Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến tính (K,µo) - Lõm chính quy

Lí do chọn đề tàiNhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xétphương trình: trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó, x là phần tử phải tìm.. Tiế

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư - Tiến

sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tácgiả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học.Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập vàvượt qua những khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT HàmLong - Bắc Ninh, Tổ Toán - Tin và các đồng nghiệp đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Dương Thị Quế

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS -Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Dương Thị Quế

Mở đầu v

1.1 Không gian định chuẩn thực 1

1.1.1 Các định nghĩa 1

1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 4

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 13

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực 13

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E 14

1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 21

1.2.4 Không gian Eu0 21

1.2.5 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 25 2 Toán tử (K, u0) - lõm chính quy 39 2.1 Toán tử (K, u0) - lõm 39

2.1.1 Các định nghĩa 39

2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0) - lõm 40 2.1.3 Ví dụ về toán tử (K, u0) - lõm 46

2.2 Toán tử (K u0) - lõm chính quy 52

2.2.1 Định nghĩa 52

2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0) -lõm chính quy 53

iii

2.2.3 Ví dụ về toán tử (K, u0)− lõm chính quy 58

3 Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K, u0)− lõm chính quy 603.1 Một số định nghĩa 603.2 Một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử

(K, u0)− lõm chính quy 61

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xétphương trình:

trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó,

x là phần tử phải tìm Phần tử x 6= θ thoả mãn (1) gọi là vectơ riêngcủa toán tử A, λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x

Người đặt nền móng cho việc nghiên cứu điểm bất động của toán

tử A là nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí nổi tiếng:nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922) Tiếp đến có nhiều nhà toánhọc có các công trình nghiên cứu về điểm bất động của toán tử trongcác không gian hàm Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đãnghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) Sau đó giáo sưtiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phituyến (K, u0) - lõm (1984)

Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0 - đo được Tính chất

u0 – đo được trong định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng cáckết quả gặp khó khăn Tuy nhiên tồn tại những lớp toán tử phi tuyếnkhông yêu cầu có tính chất u0 – đo được, nhưng cũng có những tính chấtnhư toán tử lõm Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tửlõm chính quy

v

Năm 1987, trong bài báo đăng trên tạp chí Toán học, tập XV,

số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã xây dựng khái niệm toán tửlõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về điểm bất động

và vectơ riêng đối với toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy Với mongmuốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cholớp toán tử phi tuyến (K, u0) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài:

“Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu củaluận văn là:

+ Nghiên cứu một số tính chất về toán tử (K, u0) - lõm chính quy.+ Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõmchính quy

+ Nghiên cứu sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u0) lõm chính quy

-4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u0) - lõm chính quy

+) Phạm vi nghiên cứu:

- Tính chất điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quy

- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quy.

- Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u0) - lõm chínhquy

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kếtquả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể

6 Dự kiến đóng góp mới

- Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0)– lõm chính quy và ví dụ

- Trình bày một cách hệ thống các tính chất của toán tử(K, u0) – lõm chính quy

- Một số điều kiện tồn tại vectơ riêng dương của toán tử(K, u0) – lõm chính quy

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn trên

E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu k.k(đọc làchuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau:

i,∀x ∈ E, kxk ≥ 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử khôngtrong không gian E);

ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, kαxk = |α| kxk;

iii,∀x, y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩntrên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, k.k) hay E

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm{xn}∞n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim

Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm{xn}∞n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {kxnk}hội tụ tới kxk, nói khác đikxk là một hàm liên tục của biến x.

Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

Mệnh đề 1.1.3 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm{xn}∞n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn}∞n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số{αn} hội tụ tới α thì:

kαn.xn− α.xk = kαnxn− αnx + αnx − αxk

≤ kαn(xn − x)k + k(αn − α) xk

≤ |αn| kxn − xk + |αn − α| kxk

Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn|} bị chặn;còn xn → x, n → ∞ trong không gian E nên kxn− xk → 0, n → ∞

Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banachnếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ

1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực

1.1.2.1.Không gian Rn(n ∈ N∗)

Dễ kiểm tra Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n} (n ∈ N∗)với hai phép toán thông thường

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) ,

αx = (αx1, αx2, , αxn) ,

trong đó α ∈ R, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn, là mộtkhông gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, , 0)

Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn của phần tử

x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn xác định bởi

kxk =

vuut

x(k)i − xi

< ε, ∀k ≥ k0, ∀i = 1, 2, , n (1.2)Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy số thựcn

x(k)i

o

hội tụ tới xi khi k → ∞ Sự hội tụ đó gọi là hội tụ theo tọa độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(k) =



x(k)1 , x(k)2 , , x(k)n



∈ Rn

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn.

Theo định nghĩa ta có ∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃ki ∈ N∗ : ∀k ≥ ki,

x(k)i − xi