Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT

Dạy cách giải bài tập toán cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú cho học tập cho HS, chính vì thế GV yêu cầu HS cần có kỹ năng vận dụng kiến

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ nhu cầu thực tế phát triển kinh tế xã hội hiện nay, Việt Nam đang trong giai đoạn thực hiện chiến lược phát triển kinh tế xã hội 2011 –

2020 Tại đại hội XI của Đảng về lĩnh vực Giáo dục và đào tạo Đảng ta xác

định: "Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo phải thực hiện đồng

bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội"

Theo luật giáo dục 2005, chương 2, mục 2, điều 27 khẳng định "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc"

Luật giáo dục 2005, chương 2, mục 2, điều 28 tiếp tục khẳng định “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo gắn chặt với đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra trong

từng môn học Trong các môn học ở THPT, môn toán có vị trị quan trọng và

có ảnh hưởng đến nhiều các môn học khác Các kiến thức kỹ năng của môn toán có tác dụng rèn luyện kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn học tập, phát triển năng lực, phẩm chất trí tuệ, tư duy sáng tạo, trí tưởng tượng và tư duy lôgíc cho HS

Trong quá trình học toán, một trong những khó khăn của người học khi gặp một bài toán là không biết bắt đầu tìm hiểu từ đâu ? Tìm hướng giải như thế nào ? Tiến trình giải bài toán phải thực hiện ra sao ? Ngôn ngữ ký hiệu trong lời giải sắp xếp sử dụng như thế nào cho hiệu quả, đúng lôgíc ? Thời gian khắc phục những khó khăn trong học toán phải được thực hiện khi nào, trong bao lâu ?

Trong dạy học, ngoài việc dạy cho HS cách học, cách tiếp thu được kiến thức để phát triển tư duy, phẩm chất trí tuệ…thì rèn luyện kỹ năng cho HS cũng là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người GV vì nó có vai trò quyết định đến sự thành công hay thất bại trong việc thực hiện mục tiêu bài học của mỗi tiết học Mỗi chủ đề kiến thức luôn có một hệ thống kỹ năng tương ứng, bên cạnh các kỹ năng toán học cơ bản còn có các kỹ năng ứng dụng kiến thức cụ thể vào thực tiễn đa dạng với các bình diện khác nhau Nhiệm vụ của người

GV giảng dạy môn toán trong dạy học là tổ chức các tình huống, các hoạt động dạy học đa dạng để HS chiếm lĩnh kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy, hình thành thái độ của người học theo mục tiêu đào tạo

Trong rèn luyện kỹ năng toán học ở trường THPT, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, từ đó giúp cho HS nâng cao năng lực toán học Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông

Dạy cách giải bài tập toán cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú cho học tập cho HS, chính vì thế GV yêu cầu HS cần có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Vì vậy đối với cả GV và HS

có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học cần thiết phải rèn luyện kỹ năng cho HS vì nó vừa là nhiệm vụ dạy học, vừa là điều kiện để dạy và học giải toán đạt hiệu quả cao

Nội dung hình học véctơ là phần khó của chương trình toán lớp 10 THPT,

đa số HS rất sợ khi học về hình học véctơ Đối với nhiều bài toán hình học 10

mà việc giải toán hình học bằng phương pháp hình học mà các em đã học ở THCS ( như quan hệ song song, vuông góc; tam giác đồng dạng, bằng nhau; tính chất của tam giác, đường tròn; các định lí hình học quen thuộc; …) gặp rất nhiều khó khăn cho HS, chẳng hạn: chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chứng minh ba điểm thẳng hàng, Việc xây dựng hệ thống bài tập hình học 10 sử dụng PPVT ở nhiều trường hợp là chuyển một bài toán hình học mà các em đã học ở THCS sang bài toán hình học véctơ thường dẫn đến có được phương pháp tối ưu hơn, giải bài toán dễ dàng hơn Do đó, học sinh có thể lựa chọn PPVT để giải quyết các bài tập hình học 10 THPT vì những ưu điểm của

nó so với phương pháp hình học mà các em đã học ở THCS

Tuy nhiên, việc vận dụng PPVT trong giải bài tập hình học 10 THPT của

HS lớp 10 THPT còn nhiều hạn chế, tức là sử dụng không thành thạo phương pháp trên đã làm HS gặp nhiều khó khăn, lúng túng trong giải toán và làm ảnh hưởng quả kiểm tra trong học tập

Để giúp các em HS lớp 10 THPT giải quyết một phần khó khăn trên và có thêm kỹ năng về phương pháp giải toán hình học 10 THPT bằng PPTV

Trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi chọn đề tài là: “ Rèn luyện kỹ năng

giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT”

2 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học giải toán, nếu biết khai thác được hệ thống bài tập

hình học 10 THPT sử dụng PPVT thì HS sẽ có thêm kỹ năng trong giải toán hình học Đồng thời có các biện pháp rèn luyện kỹ năng phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh

3 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT cho HS

- Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu lý luận dạy học, sách báo, tài liệu liên quan đến nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT

- Phương pháp điều tra, khảo sát: Điều tra thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh, khảo sát quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh lớp 10 THPT

Chương 2 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp

véctơ trong chương trình hình học 10 THPT

Chương 3.Thử nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm chung về kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1 Kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người vận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra các mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ Với quá trình đó con người dần hình thành cho mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra

Theo G Pôlya: “ Trong Toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.[31]

Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả năng “ biết”; còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm” Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở mỗi người để đạt được mục đích

Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp

Như vậy, có những quan niệm khác nhau về kỹ năng như:

- Kỹ năng là phương thức thực hiện hành động

- Kỹ năng là một kĩ thuật của hành động

- Kỹ năng là năng lực thực hiện công việc

- Kỹ năng là sự vận dụng tri thức, kĩ xảo để hành động

- Kỹ năng là khả năng giải quyết công việc

Tuy nhiên các quan niệm trên không phủ định nhau, sự khác biệt giữa chúng chủ yếu ở chỗ: Mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của kỹ năng Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác

hành động để đạt tới mục đích đã định Cơ sở của kỹ năng là kiến thức Người

có kỹ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động

Có nhiều định nghĩa về kỹ năng, nhưng tựu chung lại: Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức để thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó, kỹ năng là một nghệ thuật, kỹ năng thuộc phạm vi hành động

