48 khi

x nhận lần lượt các giá trị tương ứng là 1;2;3;4;5;6

Xác định hệ số a,b,c,d,e,f của P(x)

(Trích: Đề thi HSG Giải toán trên MTCT THCS của Bộ GD năm 2008-2009)

Đối với bài toán này cho nhiều giá trị của đa thức ( từ 5 giá trị ) ta sử dụng phương

pháp sử dụng đa thức phụ

Bước 2: Phân tích tìm qui luật của bài toán để đưa ra đa thức phụ

Bước 3: Nhân đa thức với đa thức suy ra hệ số của đa thức

Giải:

Ta có nhận xét P(x) = (x–1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6)+r(x) là đa thức bậc 6, hệ số

cao nhất là 1

Phân tích bài toán tìm qui luật để suy ra đa thức phụ

Khi lần lượt chia các giá trị 3;0;3;12;27;48 cho 3 ta có 1;0;1;4;9;36 là các số chính phương và là giá trị của (x – 2 )2 khi x lần lượt lấy giá trị 1;2;3;4;5;6

Vậy P(x) = (x –1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6) + 3.(x–2) 2

Suy ra: P(x)= x 6 - 21x 5 +175x 4 -735x 3 +1627x 2 -1776x +732

Lưu ý: Việc tìm qui luật để suy ra đa thức phụ không phải đơn giản chính vì vậy cần

đưa ra nhiều bài toán tìm qui luật cho học sinh

Vd: Viết công thức số hạng tổng quát của nó:

a)











25

6 , 16

5

,

9

4

,

4

3

kết quả: 2

1

n

n 

với n N và n  2 b)











14

8 , 11

6

,

8

4

,

5

2

kết quả: 32 2



n

với n N và n  1 c)











42

1 , 30

1 , 20

1 ,

12

1

,

6

1

,

2

1

kết quả: n(n11) với n N và n  1 d) 2 , 12 , 36 , 80 , 150  kết quả: n(n11) với n N và n  1

Bài toán 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 +bx3 +cx2 + dx +e và cho biết

P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51

Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11)

(Trích Đề thi khu vực của Bộ GD – ĐT lớp 9 năm 2003)

Đối với bài toán này cho nhiều giá trị của đa thức ta sử dụng phương pháp sử dụng đa

thức phụ

Bước 2: Phân tích tìm qui luật của bài toán để đưa ra đa thức phụ

Bước 3: Tính giá trị của đa thức tại x

Trang 6

Phân tích bài toán tìm qui luật để suy ra đa thức phụ

P(1) = 3= 2.12 +1, P(2) = 9=2.22 +1, P(3) = 19=2.32 +1,

P(4) = 33=2.42 +1, P(5) = 51=2.52 +1 nên đa thức dư là: 2x2 +1

Vậy P(x) = (x – 1).(x – 2 ).(x – 3 )(x – 4 ) + 2x2 +1

Từ đó tính được: Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11)

 Dạng 2: Xác định đa thức dư, tìm số dư trong phép chia đa thức

Bài toán 4:

Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1

Đối với bài toán chỉ Tìm đa thức dư của phép chia cho đa thức có nghiệm nguyên

ta sử dụng Dùng Phương pháp hệ quả Định lý Bedu kết hợp giải hệ pt

Bước 2: Phân tích đa thức chia và dạng tổng quát đa thức dư

Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm hệ số của đa thức dư

Giải:

Ta thấy đa thức chia x2 –1 có bậc là 2 nên đa thức dư phải có bậc là 1 nên có dạng

ax + b

Gọi thương của phép chia là Q(x)

Suy ra: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b

Áp dụng hệ quả định lí Bedu













 2 ) 1 (

4 ) 1 (

P





















2

4

b a











1

3

b a

Vậy dư của phép chia là: 3x + 1

Bài toán 5: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)

Đối với bài toán chỉ tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho đa thức bậc nhất ta

sử dụng Dùng Phương pháp sử dụng sơ đồ hoocner

Bước 2: Phân tích nghiệm của đa thức chia

Bước 3: Sử dụng sơ đồ hoocner, tìm hệ số của đa thức thương

Giải:- Thực hiện sơ đồ hoocner P(x) chia cho 1

2

x



 , ta được:

1 2 -3 1

2

1

2

5

4

7



8 1

Trang 7

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 1

2

x



  Từ đó ta phân tích:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2 1

2

x



= (2x - 1) 1 2 5 7 1

Vậy: thương là 21 2 45 87



 x

x và dư là 81

 Dạng 3: Xác định các hệ số trong phép chia đa thức

Bài toán 6: Tìm a,b sao cho f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + 4 chia hết cho x2 – x + b

Đối với bài toán chỉ tìm hệ số của đa thức chia và đa thức bị chia ta sử dụng Dùng

Phương pháp chia đa thức cho đa thức kết hợp giải hệ pt

Bước 2: thực hiện chia đa thức cho đa thức

Bước 3: giải hệ pt, tìm hệ số của đa thức bị chia và đa thức chia

Giải:

x 4 + x 3 + 3x 2 + ax + 4 x2 – x + b

x 4 – x 3 + bx 2 x 2 +2x + 5 – b

2x 3 + (3 – b)x 2 + ax + 4

2x 3 - 2x 2 +2bx

(5 – b)x 2 + (a – 2b)x +4

(5 – b)x 2 + (b – 5)x +5b – b 2

( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4

Thực hiện phép chia ta được thương là: x2 +2x + 5 – b và dư là

( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4

Để f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + 4 chia hết cho x2 – x + b thì

( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4 = 0





















0 4

5

0 5

3

b

a





















4

15 3

b

b b a





























4 7 1 2

b a b

a

Vậy: (a;b) = (-2;1) hoặc (7;4)

 Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)

Bài toán 7: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau :

3.f(x) – f(1 – x) = x2 + 1 (1)

Trang 8

Đối với bài toán tìm đa thức bậc n thỏa mãn hệ thức ta sử dụng Dùng Phương pháp

đồng nhất hệ số kết hợp giải hệ pt

Bước 2: thực hiện việc khai triển hằng đẳng thức, trừ đa thức

Bước 3: giải hệ pt, đồng nhất hệ số tìm hệ số của đa thức

Giải:

Đa thức f(x) có dạng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

3.f(x) = 3ax3 + 3bx2 + 3cx + 3d

f(1 – x) = a(1 – x)3 + b(1 – x)2 + c(1 – x) + d

= -ax3 +(3a + b)x2 + (-3a -2b - c)x + a + b + c + d 3.f(x) – f(1 – x) = x2 + 1

 4ax3 +(-3a + 2b)x2 + (3a +2b +4c)x - a - b - c + 2d= x2 + 1

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:































1 2

0 4 2

3

1 2 3

0 4

d c

b

a

c b

a

b a

a



















8 5 4 1 2 1 0

d c b a

Vậy : f(x) =12x2  41x85

Bài toán 8: Tìm đa thức f(x) có bậc 4 sao cho:

f(-1) = 0 và f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2)

Đối với bài toán này ta sử dụng Dùng Phương pháp đồng nhất hệ số kết hợp giải hệ

pt

Bước 2: thực hiện việc khai triển hằng đẳng thức, trừ đa thức

Bước 3: giải hệ pt, đồng nhất hệ số tìm hệ số của đa thức

Giải:

Đa thức f(x) có bậc 4 có dạng:

f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 +dx +e

Ta có : f(-1) = 0 suy ra a – b + c – d + e = 0 (1)

f(x - 1) = a(x –1)4 + b(x –1)3 + c(x –1)2 +d(x –1) +e

= ax4 + (-4a + b)x3 +(6a – 3b + c)x2 + (-4a +3b – 2c +d)x +(a+b+c–d+e)

f(x) – f(x – 1) =4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d)

x(x + 1)(2x + 2) =2x3 + 4x2 + 2x

theo đề bài: f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2)

Suy ra: 4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d)= 2x3 + 4x2 + 2x

Dùng Phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

Trang 9































0

2 2

3

4

4 3

6

2

4

d

c

b

a

c

b

a

b

a















3

192

73

72 1

d c b

a

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: e143

Vậy đa thức f(x) = 21 x 4 + 73x 3 + 27 x 2 +193 x +143

Bài tập: Tìm đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau:

x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)

 Dạng 5: Tính giá trị của đa thức thỏa hệ thức

Bài toán 9: Cho đa thức bậc bốn f(x) với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn

f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30

Tính: 15

10

) 8 ( ) 12 (





 f f

Đối với bài toán cho những giá trị của đa thức, tính giá trị biểu thức ta sử dụng Dùng

phương pháp dùng đa thức phụ kết hợp định lí bedu

Bước 2: thực hiện tìm qui luật để tìm đa thức phụ

Bước 3: Tính giá trị đa thức

Giải:

Từ bài toán đã cho f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30

Suy ra đa thức phụ là: 10x với x = 1, 2, 3

Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x  g(1) = g(2) = g(3) = 0

do bậc f(x) là bậc 4 nên của g(x) là từ g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra:

g(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) +10x

10

) 8 ( ) 12 (











 f f

Bài toán 10: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:

f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27

Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)

Đối với bài toán này ta sử dụng Dùng phương pháp dùng đa thức phụ, giải hệ pt kết

hợp định lí bedu

Bước 2: thực hiện giải pt, tìm đa thức phụ

Bước 3: Tính giá trị đa thức

Giải:

Tìm đa thức phụ:

Trang 10

Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0

 a, b, c là nghiệm của hệ phương trình



















c b a

5 25 27 0

3 9 11 0

3 0

Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2

* Tính giá trị f(x):

Bậc f(x) là bậc 4 nên bậc g(x)là bậc 4 và g(x) chia hết

cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)

( ) ( 1 )( 3 )( 5 )( ) 2 2





Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112

IV HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI

Với việc hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh giỏi ở chuyên đề đa thức trên tôi thấy:

- Bước đầu học sinh đã biết cách áp dụng các bài tập dạng này vào kì thi và đã giải được các bài tập nằm trong các đề thi học sinh giỏi ở các năm qua

- Các em không còn lúng túng trong việc xác định các đa thức mà yêu cầu bài toán đặt ra mà còn sáng tạo làm các bài tập về dạng này

- Ngoài dạng này, các em còn biết thêm dạng bài tập tìm số dư của phép chia số A cho B trong các phần chuyên đề tiếp theo

- Giáo viên hướng dẫn phần đa thức này còn khai thác thêm một số dạng toán mới phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

- Khi thực hiện xong phần đề tài này tôi đã cho học sinh thử sức vào kỳ thi của Huyện, Tỉnh tổ chức

Cụ thể : Tôi đã thực hiện đề tài này trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tại

trường từ năm học 2013 - 2014 Sau khi hướng dẫn học sinh tôi đã đưa ra các dạng bài tập đa thức và 100% học sinh đã làm được, cho kết quả đúng

Ngoài ra, tôi còn thống kê tỉ lệ làm được bài toán đa thức trong 3 năm bồi dưỡng học sinh giỏi môn: Giải Toán trên máy tính cầm tay gần đây như sau:

Năm học Tổng số hstham dự Tỉ lệ Số học sinh giải được bài toán đa thức

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	428,5 KB