Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a, b, c,d) cho trường hợp a + d ≤ 2

Và, phép biến đổi chính tắc tuyến tính LCT cũng là một trong những bức điêu khắc như thế của toán học giải tích.Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi chính tắc tuyến tính L

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————–

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC

TUYẾN TÍNH O O OF (a,b,c,d)F (a,b,c,d)F (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a |a + d| 6 2 + d| 6 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————–

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC

TUYẾN TÍNH O O OF (a,b,c,d)F (a,b,c,d)F (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a |a + d| 6 2 + d| 6 2

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2016

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học không chỉ sở hữu chân lý mà còn ẩn chứa bên trong đó vẻ đẹp tốithượng, một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc, giống như một bức điêu khắc, thuầnkhiết tinh diệu và có khả năng đạt đến sự hoàn hảo chặt chẽ mà chỉ có thứ nghệthuật vĩ đại nhất mới có thể thể hiện Và, phép biến đổi chính tắc tuyến tính

LCT cũng là một trong những bức điêu khắc như thế của toán học giải tích.Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi chính tắc tuyến tính

LCT là biến đổi tích phân với các tham số {a, b, c, d} Phép biến đổi chính tắctuyến tính LCT tổng quát hơn phép biến đổi Fourier (F T) và Fourier phân(F RF T) Biến đổi LCT không chỉ là đối tượng nghiên cứu của nhiều lĩnh vựctoán học lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học tự nhiênnhư vật lý, cơ học, quang học

Mục đích của luận văn là tìm hiểu khái niệm LCT, các trường hợp riêng của

LCT, xây dựng các hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| ≤ 2 và từ đó,giải thích bài toán tạo ảnh trong quang học

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày định nghĩa về phép biến đổi chính tắcLCT, các trườnghợp biến đổi đặc biệt của phép biến đổi này, hàm riêng của biến đổi Fourier phânthứ và một số kết quả đã xây dựng được về các hàm riêng của LCT

Chương 2: Phần đầu trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp

|a + d| < 2 Phần hai, trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| = 2.Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b = 0;

a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = 2 và b 6= 0; a + d = −2 và

b 6= 0

Chương 3: Trình bày quan hệ của LCT với hệ quang học và giải thích bàitoán tạo ảnh

Các kết quả chính của luận văn dựa trên bài báo "Eigenfuntions of linearcanonical transform" của tác giả Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều,kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót

Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô vàbạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Phương Thảo

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình củaPGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia HàNội Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của em trongsuốt quá trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.Qua đây, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ -Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạybảo em tận tình trong suốt quá trình học tập Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡnhiệt tình của các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ

em hoàn thành các thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar ToánGiải Tích đã có những góp ý hữu ích để em hoàn thành luận văn tốt nhất.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Phương Thảo

Mục lục

1.1 Định nghĩa LCT 7

1.2 Một số trường hợp đặc biệt của LCT 8

1.2.1 Biến đổi Fourier (F T) 8

1.2.2 Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T) 8

1.2.3 Biến đổi Fresnel 9

1.2.4 Phép toán co giãn 10

1.3 Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ 10

1.4 Tổng hợp hàm riêng của LCT 11

2 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| |a + d| |a + d|6662 2 2 14 2.1 Tính chất 14

2.2 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| < 2 16

2.3 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2 20

2.3.1 Trường hợpa + d = 2 và b = 0 20

2.3.2 Trường hợpa + d = −2 và b = 0 21

2.3.3 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} 22

2.3.4 Trường hợpa + d = 2 và b 6= 0 27

2.3.5 Trường hợpa + d = −2 và b 6= 0 30

3 Ứng dụng của LCT trong bài toán tạo ảnh 33 3.1 Quan hệ giữa biến đổi LCT và hệ quang học 33

