Lý thuyết và bài tập về hai quy tắc đếm cơ bản, hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp ( có đáp án chi tiết)

Lý thuyết và bài tập về hai quy tắc đếm cơ bản, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bản pdf. Các bài tập có sự phân dạng, có bài tập cơ bản, nâng cao. Bài tập về giải hệ phương trình, giải phương trình, bất phương trình về số tổ hợp. Và đặc biệt các bài tập đều có đáp án giúp các bạn đọc có thể kiểm tra và tham khảo cách làm.

Trang 1

HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

I Lý thuyết

1 Hai quy tắc đếm cơ bản

1.1 Quy tắc cộng

- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành theo n phương án

+ Phương án 1: Có m1 cách thực hiện

+ Phương án 2: Có m2 cách thực hiện

+ Phương án n: Có mn cách thực hiện

Mỗi cách thực hiện trong từng phương án này không trùng với cách thực hiện trong phương án khác thì có tất cả m1 + m2 + + mn cách thực hiện công việc

- Ví dụ: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà các chữ số trong mỗi số tự nhiên đó là khác nhau ( Số tự nhiên đó không có quá 2 chữ số)

Giải

TH1 : Số đó có 1 chữ số

Ta có tập hợp các số thỏa mãn { 1; 2; 3; 4} => có 4 số

TH2 : Số đó có 2 chữ số

Ta có tập hợp các số thỏa mãn {12; 13; 14; 23; 24; 21; 31; 32; 34; 41;42; 43}

=> có 12 số

Theo quy tắc của phép cộng ta có 4 + 12 = 16 số

1.2 Quy tắc nhân

- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành nếu phải thực hiện qua n giai đoạn + Giai đoạn 1: Có m1 cách thực hiện

+ Giai đoạn 2: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 1 có m2 cách thực hiện giai đoạn 2

+ Giai đoạn n: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 12 (n-1) có mn

cách thực hiện giai đoạn n

Vậy sẽ có m1.m2 mn cách thực hiện công việc

Ví dụ: Xét ví dụ ở quy tắc cộng

TH1: Số đó có 1 chữ số thì có 4 số

TH2: Số đó có 2 chữ số

Gọi hai số cần tìm là ab

+ Giai đoạn 1: a có 4 cách chọn

+ Giai đoạn 2: Ta đi chọn số b sao cho b  athì có 3 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.3 = 12 số

Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có 4 + 12 =16 số

2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp

2.1 Hoán vị

- Một tập hợp gồm n phần tử (n1), mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử gọi là 1 hoán

vị của n phần tử

- KH: Pn: số hoán vị của n phần tử

Ta có P n n!

* Nhắc lại kiến thức về giai thừa:

+ n!nn1n2 2.1

Trang 2

+ n! n n 1!

+ Quy ước: 0! = 1

2.2 Chỉnh hợp:

- Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử n1 Mỗi kết quả của việc chọn ra k phần tử 1k  n trong số n phần tử và sắp xếp thứ tự k phần tử đó gọi là 1 chỉnh hợp

chập k của n phần tử

- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

+ KH: Ak n: số chỉnh hợp chập k của n phần tử

)!

(

! 1

1

k n

n k

n n

n

+ Quy ước: A0n 1

2.3 Tổ hợp:

- Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử n1 Mỗi tập con k phần tử 0k  n

trong số n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

- Số tổ hợp chập k của n phần tử:

+KH: Ck n- số tổ hợp chập k của n phần tử

+ Định lý: ! !

!

k n k

n

2.4 Các tính chất cơ bản của số Ck n

+ C0n 1, C1nn

, Cn n 1

+ C Cn n k

k

n



 0k  n

Chứng minh

k k n

n k

n n k n

n

k









! )!

(

! ))!

( (

!

+ Công thức Pa-xcan: C C Ck n k n

k n k

n11 1 0  

Chứng minh

VP k

n k

n k n

k

n

k

k n k

n

k

n

k n k

n k

n

VT

Ck n 

































)!

(

!

)!

(

)!

1

(

)!

1

(

1 )!

(

)!

1

(

)!

1

(

)!

1 (

)!

1 ( )!

(

)!

1

(

)!