Có thể chia kỹ năng theo các cấp độ khác nhau:

- Kỹ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin ( Kỹ năng biết )

- Kỹ năng giao tiếp sử dụng các thông tin đã có ( Kỹ năng thông hiểu)

- Kỹ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới ( Kỹ năng vận dụng )

- Kỹ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng ( Kỹ năng phân tích )

- Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu mới ( Kỹ năng tổng hợp)

- Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào

đó (Kỹ năng đánh giá)

1.1.2 Sự hình thành kỹ năng

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hoá và khái quát hoá cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất

1.1.3 Điều kiện hình thành kỹ năng

Để thể hiện được kỹ năng về hành động nào đó, cần phải :

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra

- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải qua thời gian dài

1.1.4 Một số giai đoạn hình thành kỹ năng

Theo K K Platônôp, G.G Gôlubep thì kỹ năng được hình thành qua năm

giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Giai đoạn có kỹ năng sơ đẳng Ở giai đoạn này con người ý thức được mục đích hành động và tìm kiếm hành động dựa trên vốn hiểu biết

và kĩ xảo đời thường Hành động được thực hiện theo cách “ thử” và “ sai” Giai đoạn 2: Giai đoạn biết cách làm nhưng không đầy đủ Ở giai đoạn này, con người có hiểu biết về cách thức thực hiện hành động, sử dụng các kỹ xảo

đã có nhưng không phải là các kỹ xảo chuyên biệt dành cho hoạt động này Giai đoạn 3: Giai đoạn có kỹ năng chung nhưng mang tính chất riêng lẻ Trong giai đoạn này, con người có hàng loạt kỹ năng phát triển cao nhưng còn mang tính chất riêng lẻ, các kỹ năng này cần thiết cho các dạng hoạt động khác nhau

Giai đoạn 4: Giai đoạn có kỹ năng phát triển cao Ở giai đoạn này, con người biết sử dụng sáng tạo vốn hiểu biết và kỹ năng đã có Họ không chỉ ý thức được mục đích hành động, mà còn ý thức được cả động cơ lựa chọn cách thức để đạt được mục đích

Giai đoan 5: Giai đoạn có tay nghề “Trong giai đoạn này, con người biết sử dụng một cách sáng tạo đầy triển vọng các kỹ năng khác nhau”

1.1.5 Một số cấp độ để xếp loại đánh giá kỹ năng

Bắt chước - Biết làm

Thao tác - Làm thành thạo

Chuẩn hóa - Kỹ năng theo chuẩn cụ thể

Phối hợp - Kỹ năng có sự linh hoạt

Tự động hóa - Kỹ xảo

1.2 Kỹ năng Toán học

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là HS phải nắm vững kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tuỳ theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện

kỹ năng tương ứng Trong chương trình Toán phổ thông, ta có thể chỉ ra một

số kỹ năng cần thiết khi giải toán là:

- Kỹ năng nắm vững khái niệm

- Kỹ năng nắm vững định lí

- Kỹ năng vận dụng các qui tắc

- Kỹ năng dự đoán và suy đoán

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán

- Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn

- Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá

1.3 Kỹ năng giải toán

1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau

Theo G.Polya [31]: "Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh, cũng như phê phán các lời giải và chứng minh nhận được"

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)

Kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Kỹ năng giải toán thể hiện ở việc thực hiện giải bài toán

có kết quả, lời giải bài toán phải đạt được ba yêu cầu cơ bản đó là: Kết quả đúng, lời giải đầy đủ, suy luận hợp lôgíc

Kỹ năng giải toán của học sinh là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã tích lũy vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để có lời giải bài toán Khả năng giải toán là thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được theo một yêu cầu bài toán nào đó trên cơ sở các tri thức toán học (kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì

kỹ năng được hình thành và phát triển đồng thời góp phần cụ thể hóa tri thức toán học

Kỹ năng trong toán học hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn toán Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ vai trò, tầm quan trọng của kỹ năng Rèn luyện kỹ năng giải toán không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học

mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn, phát triển tư duy toán học cho học sinh Tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà GV có những yêu cầu rèn luyện tương ứng Khi rèn kỹ năng giải toán GV cần chú tới ba mức độ của kỹ năng trong giải toán như:

+, Biết giải những dạng toán cơ bản và những dạng toán tương tự

+, Giải thành thạo những dạng toán cơ bản và những dạng toán tương tự +, Có những biểu hiện của việc giải toán sáng tạo

1.3.2 Thành tố của kỹ năng giải toán

Theo tiến sĩ Vũ Quốc Khánh “ Năng lực giải toán được xác định qua bốn

thành tố” Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệu

sau:

+, Biết nhìn nhận, hiểu bài toán

+, Biết định hướng giải bài toán một cách rõ ràng

+, Biết trình bày lời giải một cách chính xác

+, Biết phân tích lời giải bài toán

Vì kỹ năng là biểu hiện của năng lực nên trong luận văn chúng tôi xác định

kỹ năng giải toán thông qua bốn thành tố sau đây:

- Thành tố thứ nhất: Là khả năng vận dụng các tri thức toán học vào việc định hướng tìm lời giải cho bài toán cụ thể là khả năng nắm bắt và vận dụng những tri thức lý thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính chất, mệnh đề, định lý và hệ quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải [4,tr19]

+, Thành tố này chủ yếu thuộc gia đoạn đầu tiên của việc định hướng tìm ra lời giải bài toán Thành tố thể hiện rõ ở khía cạnh khi HS phân tích bài toán

và các dữ kiện đã cho trong bài toán nhằm nhận dạng bài toán Từ các giả thiết và kết luận của bài toán mà HS xác định được các kiến thức sinh ra trong bài toán và các kiến thức liên quan khác Rồi lại từ các kiến thức này HS lại xác định được kỹ năng, các thao tác thuật giải tương ứng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán

+, Việc rèn kỹ năng định hướng tìm lời giải đòi hỏi HS có khả năng đoán nhận được kiến thức cần thiết phải sử dụng đến thì mới giải được bài toán Từ những biến đổi phù hợp HS tạo ra những bài tập tương tự hoặc những bài tập mới mà đã có cách thức giải chúng nhằm nâng cao năng lực giải toán của chính mình Rèn luyện định hướng tìm lời giải bắt buộc HS phải tự giác, tích cực, độc lập trong suy nghĩ, chủ động trong việc lựa chọn phương pháp giải

toán Đó chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo, HS từ vai trò tiếp thu kiến thức trở thành chủ thể sáng tạo ra tri thức

+, Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải không chỉ có tác dụng nâng cao năng lực giải toán mà qua đó giúp HS tự tìm kiếm được các phương thức giải quyết vấn đề cho giải toán Như vậy rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải cho HS là một yêu trong những yêu cầu rất quan trọng và cần thiết trong giảng dạy bộ môn toán học

- Thành tố thứ hai: Là khả năng nắm bắt và vận dụng những thao tác thuật giải và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướng lời giải cho bài toán [4,tr20]

+, Khả năng này chủ yếu thuộc giai đoạn thứ hai của việc giải bài toán Thành tố này có tác dụng trực tiếp đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán của HS Thành tố này được thể hiện rõ sau khi HS đã có định hướng tìm lời giải của bài toán, tức là đã xác định được các kiến thức có liên quan cần sử dụng trong quá trình giải toán và hướng giải bài toán đó Đầu tiên HS sử dụng thành tố này ở khía cạnh phân tích các kiến thức hay kỹ năng gắn với với kiến thức của bài toán, sau đó HS định hướng xây dựng chi tiết các bước giải bài toán

+, Luyện tập thành thạo thành tố này trong giải toán là một yêu cầu bắt buộc

vì nếu thiếu nó sẽ không thể đi đến lời giải bài toán dù rằng HS đã định hướng được giải bài toán như thế nào Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp học tập phù hợp của HS Mặt khác, đối với một số bài toán việc định hướng tìm lời giải không khó mà cái khó của bài toán ấy lại thuộc về kỹ thuật giải hoặc kỹ thuật chuyên biệt giải bài toán đó

Do đó thành tố này đòi hỏi người giải toán phải có sự sáng tạo, biết lựa chọn

kỹ thuật hoặc kỹ thuật chuyên biệt riêng của bài toán để xây dựng chi tiết tiến

trình giải và thể hiện lời giải bài toán đó

- Thành tố thứ ba: Là khả năng kết thúc lời giải cho bài toán sau khi đã có

định hướng và sau khi đã lựa chọn được những thao tác thuật giải và phương pháp giải phù hợp [4, tr21]

+, Khả năng kết thúc lời giải của bài toán thường được bắt đầu ở giai đoạn

thứ ba của việc giải toán Thành tố này thể hiện để đánh giá việc giải bài toán

có hoàn thành được hay không, từ đó giúp cho HS thấy được việc thực hiện

có kết quả đúng hay không đúng trong từng bước giải và trong từng chi tiết của các bước giải bài toán đã được tiến hành Điều này không chỉ ảnh hưởng đến kết quả học tập trước mắt của HS mà còn ảnh hưởng đến sau này, nhất là các em khi bước vào cổng trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp thì thành tố này lại càng quan trọng Vì vậy rèn luyện thành tố này giúp HS biết cách chọn ra cách giải nhanh nhất, lời giải hay nhất và các giải sáng tạo nhất Mặt khác, khi xem xét các lời giải khác nhau của một bài toán, học sinh có cánh nhìn nhận sâu sắc về bài toán, đồng thời HS tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân và bổ xung những kỹ thuật riêng trong từng dạng toán

- Thành tố thứ tư: Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải cho bài toán

[4,tr21]

+,Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải cho bài toán thể hiện ở khả năng

thể hiện khả năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giải chính xác trong giải toán Thông thường quá trình HS suy

nghĩ tìm tòi lời giải của bài toán là quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó trình bày lời giải cho bài toán là quá trình “phân tích đi xuống” Thực tế dạy

học cho thấy, có nhiều HS mặc dù đã hiểu và nghĩ ra lời giải của bài toán nhưng không thể trình bày và hoàn thiện chính xác lời giải bài toán đó Rèn luyện thành tố này chính là giúp HS nâng cao năng lực giải toán, giúp cho các

em biết lựa chọn cách giải nhanh nhất, lời giải hay nhất và sáng tạo nhất Mặt khác, khi xem xét tổng thể tất cả các lời giải khác nhau của bài toán giúp học sinh có cách nhìn sâu và rộng hơn từ đó tích lũy được những kinh nghiệm khi gặp những dạng bài toán khác

+, Khả năng trình bày lời giải thể hiện trong việc đảm bảo các yêu cầu chung của một lời giải tức là lời giải có ngôn ngữ ký hiệu rõ ràng, suy luận đúng, các bước suy luận hợp lôgic, cách trình bày ngắn gọn đầy đủ, chính xác, khoa học Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ đúng hợp lôgíc, lời giải đầy đủ và chính xác, trình bày nhiều cách giải đảm bảo sự rõ ràng và mỹ thuật, chọn được cách giải ngắn gọn hợp lý nhất, nghiên cứu cách trình bày lời giải những bài toán tương

tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

+, Khả năng kiểm tra lời giải bài toán thể hiện trong việc kểm tra kết quả của lời giải bài toán Kiểm tra lời giải bài toán thường được tiến hành theo hai bước định tính và định lượng

Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương hướng giải, các phương pháp giải và công cụ giải toán Nếu có phát hiện được sai sót nào đó về mặt định tính thì khi đó lời giải chắc chắn sai nên không cần kiểm tra về mặt định lượng nữa

Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác thuật giải đã dùng trong tường bước khi giải toán, công việc này được làm sau khi đã kiểm tra định tính Kinh nghiệm cho thấy, khi kiểm tra về mặt định lượng nên dùng cách khác với lời giải đã có vì cách này đảm bảo cho HS tránh được sai lầm khi giải toán