3.2 Giải thích bài toán tạo ảnh 35Kết luận 39

có nhiều ứng dụng như phân tích hệ rada, phân tích hệ môi trường Grin, thiết

kế máy lọc,

Với mỗi giá trị của tham số {a, b, c, d} ta đều có một trường hợp đặc biệt của

LCT tương ứng Ví dụ, khi {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} thì LCT trở thành biến đổiFresnel là hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot); hay với

{a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} thì LCT là phép co giãn, có hàm riêng là hàm Frac.Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về các hàm riêng của LCT ứng với mỗigiá trị của tham số {a, b, c, d}

Ta dùng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc O(a,b,c,d)F

1.2 Một số trường hợp đặc biệt của LCT

1.2.1 Biến đổi Fourier (F T )

Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, biến đổi LCT trở thành F T

√ i.O(0,1,−1,0)F (f (t)) = FT(f (t)) =

r

1 2π

Z ∞

−∞

e−i.u.t.g(t)dt

√ i.O(0,1,−1,0)F (f (t)) = FT(f (t))

=

r

1 2π

Z ∞

−∞

e−i.u.t.f (u)dt

1.2.2 Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T )

Khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} thì LCT trở thành F RF T đượcđịnh nghĩa như sau

OF(cos α,sin α,− sin α,cos α)(f (t)) =

r

1 2π sin αe

(i/2)(cos α/ sin α).u2

Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi

OαF(f (t)) =

√

e iα O(cos α,sin α,− sin α,cos α)F (f (t)). (1.6)

1.2.3 Biến đổi Fresnel

Biến đổi Fresnel là phép toán biểu diễn việc truyền ánh sáng đơn sắc quamôi trường trong suốt Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau

ei(π/λz)((u−x)2+(v−y)2)f (x, y)dxdy (1.7)

f (x, y) là hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc, λ là bước sóng và z làkhoảng cách (1.7) có thể viết lại như sự tổ hợp của hai biến đổi Fresnel

OFresnelz (f (x, y)) = OFresnel(y)z

Vì vậy, biến đổi FT, biến đổi FRFT, biến đổi Fresnel và phép toán co giãn

là trường hợp đặc biệt của LCT

Biến đổi Fourier phân thứ F RF T có hàm riêng

lẻ là hàm riêng của F RF T và khi α = ±π/2 (trong trường hợp này FRFT trởthành FT nghịch đảo) các hàm sau là hàm riêng của F RF T

x

√ 2π

−1/2

; 4)

x

√ 2π

Ta cũng chỉ ra rằngF RF T làLCT với tham số{cos α, sin α, − sin α, cos α}đượcnhân lên hệ số (eiα)1/2 [10] LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} cũng cóhàm riêng như (1.12) nhưng giá trị riêng là (e−iα)1/2 exp(−imα):

OF(cos α,sin α,− sin α,cos α)(φm(t)) = (e−iα)1/2e−i.m.α.φm(t).



trong đó Hm(t) là hàm Hermite, và giá trị riêng tương ứng là

Tham số ban đầu có thể biểu diễn bởi {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α}

a = cos α + τ sin α, b = σ2sin α

c = −(τ2+ 1).sin α

σ 2 , d = cos α − τ sin α.

Vì vậy, hàm riêng củaLCT tương tự như hàm riêng củaF RF T nhưng khác phép

co giãn và phép nhân Ba tham số{σ, τ, α} tương ứng với ba biến tự do củaLCT

(LCT có bốn tham số {a, b, c, d} và một ràng buộc ad − bc = 1, bậc tự do bằng3) Tham số σ, τ xác định hàm riêng và tham số α xác định giá trị riêng Tuynhiên, hàm riêng của LCT trong công thức (1.14) và (1.15) là chưa đầy đủ trongtrường hợp |a + d| < 2 Trong chương tiếp theo, ta sẽ đi xây dựng hàm riêng chophép biến đổi LCT trong trường hợp này

Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.