1 (

+ kC nCk n  k n

k

n 111  

Chứng minh

VT k

k

n

k k k k n

n n k

k n

n n n

VP

C

k n

k

n















.

!

)!.

(

!

)!.

1 ( )!

(

)!

1 (

)!

1 ( )!

(

)!

1 ( 1

1

Trang 3

+  k n

n

k C Ck n

k







 1 1

1

Chứng minh

VT k

k k

n

k

k k k n

n n n

k k n

n n

VP

Ck n 



























1

! )!

(

!

.

1

! ).

1 ( )!

(

! ) 1 ( 1

1 )!

1 ( )!

(

)!

1 (

1

II Bài tập

1 Bài tập về hai phép đếm cơ bản

Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự

luận và trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận

và một trắc nghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Giải

- Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách

- Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách

Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi

Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}

1 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

2 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

Giải

1 Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: n = abcd

Để có số n ta phải chọn các chữ số a, b, c, d

+ a có 6 cách chọn

+ b có 5 cách chọn

+ c có 4 các chọn

+ d có 3 cách chọn

Theo quy tắc phép nhân thì có 6.5.4.3 = 360 số

2 Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số là n  abcde

+ Vì n chẵn nên e2=> e có 1 cách chọn

+ c có 3 cách chọn

Theo quy tắc phép nhân thì có 1.5.4.3.2 = 120 số

Bài 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số lấy ra từ

tập A

Giải

Gọi số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số là n  abcde

Để có số n ta phải chọn các chữ số a, b, c, d, e

+ a có 9 cách chọn ( vì a0)

Trang 4

+ e có 10 cách chọn

Theo quy tắc phép nhân thì có 9.10.10.10.10 = 90000 số

Bài 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

1 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số đôi một

khác nhau và số tự nhiên đó chia hết cho 5

2 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4

Giải

1 Gọi số tự nhiên có 5 chữ số cần tìm là n  abcde

+ Vì n là số tự nhiên lẻ, chia hết cho 5 nên e5=> e có 1 cách chọn

+ a có 7 cách chọn ( vì a  a0 ,  5)

Theo quy tắc nhân ta có tât cả 1.7.7.6.5 = 1470 số

2 Gọi số cần tìm là n  abcde

Vì số cuối cùng chia hết cho 4 nên e {0;4;8}

TH1: e0=> có một cách chọn e

Theo quy tắc nhân ta có 1 8.7.6.5 = 1680 số

TH2: e0=> e có 2 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có 2.7.7.6.5 = 2940 số

Vậy, theo quy tắc cộng ta có tất cả 1680 + 2940 = 4620 số

Bài 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

và lớn hơn 54000

Giải

1 Gọi số tự nhiên 5 chữ số cần tìm là n  abcde

Vì n54000nên a  5 ; 6 ; 7 ; 8 ; }

TH1: a = 5 => a có một cách chọn

Khi đó b  6 ; 7 ; 8 ; } => b có 4 cách chọn

TH2: a5=> a có 4 cách chọn

Trang 5

Theo quy tắc nhân ta có 4.7.6.5.4 =3360 số

Vậy theo quy tắc phép cộng ta có 480 + 3360 = 3840 số

Bài 6: Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang

phục là quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi Nữ sinh có 7 chiếc

quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách

chọn trang phục?

Giải

Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục là quần trắng áo dài hoặc quần

xanh áo sơ mi nên sẽ xảy ra hai trường hợp

TH1: Quần trắng - áo dài

+ Có 7 cách chọn quần trắng

+ Có 5 cách chọn áo dài

Theo quy tắc nhân có 7.5 = 35 cách

TH2: Quần xanh - áo sơ mi

+ Có 4 cách chọn quần xanh

+ Có 6 cách chọn áo sơ mi

Theo quy tắc nhân ta có 4.6 = 24 cách

Vậy, theo quy tắc cộng ta có 35 + 24 = 59 cáchw

Bài 7: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này

chia hết cho 5

Giải

Gọi số cần tìm là n  abcdef

Vì n chia hết cho 5 nên f  0 ; }

TH1: f  5 => f có một cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có 1.8.8.7.6.5 = 13440 số