+, Khả năng tìm các bài toán liên quan và sáng tạo bài toán mới Các kiến thức liên quan tới bài toán đã cho luôn có quan hệ với nhau và chúng tạo nên

cơ sở tìm ra bài toán mới Việc tìm ra bài toán mới liên quan cần vận dụng

thường xuyên khi giải toán vì khi giải một bài toán nào đó thì câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Bài toán này có quan hệ gián tiếp với kiến thức nào hay dạng toán nào đó không ? Trên cơ sở đó hoặc là quy bài toán đã cho về dạng toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng những kiến thức liên quan đến bài toán đã cho Việc rèn luyện khả năng tìm các bài toán có liên quan và sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết đối với HS

1.3.3 Mục đích, Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán

1.3.3.1 Mục đích về rèn luyện kỹ năng giải toán

Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng

kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do học sinh không nắm vững kiến thức về khái niệm, định lý, quy tắc chính vì thế sẽ không có cơ sở để hình thành kỹ năng ở các dạng toán đó

Để có được kỹ năng giải toán tốt cho học sinh trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là:

+, Về tri thức và kỹ năng: Cần chú ý đến tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng của nó Chẳng hạn, tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, tri thức và phương pháp trong giải toán bằng PPVT theo bốn bước của G Polya, tri thức và phương pháp trong hoạt động … +, Người GV cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động một cách tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có được kỹ năng từ đó vận dụng một cách linh hoạt trong

những trường hợp cụ thể, đồng thời kết hợp việc thực hiện: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

1.3.3.2 Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán

Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng

bắt đầu từ hoạt động giải toán Học sinh tự mình chiếm lĩnh các kiến thức toán học thông qua hoạt động giải bài tập toán học Quá trình học sinh xây dựng và chiếm lĩnh tri thức toán học đó hình thành nên kỹ năng và năng lực giải toán

Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.158]: “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của học sinh ” Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán Vì vậy nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển kỹ năng và năng lực giải toán của học sinh Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy nghĩ, các hoạt động trí tuệ (tìm tòi, dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa…) mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học Các kỹ năng giải toán của học sinh nếu thành thạo, thuần thục thì sẽ hình thành năng lực giải toán bao gồm: Năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay…

1.4 Dạy học rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10 THPT

1.4.1 Mục đích, vị trí, vai trò của việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh lớp 10 THPT

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học, đó là sự đánh giá hoàn toàn chính xác đã được ghi nhận Ngay từ thế

kỷ XIII, nhà tư tưởng Anh R Bêcơn đã nói rằng: “Ai không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ môn khoa học nào khác ” Sự phát triển của khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C Mac: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của Toán học”.Môn Toán

có vị trí rất quan trọng ở trong trường phổ thông, vì nó có khả năng to lớn góp

phần thực hiện nhiệm vụ chung trên đây của nhà trường phổ thông bởi lẽ:

- Do vai trò của Toán học trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các môn, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực

- Môn Toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính phê phán, tính sáng tạo

Theo Nguyễn Bá Kim [2], ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy các hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập Toán học có vai trò quyết đinh đối với chất lượng dạy học môn Toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng

và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ở thời điểm nào đó trong quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

+, Chức năng dạy học

+, Chức năng giáo dục

+, Chức năng phát triển

+, Chức năng kiểm tra

Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Trên thực tế, các chức năng trên không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy một cách tường minh và công khai

1.4.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững yêu cầu của lời giải Các yêu cầu đó có thể cụ thể hóa như sau:

1 Kết quả phải đúng, kể cả các bước trung gian

2 Lập luận chặt chẽ, đặc biệt là phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán;

- Luận cứ phải đúng;

- Luận chứng phải hợp lôgíc

3 Lời giải đầy đủ

4 Ngôn ngữ chính xác

5 Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

6 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

7 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Trong các yêu cầu trên, các yêu cầu từ 1 đến 4 là các yêu cầu cơ bản, còn các yêu cầu còn lại là các yêu cầu nâng cao cần khuyến khích đối với học sinh khá giỏi

1.4.3 Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học lớp 10 THPT

Việc rèn luyện khả năng tìm lời giải là cơ sở quan trọng, là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán, qua đó GV có được cơ hội tốt để trang bị cho HS một số tri thức phương pháp: phương pháp

giải toán, phương pháp toán học hoá nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học và khả năng làm việc độc lập, sáng tạo

Vì không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán nên người thầy cần phải thông qua quá trình dạy học giải các bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới một sự vững vàng nhất định trong việc suy nghĩ tìm lời giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya

về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Để giải được một bài toán, trước hết phải tìm hiểu đề bài, HS phải có sự

hứng thú, có nhu cầu nhận thức Vì thế người giáo viên cần chú ý gợi động

cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của HS và giúp các em hiểu bài toán cần giải

- Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu tổng thể bài toán, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết

- Phát biểu bài toán dưới những dạng thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán

- Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho ? cái gì chưa biết ? có mối liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho ?

Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lý, ) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn với dữ kiện bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc một bài toán khái quát của bài toán đã cho

Trong quá trình tòi lời giải bài toán, bảng gợi ý của Pôlya tỏ ra rất có hiệu quả Chẳng hạn như:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không ? Một định lý có thể dùng được không ?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng

ẩn hay có ẩn tương tự

- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng

để giải bài này không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hay sử dụng phương pháp ? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ mới sử dụng được nó không ? Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã cho, thì hãy giải một bài toán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Bạn có thể giải một phần bài toán không ?

