Phương pháp không lưới phần tử tự do galerkin cho bài toán đàn hồi tuyến tính và so sánh nghiệm với phương pháp phần tử hữu hạn

Tạp chí Đại học Công nghiệp PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN CHO BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH VÀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Tôn Thất Hoàng Lân * TÓM TẮ

Tạp chí Đại học Công nghiệp

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN CHO BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH VÀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI PHƯƠNG

PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Tôn Thất Hoàng Lân *

TÓM TẮT

Trong bài báo này, tôi đề cập phương pháp không lưới dựa trên phần tử tự do Galerkin (EFG) cho mô hình đàn hồi tuyến tính trong không gian hai chiều Ví dụ số được trình bày nhằm minh họa hiệu quả của cách tiếp cận này

Từ khóa: Phương pháp không lưới, phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG), đàn hồi tuyến tính

A MESHLESS ELEMENT FREE GALERKIN METHOD FOR LINEAR ELASTICITY AND NUMERICAL COMPARISON WITH THE FINITE ELEMENT METHOD

SUMMARY

In this paper we discussed one meshless method on the element free Galerkin (EFG) for linear elasticity model in two dimensions Numerical results is presented to illustrate the effectiveness of this approach

Keywords: Meshless method, Element free Galerkin method, linear elasticity

1 Giới thiệu

Hầu hết các bài toán cơ kỹ thuật được

giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp phần

tử hữu hạn hoặc phương pháp phần tử biên

Những phương pháp tính toán trên đều dựa vào

việc chia lưới rời rạc hóa kết cấu và ta sẽ gặp

khó khăn khi chia lưới cho các mô hình hình

học phức tạp Trong những năm gần đây đã có

một sự phát triển nhanh chóng của phương pháp

không lưới như phương pháp SPH (SPHM),

phương pháp RKP (RKPM), phương pháp EFG

(EFGM), phương pháp PUFE (PUFEM) Mục

đích của bài báo này là đề xuất một số thủ tục

cơ bản dựa trên phương pháp phần tử tự do

Galerkin (EFG) để giải quyết các bài toán đàn

hồi tuyến tính Ví dụ số được đưa ra nhằm xác

nhận hiệu quả của phương pháp tiếp cận này so với các phương pháp quen thuộc

2 Hàm xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS)

Hàm MLS đã được phát triển bởi Lancaster và Salkauskas để xấp xỉ đường cong

và bề mặt Xem xét miền Ω có chứa một tập hợp các nút phân tán xi (1 ≤ i ≤ n), tương ứng giả

định các giá trị ui Xấp xỉ MLS của hàm liên tục

u trên Ω gọi là uh(x) được cho bởi:

trong đó p(x) là một tổ hợp m hàm độc lập

tuyến tính,

*

ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc TPHCM

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

m p

(x) 2 p (x) 1 p (x) T p

(1)

(2)

( )

m

i 1

=

Phương pháp không lưới phần tử tự do…

và α(x) là một tổ hợp các thông số chưa xác

định,

Các thông số α(x) được tìm thấy tại điểm x bất

kỳ bằng cách cực tiểu:

là hàm trọng số có giá trị khác 0 trên

miền ảnh hưởng của nút xi Chỉ có các nút xi mà

miền ảnh hưởng chứa điểm x sẽ xuất hiện trong

công thức trên Kích thước miền ảnh hưởng của

mỗi nút và cách lựa chọn hàm trọng số là yếu tố

quyết định sự gần đúng của MLS Cực tiểu J (x)

để biết các thông số α(x):

Ta thay kết quả và suy ra:

Với:

3 Công thức thể hiện phương pháp xấp xỉ không lưới EFG

Áp dụng công thức dạng yếu Galerkin kết hợp phương pháp nhân tử Lagrange, cụ thể

là chuỗi phương trình từ (1) đến (12), ta được kết quả như sau:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧ λ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

q

f u 0 G

G K

T

Trong đó

( )⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Φ

Φ

−

=

k j

k j

0 x

) x ( u

Ω

Ω

d CB B

i

d t d f

i

t

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

Φ

∂

∂

Φ

Φ

∂

∂

Φ

∂

=

x y

y 0

0 x B

i i i i

lực khối và C là tensor đặc trưng vật liệu

4 Thí dụ số

Xem xét một dầm console có chiều dài L

= 4 (m), chiều cao h = 100 (cm), môđun đàn hồi

E = 2.5e6 (T/m2), hệ số Poisson ν = 0.3 chịu tải tập trung tại đầu tự do P = 10 (T) Kết quả như sau:

[α0(x) α1(x) α2(x) αm(x)]

(x)

T

i u ) i (x h u )

i x (x

n(x)

1

= ξ

=

i u -(x) )

i (x T p )

i x (x

n(x)

1

= ξ

=

)

i

x

(x

i −

ξ

(x).B(x).u 1

A

α(x)= −

(x x ).p(x ) (x x ).p(x )

B

(x x ).p(x )n n n

ξ

−

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

[u1 u2 un]

T

Φ(x).u i

(x).u

n

1

(x)

h

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= φ1(x) φ2(x) φn(x)

Φ(x)

) i ).p(x i (x T ).p i x -(x

n(x)

1

= ξ

(9)

(10)

(12)

φ (x)i p (x)(Aj (x)B(x))ji

j 1

p A Bi

−

= ∑

=

−

=

(11)

(13)

(14)

Tạp chí Đại học Công nghiệp

Miền và nút

u x =0

và

u y =0 tại ngàm

Hình 1 Sơ đồ thể hiện miền bài toán và nút ảnh hưởng

Biến dạng của dầm

Hình 2 Kết quả thể hiện biến dạng sau khi chịu lực

* nghiệm Meshless

o nghiệm Fem

Chuyển

vị uy

nút i

Hình 3 So sánh kết quả

Phương pháp không lưới phần tử tự do…

5 Kết luận

Phương pháp không lưới là một phương

pháp tích cực khi phân tích các bài toán cơ kỹ

thuật Kết quả số cho ta thấy sự hội tụ của

phương pháp này trên cơ sở vận dụng ngôn ngữ MATLAB để lập trình tính toán Tốc độ giải sẽ nhanh hơn phương pháp phần tử hữu hạn khi miền bài toán phức tạp do không phải chia lưới

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] K Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, second edition,

1975

[2] P Lancaster and K Salkauskas, Surfaces genarated by the moving least squares methods,

Math.Comput , 37:141–158, 1981

[3] T Belytschko, Y Lu, and L Gu, Element-Free Galerkin Methods, Int J Numer Meth

Engng , 37:229–256, 1994

[4] Lu YY, Belytschko T, Gu L, A new implementation of the element free Galerkin method, Comput Meth Appl Mech Engng 1994;113:397–414

[5] T Belytschko, Y Krongauz, D Organ, M Fleming, and P Krysl, Meshless methods: An

overview and recent developments Comput Methods Appl Mech Engrg , 139:3–47, 1996

[6] Atluri SN, Cho JY, Kim H-G, Analysis of thin beams, using the meshless local Petrov– Galerkin method, with generalized moving least squares interpolations, Comput Mech 1999; 24:334–47

[7] GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2003