TH2: f  0=> f có một cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có 1 9.8.7.6.5 = 15120 số

Vậy, theo quy tắc cộng ta có 13440 + 15120 = 28560 số

Bài 8: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

chẵn gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 125

Giải

Trang 6

Gọi số cần tìm là n  abcde

Ta đi đếm số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Ta đi đếm số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bởi 125

Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 125 là

3360 - 12 = 3348 số

Bài 9: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó

hai chữ số liền kề nhau phai khác nhau

Giải

Gọi số cần tìm là n  abcd

+ a có 7 cách chọn a0

+ b có 7 cách chọn b  a

+ c có 7 cách chọn c  b

+ d có 7 cách chọn d  c

Theo quy tắc nhân có 7.7.7.7 = 2401

Bài 10: Một trận thi đấu bóng đá bắt buộc phải phân thắng bại bằng sút 11m Ở một

đội bóng huấn luyện viên cần phải chọn ra 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ ( Phải sắp thứ tự lần lượt các cầu thủ để đá phạt) Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách thực hiện?

Giải

Chọn cầu thủ sút quả số 1 có 11 cách chọn

Theo quy tắc nhân có 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn

2 Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Bài 1: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách

Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất

cả các cuốn sách trên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp

kề nhau?

Giải

Trang 7

Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài có 3! cách

Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán có 2! cách

Nhóm sách Văn có 4! cách

Nhóm sách Anh có 6! cách

Vậy có 3! 2! 4! 6! = 207360 cách xếp thỏa điều kiện bài toán

Bài 2: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc Tính số cách chọn một người đàn ông và một

người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:

a) Hai người đó là vợ chồng

b) Hai người đó không phải là vợ chồng

Giải

a) Có 10 cách chọn đàn ông

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ của người đàn ông đó)

Vậy theo qui tắc nhân có 10×1=10 cách chọn

b)Có 10 cách chọn người đàn ông

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà ( trừ vợ của người đàn ông đó)

Vậy theo qui tắc nhân có 10×9=90 cách chọn

Bài 3: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ

số khác nhau

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcd

Vì n chẵn nên d  0 ; 2 ; }

TH1: n chứa 0

+ d = 0 => d có một cách chọn

Các số còn lại có A35cách chọn

=> có 1 A35 = 60 số

+ d0 => d có 2 cách chọn

Số 0 có thể ở 2 vị trí

Các số còn lại có A24cách chọn

Theo quy tắc nhân có 2.2 A24= 48 số

TH2: n không chứa 0

+ 3 số còn lại có A34cách chọn

Theo quy tắc nhân có 2 A34= 48 số

Vậy có tất cả 60 + 48 + 48 = 156 số

Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác

nhau chia hết cho 9

Giải

Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9

Ta có các bộ số sau 0;4;5 ;1;3;5 ; 2;3;4 là các bộ số có tổng các chữ số trong bộ số chia hết cho 9 tạo bởi các chữ số đã cho

Trang 8

Gọi số tự nhiên cần tìm là abc

+TH1: (0; 4; 5)

a có 2 cách chọn

b có 2 cách chọn

c có 1 cách chọn

=> có 2.2 = 4 số

+ TH2: ( 1; 3; 5)

Mỗi số là một hoán vị của 3 số nên có P3 = 3! = 6 số

+ TH3: (2; 3; 4)

Tương tự TH2 ta có 6 số

Vậy ta có tất cả 4 + 6 + 6 = 16 số

Bài 4: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu trắng, 6 viên bi màu xanh Chọn

ra 4 viên bi Có bao nhiêu cách chọn mà không đủ cả 3 màu

Giải

+ Ta đi đếm số cách chọn 4 viên bi bất kỳ lấy từ trong hộp ra

Mỗi cách lấy 4 viên bi sẽ là 1 tổ hợp chập 4 của 15 phần tử vì vậy có C154 cách lấy + Ta đi đếm số trường hợp mà cả 4 viên bi có đủ 3 màu

TH1: 4 viên bi có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng, 1 viên bi xanh

Cách lấy 2 viên bi đỏ từ 4 viên bỉ đỏ là 1 tổ hợp chập 2 của 4 phần tử => có C24 cách Tương tự vậy có C15cách lấy viên bi trắng và có C16cách lấy viên bi xanh