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm theo một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Để kiểm tra lại kết quả, người ta dùng cách soát lại xem có gì sai sót, cái gì

có thể đơn giản hoá và nếu có thể, nên cố gắng tìm lại kết quả bằng con đường khác Để nghiên cứu, khai thác lời giải, người ta tìm cách rút kinh nghiệm về phương pháp, trở lại quá trình tìm lời giải bài toán, phân tích những sự mày mò đã thực hiện, các sai lầm đã mắc phải, suy nghĩ về dãy các liên tưởng đã dẫn đến lời giải, làm sáng tỏ những ý nghĩ, những “sợi dây mong manh ” mà ta đã bỏ qua lần đầu, nhưng chính về sau giúp ta đạt kết

quả Xét xem với những ý đó, có thể tìm lời giải khác hay không ? Có thể giải những bài toán tổng quát hơn hay những bài toán tương tự, gần gũi với bài đã làm, tìm ý hướng dẫn khác đi để đi đến lời giải hoàn toàn khác Đối với học sinh cần phải tập luyện cho họ thói quen kiểm tra lại lời giải các bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là bài toán có đặt điều kiện hoặc đòi hỏi biện luận

Một điểm đáng chú ý nữa là: Trong quá trình giải bài tập cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh, điều

đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác tìm được nhiều lời giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất

1.5 Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 THPT

Mỗi hoạt động dạy học toán đều liên hệ với những hoạt động nhất định Đó

là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó Phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch được một con đường để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những nhiệm vụ dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hoá được nhiệm vụ dạy học nội dung đó

Khi học giải toán, HS thực hành các công việc của người làm toán.Vì vậy một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học toán là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tuỳ theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng

1.5.1.Tổ chức các hoạt động học tập nhằm rèn luyện tính chủ động, tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho học sinh nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, người giáo viên cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức, kỹ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho học sinh Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là:

- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học

- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS với HS, giữa GV với HS

- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: giúp đỡ HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động

- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

1.5.2 Rèn luyện các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh

Trước hết chúng ta cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy trình

4 bước của Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình giải

toán này

- Đối với những bài toán đã có thuật giải: giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu chung của chương trình cũng như tình hình thực tế hoặc thông báo tường minh thuật giải hoặc có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó

- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên cần hướng dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương pháp giải toán hình học Thông qua dạy HS giải một số bài toán hình học 10 cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán hình học, hình thành phương pháp giải một lớp các dạng bài toán hình học 10 có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kỹ năng giải quyết dạng bài toán hình học 10 đó

1.6 Dạy học rèn luyện kỹ năng vận dụng giải toán bằng PPVT trong chương trình hình học 10 THPT

1.6.1 Đặc điểm của bài toán hình học véctơ ở lớp 10 THPT

* Một số vấn đề về dạy học phần véctơ của SGK hình học 10 THPT

+, Vai trò của nội dung véctơ hình học lớp 10 THPT:

- Véctơ giữ một vai trò quan trọng không chỉ đối với Toán học mà còn đối với cả các ngành khoa học khác

- Véctơ là công cụ để xây dựng nên phương pháp toạ độ - một phương pháp

vô cùng hữu ích trong toán học, thể hiện mối liên hệ giữa đại số và hình học

- Bản thân PPVT cũng là một phương pháp tiện lợi trong giải toán

- Nội dung véctơ có rất nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là các vấn đề liên quan đến vận tốc, lực…

- Véctơ là tiền đề để xây dựng nên khái niệm không gian véctơ - một khái niệm quan trọng trong Toán học cao cấp, được dạy và học ở các bậc Cao đẳng

và Đại học

+, Một số vấn đề về nội dung: Về mặt nội dung, phần véctơ của SGK - HH

10 THPT bao gồm các khái niệm liên quan đến véctơ (véctơ, hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng, véctơ – không, hai véctơ bằng nhau…), các phép toán về véctơ (tổng và hiệu của hai véctơ, tích của một số với một véctơ, tích vô hướng của hai véctơ), toạ độ của một véctơ và của một điểm đối với

trục và hệ trục, biểu thức toạ độ của các phép toán về véctơ, bước đầu vận dụng phương pháp véctơ vào giải một số bài toán đơn giản

+, Mục đích - yêu cầu:

- Về kiến thức: yêu cầu học sinh phải nắm được các khái niệm véctơ, véctơ - không, hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng, hai véctơ ngược hướng, hai véctơ bằng nhau, véctơ đối của một véctơ; quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc về hiệu của hai véctơ; định nghĩa và tính chất của các phép toán về véctơ: phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng của hai véctơ; khái niệm và mối quan hệ giữa toạ độ của một điểm với toạ độ của một véctơ đối với hệ trục; các tính chất của trung điểm đoạn thẳng

và trọng tâm tam giác có liên quan đến véctơ và toạ độ

- Về kỹ năng: Học sinh phải biết dựng một véctơ bằng với một véctơ đã cho; dựng được tổng và hiệu của hai véctơ, tích của một véctơ với một số; vận dụng được quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc về hiệu của hai véctơ; chứng minh các đẳng thức véctơ, phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương, tìm điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước;

sử dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán về véctơ và các công thức về toạ độ liên quan đến trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác; xác định được góc giữa hai véctơ, tính được độ dài của véctơ khi biết các yếu tố cần thiết; vận dụng được tính chất "Hai véctơ khác véctơ - không có tích vô hướng bằng 0 thì chúng vuông góc với nhau"; vận dụng được kiến thức tổng hợp về véctơ để giải một số dạng toán của hình học phẳng: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc

* Một số vấn đề cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển những quan hệ hình học tổng hợp sang dạng toán hình học véctơ

Ba điểm A, B, C phân biệt và AB = kAC

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo

tỷ số k ≠ 1 MA = kMB

Đường thẳng AM là trung tuyến

của ∆ABC AB + AC =2AM

Điểm G là trọng tâm ∆ABC GA + GB + GC = 0

Hai đường thẳng a và b vuông

góc với nhau

AB CD =0 (trong đó A, B phân biệt thuộc đường thẳng a; C, D phân biệt thuộc đường thẳng b)

Như vậy, việc chuyển bài toán hình học tổng hợp sang dạng toán hình học véctơ là điểm xuất phát trong việc sử dụng công cụ véctơ để giải toán

1.6.2 Vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán của G.Polya vào giải toán bằng PPVT trong chương trình hình học 10 THPT