OF(a,b,c,d)(f (t)) = O(a1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 )



O(a2 ,b 2 ,c 2 ,d 2 ) F

Qua hai tính chất trên ta thấy, thay vì xây dựng hàm riêng của LCT chovới bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ, ta chỉ cần xây dựng hàm riêng với bộ tham số

{a2, b2, c2, d2} Trong đó, các tham số {a2, b2, c2, d2} được chọn sao cho hàm riêngcủa LCT tương ứng dễ xây dựng Do vậy, để tìm hàm riêng của LCT trong cáctrường hợp được xét trong luận văn, ta sẽ dựa trên hai tính chất quan trọngnày

2.2 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a + d| < 2 + d| < 2

Do −2 ≤ 2 cos α ≤ 2, từ tính chất (2.1), ta có thể chỉ ra rằng khi |a + d| < 2,các tham số {a, b, c, d} có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

Khi |a + d| < 2, LCT có thể được phân tích

với φm(t) là hàm riêng của FRFT định nghĩa như sau

t σ



(2.7)

trong đóHm(t)là hàm Hermite có giá trị riêng tương ứng giống giá trị riêng của

LCT với tham số {cosα, sinα, −sinα, cosα}

a + d

Z ∞

−∞

φ(σ,τ )m (t).φ(σ,τ )n (t)dt = δm,n

Đến đây, câu hỏi đặt ra, trong trường hợp|a + d| < 2, ngoài hàm riêng φ(σ,τ )m như

đã trình bày ở trên, liệu còn hàm riêng nào khác và các hàm riêng này có quan

hệ với nhau như thế nào Sau đây, ta sẽ thảo luận vấn đề này:

Từ tính chất (2.1), (2.2) ta có a + d = a2+ d2 và hàm riêng của LCT với tham số

{a2, b2, c2, d2}như ta đã chỉ ra là{cos α, sin α, − sin α, cos α}vớiα = cos−1 a + d

2

!

Vì vậy, để tìm hàm riêng khác của LCT cho trường hợp |a + d| < 2, ta phải tìmcác giá trị của{a1, b1, c1, d1} khác (2.5) nhưng thỏa mãn (2.3) Bởi vì giá trị kháccủa {a1, b1, c1, d1}với a1d1− b1c1 = 1 có thể phân tích thành ma trận 2 × 2, với

{σ, τ } xác định như (2.10), như sau

Thực tế, nếu bỏ qua sự khác nhau của hằng số pha, thì (2.13) và (2.7) là nhưnhau Do vậy, không có hàm riêng mới nào được tìm thấy Trong hầu hết cáctrường hợp, (2.7) là hàm riêng duy nhất của LCT trong trường hợp |a + d| < 2,nhưng trong trường hợp 2πα là số thực

2.3 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a + d| = 2 + d| = 2

Đối với trường hợp |a + d| = 2, ta xét các trường hợp sau

LCT trở thành biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với phép toán nghịchđảo.Ta biết hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel trừ hàmtuần hoàn Ta sử dụng biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với phéptoán nghịch đảo để xét hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2

Nếu sn thỏa mãn điều kiện

· · · = e(i/2)c.s2−1 = e(i/2)c.s2 = e(i/2)c.s2 = e(i/2)c.s2 = · · · ,

Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo Hàm riêng trong trườnghợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng



2.3.3 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}

Ta biết rằng với tham số {a, b, c, d} là biến đổi 1-D Fresnel [xem công thức(1.7) và (1.8)] Biến đổi Fresnel mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trongsuốt Từ lý thuyết của hiệu ứng Talbot [16], [17], nếu giả thiết ánh sáng đầu vào

là hàm tuần hoàn f (x, 0) Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua môi trườngtrong suốt cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z tương tự cường độ ánh sánglúc ban đầu

Như vậy, kết hợp công thức (1.7) và (1.8) ta có thể kết luận e(t) tuần hoàn vớichu kỳ của q Khi đó, hàm riêng của LCT với tham số {1,N qπ2, 0, 1}, N là sốnguyên, có dạng