Theo quy tắc nhân ta có C C C16

1 5 2

4 = 180 cách

TH2: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng, 1 viên bi xanh

Tương tự như TH1 ta có C14.C25.C16 240cách

TH3: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi xanh

Có C14.C15.C26 300 cách

Vậy số cách chọn mà 4 viên bi không đủ cả 3 màu là

645 300 240

180

4

Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác

nhau bé hơn 345

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abc

Vì n < 345 nên a  1 ; 2 ; }

+ TH1: a3 => a có 2 cách chọn

2 số còn lại có A25 cách chọn

=> có 2 A25 = 40 số

+ TH2: a = 3 => a có 1 cách chọn

Khi đó b 4 b 0 ; 1 ; 2 ; }

* b = 4 => b có 1 cách chọn

Khi đó c có 3 cách chọn

Vậy có 1.1.3 = 3 số

* b4 => b có 3 cách chọn

Trang 9

=> có 1.3.4 = 12 số

Theo quy tắc cộng ta có 40 + 3 + 12 = 55 số

Bài 6: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hàng dọc vào lớp Có bao nhiêu cách

xếp sao cho 2 học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ

Giải

Đánh số từ 1 đến 9

Để hai học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ thì học sinh nữ đứng ở các vị trí

1;3;5 ; 2;4;6 ; 3;5;7 ; 4;6;8 ; 5;7;9

Cách sắp xếp 3 học sinh nữ vào 3 vị trí là 3!

Cách sắp xếp 6 học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ là 6!

Vậy có 5.3!.6! = 21600 cách

Bài 7:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}

1 Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ tập A

2 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau

3 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác

nhau sao cho tổng hai chữ số đầu và cuối chia hết cho 10

Giải

1 Gọi số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ A là n  abcde

Năm chữ số này được chọn từ A,đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên số cần tìm là chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử

=> có tất cả A57 2520 số

2 Gọi số cần tìm là n  abcdef

Vì n là số tự nhiên chẵn nên f có 3 cách chọn

Các số còn lại có A56 cách chọn

=> có 3 A56= 2160 số

3 Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcdef

Vì tổng hai chữ số đầu và số cuối chia hết cho 10 tức là a  f chia hết cho 10

=>  a ; f  {   3;7; 4;6 }

Khi đó ứng với mỗi bộ a có 2 cách chọn, ứng với mỗi cách chọn a có 1 cách

chọn f

Chọn 4 chữ số còn lại có A54 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có 2.2.1 A54= 480 số

Bài 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Giải

Gọi số cần tìm là n  abcdef

Chọn được 3 chữ số chẵn trong tổng số 4 chữ số chẵn của tập A có A34 cách chọn

Trang 10

Chọn được 3 chữ số lẻ trong tổng số 5 chữ số lẻ của tập A có A35cách chọn

Theo quy tắc nhân có A34.A35= 1440 số

cách chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá

Giải

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có một học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai

* Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:

+Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

+ Chọn 2 học sinh khá có C52= 10 cách chọn

+ Chọn 5 học sinh trung bình có C58= 56 cách chọn

Vậy có 3.10.56 = 1680 cách chọn

* Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:

+ Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

+ Có C35= 10 cách chọn 3 học sinh khá

+ Có C48 =70 cách chọn 4 học sinh trung bình

Vậy có 3.10.70 = 2100 cách chọn

Theo quy tắc cộng có 1680 + 2100 = 3780 cách chọn

Bài 10: Người ta xếp ngẫu hiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu có số chẵn luôn ở cạnh nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẽ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

Giải

a + Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là 3! cách

=> có 2.6 = 12(cách)

+ tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải và nhóm lẻ ở bên trái Vậy có 12 + 12 = 24 cách

b + Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! cách

+ Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy có: 2.24 = 48 (cách)

Bài 11: Giải phương trình sau

a

C C

Cx4 5x 6x

1 1

1   b 2 1 4

Ax  x 

3

1

4   



 C x

C x x

x

x d. A2x Cx x1  48

e.C1x6.C2x6.C3x 9x2 14 f Cx Cx

1 3

5



Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	742,66 KB