Ở lớp 10, học sinh đã được học về véctơ, các phép toán trên Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để gải các bài toán, đối với học sinh lớp 10, trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải bài toán bằng PPVT

Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phân tích bài toán

- Vẽ hình (nếu cần)

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

- Chọn các véctơ cơ sở (nếu cần)

- Chuyển từ bài toán hình học tổng hợp sang bài toán hình học véctơ

- Tìm mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán

- Nên chọn các véctơ cơ sở sao cho các véctơ trong bài toán phân tích theo chúng thuận lợi nhất Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn các véctơ

cơ sở quan trọng như thế nào

Chú ý:

* Hai véctơ cơ sở: Cho hai véctơ không cùng phương a và b ; x là một véctơ

bất kì Nếu tồn tại các số thực h và k sao cho x = ha + kb thì ta nói véctơ x phân tích theo các véctơ đã cho Khi đó cặp véctơ a và b được gọi là cặp véctơ

cơ sở

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

- Giải bài toán

- Cần nắm vững các phép toán véctơ, các qui tắc véctơ Đồng thời, thông qua các bài tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ được tính ưu việt của PPVT

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kết luận, đánh giá kết quả

- Có thể tổng quát hóa, đặt biệt hóa kết quả bài toán

- Từ kết quả bài toán có thể xây dựng bài toán mới

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véctơ theo hai véctơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài toán một cách linh hoạt

Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh khả năng thực

hiện 4 bước giải bài toán hình học bằng PPVT thông qua các bài tập, có thể

minh họa quy trình 4 bước trên bằng ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và trọng tâm G Chứng minh rằng với điểm M

Suy ra điều phải chứng minh

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Vậy, MA + MB + MC = 3MG , với M là điểm bất kì

- Nghiên cứu lời giải và tìm cách giải khác

1.7 Những khó khăn sai lầm của học sinh khi giải toán bằng PPVT trong chương trình hình học 10 THPT

1.7.1 Thực trạng về kỹ năng giải toán bằng PPVT trong chương trình hình học 10 THPT

A

M

G Hình 1.6.1.Ví dụ 1

Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc nên không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học Tuy vậy, Qua thăm dò ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm giảng dạy môn toán cho thấy trong quá trình nhận thức, khả năng huy động kiến thức đã có, rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh còn gặp phải một số khó khăn như:

- Từ kiến thức đã có yêu cầu học sinh giải quyết bài toán tương tự

- Từ kiến thức đã có yêu cầu học sinh khái quát hóa, tổng quát hóa bài toán

- Từ vấn đề cần giải quyết biết định hướng và biến đổi bài toán quy lạ về quen

- Từ kiến thức đã có biết liên tưởng để phát hiện và giải quyết vấn đề

- Xem xét giữa quan hệ giữa cái chung, cái riêng, quan hệ nhân quả

- Từ kiến thức đã biết đưa ra dự đoán, kiểm nghiệm dự đoán, điều chỉnh dự đoán để rút ra kiến thức cho bản thân

Thực tế dạy học Toán hiện nay trong trường THPT có thể mô tả như sau: phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề theo các bước, đặt vấn đề, giảng giải để dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại vấn đáp, gợi

mở nhằm uốn nắn những lệch lạc (nếu có), củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn công việc học tập ở nhà Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh được nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu

và qua đó củng cố hiểu biết cho học sinh Một số bài toán sẽ được phát triển

theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho học sinh khá giỏi

Việc rèn luyện tư duy lôgíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi

dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp

Hầu hết các giáo viên còn sử dụng những phương pháp thuyết trình và đàm thoại chứ chưa chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học

Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh, học sinh chủ yếu tiếp nhận kiến thức còn bị động

Những kỹ năng cần thiết của việc tự học chưa được chú ý đúng mức Do vậy việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều cần đổi mới Đó là học trò chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động và sáng tạo, chưa được thảo luận để đưa ra các khám phá của mình, kỹ năng vẫn dụng vào thực tiễn còn yếu Vai trò của thầy vẫn chủ yếu là người thông báo kiến thức, cùng lắm nữa thì là người dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số thói quen làm việc nhất định chứ chưa phải là người "khơi nguồn sáng tạo", "kích thích học sinh tìm tòi" Hơn nữa, do thời gian hạn chế, khối lượng kiến thức và yêu cầu truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập của học sinh Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu

1.7.2 Khó khăn của học sinh trong quá trình giải toán bằng PPVT trong chương trình hình học 10 THPT

Dạy học hình học là vấn đề khó đối với học sinh trong việc tiếp thu, cũng

như giáo viên trong việc giảng dạy Trong mục này chúng tôi xin chỉ ra một

số khó khăn và sai lầm cơ bản của học sinh Tuy nhiên, chúng tôi không thể chỉ ra tất cả các khó khăn và sai lầm mà học sinh gặp phải khi giải quyết các bài toán hình học lớp 10 Bởi khó khăn và sai lầm của mỗi học sinh là không giống nhau và sai lầm cũng rất đa dạng

Khi dạy hình học đặc biệt là hình học véctơ học sinh bộc lộ khó khăn và sai lầm thể hiện qua:

- Khó khăn mà học sinh thường gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ Các phép toán trên các véctơ lại có nhiều tính chất tương tự như đối với các phép toán số mà học sinh

đã học trước đó; do đó, vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm

và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT

- Khi sử dụng PPVT là do thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Đặc biệt, trong đề ra không có “bóng dáng” véctơ, học sinh sẽ lúng túng khi chuyển sang dạng véctơ và khó xác định được cách giải bài tập này là gì ?

- Do đặc điểm tâm lý nhận thức của học sinh lớp 10 THPT là không thể hoàn toàn bỏ qua hình vẽ trực quan, đi ngay vào những bài toán có thể bỏ qua hình vẽ

- Khó khăn bộc lộ trong việc định hướng tìm cách giải đối với các bài toán véctơ

- Học sinh còn bộc lộ khó khăn, sai lầm liên quan đến hoạt động tư duy như:

do áp dụng sai quy tắc, công thức, định lý, áp dụng tương tự không đúng

Ví dụ 1.7.3.1: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý Chứng

minh rằng: MA + MC = MB + MD

Với bài toán này, một số HS thường làm như sau: MA + MC = MB + MD

⟺ AC = BD Sai lầm ở đây là HS áp dụng sai qui tắc véctơ và khi thoát ly hình vẽ HS đã không hình dung ra được AC và BD cắt nhau nên dẫn đến khó khăn trong giải toán

Các sai lầm trong giải toán thường do các nguyên nhân khác nhau như trình

độ nắm kiến thức và các kĩ năng Học sinh thường gặp phải các khó khăn và sai lầm trong khi giải các bài toán hình học, bởi lẽ đây là đối tượng được nghiên cứu, đang làm quen với cách tiếp cận phát hiện và giải quyết vấn đề Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục sai lầm khi giải toán

Cần phải tập cho học sinh phát hiện chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân

và đề xuất cách giải đúng Bởi vì, khi biết những sai lầm do lỗi kiến thức cơ bản, học sinh mới thật sự cần phải hiểu sâu sắc bản chất của các bài toán đã được lĩnh hội, quan trọng hơn là các em thấy cần thiết phải kiểm tra từng bước lập luận trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán

Khi dạy hình học giáo viên cần kết hợp đúng đắn, hợp lý giữa chuyển dạng hình học tổng hợp sang dạng toán hình học véctơ

Khi thấy học sinh mắc phải sai lầm, giáo viên không nên bác bỏ ngay sai lầm mà cố gắng dẫn dắt khích lệ học sinh tự nhận thức được sai lầm của mình

và chỉ ra các sai lầm cho các em là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục được sai lầm mà các em mắc phải

Ví dụ 1.7.3.2: Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính độ dài của véctơ AB

+ BC ?

Với bài toán trên, HS hay nhầm lẫn trong quá trình làm bài như:

AB + BC = AB + BC = a + a = 2a Vì hiểu sai khái niệm độ dài của một

véctơ nên áp dụng sai

Lời giải đúng : Ta có: AB + BC = AC suy ra AB + BC = AC = AC = a

Vậy, độ dài của véctơ AB + BC bằng a

Như vậy, sau khi học PPVT, học sinh có thêm trong tay một công cụ để giải

toán hình học Không thể nói phương pháp nào tốt hơn phương pháp nào Vì

có những bài toán giải bằng phương pháp này thì dễ, nhưng lại rất vất vả khi

giải bằng phương pháp khác, thậm chí còn không giải nổi Do đó việc sử dụng

phương pháp nào để giải loại bài toán nào thì thuận lợi là một trong những

vấn đề khó khăn đối với học sinh

1.8 Kết luận chương 1

Định hướng đổi mới các phương pháp dạy học hiện nay là “Lấy người học

làm trung tâm” nhằm mục đích nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Tuy

nhiên từ những đặc điểm riêng của môn học mà trên thực tế HS gặp không ít

khó khăn trong quá trình tiếp thu lý thuyết và nhất là khi tiến hành giải bài tập

hình học, đặc biệt là hình học 10 THPT, từ đó làm hạn chế kết quả dạy học và

học của GV và HS Trên cơ sở tìm hiểu khái niệm kỹ năng, đặc điểm của kỹ

năng, các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng, kỹ năng giải toán cho

thấy rèn luyện kỹ năng giải toán hình học là một trong những biện pháp tích

cực góp phần khắc phục những khó khăn trong học tập của HS và nâng cao

chất lượng dạy học

Với nội dung trình bày ở chương 1, dạy học giải toán là rất quan trọng, tất cả các hoạt động toán học thường gắn liền với năng lực giải toán Chính vì

thế rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung và rèn luyện kỹ năng giải toán hình

học 10 THPT nói riêng cũng rất quan trọng (kỹ năng là biểu hiện của năng

lực) Kỹ năng giải toán hình học 10 THPT của học sinh còn nhiều hạn chế,

trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi sẽ đề cập đến xây dựng một số biện

pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương

trình hình học 10 THPT cho học sinh

Để học sinh có kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT, trong chương 2 chúng tôi sẽ đưa ra biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học

10 THPT và xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp véctơ Từ đó góp phần tích cực khắc phục những khó khăn trong học tập của HS và nâng cao chất lượng dạy học

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10 THPT 2.1 Kiến thức cơ bản về véctơ trong chương trình HH 10 THPT

2.1.1 Phân phối chương trình (theo phân phối chương trình của Bộ GD&ĐT) hình học 10 THPT

3 Câu hỏi và bài tập 1

Bài 2: Tổng và hiệu của hai véctơ 2

3 Câu hỏi và bài tập 1

Bài 3: Tích của véctơ với một số 1

2 Câu hỏi và bài tập 1

Bài 4: Tích vô hướng của hai véctơ 2

3 Câu hỏi và bài tập 1

2.1.2 Nội dung kiến thức cơ bản của từng bài

Bài 1: Các định nghĩa

1 Định nghĩa véctơ: Véctơ là một đoạn thẳng có hướng trong đó đã chỉ rõ

điểm đầu và điểm cuối

2 Hai véctơ cùng phương: Hai véctơ a và b được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Nếu hai véctơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

3 Độ dài của một véctơ: Độ dài của một véctơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó và kí hiệu là: a là độ dài véctơ a

4 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu là

a = b nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau

5 Véctơ không: Với mỗi điểm A, ta gọi AA là véctơ không Véctơ không được kí hiệu 0 Ta qui ước véctơ 0 cùng phương, cùng hướng với bất kì véctơ nào và 0 =0

Bài 2: Tổng và hiệu của hai véctơ

1 Tổng của hai véctơ: Cho hai véctơa và b Lấy một điểm A tùy ý, vẽ

3 Hiệu của hai véctơ: Cho hai véctơ a và b Ta gọi hiệu của hai véctơ a và

b là véctơ a + (−b ) được kí hiệu là a − b Phép toán tìm hiệu của hai véctơ a

và b còn được gọi là phép trừ hai véctơ a và b

- Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta luân có: OB − OA = AB (hay qui tắc ba điểm)

Bài 3: Tích của véctơ với một số

1 Định nghĩa: Cho véctơ a ≠ 0 và số thực k ≠ 0 Tích của véctơ a với số k

là một véctơ Kí hiệu là ka , cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a Ta qui ước 0.a = 0 , k.0 = 0

2 Các tính chất của phép nhân véctơ với một số :

Với các véctơ a , b bất kì và với mọi số k, h ∈ R, ta có:

Bài 4: Tích vô hướng của hai véctơ (ứng dụng của tích vô hướng và quan hệ lên quan đến góc )

1 Định nghĩa: Cho hai véctơ a và b khác véctơ 0 Tích vô hướng của a và b

là một số, kí hiệu là a .b , được xác định bởi công thức sau:

a .b = a b cos(a ,b )

2 Bình phương vô hướng của véctơ: Khi a = b tích vô hướng a a được kí hiệu là a 2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của véctơ a

Ta có: a 2 = a 2

3 Tính chất của tích vô hướng của hai véctơ

Với các véctơ a , b , c bất kì và mọi số k, ta có:

+, Nếu hai véctơ a và b khác véctơ 0 , ta có: a .b = 0 ⇔ a ⊥ b

2.1.3 Những kỹ năng rèn luyện khi giảng dạy giải toán bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 THPT

Ngay từ chương đầu tiên, chúng ta đã trình bày cho học sinh các khái niệm hoàn toàn mới: đó là véctơ, các phép toán trên véctơ và hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Các khái niệm này được sử dụng trong toàn bộ nội dung của hình học 10

Điều quan trọng là giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ và nắm được về véctơ cùng với những khái niệm có liên quan như sự cùng phương, khác phương, cùng hướng, ngược hướng của hai véctơ, sự bằng nhau của hai véctơ

và định nghĩa véctơ không, cùng những qui ước riêng cho véctơ không

Thông qua các ví dụ, phản ví dụ, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ những khái niệm cơ bản đã được định nghĩa hoặc giới thiệu bằng các định nghĩa có tính chất mô tả Cần phải lấy những hình ảnh trong thực tế để minh họa các khái niệm đã được đề cập trong SGK Sau khi dạy các khái niệm mới, giáo viên cần phải có kế hoạch kiểm tra lại xem học sinh đã rõ và nắm chắc kiến thức vừa học hay chưa ?

Khi học các phép toán về véctơ, học sinh thường so sánh với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số Do đó, giáo viên cần khẳng định để học sinh biết rằng đối với tập hợp các véctơ, không có phép chia véctơ cho một véctơ Ở đây chỉ có khái niệm tỷ số của hai véctơ cùng phương là một số thực k Khái niệm này có liên quan đến khái niệm phép nhân một số với một véctơ

2.2 Những kiến thức trọng tâm để đưa ra một số dạng toán cơ bản của HH 10 THPT theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán bằng PPVT

Kiến thức trong SGK đưa ra chưa phản ánh đầy đủ các tri thức phương pháp cho học sinh Vì tri thức phương pháp không phải là tri thức tường minh dưới dạng lí thuyết (định nghĩa, định lí, ) mà còn được thể hiện dưới dạng bài tập

Vì vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải nhấn mạnh các bài tập cơ bản trong SGK hoặc phải bổ sung thêm các bài tập (vì đây là các tri thức phương pháp để giải các bài tập sau này) như:

1, Tính chất trung điểm

+, Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA + IB = 0

+, Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA + MB = 2MI , với điểm M bất kì

2, Tính chất trọng tâm của tam giác

+, Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0

+, Cho tam giác ABC có trọng tâm G, ta có: MA + MB + MC = 3MG , với điểm M bất kì

4, Véctơ chỉ phương của đường thẳng

Véctơ u ≠ 0 là véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng ∆

5, Hai đường thẳng song song

+, Đường thẳng a có véctơ chỉ phương là AB ≠ 0 (có thể lấy A, B thuộc a); +, Đường thẳng b có véctơ chỉ phương là CD ≠ 0 (có thể lấy C, D thuộc b); Khi đó: a // b ⇔ AB =kCD với k≠ 0 và A ∉ b

6, Hai đường thẳng vuông góc

+, Đường thẳng a có véctơ chỉ phương là AB ≠ 0 (có thể lấy A, B thuộc a); +, Đường thẳng b có véctơ chỉ phương là CD ≠ 0 (có thể lấy C, D thuộc b); Khi đó: a ⊥ b ⇔ AB CD =0

2.3 Khai thác bài tập hình học 10 THPT theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán bằng PPVT

Các dạng bài tập dưới đây được xây dựng theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán bằng PPVT có cấu trúc cơ bản sau:

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản và phương pháp chung để giải mỗi dạng toán cơ bản

- Với mỗi dạng toán cơ bản đưa ra ví dụ cơ và hướng dẫn HS thực hiện giải toán theo bốn bước giải toán HH bằng PPVT hoặc thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya

- Đưa ra các bài tập cho mỗi dạng toán

- Đưa ra lời giải hoặc hướng dẫn giải cho các bài tập trong mỗi dạng toán trên

Việc đưa ra dạng toán nhằm giúp HS có kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng:

- Kỹ năng phân tích (biểu thị) một véctơ theo hai véctơ không cùng phương

- Kỹ năng chứng minh đẳng thức véctơ

- Kỹ năng chứng minh ba điểm thẳng hàng

- Kỹ năng xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ

- Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng song song

- Biết khái quát hóa một số kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát hơn Đặc biệt, biết vận dụng quy trình 4 bước giải toán hình học bằng PPVT vào giải các bài tập HH 10 THPT

Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình huống dạy học khác nhau như: làm bài tập về nhà, bài tập phân hóa, dùng để bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để làm đề kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm…góp phần bồi dưỡng nănglực giải toán cho HS

2.4 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán hình học 10 THPT theo phương pháp véctơ

2.4.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng phân tích (biểu thị) một véctơ theo hai véctơ không cùng phương